ECUACIONES DIFERENCIALES

1. 1
Ecuaciones Diferenciales
Profr. Tomás N. Ocampo Paz
Temario:
Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.1 Teoría preliminar
1.1.1 Definiciones
1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
1.1.3 Problema de valor inicial
1.1.4 Teorema de existencia y unicidad
1.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables y reducibles a separables
1.3 Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante
1.4 Ecuaciones diferenciales lineales
1.5 Ecuación diferencial de Bernoulli
1.6 Aplicaciones
Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
2.1 Teoría preliminar
2.1.1 Definiciones
2.1.2 Problema de valor inicial
2.1.3 Teorema de existencia y unicidad
2.1.4 Ecuaciones diferenciales homogéneas
2.1.4.1 Principio de superposición
2.1.5 Independencia lineal
2.1.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
2.1.6.1 Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una
de primer orden
2.2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
2.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
2.3.1 Método por coeficientes indeterminados
2.3.2 Método de variación de parámetros
2.4 Aplicaciones
Unidad 3 Transformada de Laplace
3.1 Teoría preliminar
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace
3.1.3 Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
3.2 Transformada directa
3.2.1 Transformada de funciones básicas
3.2.2 Primer teorema de traslación
3.2.4 Transformada de funciones multiplicadas por tn
3.2.5 Transformada de derivadas

2. 2
3.2.6 Transformada de funciones divididas por t
3.3 Transformada inversa
3.3.1 Transformada inversa por fórmulas
3.3.2 Métodos para hallar transformadas inversas
3.3.2.1 Por fracciones parciales
3.3.2.2 Por el desarrollo de Heaviside
3.3.3.3 Por el teorema de convolución
3.4 Transformada de integrales
3.5 Solución de ecuaciones por medio de la transformada de Laplace
3.6 Transformada de funciones especiales
3.6.1 Función definida por tramos
3.6.2 Función periódica
3.6.3 Función delta de Dirac
3.6.4 Función escalón unitario
3.7 Solución de ecuaciones diferenciales que contienen funciones especiales
Unidad 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
4.1 Teoría preliminar
4.1.1 Definiciones
4.2 Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
4.2.1 Método de los operadores
4.2.2 Utilizando transformada de Laplace
4.3 Aplicaciones
Unidad 5. Series de Fourier
5.1 Funciones y conjuntos ortogonales
5.2 Convergencia de una serie de Fourier
5.3 Coeficientes de Fourier
5.4 Serie de Fourier de funciones de intervalo completo
5.5 Serie de Fourier de funciones pares e impares
5.6 Serie de Fourier de funciones de medio intervalo
5.7 Forma compleja de la serie de Fourier
Bibliografía
1. Zill, Dennis & Cullen, Michael (2009). Ecuaciones Diferenciales. Séptima Edición
Editorial Cengage Learning
2. Edwards, Henry & Penney, David (2009) Ecuaciones Diferenciales. Cuarta Edición
Editorial Prentice Hall
3. Raiville, Earl, Bedient, Phillip & Bedient, Richard (1997). Ecuaciones Diferenciales.
Octava Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana

3. 3
“Las Matemáticas son el alfabeto con
el cual Dios ha escrito el Universo”
Galileo Galilei (1564-1642)
Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Desde hace mucho tiempo, las matemáticas han ejercido una fascinación especial a la
mente humana. Casi toda persona que se enfrenta a ella toma partido, a favor o en contra: a
favor por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitución; en contra, por
quizás sentirse ante una fuerza superior a sus propias fuerzas. Para las personas que piensan
que las matemáticas no son para ellas, deben saber que el cerebro humano trabaja como una
estructura matemática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas,
compara, infiere, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces, usando leyes
lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia.
1.1 Teoría preliminar
Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra puede ser
suficiente para resolver problemas estáticos, pero muchos fenómenos naturales, sociales o
económicos importantes o interesantes involucran cambios descritos por ecuaciones
diferenciales ya que relacionan cantidades que cambian.
En las ciencias y en la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para comprender
mejor los fenómenos físicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que
contiene derivadas de una función incógnita. Esta ecuación es una ecuación diferencial.
Siempre que un modelo matemático implique la razón de cambio de una variable con
respecto de otra, es probable que dé origen a una ecuación diferencial. Las ecuaciones
diferenciales surgen en una gran gama de áreas, no solo en ciencias físicas, sino también en
campos tan diversos como la economía, la medicina, la psicología y la investigación de
operaciones.
1.1.1 Definiciones (ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de una variable
dependiente con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos
a) xyx
dx
dy
2 b)   xyy  2
2
c) 03)( 233
 dyxydxyx d) 02  yyy
e) x
xeyy 3
23 
 f) xyy 2tan48 
g) 022
 yyxyx h) 22
632 
 xyyxyx
i) x
exy
y
u
34 


