Óptica - Hecht

´Optica
Eugene Hecht
Alfred Zajac
Cap´ıtulos seleccionados del libro original por
Juan Manuel Enrique Mu˜nido
26 de abril de 2002
Formateado con LATEX 2ε
en Debian GNU/Linux 3.0

Versi´on Preliminar
2 Juan Manuel Enrique Mu˜nido

Índice general
1. Movimiento Ondulatorio 5
1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Ondas Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Representación Compleja de las Ondas Unidimensionales 12
1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Ecuación Diferencial de Onda Tridimensional . . . . . . . . . . . 17
1.6. Ondas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Teor´ıa Electromagnética, Fotones y Luz 25
2.1. Leyes Básicas de la Teor´ıa Electromagnética . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Ley de Inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Ley de Gauss Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3. Ley de Gauss Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Ondas Electromagnéticas en Medios No Conductores . . . . . . . 35
2.3.1. Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Propagación de la Luz a través de un Medio Dieléctrico . 41
2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Tratamiento Electromganético de la Propagación de la Luz 47
3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1. Deducción de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . . . 50
3.1.2. Interpretación de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . 53
4. Superposición de Ondas 59
4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1. El Método Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2. El Método Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 68
3

ÍNDICE GENERAL
4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Interferencias 73
5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3. Interferómetros de División de Frente de Onda . . . . . . . . . . 79
5.4. Pel´ıculas Dieléctricas. Interferencia de dos Haces . . . . . . . . . 83
5.4.1. Franjas de Igual Inclinación . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6. Difracción 89
6.1. Difracción de Fraunhofer por una Rendija . . . . . . . . . . . . . 90

CAPÍTULO 1
Movimiento Ondulatorio
Índice General
1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Ondas Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Representación Compleja de las Ondas Unidimen-
sionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Ecuación Diferencial de Onda Tridimensional . . . 17
1.6. Ondas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . 23
5

CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SECCIÓN 1.1
Ondas Unidimensionales
Sea una perturbación ψ que viaja en la dirección positiva de x con una
velocidad constante v. La naturaleza espec´ıfica de la perturbación no es por
el momento importante. Podr´ıa ser el desplazamiento vertical de una cuerda,
o de la magnitud de un campo eléctrico o magnético asociado con una onda
electromagnética, o aun la amplitud de la probabilidad cuántica de una onda de
materia.
Como la perturbación está en movimiento, debe ser una función tanto de la
posición como del tiempo y se puede, por consiguiente, escribir como:
ψ = f(x, t) (1.1)
La forma de la perturbación en cualquier instante se puede encontrar man-
teniendo el tiempo constante en un determinado valor, por ejemplo t = 0. En
este caso:
ψ(x, t)t=0 = f(x, 0) = f(x) (1.2)
la función ψ(x, t) representa la forma o perfil de la onda en un momento dado.
El proceso es análogo a tomar una “fotograf´ıa” del pulso que va viajando. Por
el momento el estudio se limitará a una onda que no cambia su forma mientras
avanza a través del espacio. Tras un tiempo t desde la producción del pulso
de la onda, éste recorre una distancia vt a lo largo del eje x de un sistema
de coordenadas S, pero en todos los aspectos permanece inalterado. Si ahora
se introduce un sistema de coordenadas S que viaja junto con el pulso a la
velocidad v, en este sistema ψ ya no es una función del tiempo, y puesto que se
mueve junto con S se ve un perfil constante estacionario con la misma forma
funcional de la ecuación (1.2). Aqu´ı, el eje coordenado es x en lugar de x, de
tal forma que:
ψ = f(x ) (1.3)
La perturbación se ve igual para cualquier valor de t en S como lo era en S
para t = 0 cuando S y S ten´ıan un origen común. Se deduce que:
x = x − vt (1.4)
de tal forma que ψ se puede escribir en términos de las variables asociadas con
el sistema S como:
ψ(x) = f(x − vt) (1.5)
Entonces esto representa la forma más general de la función de onda unidimen-
sional. De un modo espec´ıfico, sólamente se tiene que escoger la forma (1.2) y
entonces sustituir x − vt por x en f(x). La expresión resultante describe una
onda móvil que tiene el perfil deseado. Si se verifica la forma de la ecuación

1.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES
(1.5) examinando ψ despues de un incremento ∆t de tiempo y un aumento
correspondiente en x de v∆t, se encuentra:
f[(x + v∆t) − v(t + ∆t)] = f(x − vt)
y el perfil está inalterado.
Similarmente, si la onda estuviese viajando en la dirección negativa de x, es
decir, hacia la izquierda, la ecuación (1.5) quedar´ıa:
ψ = f(x + vt), con v > 0 (1.6)
Por consiguiente, se puede concluir que, independientemente de la forma de la
perturbación, las variables x y t deben aparecer en la función como una unidad;
es decir, como una variable simple de la forma x vt. La ecuación (1.5) se
expresa a menudo equivalentemente como una función de t − x/v ya que:
f(x − vt) = F −
x − vt
v
= F(t − x/v) (1.7)
Se desea usar la información deducida hasta aqu´ı para desarrollar la forma
general de la ecuación diferencial de onda unidimensional. Con ese propósito, se
toma la derivada parcial de ψ(x, t) con respecto a x manteniendo t constante.
Usando x = x vt se tiene:
∂ψ
∂x
=
∂f
∂x
∂x
∂x
=
∂f
∂x
ya que
∂x
∂x
= 1 (1.8)
Si se mantiene x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es:
∂ψ
∂t
=
∂f
∂x
∂x
∂t
= v
∂f
∂x
(1.9)
Combinando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se obtiene:
∂ψ
∂t
= v
∂ψ
∂x
(1.10)
Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con t y con x es igual, excepto por
una constante multiplicativa. Conociendo de antemano que se necesitarán dos
constantes para especificar una onda, se puede anticipar una ecuación de onda
de segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de las ecuaciones
(1.8) y (1.9), se obtiene:
∂2
ψ
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
∂x
∂f
∂x
∂x
∂x
=
∂2
f
∂x 2
y
∂2
ψ
∂t2
=
∂
∂t
v
∂f
∂x
=
∂
∂x
v
∂f
∂x
∂x
∂t
= v2 ∂2
f
∂x 2
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
∂2
ψ
∂x2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.11)
Juan Manuel Enrique Muñido 7

que es la ecuación diferencial de onda en una dimensión. Es claro de la forma de
la ecuación (1.11) que si dos funciones de ondas diferentes ψ1 y ψ2 son cada una
soluciones diferentes, entonces (ψ1 + ψ2) es también una solución. 1
De acuerdo
con esto, la ecuación de onda se satisface de manera más general por una función
de onda que tiene la forma:
ψ = C1f(x − vt) + C2g(x + vt) (1.12)
donde C1 y C2 son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Esto
es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo
largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil.
El principio de superposición es inherente en esta ecuación.
SECCIÓN 1.2
Ondas Armónicas
Hasta ahora no se ha dado una dependencia funcional expl´ıcita a la función
de onda ψ(x, t), es decir, no se ha especificado su forma. La forma de onda
más simple tiene como perfil una curva seno o coseno. Estas se conocen varia-
damente como ondas senoidales, ondas armónicas simples, o más sucintamente
como ondas armónicas. Cualquier forma de onda se puede sintetizar por una
superposición de ondas armónicas y por consiguiente ellas toman un significado
especial.
Se escoge para el perfil la función simple:
ψ(x, t)t=0 = f(x, 0) = f(x) = A sin kx = ψ(x) (1.13)
donde k es una constante positiva conocida como el número de propagación y
kx está expresado en radianes. El seno var´ıa de +1 a −1 de manera que el
máximo valor de ψ(x) es A. Este máximo de la perturbación se conoce como
la amplitud de la onda. A fin de transformar la ecuación (1.13) en una onda
progresiva que viaja con velocidad v en la dirección positiva de x, se necesita
simplemente reemplazar x por x − vt, en cuyo caso:
ψ(x, t) = f(x − vt) = A sin k(x − vt) (1.14)
Esto es claramente una solución de la ecuación diferencial de onda (1.11). Man-
teniendo fijas bien sea x o t resulta una perturbación senoidal de tal forma que
la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. El per´ıodo espa-
cial se conoce como la longitud de la onda y se denota por λ. Un aumento o
disminución en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterado, es decir:
ψ(x, t) = ψ(x ± λ, t) (1.15)
1Ya que ψ1 y ψ2 son soluciones:
∂2ψ1
∂x2
=
1
v2
∂2ψ1
∂t2
y
∂2ψ2
∂x2
=
1
v2
∂2ψ2
∂t2
Sumando éstas, se obtiene:
∂2ψ1
∂x2
+
∂2ψ2
∂x2
=
1
v2
∂2ψ1
∂t2
+
∂2ψ2
∂t2
⇒
∂
∂x2
(ψ1 + ψ2) =
1
v2
∂2
∂t2
(ψ1 + ψ2),
de manera que (ψ1 + ψ2) es también una solución de la ecuación (1.11)

1.2. ONDAS ARMÓNICAS
En el caso de una onda armónica, esto es equivalente a alterar el argumento de
la función seno en ±2π. Por consiguiente:
sin k(x − vt) = sin k[(x ± λ) − vt] = sin[k(x − vt) ± 2π]
y as´ı
|kλ| = 2π
o, ya que k y λ son números positivos
k = 2π/λ (1.16)
En forma completamente análoga, se puede examinar el per´ıodo temporal, τ. Esta
es la cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador
estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el
tiempo el que es de interés, de manera que:
ψ(x, t) = ψ(x, t ± τ) (1.17)
y
sin k(x − vt) = sin k[x − v(t ± τ)] = sin[k(x − vt) ± 2π]
Por consiguiente:
|kvτ| = 2π
Pero todas estas son cantidades positivas y as´ı
kvτ = 2π (1.18)
o
2π
λ
vτ = 2π
de lo cual se sigue que
τ =
λ
v
(1.19)
El per´ıodo es el número de unidades de tiempo por onda, el inverso del cual es
la frecuencia ν o el número de ondas por unidad de tiempo. Entonces:
ν ≡
1
τ
(ciclos/s o Hertz)
y la ecuación (1.19) queda:
v = νλ (m/s) (1.20)
Hay otras dos cantidades que se usan a menudo en la literatura del movimiento
ondulatorio que son la frecuencia angular:
ω ≡
2π
τ
(radianes/s) (1.21)
y el número de onda:
κ ≡
1
λ
(m−1
) (1.22)

La longitud de onda, per´ıodo, frecuencia, frecuencia angular, número de onda
y número de propagación describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una
onda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente bien a
ondas que no son armónicas siempre que cada perfil de onda esté formado por
un patrón regularmente repetitivo. Hasta ahora se han definido un número de
cantidades que caracterizan varios aspectos del movimiento ondulatorio, según
lo cual existe un número equivalente de formulaciones de una onda armónica
progresiva. Algunas de las más comunes de éstas son:
ψ = A sin k(x vt)
ψ = A sin 2π
x
λ
t
τ
(1.23)
ψ = A sin 2π(κx vt) (1.24)
ψ = A sin(kx ωt) (1.25)
ψ = A sin 2πν
x
v
t (1.26)
Debe notarse que todas estas ondas son de extensión infinita, es decir para cual-
quier valor fijo de t, x var´ıa de −∞ a +∞. Cada onda tiene sólo una frecuencia
constante y por consiguiente se dice que es monocromática.
SECCIÓN 1.3
Fase y Velocidad de Fase
Sea la función de onda armónica de la forma:
ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
El argumento completo de la función seno se conoce como la fase ϕ de la onda,
de manera que:
ϕ = (kx − ωt) (1.27)
Para x = 0 y t = 0 se verifica:
ψ(x, t)x=0
t=0
= ψ(0, 0) = 0
el cual es ciertamente un caso especial. Más generalmente se puede escribir.
ψ(x, t) = A sin(kx − ωt + ε) (1.28)
donde ε es la fase inicial o edad del ángulo. Un sentido f´ısico del significado
de ε se puede obtener imaginando que se desea producir una onda armónica
progresiva en una cuerda tensa. A fin de generar ondas armónicas, la mano
que sostiene la cuerda tendr´ıa que moverse de tal forma que su desplazamiento
vertical y fuese proporcional al negativo de su aceleración, es decir, el movimiento
es armónico simple. Pero en x = 0 y t = 0 la mano ciertamente no necesita estar
en el eje x cuando está a punto de moverse hacia abajo. Podr´ıa, por supuesto,
comenzar su movimiento en un balanceo hacia arriba, en cuyo caso ε = π. En
este último caso:
ψ(x, t) = y(x, t) = A sin(kx − ωt + π)

1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE
el cual es equivalente a:
ψ(x, t) = A sin(ωt − kx)
o
ψ(x, t) = A cos ωt − kx −
π
2
La edad del ángulo es entonces justamente la contribución constante a la fase
que se origina en el generador y es independiente de qué tan distante en el
espacio y qué tan lejos en el tiempo ha viajado la onda.
La fase de una perturbación como ψ(x, t) dada por la ecuación (1.28) es:
ϕ(x, t) = kx − ωt + ε (1.29)
y es obviamente una función de x y t. En efecto, la derivada parcial de ϕ con
respecto a t, manteniendo x constante, es la rapidez de cambio de la fase con el
tiempo:
∂ϕ
∂t x
= ω (1.30)
Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendo t
constante, es:
∂ϕ
∂x t
= k (1.31)
Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuación de la teor´ıa de
derivadas parciales, una usada muy frecuentemente en termodinámica, o sea:
∂x
∂t ϕ
=
−(∂ϕ/∂t)x
(∂ϕ/∂x)t
(1.32)
El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto
de fase constante. Escogiendo cualquier punto del perfil de la onda, al moverse
la onda en el espacio, el desplazamiento y del punto permanece constante. Ya
que la única variable en la función de la onda armónica es la fase, ella también
debe ser constante. Esto es, la fase está fija en un valor tal que y permanece
constante correspondiendo al punto seleccionado. El punto se mueve junto con
el perfil con la velocidad v y as´ı también lo hace la condición de fase constante.
Tomando la derivada parcial de ϕ apropiada como se da por el ejemplo en
la ecuación (1.29) y sustituyéndola en la ecuación (1.32) se obtiene:
∂x
∂t ϕ
= ±
ω
k
= ±v (1.33)
Esta es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce comúnmente como
la velocidad de fase. La velocidad de fase lleva un signo positivo cuando la onda
se mueve en la dirección en que aumenta x y negativo en la dirección en que

disminuye x. Esto concuerda con el desarrollo de v como la magnitud de la
velocidad de la onda.
Considérese la idea de la propagación de fase constante y cómo se relaciona
con cualquiera de las ecuaciones de onda armónica, d´ıgase:
ψ = A sin k(x vt)
con
ϕ = k(x − vt) = constante;
cuando t aumenta, x debe aumentar. Aún si x < 0 tal que ϕ < 0, x debe
aumentar, es decir, se hace menos negativa. Aqu´ı, entonces, la condición de fase
constante se mueve en la dirección en que aumenta x. Para:
ϕ = k(x − vt) = constante
cuando t aumenta, x puede ser positiva y decreciente o negativa y haciéndose
más negativa. En cualquier caso, la condición de fase constante se mueve en la
dirección en que disminuye x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Representación
Compleja
de las
Ondas
Unidimen-
sionales
Al desarrollar el análisis de los fenómenos ondulatorios se hará claro que las
funciones seno y coseno que describen las ondas armónicas son poco adecuadas
para la mayor´ıa de los propósitos. Al hacerse más complicadas las expresiones
que se están formulando, las manipulaciones trigonométricas que se requieren
para enfrentarse con ellas se hacen aún menos atractivas. La representación de
ondas con números complejos ofrece una descripción alternativa que es mate-
máticamente más simple de trabajar. En efecto, la forma exponencial compleja
de la ecuación de onda se usa ampliamente en mecánica clásica y cuántica, y
también en óptica.
El número complejo z tiene la forma:
z = x + iy (1.34)
donde i =
√
−1. Las partes real e imaginaria de z son respectivamente x e y
donde ambas, x e y, son números reales. En términos de las coordenadas polares
(r, θ), se tiene:
x = r cos θ
y = r sin θ
La fórmula de Euler: 2
eiθ
= cos θ + i sin θ
permite escribir:
z = reiθ
= r cos θ + ir sin θ,
donde r es la magnitud de z, y θ es el ángulo de fase de z, en radianes. La
magnitud a menudo se denota por |z| y se conoce como el módulo o valor
absoluto del número complejo. El complejo conjugado, indicado por un aster´ısco,
se encuentra reemplazando i donde quiera que aparezca, por −i, tal que:



z∗
= (x + iy)∗
= x − iy
z∗
= r(cos θ − i sin θ)
z∗
= re−iθ
2Si se tiene cualquier duda acerca de esta identidad, se toma la diferencial de z = cos θ +
i sin θ donde r = 1. Esto da dz = izdθ, y una integración da z = eiθ.

1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE
Las operaciones de adición y sustracción son inmediatas:
z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2)
y por consiguiente:
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2)
Obsérvese que este proceso es muy similar a la adición de vectores por compo-
nentes.
La multiplicación y la división se expresan de manera más simple en forma
polar:
z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)
y
z1
z2
=
r1
r2
ei(θ1θ2)
Vale la pena en este punto mencionar un número de hechos útiles, que serán de
valor en los cálculos futuros. Se deduce fácilmente de las fórmulas de adición
trigonométricas ordinarias que:
ez1+z2
= ez1
ez2
donde, por lo tanto, si z1 = x y z2 = iy,
ez
= ex+iy
= ex
eiy
.
El módulo de una cantidad compleja está dado por:
|z| ≡
√
zz∗
tal que:
|ez
| = ex
.
En vista de que cos 2π = 1 y sin 2π = 0,
ei2π
= 1;
similarmente:
eiπ
= e−iπ
= −1 y ei π
2 = i
La función ez
es periódica, es decir, se repite a s´ı misma cada i2π:
ez+i2π
= ez
ei2π
= ez
.
Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte
real Re(z) y una parte imaginaria Im(z):
z = Re(z) + iIm(z)
tal que:
Re(z) =
1
2
(z + z∗
) y Im(z) =
1
2i
(z − z∗
).
De la forma polar donde:
Re(z) = r cos θ y Im(z) = r sin θ,

es claro que cualquier parte se puede escoger para describir una onda armóni-
ca. Se acostumbra, sin embargo, escoger la parte real en cuyo caso una onda
armónica se escribe como:
ψ(x, t) = Re Aei(ωt−kx+ε)
, (1.35)
la cual es, por supuesto, equivalente a:
ψ(x, t) = A cos(ωt − kx + ε).
De aqu´ı en adelante, siempre que sea conveniente se escribirá la función de onda
como:
ψ(x, t) = Aei(ωt−kx+ε)
= Aeiϕ
, (1.36)
y se utilizará esta forma compleja en los cálculos requeridos. Esto se hace a
fin de sacarle partido a la facilidad de manejo de las exponenciales complejas.
Sólo después de llegar a un resultado final, y solamente si se desea representar
la onda verdadera, se necesita tomar la parte real. De acuerdo con esto se ha
hecho muy común escribir ψ(x, t), como la ecuación (1.36), donde se entiende
que la onda real es la parte real.
SECCIÓN 1.4
Ondas Planas
La onda plana es quizá el ejemplo más simple de una onda tridimensional.
Existe en un instante dado, cuando todas las superficies sobre las cuales una
perturbación tiene fase constante forman un conjunto de planos, cada uno ge-
neralmente perpendicular a la dirección de propagación. Hay razones prácticas
para estudiar este tipo de perturbaciones, una de las cuales es que usando sis-
temas ópticos se pueden producir fácilmente luz semejante a ondas planas.
La expresión matemática para un plano perpendicular a un vector dado k
y que pasa a través de algún punto (x0, y0, z0) es bastante fácil de deducir. El
vector de posición, en términos de sus componentes en coordenadas cartesianas,
es:
r ≡ (x, y, z).
Comienza en algún origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) el cual
puede, por el momento, estar en cualquier lugar en el espacio. Poniendo:
(r − r0) · k = 0 (1.37)
se fuerza al vector (r − r0) a barrer un plano perpendicular a k, cuando su punto
extremo (x, y, z) toma todos los valores permitidos. Con:
k ≡ (kx, ky, kz). (1.38)
la ecuación (1.37) se puede expresar en la forma:
kx (x − x0) + ky (y − y0) + kz (z − z0) = 0 (1.39)

1.4. ONDAS PLANAS
o como:
kxx + kyy + kzz = a (1.40)
donde:
a = kxx0 + kyy0 + kzz0 = constante. (1.41)
La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces:
k · r = a = constante (1.42)
El plano es el lugar geométrico de todos los puntos cuya proyección en la direc-
ción k es una constante.
Se puede ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales ψ(r) var´ıa
senoidalmente, es decir:
ψ (r) = A sin k · r (1.43)
ψ (r) = A cos k · r (1.44)
o
ψ (r) = Aeik·r
(1.45)
Para cada una de estas expresiones ψ (r) es constante sobre cada plano definido
por k · r = constante. Como se manejan funciones armónicas, se deben repetir a
s´ı mismas en el espacio de un desplazamiento de λ en la dirección de k. Si no se
ponen l´ımites a r, los planos son de extensión infinita y la perturbación ocupa
claramente todo el espacio.
La naturaleza espacialmente repetitiva de estas funciones se puede expresar
por:
ψ (r) = ψ r +
λk
k
(1.46)
donde k es la mangitud de k y k/k es un vector unitario paralelo a él. En la
forma exponencial, equivale a:
Aeik·r
= Aeik·(r+λk/k) = Aeik·r
eiλk
.
Para que sea cierto, se debe tener:
eiλk
= 1 = ei2π
;
por consiguiente:
λk = 2π

y
k =
2π
λ
.
El vector k, cuya magnitud es el número de propagación k (ya introducido), se
llama el vector propagación.
En cualquier punto fijo en el espacio donde k · r es constante, la fase es
constante y también lo es ψ (r); en resumen, los planos están inmóviles. Para
hacer que las cosas se muevan, ψ (r) debe hacerse variar en el tiempo, algo que
se puede lograr introduciendo la dependencia en el tiempo en una forma análoga
a la de una onda unidimensional. Aqu´ı entonces:
ψ (r, t) = Aei(k·r+ωt) (1.47)
con A, ω y k constantes. A medida que esta perturbación viaja a lo largo de
la dirección k se le puede asignar una fase correspondiente en cada punto en
el espacio y en el tiempo. En cualquier instante, las superficies que unen todos
los puntos de igual fase se conocen como frentes de onda o superficies de onda.
Obsérvese que la función de onda tendrá un valor constante sobre el frente de
onda solamente si la amplitud A tiene un valor fijo en el frente. En general, A
es una función de r y puede no ser constante sobre todo el espacio o ni siquiera
sobre un frente de onda. En el último caso, se dice que la onda es inhomogénea;
pero a efectos prácticos no interesa este tipo de perturbación, a menos que se
consideren haces de luz láser y reflexión total interna.
La velocidad de fase de una onda plana, dada por la ecuación (1.47) es equiva-
lente a la velocidad de propagación del frente de onda. La componente escalar de
r en la dirección de k es rk. La perturbación en un frente de onda es constante,
de manera que después de un tiempo dt, si el frente se mueve a lo largo de k
una distancia drk, se debe tener:
ψ (r, t) = ψ (rk + drk, t + dt) = ψ (rk, t) . (1.48)
En forma exponencial, o sea:
Aei(k·r ωt) = Aei(krk+kdrk ωt ωdt)
= Aei(krk ωt)
;
por consiguiente:
kdrk = ±ωdt
y la magnitud de la velocidad de la onda drk/dt es:
drk
dt
= ±
ω
k
= ±v (1.49)
Se podr´ıa haber anticipado este resultado girando el sistema coordenado de tal
forma que k fuese paralelo al eje x. Para esa orientación:
ψ (r, t) = Aei(kx ωt)
ya que k · r = krk = kx. La onda hab´ıa sido as´ı reducida efectivamente a una
perturbación unidimensional ya discutida anteriormente.

