Análisis de la Deflexión en Vigas de Cedro Doce mediante Ecuaciones Diferenciales.pptx
1. DOCENTE : Dr. Heli Mariano Santiago
CURSO : MATEMÁTICAS IV
ALUMNO : Amancio Ollaguez, Donny Edgar
Análisis de la Deflexión en Vigas de Cedro Doce mediante Ecuaciones Diferenciales
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
2. INTRODUCCIÓN
Esta investigación en ingeniería estructural se enfoca en abordar nuevos desafíos, centrándose
específicamente en el análisis de la deflexión en vigas de cedro doce. Este material, conocido
por su versatilidad y propiedades mecánicas destacadas, es originario de la región huanuqueña.
Utilizando ecuaciones diferenciales, el estudio examina cómo diversas condiciones de carga y
apoyo afectan la deflexión de estas vigas.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL: Analizar la deflexión en vigas de cedro doce usando las ecuaciones diferenciales
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Determinar la variación de la deflexión en vigas de cedro doce.
Modelar matemáticamente las ecuaciones diferenciales que describen la deflexión en vigas de cedro doce.
Interpretar los resultados del modelo matemático y el gráfico de la función en relación con la deflexión en vigas de
cedro doce.
3. PROBLEMA GENERAL
PROBLEMAS ESPECÍFICOS
1. ¿Cómo varía la deflexión en vigas del cedro doce bajo distintas cargas?
2. ¿De qué manera se puede modelar matemáticamente las ecuaciones diferenciales que describen la
deflexión en vigas bajo diferentes condiciones de carga?
3. ¿Cuál es la implicación principal de los resultados del modelo matemático y el gráfico de la función en
relación con la deflexión en vigas bajo condiciones de cargas variables?
¿De qué manera se puede analizar la deflexión en vigas de cedro doce usando las ecuaciones diferenciales?
4. MARCO TEÓRICO
1. BASES TEÓRICAS
Ecuaciones diferenciales:
Las ecuaciones diferenciales son una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las relaciones entre una
función y sus derivadas. En esencia, representan la manera en que una cantidad cambia en relación con otra y son
ampliamente utilizadas para modelar y resolver problemas en diversas disciplinas, como la física, la ingeniería, la
biología y la economía, entre otras. Estas ecuaciones describen procesos dinámicos y son esenciales para
comprender cómo cambian las variables a lo largo del tiempo o en función de otras variables.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden o superior
Una ecuación diferencial de segundo orden es una ecuación que involucra la segunda derivada de una función
desconocida con respecto a la variable independiente.
Estas ecuaciones son comunes en diversos campos, como la física y la ingeniería, ya que modelan fenómenos donde
la aceleración o la tasa de cambio de una cantidad con respecto al tiempo o la posición es proporcional a la propia
cantidad o su derivada.
5. Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para analizar y resolver ecuaciones
diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales.
La Transformada de Laplace lleva una función en el dominio del tiempo a una función en el dominio de Laplace, que
es una representación en el dominio de la frecuencia compleja. Esta transformación facilita la resolución de
ecuaciones diferenciales lineales, ya que convierte operaciones diferenciales en operaciones algebraicas más
simples en el dominio de Laplace.
2. BASES CONCEPTUALES
Tipos de Vigas
Vigas en voladizo: Son elementos estructurales con un extremo libre y otro apoyado, extendiéndose más allá del
punto de apoyo. Este diseño genera momentos flectores y fuerzas cortantes, destacándose por su deflexión
pronunciada en el extremo libre. Se aplican comúnmente en plataformas, balcones y estructuras de techos.
Vigas empotradas: Están completamente soportadas en ambos extremos, sin permitir desplazamientos verticales
ni rotación en los puntos de apoyo. Empotradas en paredes o columnas, estas vigas ofrecen una mayor rigidez y
resistencia, comportándose esencialmente como vigas rígidas sujetas en ambos extremos. Su aplicación principal
es en estructuras que requieren alta rigidez, como marcos de edificios y puentes.
6. Deflexión en vigas
Se refiere al movimiento de una viga o nodo desde su posición original debido a las fuerzas y cargas
que se aplican al miembro. También se conoce como desplazamiento y puede ocurrir por cargas
aplicadas externamente o por el peso de la estructura en sí., y la fuerza de gravedad a la que se
aplica.
La deflexión puede ocurrir en vigas, armaduras, marcos, y básicamente cualquier otra estructura.
Momentos de inercia
El momento de inercia, también conocido como segundo momento de área, es una propiedad
geométrica que describe la distribución de áreas con respecto a un eje específico en una sección
transversal. Se utiliza comúnmente en ingeniería y física para analizar la resistencia de una estructura
a la flexión.
Módulo de Young
También conocido como módulo de elasticidad, en palabras sencillas, el módulo de Young mide la
capacidad de un material para estirarse o comprimirse en respuesta a una carga aplicada, indicando
su nivel de rigidez. Los materiales con un módulo de Young alto tienden a ser más rígidos, mientras
que los que tienen un módulo de Young más bajo tienden a ser más flexibles. Este parámetro es
fundamental en el diseño de estructuras y en la comprensión del comportamiento elástico de los
materiales.
7. DESARROLLO Y DATOS
PRIMER CASO: Tendremos una viga en
voladizo, y algunas cargas que actúen sobre la
viga.
SEGUNDO CASO: Tendremos una viga que
tendrá apoyos en ambos lados de la viga,
igualmente tendremos cargas.