j)
x
u
t
u





17.02
2
Obsérvese que todas las ecuaciones anteriores contienen, al menos una derivada. Las
ecuaciones diferenciales se clasifican considerando varios aspectos. Por el tipo de derivada
que contiene una ecuación, es ordinaria o parcial; las ecuaciones de los incisos h y j son
ecuaciones diferenciales parciales y las restantes son ordinarias. En el curso de Ecuaciones

4. 4
Diferenciales solo se estudian las ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de una
ecuación diferencial lo determina la mayor derivada que hay en la ecuación; las ecuaciones
de los incisos a, b, c y el inciso i son de primer orden. Las ecuaciones de los incisos d, e, g,
h y j son de segundo orden y la ecuación del inciso f es de tercer orden. El grado de una
ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden,
siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial; la ecuación del
inciso b es de segundo grado. Una ecuación diferencial es lineal si todos los términos que
contienen a la variable dependiente y sus derivadas son de primer grado con respecto a
ellas; solo las ecuaciones de los incisos b y c no son lineales. En el caso de la ecuación del
inciso c al reescribirse 03 233

dx
dy
xyyx o 03)( 233
 xy
dy
dx
yx se aprecia que el
tercer término de la primera ecuación es de tercer grado con respecto a la variable
dependiente y su derivada (se suman los exponentes en un producto) y también es de tercer
grado el primer término de la segunda ecuación.
1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
La solución de una ecuación diferencial puede ser una función explícita o implícita, general
o particular. La solución general de una ecuación diferencial ordinaria define una familia de
curvas y la solución particular, una curva de dicha familia. Por ejemplo, la solución general
de la ecuación diferencial de primer orden
xy
xy
dx
dy
2
22

 es cxyx  22
La constante c
se llama parámetro. Esta solución general define al conjunto de circunferencias que pasan
por el origen y su centro está en el eje x como se muestra en la siguiente figura
La solución particular xyx 222
 se obtiene cuando 1x y 1y . Sólo hay una curva
de la familia que pasa por el punto con coordenadas )1,1( .
Una función es solución de una ecuación diferencial si satisface dicha ecuación.

5. 5
Ejemplo 1 Comprobar que la función explícita xx
ececy 3
2
2
1

 es la solución general
de la ecuación diferencial de segundo orden 065  yyy .
Ejemplo 2 Verificar que la función explícita )1ln( xx
eey  es una solución particular
de la ecuación diferencial
 2
2
1
2
x
x
e
e
yyy

 .
Ejemplo 3 Comprobar que la función implícita )32(2
yxcyx  es la solución general de
la ecuación diferencial de primer orden 0)3( 2
 yxyyx
Ejemplo 4 Verificar que la función implícita xy
exycx /3
)(  es solución de la ecuación
diferencial   022 22
 xydydxyxyx
Con estos ejemplos se puede notar que hay varias formas de comprobar que una función es
solución de una ecuación diferencial, dependiendo el tipo de función. Estas compro-
baciones requieren de un buen dominio de álgebra y cálculo diferencial.

6. 6
1.1.3 Problema de valor inicial
Una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial se llama problema de valor inicial.
Por ejemplo 0)( 222
 dyyxyxdxy ; si 1)0( y . En este problema de valor inicial se
busca una solución de la ecuación que tenga el valor 1y cuando 0x . Generalmente la
variable independiente representa el tiempo y su valor es cero, a eso debe el nombre de
valor inicial, pero podría ser otro valor.
1.1.4 Teorema de existencia y unicidad
Existen ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que no pueden resolverse
fácilmente, por ello, es conveniente saber cuándo hay soluciones. Dado que una ecuación
diferencial tiene muchas soluciones, habrá sólo una que satisfaga la condición inicial dada.
El teorema de existencia y unicidad garantiza que hay una solución y es única, de una
ecuación diferencial escrita de la forma ),( yxf
dx
dy
 si se cumple que las funciones
),( yxf y
y
f