1.5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA TRIDIMENSIONAL
La onda armónica plana a menudo se escribe en coordenadas Cartesianas
como:
ψ(x, y, z, t) = Aei(kxx+kyy+kzz ωt)
(1.50)
o
ψ(x, y, z, t) = Aei[k(αx+βy+γz ωt)] (1.51)
donde α, β y γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes,
la magnitud del vector de propagación está dado por:
k = k = k2
x + k2
y + k2
z (1.52)
y por supuesto:
α2
+ β2
+ γ2
= 1. (1.53)
Se ha examinado ondas planas dando énfasis particular a las ondas armó-
nicas. El significado especial de estas ondas es doble: primero, f´ısicamente, las
ondas senoidales se pueden generar en forma relativamente simple usando al-
guna forma de oscilador armónico; segundo, cualquier onda tridimensional se
puede expresar como una combinación de ondas planas, cada una con distinta
amplitud y dirección de propagación.
Se puede ciertamente imaginar una serie de ondas planas como aquellas
donde la perturbación var´ıa en alguna forma que no es armónica. Las ondas
armónicas planas son, en efecto, un caso especial de una solución más general
de ondas planas.
SECCIÓN 1.5
Ecuación Diferencial de Onda Tridimensional
De todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana (armónica o
no) se mueve a través del espacio con un perfil que no cambia. Entonces es claro
que la idea según la cual una onda es la de propagación de una perturbación
cuyo perfil no se altera, es algo defectuosa. Esta dificultad se puede vencer
definiendo una onda como cualquier solución de la ecuación diferencial de onda.
Obviamente, lo que se necesita ahora es una ecuación de onda tridimensional.
Esta deber´ıa ser bastante fácil de obtener, ya que se puede adivinar su forma
generalizando la expresión unidimensional (1.11). En coordenadas Cartesianas,
las variables de posición x, y y z deben ciertamente aparecer simétricamente 3
en la ecuación tridimensional, un hecho que se debe recordar. La función de onda
ψ(x, y, z, t) dada por la ecuación (1.51) es una solución particular de la ecuación
3No hay distinción caracter´ıstica para ninguno de los ejes en coordenadas Cartesianas. Se
debe por lo tanto se capaz de cambiar lo nombres de, digamos, x a z, y a x y z a y (manteniendo
el sistema derecho sin alterar la ecuación diferencial de onda.

diferencial que se está buscando. En analog´ıa con la deducción de la ecuación
(1.11) se calculan las siguientes derivadas parciales de la ecuación (1.51):
∂2
ψ
∂x2
= −α2
k2
ψ (1.54)
∂2
ψ
∂y2
= −β2
k2
ψ (1.55)
∂2
ψ
∂z2
= −γ2
k2
ψ (1.56)
y
∂2
ψ
∂t2
= −ω2
ψ (1.57)
Sumando las tres derivadas espaciales y utilizando el hecho de que α2
+β2
+γ2
=
1 se obtiene:
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
= −k2
ψ (1.58)
Combinando esto con la derivada respecto del tiempo (1.57) y recordando que
v = ω/k, se llega a:
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.59)
la ecuación diferencial de onda tridimensional. Obsérvese que x, y, y z aparecen
simétricamente y la forma es precisamente la que se esperar´ıa de la generaliza-
ción de la ecuación (1.11).
La ecuación (1.59) se describe generalmente en una forma más concisa in-
troduciendo el operador Laplaciano:
2
≡
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
(1.60)
de donde queda simplemente:
2
ψ =
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.61)
Ahora que se tiene esta ecuación, que es la más importante, obsérvese de nuevo
la onda plana y se vea cómo se adecúa al esquema de cosas. Una función de la
forma:
ψ(x, y, z, t) = Aeik(αx+βy+γz vt)
(1.62)
es equivalente a la ecuación (1.51) y como tal, es una solución de la ecuación
(1.61). Se puede demostrar también que:
ψ(x, y, z, t) = f(αx + βy + γz − vt) (1.63)

1.6. ONDAS ESFÉRICAS
y
ψ(x, y, z, t) = g(αx + βy + γz + vt) (1.64)
son soluciones de ondas planas de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f
y g, que son dos veces diferenciables, son arbitrarias y ciertamente no necesitan
ser armónicas. Una combinación lineal de estas es también una solución y se
puede escribir esto de una manera ligeramente diferente como:
ψ (r, t) = C1f r · k/k − vt + C2g r · k/k + vt (1.65)
donde C1 y C2 son constantes.
Las coordenadas Cartesianas son particularmente adecuadas para describir
ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones f´ısicas, se puede
frecuentemente hacer mejor uso de las simetr´ıas existentes por medio de otras
representaciones coordenadas.
SECCIÓN 1.6
Ondas Esféricas
Imag´ınese una pequeña esfera pulsátil rodeada por un fluido. Al contraerse
y expandirse la fuente, genera variaciones en la presión que se propagan hacia
afuera como ondas esféricas.
Considérese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiación que emana
de ella fluye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Se
dice que la fuente es isotrópica y los frentes de onda resultantes son de nuevo
esferas concéntricas con diámetro creciente cuando se expanden en el espacio que
las rodea. La simetr´ıa obvia de los frentes de onda sugiere que podr´ıa ser más
conveniente describirlos matemáticamente, en términos de coordenadas polares
esféricas. En esta representación el operador Laplaciano es:
2
≡
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂
∂φ
(1.66)
donde r, θ y φ se definen por:
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.
Recordando que se está buscando una descripción de las ondas esféricas, de
ondas que son esféricamente simétricas, es decir, aquellas caracterizadas por el
hecho de que no dependen de θ ni de φ de modo que:
ψ (r) = ψ(r, θ, φ) = ψ(r). (1.67)
Entonces el Laplaciano de ψ(r) es simplemente:
2
ψ(r) =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ψ
∂r
(1.68)

Este resultado se puede obtener sin estar familiarizados con la ecuación (1.66).
Comenzando con la forma cartesiana del Laplaciano (1.60), se opera sobre la
función de onda ψ(r) simétricamente esférica y se convierte cada término a
coordenadas polares. Examinando solamente la dependencia de x, se tiene:
∂ψ
∂x
=
∂ψ
∂r
∂r
∂x
y
∂2
ψ
∂x2
=
∂2
ψ
∂r2
∂r
∂x
2
+
∂ψ
∂r
∂r2
∂x2
ya que:
ψ (r) = ψ(r).
Usando:
x2
+ y2
+ z2
= r2
se tiene:
∂r
∂x
=
x
r
,
∂2
r
∂x2
=
1
r
∂
∂x
(x) + x
∂
∂x
1
r
=
1
r
1 −
x2
r2
y
∂2
ψ
∂x2
=
x2
r2
∂2
ψ
∂r2
+
1
r
1 −
x2
r2
∂ψ
∂r
Ahora, teniendo ∂2
ψ/∂x2
, se forma ∂2
ψ/∂y2
y ∂2
ψ/∂z2
, y sumando se obtiene:
2
ψ(r) =
∂2
ψ
∂r2
+
2
r
∂ψ
∂r
,
la cual es equivalente a la ecuación (1.68). Este resultado se puede expresar en
forma ligeramente diferente:
2
ψ =
1
r
∂2
∂r2
(rψ) (1.69)
La ecuación diferencial de onda (1.61) se puede escribir entonces como:
1
r
∂2
∂r2
(rψ) =
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.70)
Multiplicando ambos lados por r, se obtiene:
∂2
∂r2
(rψ) =
1
v2
∂2
∂t2
(rψ) (1.71)
Obsérvese que esta expresión es precisamente la ecuación diferencial de onda
unidimensional (1.11), donde la variable espacial es r y la función de onda es el
producto (rψ). La solución de la ecuación (1.71) es entonces simplemente:
rψ(r, t) = f(r − vt)
o
ψ(r, t) =
f(r − vt)
r
(1.72)

1.6. ONDAS ESFÉRICAS
Esto representa una onda esférica que progresa radialmente hacia afuera desde el
origen, con una velocidad constante v, y que tiene una forma funcional arbitraria
f. Otra solución está dada por:
ψ(r, t) =
g(r + vt)
r
y en este caso la onda está convergiendo hacia el origen. 4
El hecho de que esta
expresión falla en r = 0 es de poca importancia práctica.
Un caso especial de la solución general:
ψ(r, t) = C1
f(r − vt)
r
+ C2
g(r + vt)
r
. (1.73)
es la onda esférica armónica
ψ(r, t) =
A
r
cos k(r vt) (1.74)
o
ψ(r, t) =
A
r
eik(r vt)
(1.75)
donde la constante A se llama la intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijo
del tiempo, esto representa una agrupación de esferas concéntricas que llenan
todo el espacio. Cada frente de onda, o superficie de fase constante está dado
por:
kr = constante
Obsérvese que la amplitud de cualquier onda esférica es una función de r,
donde el término r−1
sirve como un factor de atenuación. Al contrario que una
onda plana, una onda esférica disminuye en amplitud, con lo cual cambia su
perfil, cuando se expande y se aleja del origen. 5
Un pulso de onda esférica tiene
la misma extensión en el espacio en cualquier punto a lo largo de cualquier radio
r, es decir, el ancho del pulso a lo largo del eje r es una constante. Se podr´ıa
haber considerado una onda armónica, en lugar de un pulso. En este caso, la
perturbación senoidal estar´ıa acotada por las curvas:
ψ =
A
r
y ψ = −
A
r
La onda esférica que viaja hacia afuera emanada de una fuente puntual,
y la onda que viaja hacia adentro convergiendo a un punto, son ciertamente
idealizaciones. En realidad la luz solamente se aproxima a ondas esféricas como
también sólo se aproxima a ondas planas.
Cuando un frente de onda esférica se propaga hacia afuera, su radio aumen-
ta. Suficientemente lejos de la fuente, una pequeña área del frente de onda se
acercará mucho a una porción de una onda plana.
4Otras soluciones más complicadas existen cuando la onda no es esféricamente simétrica.
5El factor de la atenuación es una consecuencia directa de la conservación de energ´ıa.

