EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
DEPARTAMENTO CIENCIAS DE LA VIDA
CARRERA DE INGENIERÍA AGROPECUARIA
SANTO DOMINGO
PERÍODO : Marzo – Agosto 2015
ASIGNATURA : Ecuaciones diferenciales ordinarias
ALUMNOS : Jonathan alvarado
Haro Edison
Henry Minta
Ramiro Perez
NIVEL : Segundo “A”
DOCENTE : Fis: Washington Ponce
FECHA : 25-05-2015
TEMA :E.D.O Ecuaciones lineales

2. Objetivos
Objetivo General.-
 Identificar cuando una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden es lineal
Objetivo Especifico.-
 Obtener la solución general de ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden lineales
 Aprender paso a paso la resolución de ejercicios planteados.
 Realizar ejercicios para reforzar conocimientos
Introducción
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada
"EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente
y relaciona con sus derivadas:
 una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones
diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias
variables), y
 una o más de sus derivadas respecto de tal variable.
Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones
como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas
(como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de
crucial interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus
soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones
dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría
desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse
algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse
su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las ecuaciones
diferenciales no lineales de sumo interés en numerosos casos. Casos carentes de
una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada
numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras. (Wikipedia
enciclopedia libre, 2013)

3. Importancia de las ecuaciones diferenciales ordinarias
Isaac Newton se daba cuenta de la importancia que tenían las ecuaciones
diferenciales para el análisis de los fenómenos de la naturaleza. Por algo sus
renombrados "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban
mecánica newtoniana, arrancan con la ecuación diferencial del movimiento. Esta
ecuación se considera como axioma, mientras que los planteamientos posteriores
de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como
de la ley de gravitación universal que se desgaja de los hechos experimentales
(leyes de Kepler) y del mencionado axioma: md2s/dt2 = F.2
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantearse, siendo F una relación
o función, como
(1a)
... para representar la EDO en que la función incógnita (también conocida como
variable dependiente), lo es de una única variable independiente. En general,
una ecuación diferencial lineal de orden n puede formularse, siendo cada una
función dependiente de t, como:
(1b)
Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del
tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad
en la que todos los términos son conocidos.
En la formulación más simple, la función incógnita es una función para cierto valor
real o complejo pero con mayor generalidad, puede serlo para el valor de un vector
o matriz, lo que lleva a considerar un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDO) para una única función. (Wikipedia enciclopedia libre, 2013)
 En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de
interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la
cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función
desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal
vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton:1 (Cabrera, 2009)

4. Marco Teórico
Ecuaciones lineales
JUSTIFICACIÓN: Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales
comprenden una clase especial de las ecuaciones diferenciales de primer orden, las
cuales son importantes, entre otras razones, porque aparecen con frecuencia en las
aplicaciones, tienen una versión importante en las ecuaciones diferenciales de
orden superior, sus soluciones tienen una estructura especial predecible y siempre
pueden ser exactas
Pasos para la solución de una ecuación lineal de primer orden:
• 1.-Se convierte a la forma Estándar de una ecuación lineal
• 2.-Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante
• 3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor integrante
• 4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida
Que es factor integrante?
El factor integrante es una función de una ecuación diferencial dada, al cual se lo
utiliza para hallar una solución exacta de una ecuación diferencial lineal y está
dado por la fórmula:
Donde a P(x) se la obtiene de la forma estándar de una ecuación lineal.
(.Zill, 2009)
)()( xfyxP
dx
dy

 dxxP
e
)(
)(
)()(
xfeye
dx
d dxxPdxxP 


 
 dxxP
e
)(

5. Proceso de resolución de ejercicios
❶ Esta ecuación se resuelve, aplicando el Método de Ecuaciones Diferenciales
Lineales
(8x + 3y)dx + x dy = 0
❷ Forma de la Ecuaciones Diferenciales Lineales
y' + P(x)y = Q(x)
❸ Reacomodamos la ecuación, para dejarla en la forma de EDL
(8x + 3y)dx + x dy = 0
x dy + (8x + 3y)dx = 0
x dy + 3y dx = - 8x dx
dy + (3y dx)/x = - (8x dx)/x
. . . . .3 y dx
dy + ------------ = - 8 dx
. . . . . . x
❹ Buscamos el Factor Integrante
FI = e^∫P(x) dx
FI = e^∫ (3/x) dx
FI = e^(3 Ln [x] )
FI = x³

6. ❺ Aplicamos la siguiente Formula
∫ d [ FI * y] = ∫ FI * Q(x) dx
∫ d [x³ * y] = ∫ x³ * ( - 8) dx
x³ * y = - 8 ∫ x³ dx
x⁻³ * y = - (8/4) x⁴ + C
x³ * y = - 2x⁴ + C
❻ Despejamos [y]
2 x⁴ C
y = - ----------- + -----------
x³ x³
y = - 2x + Cx⁻³
Este es el Resultado
EJEMPLO 2
Solución de una Ecuación Diferencial Lineal
En tonces el factor integrante es;
y = - 2x + Cx⁻³
x
xP
exy
xdx
dy
exy
dx
dy
x
x
x
4
)(
4
4
5
6



 dxxP
e
)(

7. Resultados
Conclusiones
 Aprendimoscuando unaecuación diferencialordinariade
primer orden es lineal
 Conocimoslos pasospara la resolución de ejercicios en
ecuaciones lineales
 Obtuvimos la solución general de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden lineales
Recomendaciones
 Saber diferenciar el método de resolución de una
ecuación diferencial
 Repasar el procedimiento para poder realizar ejercicios
de este tema
 Revisar información en diferentes fuentes para el mejor
desenvolvimiento del tema
4ln||ln4/4 4

 
xeee xxxdx
 
cexeyx
xeyx
dx
d
xeyx
dx
dy
x
xx
x
x






4
4
54
4

8. Bibliografía
Bibliografía
 .Zill,D.G. (2009). Ecuacionesdiferenciales.
 Cabrera,R. (2009). espol,edu.Obtenidode
http://www.dspace.espol.edu.ec/retrieve/1495/ecuaciones_diferenciales_
 Wikipedia enciclopedia libre. (4 de 05 de 2013). Obtenidode
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal