Resistencia de materiales

1. DEFLEXIÓN
Durand Porras, Juan Carlos [Docente Asesor]
Vera Chinchay, Javier
Huanca Cusi, Juan Carlos
Gonzales Sales, Jhoel Junior
Universidad Nacional de Ingeniería (UNI-Perú)
Resumen
En el presente trabajo tratamos de hacer énfasis en aplicaciones, solución de problemas y diseño de
miembros estructurales y sistemas. En una piscina Olímpica, la flexibilidad de la plataforma de
lanzamiento, por ejemplo, depende de su diseño de aluminio delgado, con el apoyo de rodillos ajustados
para dar sólo la correcta longitud no soportada. En contraste, un puente debe ser lo suficientemente
rígido para que no vibre demasiado, debido a todos los vehículos que pasa sobre ella. La rigidez en un
puente se obtiene utilizando vigas de acero con una alta área de momento de inercia y mediante el ajuste
de la distancia entre los soportes. En cada caso, para comprender la cantidad correcta de flexibilidad o
rigidez en el diseño de la viga, necesitamos determinar la deflexión de la viga, que es el tema de este
trabajo.
Flexibilidad de la plataforma. Rigidez de las vigas de acero.
Introducción
Podemos obtener la deflexión de una viga por integración ya sea uno de segundo orden
o de una ecuación diferencial de cuarto orden. La ecuación diferencial, junto con todas
las condiciones necesarias para resolver las constantes de integración, se llama un
problema de valores en la frontera. La solución del problema de valore en la frontera,
da la deformación en cualquier ubicación "x" a lo largo de la longitud de la viga.

2. DESARROLLO DEL TEMA Y METODOLOGÍA
En este trabajo se estudian y se va aprender a formular, y también a resolver el
problema de valores de frontera para la deflexión de una viga en cualquier punto. La
parte teórica, se va reforzar con los problemas propuestos en el cuál vamos aplicar no
sólo un método para su solución, sino se va mostrar los diferentes métodos que uno
puede aplicar.
DEFINICION DE DEFLEXIONES
La deflexión es el grado en el que un elemento estructural se desplaza bajo la aplicación
de una fuerza o carga. La deflexión se determina aplicando las leyes que relacionan las
fuerzas y desplazamientos, para ello se utilizan dos métodos de cálculo los geométricos
y los de energía.
Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión,
las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por
cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes. En
armaduras y cerchas las deflexiones se presentan por la combinación de las
deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen.
CAUSAS QUE LAS PROVOCAN
 La edad de los pasos elevados.
 Pérdidas que se acentúan a lo largo del tiempo
 Pérdida de la fuerza Fo de tensión.
 Deformación Plástica del Concreto
 Criterios de Diseño de la época no contemplaron posiblemente
 La Saturación Vehicular, fruto del crecimiento acelerado de la ciudad.
 La rigidez del tablero.
 La inercia del tablero está proporcionada casi en su totalidad por las vigas T
invertida.
 La contribución de la losa superior es menor en comparación con la de las
vigas.
 La rigidez a la flexión está determinada por el módulo de elasticidad de los
materiales y por la Inercia de la sección transversal de las vigas.
 La Inercia depende mucho más de la altura que de la base de las vigas.
 Valores pequeños de inercia resultan en deflexiones considerables.
 La relación altura / base es cercana a 1, cuando lo que se considera normal son
valores próximos a 2 en términos de relaciones de rigidez.
IMPORTANCIA DEL CONTROL DE LAS DEFLEXIONES
Es importante ya que las deflexiones excesivas de un miembro pueden producir daños
en otros miembros estructurales, o más frecuentemente en elementos no estructurales

3. como muros divisorios, o acarrear problemas como acumulación de agua en azoteas.
Las deflexiones excesivas no son toleradas por los usuarios de la estructura, ya que
producen una sensación de inseguridad, ya por razones de orden estético. El control de
Deflexiones es una etapa importante en el diseño de una estructura ya que un exceso de
Deflexiones estropea la apariencia de la estructura.
Ecuación diferencial de la elástica
Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación, en la cual se relaciona la
curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión
pura:
Donde “ρ” es el radio de curvatura, “E” el módulo de elasticidad del material del que se
compone la viga, “I” el momento de inercia de la sección transversal de la viga y
“M(x)” el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último
término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de
la viga (“x”).
Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que
el radio de curvatura de una curva plana en un punto “P(x,y)” puede determinarse
mediante la expresión:
Donde, dada la relación “y = f(x)”:
Corresponde a la primera derivada de la función:
Corresponde a la segunda derivada de la función:
Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la
primera derivada; obtenemos entonces que:

4. Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el
comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta
una viga cuando es sometida a cargas transversales.
Método de Doble Integración
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi
cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente
determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones
de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las
ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El
método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda
la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.
Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
El producto “E·I” se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo
de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse
en función de “x” antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga
prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez
e integrar respecto a “x”. Planteamos:
Donde “C1” es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera,
como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña,
es satisfactoria la aproximación:

5. De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta
tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud “x” de la viga.
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia “x”
medida desde un extremo de la viga. El término “C2” es una constante de integración
que, al igual que “C1”, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer
sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os)
punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta
información.
En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por
ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Del apoyo en “A” puede establecerse:
x = LA → y = 0
Y, debido al apoyo en “B” :
x = LB → y = 0

6. Debido al empotramiento “A”:
x = LA → y = 0
x = LA → θ = 0
Método de Área de Momento
El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar
la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga.
La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de
momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el
método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está
cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple,
pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la
viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de
las técnicas para preparar diagramas de momento flector.
La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos
cualquiera (“A” y “B”) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.

7. Puede observarse que “θB/A” es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto
“B” respecto a la que pasa por “A”. De forma análoga se define el ángulo “θA/B”. Es
importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario.
Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la
elástica de la forma:
Si integramos la expresión anterior, obtenemos:
Planteando que:
Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:
Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento:
El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es
igual al área bajo el diagrama “M/(E·I)” entre esos dos puntos.
Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación:

8. Donde “dθ” es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una
distancia “dx” y “x” es la distancia medida desde el punto “A” hasta el elemento
diferencial en cuestión. Al sustituir “dθ” queda:
Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:
Lo cual puede rescribirse de la forma:
Donde “xA” es la distancia (medida sobre la dirección “x”) que existe entre el punto “A”
y el centroide del área bajo la curva “M·E/I”.
La ecuación supone la base del segundo teorema de área momento: “La desviación
vertical de la tangente en un punto “A” sobre la curva elástica con respecto a la tangente
prolongada desde otro punto “B” es igual al momento de área bajo el diagrama “ME/I”
entre los puntos “A” y “B”. Este momento se calcula respecto al punto “A” donde va a
determinarse la desviación vertical “tA/B”.

9. De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto “B” respecto a la tangente
que pasa por “A”. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama “ME/I”
respecto al punto “B”, es decir:
Donde “xB“ es la distancia que existe desde el punto “B” hasta el centroide de la figura.
Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto “B” (en
el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por
el “A” (y viceversa).
Método de Tres Momentos
Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos.
De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí,
y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos
únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo
intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los
momentos en ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las
reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión
a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede
resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de
los tres momentos para cualquier combinación de cargas.
Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.

10. Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (“1”, “2” y “3”), donde realizaremos
cortes transversales y estableceremos las cargas a las que están sometidas estas
secciones, manteniendo las que están aplicadas sobre los tramos “L12 “ y “L23 “.
Se tendría entonces:
Note que los momentos flectores (“M1 “, “M2 “, “M3 “) se han dispuesto en su sentido
positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes “V2i“ y “V2d “ no son
necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que exista en el
punto “2”.
Note que los momentos flectores (“M1 “, “M2 “, “M3 “) se han dispuesto en su sentido
positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes “V2i” y “V2d” no son
necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que exista en el
punto “2”.
Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y
quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que
“M2 < M1” y “M2 < M3 “.

11. Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos
anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido “M2 < M1” y
“M2 < M3 “.
Ahora, observemos una representación exagerada de la curva elástica entre los puntos 1
y 3. Puede notarse que se cumple la relación de triángulos:

12. Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión de los puntos “1” y “3”
respecto a la tangente que pasa por “2”:
Finalmente, al sustituir “t 1/2” y “t 3/2” en la ecuación de relación de triángulos, se
obtiene:
Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos flectores en tres
puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres
momentos. Si los puntos “1”, “2” y “3” están al mismo nivel en la viga flexionada, los
términos “h1” y “h3” se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuación se hace
cero.