SECCIÓN 1.7
Ondas Cil´ındricas
Ahora se examinará brevemente otro frente de onda idealizado, el cilindro
circular infinito. Desafortunadamente un tratamiento matemático preciso es de-
masido complicado para hacerlo aqu´ı. Sin embargo se bosquejará el el procedi-
miento, de tal forma que la función de onda resultante no evoque misticismo.
El Laplaciano de ψ en coordenadas cil´ındricas es:
2
ψ =
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
+
1
r2
∂2
ψ
∂θ2
+
∂2
ψ
∂z2
(1.76)
donde:
x = r cos θ, y = r sin θ, y z = z.
El caso sencillo de simetr´ıa cil´ındrica requiere que:
ψ (r) = ψ(r, θ, z) = ψ(r)
La independencia de θ significa que un plano perpendicular al eje z intersectará
el frente de onda en un c´ırculo, el cual puede variar en r, para diferentes valores
de z. Además, la independencia de z restringe el frente de onda a un cilindro
circular centrado en el eje z y que tiene longitud infinita. La ecuación diferencial
de onda es entonces:
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.77)
Se está buscando una expresión para ψ(r), una solución de esta ecuación. Des-
pués de un poco de manipulación en la cual la dependencia del tiempo se separa,
la ecuación (1.77) se convierte en algo que se llama la ecuación de Bessel. Las
soluciones de la ecuación de Bessel para grandes valores de r se aproximan asin-
tóticamente a formas trigonométricas simples. Finalmente, entonces cuando r
es suficientemente grande, se puede escribir:
ψ(r) ≈
A
√
r
eik(r vt)
ψ(r) ≈
A
√
r
cos k(r vt). (1.78)
Esto representa un conjunto de cilindros circulares coaxiales que llenan todo el
espacio y que viajan hacia una fuente lineal infinita o se alejan de ella. No se
pueden ahora encontrar soluciones en términos de funciones arbitrarias como
las hab´ıa tanto para las ondas esféricas (1.73) como para las planas (1.65).
Una onda plana que choca en la parte posterior de una pantalla opaca plana
y que contiene una rendija delgada y larga, producirá una emisión, por esa
rendija, de una perturbación parecida a una onda cil´ındrica. Se ha hecho un uso
extensivo de esta técnica para generar ondas luminosas. Recuérdese que la onda
real, como quiera que sea generada, solamente se aproxima a la representación
matemática idealizada.

1.8. ONDAS ESCALARES Y VECTORIALES
SECCIÓN 1.8
Ondas Escalares y Vectoriales
Hay dos clasificaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. La
distinción entre las dos proviene de una diferencia entre la dirección a lo largo
de la cual ocurre la perturbación y la dirección k/k, en la cual se propaga la
perturbación. Esto es más fácil de visualizar cuando se trata de un medio ma-
terial deformable elástico. Una onda longitudinal ocurre cuando las part´ıculas
del medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una dirección paralela
a k/k. Se origina una onda transversal cuando la perturbación, en este caso el
desplazamiento del medio, es perpendicular a la dirección de propagación. En
el caso de las ondas transversales, el movimiento ondulatorio está confinado a
un plano fijo en el espacio llamado plano de vibración y por lo tanto se dice
que la onda es linealmente polarizada o polarizada plana. A fin de determinar
por completo la onda, se debe ahora especificar la orientación del plano de vi-
bración, y también la dirección de propagación. Esto es equivalente a resolver
la perturbación en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendicu-
lares ambos normales a la dirección de propagación. El ángulo en el cual está
inclinado el plano de vibración es constante, de modo que en cualquier tiempo
las componentes difieren de ψ por una constante multiplicativa y ambas son por
lo tanto soluciones de la ecuación diferencial de onda. Se presenta un hecho muy
significativo: la función de onda, de una onda transversal, se comporta en forma
parecida a una cantidad vectorial. Con la onda moviéndose a lo largo del eje z
se puede escribir:
ψ(z, t) = ψx(z, t)i + ψy(z, t)j, (1.79)
donde, por supuesto, i, j y k son vectores base unitarios en coordenadas carte-
sianas.
Una onda, plana armónica escalar está dada por la expresión:
ψ (r, t) = Aei(k·r ωt)
.
Una onda plana armónica polarizada linealmente está dada por el vector de
onda:
ψ (r, t) = Aei(k·r ωt)
. (1.80)
o en coordenadas cartesianas por:
ψ(x, y, z, t) = Axi + Ayj + Azk ei(kxx+kyy+kzz ωt)
(1.81)
Para este caso donde el plano de vibración está fijo en el espacio, también lo es
la orientación de A. Recuérdese que ψ y A difieren solamente por un escalar y,
como tal, son paralelos el uno al otro y perpendiculares a k/k.
La luz es una onda transversal y es una apreciación de su naturaleza vecto-
rial de gran importancia. Los fenómenos de polarización óptica se pueden tratar
fácilmente en términos de este tipo de visualización ondulatoria vectorial. Para
luz no polarizada, donde el vector de onda cambia de dirección al azar y rápi-
damente, las aproximaciones escalares se hacen útiles, como en las teor´ıas de la
interferencia y la difracción.

CAPÍTULO 2
Teor´ıa Electromagnética,
Fotones y Luz
Índice General
2.1. Leyes Básicas de la Teor´ıa Electromagnética . . . . 26
2.1.1. Ley de Inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Ley de Gauss Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3. Ley de Gauss Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Ondas Electromagnéticas en Medios No Conduc-
tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Propagación de la Luz a través de un Medio Dieléctrico 41
2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . 43
2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
25

CAPÍTULO 2. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA, FOTONES Y LUZ
SECCIÓN 2.1
Leyes Básicas de la Teor´ıa Electromagnética
El objetivo de esta sección es el de revisar y desarrollar, aunque sea bre-
vemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondas
electromagnéticas.
Se sabe por experimentos que las cargas, aunque estén separadas en el espa-
cio, experimenta una interacción mutua. Como una posible explicación se podr´ıa
especular que cada carga emite (y absorbe) un flujo de part´ıculas indetectables
(fotones virtuales). El flujo de estas part´ıculas entre las cargas se puede conside-
rar como una forma de interacción. Alternativamente, se puede tomar el punto
de vista clásico e imaginar que cada carga está rodeada de algo llamado un cam-
po eléctrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interacciona
directamente con el campo eléctrico en el que está sumergido. Entonces, si una
carga q experimenta una fuerza FE, el campo eléctrico E en la posición de la
carga está definido por FE = qE. Además se observa que una carga móvil puede
experimentar otra fuerza FM la cual es proporcional a su velocidad v. Entonces
se tiene que definir aún otro campo, a saber la inducción magnética B, tal que
FM = qv × B. Si ambas fuerzas FE y FM ocurren simultáneamente se dice que
la carga se mueve a través de una región ocupada tanto por campos eléctricos
como magnéticos donde F = qE + qv × B.
Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en términos de estos
campos y al hacerlo as´ı se puede obtener una mejor idea de las propiedades
f´ısicas que se deben atribuir a E y a B. Como se verá, los campos eléctricos
son generados tanto por cargas eléctricas como por campos magnéticos variables
con el tiempo. Similarmente, los campos magnéticos son generados por corrientes
eléctricas y por campos eléctricos variables en el tiempo. Esta interdependencia
de E y de B es el punto clave en la descripción de la luz y su elaboración es la
motivación para mucho de lo que sigue.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ley
de
Inducción
de Faraday
Michael Faraday hizo numerosas e importantes contribuciones a la teor´ıa
electromagnética. Una de las más significativas fue su descubrimiento de que un
flujo magnético variable en el tiempo, pasando a través de un circuito conduc-
tor cerrado, da como resultado la generación de una corriente alrededor de ese
circuito. El flujo de la inducción magnética (o densidad de flujo magnético B)
a través de un área abierta A, limitada por el circuito conductor está dado por:
ΦB =
A
B · dS. (2.1)
La fuerza electromotriz inducida o f.e.m. producida alrededor del circuito es
entonces:
f.e.m. = −
dΦB
dt
. (2.2)

2.1. LEYES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
Sin embargo, no debe comprometerse demasiado con la imagen de alambres,
corriente y f.e.m. El interés presente son los campos eléctricos y magnéticos
mismos. En efecto, la f.e.m. existe solamente como un resultado de la presencia
de un campo eléctrico dado por:
f.e.m. =
C
E · dL, (2.3)
tomada alrededor de la curva cerrada C, que corresponde al circuito. Igualando
las ecuaciones (2.2) y (2.3) y haciendo uso de la ecuación (2.1) se obtiene:
C
E · dI = −
d
dt
A
B · dS. (2.4)
Se comenzó esta discusión examinando un circuito conductor y se ha llegado a la
ecuación (2.4); esta expresión, excepto por la trayectoria C, no tiene referencia
al circuito f´ısico. En efecto, la trayectoria se puede escoger muy arbitrariamente
y no necesita estar dentro, o cerca de ningún conductor. El campo eléctrico en
la ecuación (2.4) no aparece directamente por la presencia de cargas eléctricas
sino del campo magnético variable con el tiempo. Sin cargas que actúen como
fuentes o sumideros, las l´ıneas de campo se cierran, formando circuitos. Para el
caso en el cual la trayectoria está fija en el espacio y sin cambiar de forma, la
ley de inducción (2.4) se puede reescribir como:
C
E · dI = −
A
∂B
∂t
· dS. (2.5)
Esta, es en s´ı misma una expresión bastante fascinante ya que indica que el
campo magnético variable en el tiempo tendrá un campo eléctrico asociado con
él.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ley
de Gauss
Eléctrica
Otra de las leyes fundamentales del electromagnetismo recibe su nombre del
matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Ella relaciona el flujo de
la intensidad de campo eléctrico a través de una superficie cerrada A:
ΦE =
A
E · dS (2.6)
con la carga total encerrada. La integral doble lleva un c´ırculo como recordatorio
de que la superficie está cerrada. El vector dS está en la dirección de una normal
hacia afuera. Si el volumen encerrado por A es V , y si dentro de ella hay una
distribución continua de carga ρ, la ley de Gauss es entonces:
A
E · dS =
1
V
ρdV (2.7)

La integral a la izquierda es la diferencia entre la cantidad de flujo hacia adentro
y hacia afuera de cualquier superficie cerrada A. Si hay una diferencia, será
debida a la presencia de fuentes o sumideros del campo eléctrico dentro de A.
Claramente entonces, la integral debe ser proporcional a la carga total encerrada.
La constante se conoce como la permitividad eléctrica del medio. Para el caso
especial del vac´ıo, la permitividad del espacio libre está dada por 0 = 8,8542 ×
10−12
C2
N−1
m−2
. La permitividad de un material se puede expresar en términos
de 0 como:
= Ke 0, (2.8)
donde Ke, la constante dieléctrica (o permitividad relativa), es una cantidad sin
dimensiones, y es la misma para todos los sistemas de unidades. El interés en
Ke anticipa el hecho de que la permitividad está relacionada con la velocidad
de la luz en materiales dieléctricos, como vidrio, cuarzo, etc.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Ley
de Gauss
Magnética
No se conoce una contraparte magnética de la carga eléctrica, es decir, nun-
ca se han encontrado de manera aislada polos magnéticos, aunque se hayan
observado ampliamente incluso en muestras del suelo lunar. A diferencia del
campo eléctrico, la inducción magnética B no diverge o converge hacia algu-
na clase de carga magnética (una fuerza monopolar o una ca´ıda). Los campos
de inducción magnética se pueden describir en función de distribución de co-
rrientes. Realmente, se puede considerar un magneto elemental como si fuera
una pequeña corriente circular donde las l´ıneas de B son continuas y cerradas.
Cualquier superficie cerrada en una región de campo magnético podr´ıa tener
entonces un número igual de l´ıneas de B entrando y saliendo de ésta. Esta si-
tuación se produce por la ausencia de monopolos en el volumen cerrado. el flujo
de inducción magnética ΦB a través de dicha superficie es cero; se tiene entonces
el equivalente magnético de la ley de Gauss:
ΦB =
A
B · dS = 0 (2.9)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Ley
Circuital de
Ampere
Otra ecuación que será de gran interés se debe a André Marie Ampère (1775-
1836). Se conoce como la ley circuital y relaciona una l´ınea integral de B tan-
gente a una curva cerrada C, con la corriente total i que pasa dentro de los
confines de C:
C
B · dI = µ
A
J · dS = µi (2.10)
La superficie abierta A está limitada por C, y J es la corriente por unidad
de área. La cantidad µ se llama la permeabilidad del medio particular. Para
el vac´ıo µ = µ0 (la permeabilidad del espacio libre), que se define como 4π ×
10−7
N s2
C−2
.
Como en la ecuación (2.8):
µ = Kmµ0 (2.11)