son continuas de ),( yx en y alrededor del punto ),( 00 yx . Por ejemplo, sea
el problema de valor inicial 0)( 222
 dyyxyxdxy ; si 1)0( y .
Reescribiendo la ecuación diferencial, se tiene 22
2
yxyx
y
dx
dy

 y se observa que
22
2
),(
yxyx
y
yxf

 y 222
)(
)2(
yxyx
yxxy
y
f





son funciones continuas si 0x y
1y . Por lo tanto, la ecuación diferencial tiene solución y esa solución es única si
1)0( y .
1.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables y reducibles
En este tema se estudiarán ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Matemáticamente, cuando se calcula la primera derivada de una función escrita en forma
explícita o implícita se obtiene una ecuación diferencial. Si se trata de obtener, dada una
ecuación diferencial, la función que la determinó, entonces hay que resolver dicha ecuación
y de algún modo habrá que integrar para hallar la función. Claro que esto no resulta tan
simple, porque la ecuación frecuentemente no tiene la derivada sin cambios en su
presentación, para ello se tienen los siguientes casos.

7. 7
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es separable o de variables separables
si está escrita o puede escribirse en la forma 0)()(  dyygdxxf . Si se integra, se obtiene
la solución general cdyygdxxf 
 )()( donde la constante de integración c corres-
ponde al parámetro.
Ejemplos de ecuaciones separables son: 03  y
dx
dy
x ,   0)2(422
 dyxdxxyxy
dyyxyxdxxxy )1()( 2222
 y 0cossecsentan 33
 ydyxydxx .
Para resolver una ecuación de variables separables, es necesario separar variables, integrar
y simplificar. La simplificación puede requerir eliminar fracciones y logaritmos al aplicar
las inversas correspondientes. En los siguientes ejemplos se muestran tales simplifica-
ciones.
Ejemplo 1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial 03  y
dx
dy
x
Ejemplo 2 Resolver el problema de valor inicial 0)2(4)2( 2
 dyxdxxyxy , si
1)0( y . El planteamiento de este problema, también puede enunciarse como “resolver la
ecuación diferencial 0)2(4)2( 2
 dyxdxxyxy sujeta a la condición inicial 1)0( y ”
o “hallar la solución particular de la ecuación 0)2(4)2( 2
 dyxdxxyxy cuando
1)0( y “
Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial dyyxyxdxxxy )1()( 2222

Ejemplo 4 Resolver la ecuación diferencial 0cossecsentan 33
 ydyxydxx

8. 8
Ecuaciones reducibles a separables
Consideremos dos casos.
Primer caso: Si una ecuación diferencial de primer orden contiene una expresión de la
forma cbyax  dónde a y 0b se reduce a separable por medio de la sustitución
cbyaxu  . Por ejemplo, las ecuaciones )2cos(  yxy , 3 yx
dx
dy
y
0)322()4(  dyyxdxyx .
Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial )3(sen  xyy
Ejemplo 2 Resolver la ecuación diferencial 2 yx
dx
dy
Ejemplo 3 Hallar la solución general de la ecuación 0)322()4(  dyyxdxyx

9. 9
Segundo caso: Homogéneas
Una función en dos variables ),( yxf es homogénea de grado n en sus argumentos si se
cumple la identidad ),(),( yxfttytxf n
 . Por ejemplo, la función xyyxyxf  22
),(
es una función homogénea de segundo grado, porque  ))(()()(),( 22
tytxtytxtytxf
 )( 222
xyyxt ),(2
yxft .
Una ecuación diferencial de la forma ),( yxf
dx
dy
 se llama homogénea si ),( yxf es una
función homogénea de grado cero en sus argumentos. La ecuación diferencial homogénea
se puede escribir de la forma 






x
y
dx
dy
 . Al hacer el cambio de variable
x
y
u  , la
ecuación anterior se reduce a una ecuación de variables separables. Para resolver
ecuaciones homogéneas, no es necesario escribirlas en la forma anterior, puede hacerse
inmediatamente la sustitución uxy  ó vyx  . Algunas ecuaciones homogéneas son:
0)(  xdydxyx , 0)( 22
 dyyxxydx ,
yx
xy
dx
dy