13. TABLA DE DEFLEXIONES

14. PROBLEMAS
1) Una viga en voladizo con ancho variable b(x) es mostrada en la figura siguiente.
Determine la deflexión máxima en términos de P, bL, t, L y E.
a) Geometría de una viga con ancho variable. b) Vista horizontal. c) Vista frontal.
SOLUCION
Notando que b(x) es una función lineal de x que pasa por el origen y tiene un valor de
bL en x=L, obtengo que b(x) = bLx/L y el área de momento de inercia como:
La siguiente figura muestra el diagrama de cuerpo libre después de un corte imaginario
que puede ser hecho en algún lugar de “x”. Por equilibrio de momento en O. Obtenemos
el momento interno.
El problema de los valores de frontera puede ser escrito como sigue:
Ecuación diferencial:
(E3)

15. Condiciones de Frontera:
(E4)
(E5)
Integrando la ecuación (E3), obtenemos:
(E6)
Sustituyendo ecuación (E6) en la ecuación (E5), obtenemos:
(E7)
Sustituyendo ecuación (E7) en la ecuación (E6) e integrando, obtenemos:
(E8)
Sustituyendo ecuación (E8) en la ecuación (E4), obtenemos:
(E9)
La máxima deflexión ocurrirá en el extremo libre. Sustituyendo x=0 en la ecuación (E8)
y usando la ecuación (E9) obtenemos la máxima deflexión.
RESPUESTA

16. 2) Una viga tiene una carga distribuida que varia linealmente, como se muestra en la
figura. Determine: a) La ecuación de la curva elástica en términos de E, I, w, L y “x”. b)
La máxima intensidad de la carga distribuida sí la máxima deflexión tiene que ser
limitado a 20 mm. Use E = 200GPa, I = 600(106
) mm4
, y L = 8m.
Figura: Viga.
SOLUCIÓN
a) La figura siguiente figura muestra el diagrama de cuerpo libre, haciendo un corte
imaginario en alguna ubicación de “x”. Momento interno y la fuerza cortante son
dibujados. La fuerza distribuida es remplazada por una fuerza equivalente, y el
momento interno es encontrado por equilibrio de momentos en el punto O.
Diagrama de cuerpo libre. a) Corte imaginario en viga. b) Diagrama equivalente
Sustituimos la ecuación (E1) en la ecuación siguiente ecuación:
Los problemas de valores de frontera pueden luego ser indicado como sigue:
Ecuación diferencial:
(E2)
Condiciones de frontera:
(E3)

17. (E4)
Ecuación (E2) puede ser integrado para obtener:
(E5)
Sustituyendo x=L en la ecuación (E5) y usando la ecuación (E4) da la constante :
(E6)
Sustituyendo la ecuación (E6) en la ecuación (e5) obtenemos:
(E7)
Ecuación (E7) puede ser integrado para obtener:
(E8)
Sustituyendo x=L en la ecuación (E8) y usando la ecuación (E3) nos da la constante :
(E9)
La expresión de la deflexión puede ser obtenida por sustitución en la ecuación (E9) en
la ecuación (E8):
RESPUESTA
b) Por inspección, puede parecer que la máxima deflexión para este problema ocurre en el
extremo libre. Sustituyendo x=0 en al expresión de la deflexión, obtenemos
vmax = -wL4
/30EIzz. El signo menos indica que está en la dirección “y” negativo.
Sustituyendo los valores dados de las variables y con la condición de que la deflexión
debe ser menor que 0.02 m, obtenemos:
RESPUESTA

18. 3) En términos de E, I, w, y L, determine la deflexión la pendiente en le punto B para la
viga mostrada.
SOLUCIÓN
Del diagrama de cuerpo libre de la viga, las fuerzas de reacción en los soportes puede
ser encontrado, en el siguiente diagrama de momentos y fuerza cortante lo podemos
observar:
La curva de momento en la región BC es una cuadrática, y las áreas bajo las curvas es la
suma de las áreas.
La deflexión en los soportes son cero. Sustituyendo v(xC)=0 y v(xA)=0 y los valores de
las áreas y centroides en la ecuación. Podemos obtener la pendiente en A.

19. La deflexión en B puede ser escrita como:
Sustituyendo los valores calculados, obtenemos la deflexión en B.
RESPUESTA

20. CONCLUSIÓN
El enfoque preferido trata la deflexión de vigas como un problema de valores de
frontera de segundo orden. Sin embargo, otros enfoques pueden ser necesarios si las
cargas distribuidas sobre las vigas son complicadas funciones o si tenemos valores para
la carga distribuida medido solamente experimentalmente. Con la función de
discontinuidad, una sola ecuación diferencial puede representar la carga sobre todo la
viga.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
 Mechanics of Materials – Madhukar Vable
 Resistencia de Materiales 2da edición – Juan Carlos Mosquera
 Mecanica de Materiales edición revisada– Fitzgerald