2.1. LEYES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
donde Km es la permeabilidad relativa sin dimensiones.
La ecuación (2.10), aunque a menudo es adecuada, no es la verdad com-
pleta. Las cargas móviles no son la única fuente del campo magnético. Esto se
evidencia por el hecho de que mientras se está cargando o descargando un con-
densador, se puede medir un campo B en la región entre sus placas. Este campo
es indistinguible del que rodea los alambres aun cuando ninguna corriente en
realidad atraviesa el condensador. Obsérvese, sin embargo, que si A es el área
de cada placa y Q la carga en ella:
E =
Q
A
Cuando la carga var´ıa, el campo eléctrico cambia y:
∂E
∂t
=
i
A
es efectivamente una densidad de corriente. James C. Maxwell supuso la exis-
tencia de tal mecanismo, al que llamó densidad de corriente de desplazamiento,
definida por:
JD =
∂E
∂t
. (2.12)
La reformulación de la ley de Ampere, como:
C
B · dI = µ
A
J +
∂E
∂t
· dS (2.13)
fue una de las contribuciones más grandes de Maxwell. Aclara que aun cuando
J = 0, un campo E variable en el tiempo estará acompañado por un campo B.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5
Ecuaciones
de Maxwell
El conjunto de expresiones integrales dadas por las ecuaciones (2.5), (2.7),
(2.9) y (2.13) han llegado a conocerse como las ecuaciones de Maxwell. Recuér-
dese que estas son generalizaciones de resultados experimentales. Esta formula-
ción muy simple de las ecuaciones de Maxwell gobierna el comportamiento de
los campos eléctricos y magnéticos en el espacio libre donde = 0, µ = µ0 y
ambas ρ y J son cero. En este caso:
C
E · dI = −
A
∂B
∂t
· dS, (2.14)
C
B · dI = µ0 0
A
∂E
∂t
· dS, (2.15)
A
B · dS = 0, (2.16)
A
E · dS = 0. (2.17)
Obsérvese que excepto por un escalar multiplicativo, los campos eléctricos y
magnéticos aparecen en las ecuaciones con una simetr´ıa notable. Sin embargo

si E afecta a B, B a su vez afectará a E. La simetr´ıa matemática supone una
gran simetr´ıa f´ısica.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial la que será
bastante más útil para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromag-
nético. Esta transición se puede lograr fácilmente haciendo uso de dos teoremas
del cálculo vectorial, a saber, el teorema de la divergencia de Gauss:
A
F · dS =
V
· FdV
y el teorema de Stokes:
C
F · dI =
A
× F · dS
Aqu´ı la cantidad F no es un vector fijo, sino una función que depende de las
variables de posición. Es una regla que asocia a un vector único, por ejemplo en
coordenadas cartesianas, F(x, y, z) con cada punto (x, y, z) en el espacio. Las
funciones vectoriales valuadas de este tipo, tales como E y B se conocen como
campos vectoriales.
Aplicando el teorema de Stokes a la intensidad de campo eléctrico se tiene:
E · dI = × E · dS
Al comparar esto con la ecuación (2.5) se deduce que:
× E · dS = −
∂E
∂t
· dS
Este resultado debe ser cierto para todas las superficies limitadas por la trayec-
toria C. Esto puede ser el caso solamente si los integrandos son iguales, es decir,
si:
× E = −
∂B
∂t
Una aplicación similar a B del teorema de Stokes, usando la ecuación (2.13) da
como resultado:
× E = µ J +
∂E
∂t
.
El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo eléc-
trico da:
E · dS = · EdV.
Si se hace uso de la ecuación (2.7) esto queda:
V
· EdV =
1
V
ρdV,
y como esto es cierto para cualquier volumen (es decir, para un dominio cerrado
arbitrario) los dos integrandos deben ser iguales. Por consiguiente, en cualquier
punto (x, y, z, t) en el espacio-tiempo.
· E = ρ/

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
En la misma forma, el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo B
y combinado con la ecuación (2.9) da:
· B = 0
Las ecuaciones correspondientes para el espacio libre, en coordenadas carte-
sianas, son como sigue:
∂Ez
∂y
−
∂Ey
∂z
= −
∂Bx
∂t
,
∂Ex
∂z
−
∂Ez
∂x
= −
∂By
∂t
,
∂Ey
∂x
−
∂Ex
∂y
= −
∂Bz
∂t
,
(2.18)
∂Ez
∂y
−
∂Ey
∂z
= µ0 0
∂Bx
∂t
,
∂Ex
∂z
−
∂Ez
∂x
= µ0 0
∂By
∂t
,
∂Ey
∂x
−
∂Ex
∂y
= µ0 0
∂Bz
∂t
,
(2.19)
∂Bx
∂x
+
∂By
∂y
+
∂Bz
∂z
= 0, (2.20)
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
= 0. (2.21)
La transición se ha hecho entonces de la formulación de las ecuaciones de Max-
well en términos de integrales sobre regiones finitas, a una reformulación en
términos de las derivadas en puntos en el espacio.
Ahora se tiene todo lo que se necesita para comprender el proceso magn´ıfico
por el cual los campos eléctricos y magnéticos acoplados de modo no separado,
y sosteniéndose mutuamente, se propagan hacia el espacio como una entidad
simple, libre de cargas y corrientes, sin materia, sin éter.
SECCIÓN 2.2
Ondas Electromagnéticas
Tres observaciones, a partir de las cuales se puede construir un modelo cuali-
tativo, son fácilmente aprovechables y estas son la perpendicularidad general de
los campos, la simetr´ıa de las ecuaciones de Maxwell, y de la interdependencia
de E y B en esas ecuaciones.
Al estudiar la electricidad y el magnetismo uno pronto se entera del hecho de
que hay un número de relaciones que se describen por productos vectoriales, o si
lo desea, por reglas de la mano derecha. En otras palabras, un suceso de un tipo
produce una respuesta af´ın perpendicularmente dirigida. De interés inmediato
es el hecho de que un campo E, variable en el tiempo, genera un campo B
que es en todas partes perpendicular a la dirección en la que E cambia. En la

misma forma, un campo B variable con el tiempo genera un campo E que es
perpendicular en todas partes a la dirección en la que B cambia. Se podr´ıa, por
lo tanto, anticipar la naturaleza transversal general de los campos E y B en una
perturbación electromagnética.
Ahora, se considerará una carga que de alguna manera se acelera desde el
reposo. Cuando la carga está sin movimiento, tiene asociada a ella un campo
eléctrico uniforme radial que se extiende hasta el infinito. En el instante en que
la carga comienza a moverse, el campo E se acelera en la vecindad de la carga
y esta alteración se propaga hacia el espacio con velocidad finita. El campo
eléctrico variable con el tiempo induce un campo magnético por medio de la
ecuación (2.15) o (2.19). Pero la carga está acelerándose, ∂E/∂t en s´ı misma no
es constante y as´ı el campo B variable con el tiempo genera un campo E, (2.14)
o (2.18), y el proceso continúa con E y B acoplados uno a otro en la forma
de un pulso. A medida que un campo cambia, genera un nuevo campo que se
extiende un poco más allá, y as´ı el punto se mueve de un punto al siguiente a
través del espacio.
Se puede trazar una analog´ıa muy mecanicista, pero muy descriptiva, si se
imaginan las l´ıneas del campo eléctrico como una densa distribución radial de
cuerdas. cuando de alguna manera se sacude, cada cuerda individual se distorsio-
na para formar un pliegue que viaja alejándose de la fuente. Todos se combinan
en cualquier instante para producir un pulso tridimensional, expandiéndose.
Los campos E y B pueden, más apropiadamente, considerarse como dos
aspectos de un sólo fenómeno f´ısico, el campo electromagnético, cuya fuente es
una carga en movimiento. La perturbación, una vez que ha sido generada en el
campo electromagnético, es una onda sin atadura que se mueve más allá de su
fuente e independientemente de ella. Ligados uno a otro como una sola unidad,
los campos magnéticos y eléctricos variables en el tiempo se regeneran uno a
otro en un ciclo sin fin. Las ondas electromagnéticas que llegan a la tierra del
relativamente cercano centro de la galaxia han estado volando durante treinta
mil años.
No se ha considerado aún la dirección de propagación de la onda con respecto
a los campos que la constituyen. Obsérvese, sin embargo, que el alto grado
de simetr´ıa en las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre sugiere que la
perturbación se propagará en una dirección que es simétrica tanto a E como
a B. Eso implicar´ıa que una onda electromagnética no podr´ıa ser puramente
longitudinal (ya que E y B no son paralelos).
Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre se pueden transformar en
dos expresiones vectoriales extremadamente concisas:
2
E = 0µ0
∂2
E
∂t2
y
2
B = 0µ0
∂2
B
∂t2
El Laplaciano 2
, opera sobre cada componente de E y B de manera que las
dos ecuaciones vectoriales en realidad representa un total de seis ecuaciones
escalares. Dos de estas expresiones, en coordenadas cartesianas son:
∂2
Ex
∂x2
+
∂2
Ex
∂y2
+
∂2
Ex
∂z2
= 0µ0
∂2
Ex
∂t2
(2.22)

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
y
∂2
Ey
∂x2
+
∂2
Ey
∂y2
+
∂2
Ey
∂z2
= 0µ0
∂2
Ex
∂t2
(2.23)
precisamente con la misma forma para Ez, Bx, By y Bz. Ecuaciones de este tipo,
que relacionan las variaciones de espacio y tiempo de alguna cantidad f´ısica, se
estudiaron hace ya mucho por Maxwell y sirvieron para describir el fenómeno
de onda. Cada componente del campo electromagnético (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz)
obedece, por lo tanto, a la ecuación diferencial escalar de onda:
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
a condición que:
v =
1
√
0µ0
. (2.24)
A fin de evaluar v Maxwell hizo uso de los resultados de los experimentos eléc-
tricos efectuados en 1856 en Leipzig por Wilhelm Weber (1804-1891) y Rudolph
Kohlrausch (1809-1858). De modo eqivalente, ya que a µ0 se le asigno un valor
de 4π × 10−17
m kg/C2
(en MKS) uno puede determinar 0 directamente de
medidas simples de capacidad. En cualquier caso:
0µ0 ≈ (8,85 × 10−12
s2
C2
/m3
kg)(4π × 10−17
m kg/C2
)
o
0µ0 ≈ 11,12 × 10−18
s2
/m2
.
Y ahora, el momento de la verdad: en el espacio libre, la velocidad predicha de
todas las ondas eléctromagnéticas ser´ıa:
v =
1
√
0µ0
≈ 3 × 108
m/s.
Este valor teórico estaba en notable acuerdo con la velocidad previamente me-
dida de la luz (315300 km/s) determinada por Fizeau. Los resultados de los
experimentos de Fizeau, desarrollados en 1849 usando una rueda dentada rota-
toria, estaban en manos de Maxwell y le hicieron comentar que:
Esta velocidad [es decir, su predicción teórica] está tan cerca de la luz que parece
que tenemos una fuerte razón para concluir que la luz en s´ı misma (incluyendo
calor radiante, y otras radiaciones si las hay) es una perturbación electromag-
nética en la forma de ondas propagadas a través del campo electromagnético de
acuerdo con las leyes electromagnéticas.
Este brillante análisis fue uno de los grandes triunfos intelectuales de todos los
tiempos.
Se ha hecho costumbre designar la velocidad de la luz en el vac´ıo por el
s´ımobolo c, cuyo valor por ahora aceptado es:
c = 2,997924562 × 108
m/s ± 1,1m/s
El carácter transversal de la luz, verificado experimentalmente, se debe ahora
explicar dentro del contexto de la teor´ıa electromagnética. Con ese fin, se consi-
derará el caso bastante simple de una onda plana propagándose en la dirección