2
2
y yx
eydxxdyxdyy /22
)(  .
Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial homogénea 0)(  xdydxyx
Ejemplo 2 Hallar la solución general de la ecuación homogénea 0)( 22
 dyyxxydx
Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial
yx
xy
dx
dy



2
2
Ejemplo 4 Resolver la ecuación diferencial yx
eydxxdyxdyy /2
)( 

10. 10
1.3 Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante
Ecuaciones exactas
Si ),( yxfz  y sus primeras derivadas parciales existen, entonces dyfdxfdz yx  .
Por ejemplo, si 32
4 yxz  entonces dyyxdxxydz 223
128  .
Una ecuación diferencial de la forma 0),(),(  dyyxNdxyxM . . . . (1), es exacta si
dyyxNdxyxM ),(),(  es el diferencial total de alguna función ),( yxfz  . Por la
propiedad transitiva de la igualdad, se tiene dyyxNdxyxMdyfdxf yx ),(),(  , por
lo que ),( yxMfx  . . .(2) y ),( yxNfy  .
La ecuación diferencial de la forma 0),(),(  dyyxNdxyxM , es exacta si
x
N
y
M





Demostración
Si se obtiene la derivada parcial de (2) con respecto a y , entonces
][][)],([ yx f
x
f
y
yxM
y 







Al sustituir ),( yxN por su igual, se obtiene
)],([][)],([ yxN
x
f
x
yxM
y
y








Por lo tanto una ecuación diferencial es exacta si
x
N
y
M





.

Para resolver una ecuación exacta, es necesario hallar la función ),( yxf de la cual la
ecuación diferencial es su diferencial total. Un procedimiento para hallar dicha función es:
i) Buscar una función
  )(),(),( ygdxyxMyxf
ii) Al calcular
y
yxf

 ),(
e igualar con ),( yxN , se tiene

11. 11
 





)(),(),(
),(
ygdxyxM
y
yxN
y
yxf
iii) Por ser una ecuación exacta, sólo debe quedar una función que depende de y , entonces
se integra con respecto a y para obtener )(yg . Por lo tanto, la solución general de la
ecuación es
cyxf ),( .
Ejemplo 1 Verificar si la ecuación 0)2()sec2( 22
 dyyxdxxxy es exacta y
resolverla si lo es
Ejemplo 2 Comprobar si la ecuación 0)cos2cos()sen2sen(  dyxyedxxyye xx
es
exacta y resolverla si lo es
Ejemplo 3 Verificar que la ecuación 0)cos()]cos()(sen[ 2
 dyxyxdxxyxyxy es exacta
y resolverla si lo es

12. 12
Factor integrante
Si la ecuación diferencial 0),(),(  dyyxNdxyxM no es exacta, entonces
x
N
y
M





Si tal ecuación no es exacta pero se cumple que
),(
),(),(
yxN
yxNyxM xy 
es una expresión que
depende sólo de x , entonces existe un factor



dx
N
NM yx
ex)( , llamado factor integrante,
que al multiplicar la ecuación la reduce a exacta.
Demostración
Si multiplicamos la ecuación 0),(),(  dyyxNdxyxM por )(x , tenemos
0),()(),()(  dyyxNxdxyxMx 
Si el factor )(x la reduce a exacta, debe cumplirse que
   ),()(),()( yxNx
x
yxMx
y






Al desarrollar, se obtiene
),()(),()(),()( yxNxyxNxyxMx xy  
Al agrupar, se llega a
  ),()(),(),()( yxNxyxNyxMx xy  
Es una ecuación separable, entonces
),(
),(),(
)(
)(
yxN
yxNyxM
x
x xy 




E integrar, queda
dx
yxN
yxNyxM
x
xy



),(
),(),(
)](ln[
Al aplicar la inversa de logaritmo y omitiendo ),( yx , se obtiene el factor integrante



dx
N
NM yx
ex)( .