Teniendo en cuenta esos detalles también en el momento de
resolver y hallar la deflexión en las vigas de cedro doce,
debemos tener en cuenta dos constantes que más adelante
veremos, y estas son: La constante de Young (𝐸) y el
momento de inercia 𝐼 , para el caso del cedro doce, tenemos
que la constante de Young es:
𝐸 = 8.06 𝐺𝑃𝑎
Ahora para la obtención de el momento de inercia, usaremos
la siguiente fórmula:
𝐼 =
1
12
𝑏ℎ3
Para el caso de nuestro trabajo usaremos las siguientes
dimensiones:
𝑏 = 8 𝑚
ℎ = 10 𝑚
Vamos a reemplazar en la fórmula:
𝐼 =
1
12
8(10)3
𝐼 = 666.666 𝑚4
8. PROCEDIMIENTO
Primeramente, tenemos que entender que por la teoría de la elasticidad se demuestra que 𝑀 𝑥 que es el momento
flexionante en un punto 𝑥 a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud 𝑤(𝑥) mediante la
siguiente ecuación diferencial:
𝑑2𝑀
𝑑𝑥2 = 𝑤(𝑥)
Como 𝑀 𝑥 y 𝑤(𝑥) tienen la misma variable independiente, pero distinta variable dependiente, para que ambas estén
expresadas por la misma variable dependiente (𝑦), sabemos que el momento flexionante es proporcional a la
curvatura 𝑘 de la elástica:
𝑀 𝑥 = 𝐸𝐼𝑘
De donde tenemos E e I, y sabemos que ambas son constantes, E es la constante de Young de elasticidad del material
de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga, también debemos saber que al producto EI se
le conoce como rigidez a la flexión.
Sabemos también que:
𝑘 =
𝑦"
1 + 𝑦´ 2
3
2
9. Pero cuando la desviación 𝑦(𝑥) es pequeña, la pendiente 𝑦´ de la curva elástica es tan pequeña que su
cuadrado es despreciable comparado con la unidad, de modo que:
1 + 𝑦´ 2
3
2 ≈ 1
Por lo tanto, tenemos que k=y" y la ecuación se transforma en M(x)=EIy", obteniendo así que la
segunda derivada de M(x) sea:
𝑑2
𝑀
𝑑𝑥2 = 𝐸𝐼
𝑑2
𝑑𝑥2 𝑦" = 𝐸𝐼
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
Este resultado lo vamos a reemplazar en nuestra primera ecuación y la ecuación diferencial quedaría de
la siguiente manera:
𝐸𝐼
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
= 𝑤(𝑥)
10. Como bien habíamos dicho haremos dos casos, el primero que
abordaremos será una viga en voladizo.
Para este caso aplicaremos una carga que actué desde el inicio de
la viga hasta el final de la misma, el gráfico quedaría de la
siguiente manera:
Entonces tendremos nuestra ecuación de la carga de la siguiente manera:
𝑤(𝑥) = 𝐿
Y usaremos la ecuación diferencial que ya hemos conseguido y reemplazaremos la ecuación de la carga para comenzar
a resolver mediante las transformadas de Laplace:
𝐸𝐼
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 = 𝑤
𝐿 𝐸𝐼
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
= 𝐿 𝑤
𝐸𝐼 𝑠4
𝐿 𝑦 − 𝑠𝑦´´ 0 − 𝑦´´´ 0 =
𝑤
𝑠
13. Ahora para nuestro segundo caso tendremos
una viga simplemente apoyada en ambos
extremos y una carga que va desde el principio
de la viga hasta el final de la viga.
Entonces tendremos nuestra ecuación de la carga de la siguiente manera:
𝑤(𝑥) = 𝐿
Y usaremos la ecuación diferencial que ya hemos conseguido y reemplazaremos la ecuación de la carga para comenzar
a resolver mediante las transformadas de Laplace:
𝐸𝐼
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 = 𝑤
𝐿 𝐸𝐼
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
= 𝐿 𝑤
𝐸𝐼 𝑠4
𝐿 𝑦 − 𝑠𝑦´´ 0 − 𝑦´´´ 0 =
𝑤
𝑠
18. GRÁFICA E INTERPRETACIÓN DEL PROBLEMA
La carga concentrada a lo largo de toda la viga
significa que hay una fuerza aplicada en cada punto a
lo largo de la viga. Esta carga representa una carga
uniformemente distribuida sobre la viga.
Debido a la carga concentrada, la viga experimentará
una deflexión a lo largo de su longitud. La forma de
esta deflexión seguirá una curva característica, y la
magnitud de la deflexión será mayor en el centro de
la viga, justo debajo de la carga.
La máxima deflexión generalmente ocurre en el
centro de la viga, bajo la carga concentrada. La viga
se flexiona hacia abajo en esa área debido a la
aplicación de la carga.
19. CONCLUSIONES
En resumen, este estudio validó con éxito un modelo matemático para analizar la deflexión en
vigas de cedro doce. Se confirmó la importancia de considerar las propiedades específicas del
material en el diseño estructural. La eficacia de la Transformada de Laplace y MATLAB fue
destacada, proporcionando una herramienta práctica y eficiente. Los resultados tienen
aplicaciones directas en ingeniería estructural, contribuyendo al conocimiento sobre el
comportamiento de vigas de madera y ofreciendo pautas valiosas para el diseño.