positiva de x. La intensidad de campo eléctrico es una solución de la ecuación
diferencial
2
E = 0µ0
∂2
E
∂t2
donde E es constante sobre cada uno de un conjunto infinito de planos perpen-
diculares al eje x. Es, por consiguiente, una función solamente de x y t, es decir
E = E(x, t). Volviéndo a las ecuaciones de Maxwell y en particular a la ecuación
(2.21) (la cual generalmente se lee como la divergencia de E es igual a cero).
Ya que E no es una función ni de y ni de z, la ecuación se reduce a:
∂Ex
∂x
= 0 (2.25)
La componente del campo eléctrico en la dirección de x, es decir, en la direc-
ción de propagación, es constante. Esto no es de importancia, ya que interesa
solamente la onda electromagnética, y no ningún campo no variable que puede
residir en la misma región del espacio. El campo E, asociado con la onda plana
es entonces exlusivamente transversal. Sin pérdida de generalidad, se trabajará
con ondas linealmente polarizadas u ondas planas, donde la dirección de vibra-
ción del vector E es fija. Se puede entonces orientar los ejes coordenados de tal
forma que el campo eléctrico sea paralelo al eje y, donde:
E = Ey(x, t)j (2.26)
Volviéndo a la ecuación (2.18), se deduce que:
∂Ey
∂x
=
∂Bz
∂t
(2.27)
y que Bx y By son constantes, y por consiguiente sin interés por el momento. El
campo B dependiente del tiempo solamente puede tener una componente en la
dirección de z. Es claro entonces que en el espacio libre, la onda electromagnética
plana es, en efecto, transversal.
No se ha especificado la forma de la perturbación y solamente se ha dicho
que era una onda plana. Las conclusiones son por consiguiente muy generales,
aplicándose igualmente bien a pulso como a ondas continuas. Ya se ha dicho
que las funciones armónicas son de particular interés porque cualquier forma
de onda se puede expresar en términos de ondas senoidales usando las técnicas
de Fourier. Por consiguiente, se limitará la discusión a ondas armónicas y se
escribirá Ey(x, t) como:
Ey(x, t) = E0y cos[ω(t − x/c) + ε], (2.28)
siendo c la rapidez de propagación. La densidad de flujo magnético asociado se
puede encontrar por integración directa de la ecuación (2.27), o sea:
Bz = −
∂Ey
∂x
dt.

2.3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES
Usando la ecuación (2.28) se obtiene:
Bz = −
E0yω
c
sin[ω(t − x/c) + ε]dt
o
Bz =
1
c
E0y cos[ω(t − x/c) + ε] (2.29)
Se ha omitido la constante de integración, que representa un campo indepen-
diente del tiempo. Comparando este resultado con la ecuación (2.28), es evidente
que:
Ey = cBz. (2.30)
Ya que Ey y Bz difieren solamente por un escalar, tienen as´ı la misma dependen-
cia del tiempo, E y B están en fase en todos los puntos en el espacio. Además,
E = Ey(x, t)j y BBz(x, t)k son mutuamente perpendiculares y su producto
vectorial E × B, apunta en la dirección de propagación i.
Las ondas planas, aunque tienen mucha importancia, no son las únicas so-
luciones de las ecuaciones de Maxwell. La ecuación diferencial de onda permite
muchas soluciones, entre las cuales están las ondas esféricas y cil´ındricas.
SECCIÓN 2.3
Ondas Electromagnéticas en Medios No
Conductores
La respuesta de los materiales dieléctricos o no conductores a los campos
electromagnéticos es de especial interés en la óptica. Se manejarán dieléctricos
transparentes en la forma de lentes, prismas, láminas, pel´ıculas, etc. Sin men-
cionar el océano de aire que las rodea.
El efecto neto de introducir un dieléctrico isotrópico homogéneo en una re-
gión del espacio libre es cambiar 0 a y µ0 a µ en las ecuaciones de Maxwell.
La velocidad de fase en el medio se hace ahora:
v =
1
√
µ
. (2.31)
La razón entre las velocidades de una onda electromagnética en el vac´ıo y en la
materia se conoce como ´ındice de refracción absoluto n y está dado por:
n =
c
v
=
µ
0µ0
. (2.32)
En términos de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio,
n queda:
n = KeKm. (2.33)

La gran mayor´ıa de las substancias, con la excepción de los materiales ferromag-
néticos, son sólo muy débilmente magnéticas; ninguna es realmente no magnéti-
ca. Aún as´ı, Km generalmente no se desv´ıa de uno en más de unas pocas partes
en 104
(por ejemplo para el diamante Km = 1−2,2×10−5
). Poniendo Km = 1 en
la fórmula para n resulta una expresión conocida como la relación de Maxwell,
o sea:
n = Ke, (2.34)
aqu´ı se supone que Ke es la constante dieléctrica estática. Como se indica
Gases a 0o C y 1 atm
Substancia
√
Ke n
Aire 1.000294 1.000293
Helio 1.000034 1.000036
Hidrógeno 1.000131 1.000132
Dióxido de carbono 1.00049 1.00045
L´ıquidos a 20o C
Substancia
√
Ke n
Benceno 1.51 1.501
Agua 8.96 1.333
Alcohol et´ılico (etanol 5.08 1.361
Tetracloruro de carbono 4.63 1.461
Bisulfuro de carbono 5.04 1.628
Sólidos a temperatura ambiente
Substancia
√
Ke n
Diamante 4.06 2.419
Ambar 1.6 1.55
S´ılice fundida 1.94 1.458
Cloruro de sodio 2.37 1.50
Cuadro 2.1: Relación de Maxwell.
Los valores de Ke corresponden a las frecuencias más bajas posibles, en algunos casos tan
bajas como 60 Hz, mientras que n está medida a alrededor de 0,5 × 1015Hz. Se usó luz D del
sodio (λ = 589,29 nm).
en la tabla 2.1, esta relación parece ser efectiva solamente para algunos gases
simples. La dificultad aparece porque Ke, y por consiguiente n, son en realidad
dependientes de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda (o
color) de la luz es un efecto muy conocido llamado dispersión. En efecto, Sir Isaac
Newton usó prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constitutivos
hace más de 300 años y el fenómeno era bien conocido aunque no se entendiera
entonces.
Hay dos preguntas interrelacionadas que vienen a la mente en este punto:
(1) ¿Cuál es la base f´ısica para la dependencia de n con la frecuencia? y (2)
¿Cuál es el mecanismo por el cual la velocidad de fase en un medio se hace
efectivamente diferente de c? Las respuestas para ambas preguntas se pueden
encontrar examinando la interacción de una onda electromagnética incidente
con el arreglo de átomos que constituyen un material dieléctrico.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
Dispersión
Cuando un dieléctrico se somete a un campo eléctrico aplicado, la distribu-
ción interna de carga se distorsiona bajo su influencia. Esto corrresponde a la
generación de momentos eléctricos dipolares, los cuales, a su vez, contribuyen
al campo interno total. De una manera más clara, el campo eléctrico separa las

cargas positivas y negativas en el medio (cada par de los cuales es un dipolo)
y éstas entonces contribuyen una componente de campo adicional. El momento
dipolar resultante por unidad de volumen se denomina la polarización eléctrica
P. Para la mayor parte de los materiales P y E son proporcionales y se pueden
relacionar satisfactoriamente por:
( − 0)E = P. (2.35)
La redistribución de carga y la consecuente polarización pueden ocurrir por
medio de los siguientes mecanismos. Hay moléculas que tienen un momento di-
polar permanente como resultado de compartir en forma desigual sus electrones
de valencia. Estas se conocen como moléculas polares, de las cuales la molécula
no lineal de agua es un ejemplo bastante t´ıpico. Cada enlace hidrógeno-ox´ıgeno
es covalente polar, con el extremo H positivo con respecto al extremo O. La
agitación térmica mantiene los dipolos moleculares orientados al azar. Con la
introducción de un campo eléctrico, los dipolos se alinean a s´ı mismos y el die-
léctrico toma una polarización orientacional. En el caso de moléculas y átomos
no polares, el campo aplicado distorsiona la nube de electrones, desplazándo-
la relativamente al núcleo y produciendo por consiguiente un momento dipolar.
Además de esta polarización electrónica, hay otro proceso que es espec´ıficamente
aplicable a moléculas, como por ejemplo el cristal iónico NaCL. En la presencia
de un campo eléctrico, los iones positivos y negativos sufren un desplazamiento
uno respecto al otro. Por consiguiente se inducen momentos dipolares, resultan-
do en lo que se llama polarización iónica o atómica.
Si el dieléctrico se somete a una onda electromagnética armónica incidente,
la estructura de las cargas eléctricas internas experimentará fuerzas y/o tor-
ques variables con el tiempo. Estas serán proporcionales a la componente del
campo eléctrico de la onda. 1
Para dieléctricos polares las moléculas en rea-
lidad sufren rotaciones rápidas, alineándose ellas mismas con el campo E(t).
Pero estas moléculas son relativamente grandes y tienen momentos de inercia
apreciables. A altas frecuencias impulsoras ω, las moléculas polares serán inca-
paces de seguir las alteraciones del campo. Sus contribuciones a P disminuirán
y Ke caerá marcadamente. la permitividad relativa del agua es muy constante
desde aproximadamente 80, hasta cerca de 1010
Hz, después de lo cual cae muy
rápidamente.
En contraste, los electrones tienen poca inercia y pueden continuar siguiendo
el campo que contribuye a Ke(ω) aún a frecuencias ópticas (de alrededor de
5 × 1014
Hz). Entonces la dependencia de n en ω está gobernada por el juego
interno de los varios mecanismos de polarización que contribuyen a la frecuencia
particular.
Es posible deducir una expresión anal´ıtica para n(ω) en función de lo que
pasa dentro del medio a nivel atómico. Aun cuando esto es en realidad el dominio
de la mecánica cuántica, el tratamiento clásico lleva a resultados muy similares
y al hacerlo as´ı se provee de un modelo conceptual sumamente útil. En efecto ese
modelo será usado una y otra vez mientras se examine la reflexión, refracción,
difracción y muchos otros fenómenos. Imag´ınese que los electrones exteriores o
de valencia están ligados a sus átomos o moléculas respectivas por una fuerza
1Las fuerzas que surgen de la componente magnética del campo tienen la forma FM =
qv ×B en comparación con FE = qE para la componente eléctrica; pero v c y as´ı se deduce
de la ecuación (2.30) que FM es generalmente despreciable.