13. 13
De manera análoga, puede obtenerse el factor integrante dependiente de y que también
reduce la ecuación a exacta, dicho factor es



dy
M
MN xy
ey)( .
Ejemplo 1 Hallar el factor integrante para la ecuación 0cos)sen3( 43
 ydyxdxyxx
que la reduce a exacta y obtener su solución
Ejemplo 2 Resolver la ecuación diferencial 0)34(2 2
 dyxyxydx reduciéndola
primero a exacta
Ejemplo 3 Obtener el factor integrante que reduce a exacta la ecuación diferencial
0cossen)2(  ydyxydxx y hallar su solución general

14. 14
1.4 Ecuaciones diferenciales lineales
Toda ecuación lineal de primer orden se escribe en la forma )1()()(  xQyxP
dx
dy
.
Si 0)( xQ , la ecuación es separable.
Toda ecuación lineal, escrita en la forma (1), puede reducirse a exacta multiplicándola por
el factor integrante 
dxxp
ex
)(
)( .
Demostración
Se multiplica la ecuación (1) por 
dxxp
ex
)(
)(




 )()()( xQyxP
dx
dy
x
Al ordenar en la forma 0),(),(  dyyxNdxyxM , se tiene
  0)()()()(  dyxdxxQyxPx 
Si la ecuación es exacta, debe cumplirse que
  )()()()()( x
y
xQxyxPx
y






Al derivar, se obtiene
)()()( xxpx   .
Queda una ecuación separable, así que
)(
)(
)(
xp
x
x




.
La integración miembro a miembro, nos da
 dxxpx )()](ln[ .
Finalmente, al aplicar la inversa del logaritmo natural, se halla el factor integrante

dxxp
ex
)(
)( .


15. 15
Si se multiplica la ecuación (1) por el factor integrante obtenido, resulta
 
dxxpdxxpdxxp
exQyexP
dx
dy
e
)()()(
)()(
El primer miembro de la ecuación es igual a la derivada con respecto a x del producto
entre el factor integrante y la variable independiente y , por tal razón puede reemplazarse y
quedar
 



 
dxxpdxxp
exQye
dx
d )()(
)(
Al integrar con respecto a x se elimina la derivada, entonces se tiene
  cdxexQye
dxxpdxxp )()(
)(
Si se despeja y
 
 dxxpdxxpdxxp
cedxexQey
)()()(
)(
Nos da la solución de la ecuación, siendo un procedimiento más conveniente que reducir la
ecuación a exacta.
Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial lineal xyxy 4
Ejemplo 2 Hallar la solución de la ecuación 0)tansen2()cos1(  dxxxydyx
Ejemplo 3 Resolver el problema de valor inicial ;0)22(  
dxeyxyxdy x
si
0)1( y

16. 16
1.5 Ecuación diferencial de Bernoulli
Es una ecuación de la forma (1))()(  n
yxQyxP
dx
dy
con .1,0n Si 0n la
ecuación diferencial es lineal. Si 1n la ecuación es separable.
Una ecuación de Bernoulli se reduce a lineal por medio de la sustitución n
yu 
 1
Demostración
Si multiplicamos la ecuación (1) por n
yn 
 )1( , se obtiene
)()1()()1()1( 1
xQnyxPn
dx
dy
yn nn
 
Pero
dx
dy
yny
dx
d nn 
 )1(][ 1
Al sustituir en la ecuación anterior, se tiene
)()1()()1(][ 11
xQnyxpny
dx
d nn
 
Esta presentación sugiere el cambio de variable n
yu 
 1
que reduce la ecuación de
Bernoulli a una ecuación lineal.

Ejemplo 1 Resolver la ecuación de Bernoulli 26
3
ln2
yx
x
y
xdx
dy

Ejemplo 2 Hallar la solución general de la ecuación 06)1(2 3
 dxydxxyxdy
Ejemplo 3 Hallar la solución particular de la ecuación 0)()1( 232
 yxxxy
dx
dy
x ; si
1)0( y