elástica restauradora (−meω2
0x) que es proporcional al desplazamiento x de los
electrones del punto de equilibrio. El átomo entonces se parece a un oscilador
forzado clásico que está siendo impulsado por el campo alterno E(t) el cual se
supone que se aplica a lo largo de la dirección x. La fuerza (FE) ejercida sobre
un electrón de carga qe por el campo E(t) de una onda armónica de frecuencia
ω es de la forma:
FE = qeE(t) = qeE0 cos ωt.
Consecuentemente, la segunda ley de Newton da la ecuación del movimiento, es
decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa multiplicada por la aceleración:
qeE0 cos ωt − meω2
0x = me
d2
x
dt2
La constante ω0 es la frecuencia natural del oscilador y es igual a la ra´ız cuadrada
de la razón entre la constante elástica y la masa. Es la frecuencia oscilatoria
del sistema no impulsado. Para satisfacer esta expresión x tendrá que ser una
función cuya segunda derivada no sea muy diferente de x misma. Además se
puede anticipar que el electrón oscilará con la misma frecuencia que E(t) y as´ı
se pude “conjeturar” la solución:
x(t) = x0 cos ωt
y sustituirla en la ecuación para evaluar la amplitud de x0. En esta forma se
encuentra que:
x(t) =
qe/me
(ω2
0 − ω2)
E0 cos ωt
o
x(t) =
qe/me
(ω2
0 − ω2)
E(t).
Sin una fuerza impulsora (sin onda incidente) el electrón oscilante vibrará con
su frecuencia de resonancia o natural ω0, E(t) y x(t) tienen el mismo signo, lo
que significa que la carga puede seguir la fuerza aplicada, es decir, que está en
fase con ella. Sin embargo, cuando ω > ω0, el desplazamiento x(t) está en la
dirección opuesta a la de la fuerza instantánea qeE(t) y por consiguiente 180o
fuera de fase con ella. Hay que recordar que se está hablando acerca de dipolos
oscilantes donde para ω0 > ω el movimiento relativo de la carga positiva es
una vibración en la dirección del campo. Por encima de la resonancia la carga
positiva está a 180o
fuera de fase con el campo y se dice que el dipolo está
retrasado π rad.
El momento dipolar es igual a la carga qe multiplicada por su desplazamiento
y si hay N electrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarización
eléctrica, o densidad de momentos dipolares, es:
P = qexN
Por consiguiente:
P =
q2
e NE/me
(ω2
0 − ω2)
y de la ecuación (2.35)
= 0 +
P(t)
E(t)
= 0 +
q2
e NE/me
(ω2
0 − ω2)
.

Usando el hecho de que n2
= Ke = / 0 se puede llegar a una expresión para n
como función de ω que se conoce como ecuación de dispersión:
n2
(ω) = 1 +
Nq2
e
0me
1
ω2
0 − ω2
.
Hasta ahora se ha supuesto la existencia de sólo una frecuencia natural ω0. Para
explicar la observación de un comportamiento más complicado, se generalizarán
las cosas suponiendo que hay N moléculas por unidad de volumen cada una con
fj osciladores que tienen frecuencias naturales ω0j donde j = 1, 2, 3... En este
caso:
n2
(ω) = 1 +
Nq2
e
0me j
fj
ω2
0j − ω2
(2.36)
Este es esencialmente el mismo resultado que aparece en el tratamiento cuántico,
con la excepción de que algunos de los términos deber ser reinterpretados. En
efecto, las cantidades ω0j ser´ıan entonces las frecuencias caracter´ısticas a las
cuales un átomo puede abosorber o emitir energ´ıa radiante. Los términos fj
que satisfacen el requisito de que j fj = 1, son los factores de peso conocidos
como la intensidad de los osciladores. Ellos reflejan el énfasis que se debe dar a
cada uno de los modos. Siendo una medida de la probabilidad de ocurrencia de
una transición atómica dada, las fj se conocen también como probabilidades de
transición.
Una reinterpretación similar de los términos fj se requiere aún clásicamente
ya que de acuerdo con los datos experimentales se exige que sean menores que la
unidad. Esto es obviamente contrario a la definición de fj que llevó a la ecuación
(2.36). Se supone entonces que una molécula tiene muchos modos de oscilación
pero que cada uno de ellos tiene una frecuencia e intensidad bien definidas.
Obsérvese que cuando ω es igual a cualquiera de las frecuencias caracter´ısti-
cas, n es discontinua, contrariamente a la observación real. Esto es simplemente
el resultado de haber despreciado el término de amortiguamiento que deber´ıa
de haber aparecido en el denominador de la suma. Incidentalmente, el amorti-
guamiento, en parte, es atribuible a la pérdida de energ´ıa cuando los oscilado-
res forzados (los cuales son, por supuesto, cargas aceleradas) reirradian energ´ıa
electromagnética. En sólidos, l´ıquidos y gases a alta presión (≈ 103
atm), las
distancias interatómicas son aproximadamente 10 veces menores que las de un
gas a TPN. 2 Átomos y moléculas en esta proximidad relativamente cercana
experimentan fuertes interacciones mutuas y resulta una fuerza “friccional”. El
efecto es un amortiguamiento de los osciladores y una disipación de su ener-
g´ıa dentro de la substancia en la forma de calor (movimiento molecular). Este
último proceso se llama absorción.
Si se hubiese incluido un fuerza de amortiguamiento proporcional a la veloci-
dad (de la forma γdx/dt) en la ecuación de movimiento, la ecuación de dispersión
(2.36) hubiese quedado:
n2
(ω) = 1 +
Nq2
e
0me j
fj
ω2
0j − ω2 + iγjω
. (2.37)
2TPN: Temperatura y presión normal = STP Standard Temperature and Pressure.

Mientras que esta expresión está bien para medios enrarecidos tales como gases,
hay aún otra complicación con la que se debe encontrar si se ha de aplicar a
substancias densas. Cada átomo interacciona con el campo eléctrico local en el
que está sumergido. A diferencia de los átomos aislados considerados antes, los
que están en un material denso experimentan también el campo inducido por
sus compañeros. Consecuentemente un átomo “ve” además del campo aplicado
E(t) otro campo, a saber P(t)/3 0. Sin entrar en detalles aqu´ı se puede demostar
que:
n2
− 1
n2 + 2
=
Nq2
e
3 0me j
fj
ω2
0j − ω2 + iγjω
. (2.38)
Hasta ahora se ha estado considerando osciladores electrónicos exclusivamente,
pero los mismos resultados hubiesen sido aplicables para iones ligados a sitios
atómicos fijos. En ese caso me ser´ıa reemplazado por las masas iónicas considera-
blemente mayores. Entonces, mientras la polarización electrónica es importante
sobre el espectro óptico completo, las contribuciones de la polarización iónica
afectan n significativamente sólo en regiones de resonancia (ω0j = ω).
Por el momento se limita la discusión, en su mayor parte, a situaciones donde
la absorción es despreciable (es decir, ω2
0j − ω2
γjω) y n es real, tal que:
n2
− 1
n2 + 2
=
Nq2
e
3 0me j
fj
ω2
0j − ω2
. (2.39)
Los gases transparentes, l´ıquidos y sólidos sin color tienen sus frecuencias
caracter´ısticas fuera de la región visible del espectro (lo cual es la razón por la
que ellos, en efecto, sean incoloros y transparentes). En particular, los vidrios
tiene frecuencias naturales efectivas mayores a las del visible, en el ultravioleta,
donde se hacen opacos. En los casos en los cuales ω2
0j ω2
por comparación ω2
puede ser despreciada en la ecuación (2.39) dando un ´ındice de refracción esen-
cialmente constante sobre esa región. Por ejemplo, las frecuencias caracter´ısticas
importantes para los vidrios ocurren en longitudes de onda de alrededor de 100
nm. El centro del rango visible es aproximadamente cinco veces aquello y, de
ah´ı, ω2
0j ω2
. Obsérvese que cuando ω aumenta hacia ω0j, (ω2
0j −ω2
) disminuye
y n aumenta gradualmente con la frecuencia. Esto se llama dispersión normal.
En la región ultravioleta, cuando ω se aproxima a una frecuencia natural, los
osciladores comenzarán a resonar. Sus amplitudes aumentarán marcadamente
y esto será acompañado por amortiguamiento y una fuerte absorción de ener-
g´ıa de la onda incidente. Cuando ω0j = ω en la ecuación (2.38) el término de
amortiguamiento obviamente se hace dominante. Las regiones cercanas a ω0j
son llamadas bandas de absorción. Ah´ı dn/dω es negativa y se dice que el proce-
so es dispersión anómala (es decir, anormal). Si pasa luz blanca a través de un
prisma de vidrio, el azúl que la constituye dendr´ıa un ´ındice mayor que el rojo
y por consiguiente será desviado en un ángulo mayor. En contraste, si se usa un
prisma celda que contiene una solución colorante con una banda de absorción en
el visible, el espectro será marcadamente alterado. Todas las substancias poseen
bandas de absorción en alguna región del espectro electromagnético de frecuen-
cia de manera que el término dispersión anómala, habiendo sido acarreado desde
finales del siglo XIX, es ciertamente un nombre mal puesto.

Como se ha visto, los átomos dentro de una molécula también pueden vibrar
alrededor de sus posiciones de equilibrio. Pero los núcleos son masivos y as´ı las
frecuencias oscilatorias naturales serán bajas, en el infrarrojo. Moléculas como
H2O y CO2 tendrán resonancia tanto en el infrarrojo como en el ultravioleta.
Si el agua fuese atrapada dentro de una pieza de vidrio durante su fabricación,
estos osciladores moleculares estar´ıan a disposición y existir´ıa una banda de ab-
sorción infrarroja. La presencia de óxidos también resultará en una absorcion
infrarroja. A las frecuencias aún más bajas de las ondas de radio, el vidrio será
de nuevo transparente. En comparación, una pieza de vidrio coloreado eviden-
temente tiene una resonancia en el visible donde absorbe un rango particular de
frecuencia transmitiendo el color complementario.
Como punto final, obsérvese que se la frecuencia impulsora es mayor que
cualquiera de los términos ω0j, entonces n2
< 1 y n < 1. Tal situación puede
ocurrir por ejemplo si se dirigen rayos X a una placa de vidrio. Este es un resul-
tado intrigante ya que lleva a v > c en aparente contradicción con la relatividad
especial.
Haciendo un resumen parcial entonces, en la región visible del espectro, la
polarización electrónica es el mecanismo operativo que determina n(ω). Clási-
camente se imagina a los osciladores electrónicos vibrando a la frecuencia de la
onda incidente. Cuando la frecuencia de la onda es apreciablemente diferente de
una frecuencia caracter´ıstica o natural, las oscilaciones son pequeñas y hay poca
absorción. En resonancia, sin embargo, las amplitudes del oscilador aumentan
y el campo hace una cantidad mayor de trabajo sobre la carga. La energ´ıa elec-
tromagnética removida de la onda y convertida en energ´ıa mecánica se disipa
entonces térmicamente dentro de la substancia y se habla de un pico o banda de
absorción. El material, aunque es esencialmente transparente a otras frecuencias,
es muy opaco a la radiación incidente en sus frecuencias caracter´ısticas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2
Propagación
de la Luz a
través de
un Medio
Dieléctrico
El proceso mediante el cual la luz se propaga a través de un medio con una
velocidad diferente de c es bastante complicado y esta sección está dedicada
a hacerlo al menos f´ısicamente razonable, dentro del contexto del modelo de
osciladores simples.
Considérese una onda electromagnética incidente o primaria (en el vac´ıo) in-
cidiendo sobre un dielectrico. Como se ha visto, ella polarizará el medio y llevará
a los osciladores electrónicos a vibración forzada. Ellas a su vez, reirradiarán o
esparcirán energ´ıa en la forma de pequeñas ondas electromagnéticas de la misma
frecuencia de la onda incidente. En una substancia cuyos átomos o moléculas
están dispuestos con algún grado de regularidad, estas ondas tenderán a inter-
ferirse mutuamente. Esto es, se superpondrán en ciertas regiones donde ellas se
reforzarán o reducirán unas a otras en grados variables. Como ejemplo exam´ı-
nese la configuración muy simplificada de una onda refractada en un arreglo
ordenado de átomos. Ah´ı una onda plana incidente en dicho arreglo se esparce
en un patrón complicado de pequeñas ondas. Estas a su vez se superponen pa-
ra formar frentes de ondas planas a los que se denomina onda secundaria. Por
razones emp´ıricas, solamente, se puede anticipar que la onda primaria residual
y la onda secundaria se combinarán para dar la única perturbación observada
dentro del medio, es decir la onda refractada.
Tanto la onda electromagnética primaria como la secundaria se propagan
a través de los espacios interatómicos con la velocidad c. Y aún as´ı el medio
ciertamente puede poseer un´ındice de refracción diferente de uno. Puede suceder