17. 17
1.6 Aplicaciones
Dos curvas son ortogonales en un punto si sus restas tangentes so perpendiculares en dicho
punto. Si todas las curvas de una familia cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra,
entonces las familias de curvas son ortogonales entre sí. Cuando esto sucede, se dice que
cada familia de curvas son las trayectorias ortogonales de la otra.
Problema Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas determinada por la
función implícita xcyx 1
22
2
Las trayectorias ortogonales son de interés en la geometría de curvas planas y en algunos
temas de matemáticas aplicadas. Por ejemplo, si una corriente eléctrica fluye por una
lámina plana de material conductor, las curvas equipotenciales son las trayectorias
ortogonales de las líneas de flujo.
El problema de valor inicial kM
dt
dM
 , si 00 )( MtM  donde k es una constante de
proporcionalidad, sirve como modelo para distintos fenómenos de crecimiento o decai-
miento.
Por ejemplo, el crecimiento de población bajo ciertas condiciones y la desintegración
radiactiva. En el caso de la desintegración radiactiva, se ha determinado la vida media de
algunas sustancias radiactivas, esto es, el tiempo en que tarda en desintegrarse la mitad de
la cantidad inicial de la sustancia. El químico inglés William Libby inventó en 1950 un
método que utiliza carbono radiactivo para calcular la edad aproximada de un fósil. El
modelo matemático es kA
dt
dA
 .
Problema En la Zona Arqueológica de Teotenango, México, se encontraron restos
humanos conteniendo 85 % de 14
C . La vida media del 14
C es de aproximadamente 5700
años. Calcular la antigüedad de los restos
Problema Cuando se produce determinado alimento, se estima en 0N el número de
organismos de cierto tipo en el alimento. Después de 25 días el número 0N aumenta a
010N . Sin embargo, el número 05N es considerado como el límite saludable. ¿A los
cuántos días de elaborado el alimento es su caducidad?

18. 18
La ley del enfriamiento de Newton afirma que la rapidez con que un objeto se enfría es
directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo
rodea. El modelo matemático es )( TmTk
dt
dT
 , donde T representa la temperatura y
Tm la temperatura ambiente.
Problema Un cadáver se halla a las doce de la noche y se observa que tiene una tempera-
tura de 82°F. Una hora después su temperatura es de 76 °F. La temperatura de la habita-
ción se mantuvo constante a 70 °F. Suponiendo que cuando estaba vivo su temperatura era
de 98.6°F. Estimar la hora de su muerte
En un problema de mezclas químicas, si una cantidad )(tx varía con el tiempo, como
algún contaminante en el agua. Si se agrega contaminante con agua y, al mismo tiempo se
quita, entonces el modelo matemático es

dt
dx
tasa de flujo de entrada de x - tasa de flujo de salida de x .
Problema Se tiene un tanque lleno con 100m3
de agua. El agua contiene cloro con una
concentración de 6.0 g/m3
. Se bombea agua al tanque con una concentración de 15.0 g/m3
,
a una tasa de 5m3
/s. El agua fluye a otro tanque a una tasa de 5m3
/s. Calcular en qué
momento la concentración será de 4.0 g/m3

19. 19
Problemas Propuestos
I Comprobar que la función dada es solución de la correspondiente ecuación
diferencial
1. x
xey 3
 ; de 096  yyy
2. xx
ececy 2
21  
; de 02  yyy
3. x
exy 
 2
6 ; de x
eyyy 
 122
4. xxy coslncos ; de xyy sec
5. xx
eey 
 1ln , de 2
)1(
1
2

 x
e
yyy
6. cxyx  3cos3 2
; de 2
3sen2
x
x
y
xdx
dy

7. 23
cyx  ; de xdyydx 23 
8. 2
)2(  xcyex
; de 0)2()4(  dyxdxxy
9. yx
ceyxy /3
)(  ; de 2
)2( yx
xy
dx
dy


II Resolver las ecuaciones separables
10. dxyxydy )1(2 2

11. 02sec)2(2sen 22
 ydyeydxe xx
12. 0)( 22
 xyxyxyy
13. 1)1( 
ye y
14. 14 2
 yyxy ; Si 1)2( y
15. dyyxyxdxxxy )22()( 2222

III Resolver las ecuaciones reducibles a separables que contienen una expresión de la
forma cbyax 
16. )7(sen  yxy
17. 4)( 2
 yyx
18. 0)323()123(  dyyxdxyx

20. 20
IV Resolver las ecuaciones homogéneas utilizando el cambio de variable más
conveniente
19.
yx
yx
y



20. 0)4()4( 3443
 dyxyxdxyyx
21. 0)2( 332
 dyxyydxx
22. 0)3(2 22
 dyxyxydx
23. 0)2()2( 2323
 dyyxydxxyx
24. 0])[/(cos2
 xdyydxxyxdx
V Verificar si las ecuaciones son exactas y resolverlas si lo son
25. 0)()( 2332
 dyyxydxxxy
26. 0)coscos()sensen( 11
 
dyyxyxdxxxyy
27. 0)sen()12cos2( 222
 dyxxdxxyxxy
28. 0)cos()]cos()(sen[ 2
 dyxyxdxxyxyxy
VI Hallar el factor integrante que reduce las ecuaciones a exactas y resolverlas
29. dyyxxdxyx )()1( 22

30. 0cos)sensen(  ydydxyxx
31. 0)73()23( 223
 dyxydxxyy
32. 0)23()1(  dyyxxdxyxy
VII Resolver las ecuaciones lineales
33. 2
52 xy
dx
dy
x 
34. xxyy 2cos2cot2 
35. xxyyx ln4

36. xxyy sensen  ; si 1)0( y (También resolver por separación de variables)
37. 0])1(2[)1( 3
 dxxydyx
38. 0)1()12( 2
 dyxdxxy
39. 3
23 xyyx 
40. 3
2 xxyy 

21. 21
41. xxxxy
dx
dy
x sencoscossen 
42. 36  yyx (también resolver separando variables)
VIII Resolver las ecuaciones de Bernoulli
43. 23
23 yxyyx 
44. 42
yxyyx 
45. xyxxx
dx
dy
xy coscossensen2 2

46. 3/2
36 xyyyx 
47. 1)2( 52
 yyxxy
IX Resolver los siguientes problemas
48. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses definida por 222
3 cyx 
49. Si la temperatura ambiente en una habitación es de 20°C y un cuerpo se enfría en 20
minutos desde 100°C a 60 °C, ¿dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta
40°C?
50. Hallar una curva que pase por el punto )2,0( P , de manera que la pendiente de la
tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en tres
unidades
51. Un depósito contiene 300 L de agua con una concentración de sal de 2.0 gr/L. Agua
conteniendo una concentración de sal de 4.0 gr/L ingresa al depósito a una tasa de 2 L/seg.
Una válvula abierta permite que salga el agua a la misma tasa
a) Determinar la cantidad y la concentración de sal del depósito como una función del
tiempo
b) ¿Cuánto tiempo tomará que la concentración de sal aumente a 4.0 gr/L?
52. Después de hallar un fósil, un arqueólogo determina que la cantidad de 14
C presente en
el fósil es 25% de su cantidad original. ¿Cuál es la edad del fósil?

22. 22
Solución a los problemas propuestos
Unidad 1
1-9 sí es solución
10. )1( 2
 ycx
11. cye x
 2cot)2( 2
12. cyyxyxy  /ln
13. )1(  yyx
ece
14. 22
)1(2  yx
15. yy
eycx 262 2
)1(1 

16. cyxyxx  )sec()tan(
17. c
yx
y 


2
arctan2
18. )111015ln(2)(5  yxcyx
19. cxxyy  22
2
20. cyxxy  )( 33
21. )( 336
yxcy 
22. 322
)( yyxc 
23. cyyxx  4224
2
24. cxxyxyxx  )/2(sen2ln4
25. cxyxy  22
764
26. cyyxx  323
27. cxyxyyx  )ln(sencos
28. cyyyx  )sen( 22
29. cxyx )cos(
30. cyxxy  2
22
31. cxxexeye xxx
 )cossen()1(2sen2
32. cyxxy  )22(2
33. 2/12
cxxy 
34. xcxy 2csc2sen4 
35. cxxxxy  22
ln39
36. x
ey cos1
21 

37. cxxy  52
)1()1(5
38. cxxxy  22
1ln1
39. 3/2
cxxy 

23. 23
40.
2
12 x
cexy 

41. xcxxy csccot2 
42. cyx  )12(6
43. 3233
)7( ycxyx 
44. 3353
35 cyyxx 
45. cxxxy  sensen2
46. 336
)(27 cxyx 
47. cxxeyye yy

22
)22(2 42
48. 3
cxy 
49. 40minutos
50. 3 x
ey
51. a) 150/
60120)( t
etx 
 gr b) aproximadamente 104 segundos
150/
5
1
5
2
)( t
etc 
 gr/L
52. Aproximadamente 11400años