que la onda refractada tenga una velocidad de fase menor, igual, o aún mayor
que c. La clave de esta aparente contradicción reside en la relación de fase entre
las ondas secundaria y primaria.
El modelo clásico predice que los osciladores electrónicos serán capaces de vi-
brar casi completamente en fase con la fuerza impulsora, es decir la perturbación
primaria, solamente a frecuencias relativamente bajas. Cuando la frecuencia del
campo electromagnético aumenta, los osciladores se retrasarán, su fase estará
retrasada por una cantidad proporcionalmente grande. Un análisis detallado lle-
va al hecho de que en resonancia el retraso de la fase llegará a 90o
, aumentando
después a casi 180o
, o media longitud de onda, a frecuencias muy superiores al
valor caracter´ıstico particular.
Además de estos retrasos hay otro efecto que debe ser considerado. Cuando
las ondas esparcidas se recombinan, la onda secundaria resultante está retrasada
ella misma con respecto a los osciladores en 90o
.
El efecto combinado de ambos de estos mecanismos es que a frecuencias
inferiores a la de la resonancia, la onda secundaria está retrasada con respecto a
la primaria en una cantidad entre 90o
y 180o
aproximadamente, mientras que a
frecuencias superiores a la de la resonancia el retraso está entre 180o
y 270o
. Pero
un retraso de fase de δ 180o
es equivalente a un retraso de 360o
−δ [ejemplo,
cos(θ − 270o
) = cos(θ + 90o
)].
Para recapitular, debajo de la resonancia la onda secundaria va atrás de la
primaria; arriba de la resonancia va delante de la primaria. La onda resultante
o refractada acordemente estará adelante o detrás de la onda incidente (espacio
libre) en una cierta cantidad ε. El proceso es progresivo y a medida que la luz
atraviesa el medio la fase es continuamente retardada o avanzada.
Ahora se desea mostrar que esto es precisamente equivalente a un cambio
en la velocidad de fase. En el espacio libre la perturbación en algún punto P se
puede escribir como:
Ep(t) = E0 cos ωt
Si P está rodeada por un dieléctrico, habrá un desplazamiento acumulativo de
la fase εP el cual fue formado mientras la onda se mov´ıa a través del medio hacia
P. El número de crestas de onda que llegan al dieléctrico por segundo debe ser
el mismo que el número por segundo que se propaga en él. Esto es, la frecuencia
debe ser la misma en el vac´ıo que en el dieléctrico, aun cuando la longitud de
onda y la rapidez pueden ser diferentes. Una vez más, pero esta vez en el medio,
la perturbación en P es:
EP (t) = E0 cos(ωt − εP )
Un observador en P tendr´ıa que esperar un tiempo mayor para que una cresta
dada llegue cuando él está en el medio que lo hubiera tenido que esperar en
el vac´ıo. En otras palabras, si se imaginan dos ondas paralelas de la misma
frecuencia, una en el vac´ıo y una en un medio material, la onda en el vac´ıo
pasará P un tiempo εP /ω antes que la otra onda. Entonces es claro que un
retraso de fase de εP corresponde a una reducción en la rapidez, v < c y n > 1.
Similarmente, un adelanto de fase produce un aumento en la rapidez, v > c
y n < 1. El proceso de esparcimiento es continuo y as´ı los desplazamientos
acumulativos de fase se van sumando conforme la luz penetra en el medio. Es
decir, ε es una función de la longitud del dieléctrico atravesado; como debe ser
si v es constante.

2.4. ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Una solución rigurosa del problema de la propagación se conoce como el
teorema de extinción de Ewald-Ossen. Aunque el formulismo matemático, que
involucra ecuaciones integrodiferenciales, es demasiado complicado para tratarlo
aqu´ı, los resultados son ciertamente de interés. Se encuentra que los osciladores
electrónicos generan una onda electromagnética que tiene esencialmente dos
términos. Uno de estos anula exactamente la onda primaria dentro del medio.
El otro, que es la única perturbación que permanece, se propaga a través del
dieléctrico con una velocidad v = c/n como la onda refractada.
SECCIÓN 2.4
Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1
Irradiancia
Una de las propiedades más significativas de la onda electromagnética es
que transporta energ´ıa. La luz de la estrella más cercana viaja a 25 millones de
millones de millas para llegar a la Tierra y aún as´ı lleva suficiente energ´ıa para
hacer trabajo en los electrones dentro del ojo. Cualquier campo electromagnético
existe dentro de alguna región del espacio y es por consiguiente muy natural
considerar la energ´ıa radiante por unidad de volumen, es decir la densidad de
energ´ıa u. Para un campo eléctrico solo, se puede calcular la densidad de energ´ıa
(por ejemplo entre las placas de un condensador) y obtener:
uE =
0
2
E2
. (2.40)
Similarmente, la densidad de energ´ıa del campo B solo (como se podr´ıa calcular
dentro de un toroide) es:
uB =
1
2µ0
B2
. (2.41)
Recuérdese que se dedujo la relación E = cB espec´ıficamente para una onda
plana (2.30), no obstante será muy general en su simplicidad. Se deduce entonces
que:
uE = uB (2.42)
El flujo de energ´ıa a través del espacio en la forma de una onda electromagnética
es compartido por los campos constitutivos, eléctricos y magnéticos. Ya que:
u = uE + uB,
claramente:
u = 0E2
(2.43)
o equivalentemente:
u =
1
µ0
B2
. (2.44)

Para representar el flujo de energ´ıa electromagnética, se simbolizará con S el
transporte de energ´ıa por unidad de tiempo (la potencia) a través de un área
unitaria. En el sistema MKS tendr´ıa entonces las unidades de W/m2
. Sea una
onda electromagnética que viaja con una velocidad c a través de un área A.
Durante un intervalo de tiempo ∆t muy pequeño, solamente la energ´ıa contenida
en el volumen cil´ındrico, u(c∆tA), cruzará A. Entonces:
S =
uc∆tA
∆tA
= uc (2.45)
o, usando la ecuación (2.43):
S =
1
µ0
EB. (2.46)
Ahora se hace la suposición razonable (para medios isotrópicos) de que la energ´ıa
fluye en la dirección de la propagación de la onda. El vector S correspondiente
es entonces:
S =
1
µ0
E × B (2.47)
o
S = c2
0E × B. (2.48)
La magnitud de S es la potencia por unidad de área que cruza una superficie
cuya normal es paralela a S. Se le conoce como el vector de Poynting, en honor
de John Henry Poynting (1852-1914). Aplicando ahora estas consideraciones al
caso de una onda plana armónica, polarizada linealmente, viajando a través del
espacio libre en la dirección de k:
E = E0 cos k · r − ωt (2.49)
B = B0 cos k · r − ωt . (2.50)
Usando la ecuación (2.4)
S = c2
0E0 × B0 cos2
k · r − ωt .
Debe ser evidente aqu´ı que E × B oscila entre máximos y m´ınimos. A frecuen-
cias ópticas, S es una función variable del tiempo extremadamente rápida y
as´ı su valor instantáneo es una cantidad impráctica de medir. Esto más bien
sugiere que se empleen promedios. Es decir, que se absorba la energ´ıa radian-
te durante un intervalo finito de tiempo usando, por ejemplo, una fotocelda,
una pel´ıcula fotográfica o la retina del ojo humano. El valor promediado en el
tiempo del vector de Poynting, simbolizado por S , es una medida de la can-
tidad muy significativa conocida como la irradiancia, I. En este caso ya que
cos2
k · r − ωt = 1
2 ,
S =
c2
0
2
E0 × B (2.51)

2.4. ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
o
I ≡ S =
c 0
2
E2
0 . (2.52)
La irradiancia es por consiguiente proporcional al cuadrado de la amplitud del
campo eléctrico. Dor formas alternativas adicionales de decir la misma cosa son
simplemente:
I =
c
µ0
B2
(2.53)
y
I = 0c E2
. (2.54)
Dentro de un dieléctrico isotrópico, homogéneo y lineal, la expresión para la
irradiancia queda:
I = v E2
. (2.55)
Ya que, como se ha visto, E es considerablemente más afectiva al ejercer fuer-
zas sobre las cargas B, E será referido como el campo óptico y se usará casi
exclusivamente la ecuación (2.54).
La rapidez de flujo de la energ´ıa radiante es la potencia o flujo radiante,
generalmente expresado en vatios. Si se divide el flujo radiante que incide o
sale de una superficie, por el área de la superficie, se tiene la densidad de flujo
radiante (W/m2
). En el primer caso, se habla de la irradiancia, y en el último
de la existencia; y en cualquier caso de la densidad de flujo.
Hay detectores, como el fotomultiplicador, que sirven como contadores de
fotones. Cada cuanto del campo electromagnético, que tiene una frecuencia ν,
representa una energ´ıa hν (constante de Planck, h = 6,625 × 10−34
J s). Si se
tiene un haz monocromático de frecuencia ν, la cantidad I/hν es el número
promedio de fotones que cruzan un área unitaria (normal al haz) por unidad
de tiempo, es decir la densidad de flujo de fotón. Si tal haz incidiera sobre un
contador con área A, entonces AI/hν ser´ıa el flujo de fotones incidentes, es
decir, el número promedio de fotones que llegan por unidad de tiempo.
Se vio antes que la solución de onda esférica de la ecuación diferencial de
onda tiene una amplitud que var´ıa inversamente con r. Se examinará ahora lo
mismo dentro del contexto de la conversación de energ´ıa. Considerando una
fuente puntual isotrópica en el espacio libre, emitiendo energ´ıa igualmente en
todas direcciones, es decir emitiendo ondas esféricas. Se rodea la fuente con
dos superficies esféricas imaginarias de radios r1 y r2. Sean E0(r1) y E0(r2) las
amplitudes de las ondas sobre la primera y segunda superficies, respectivamente.
Si se ha de conservar la energ´ıa, la cantidad total de energ´ıa que pasa a través
de cada superficie por segundo debe ser la misma ya que no hay otras fuentes o
sumideros presentes. Multiplicando I por el área de la superficie y tomando la
ra´ız cuadrada, se obtiene:
r1E0(r1) = r2E0(r2).
Puesto que r1 y r2 son arbitrarias, se deduce que:
rE0(r) = constante

y la amplitud debe caer inversamente con r. La irradiancia de una fuente puntual
es proporcional a 1/r2
. Esta es la bien conocida ley del inverso del cuadrado,
la cual se verifica fácilmente usando una fuente puntual y un expos´ımetro fo-
tográfico. Obsérvese que si se visualiza un haz de fotones viajando radialmente
alejándose de la fuente, se obtiene claramente el mismo resultado.

CAPÍTULO 3
Tratamiento
Electromganético de la
Propagación de la Luz
Índice General
3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1. Deducción de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . 50
3.1.2. Interpretación de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . 53
47

CAPÍTULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANÉTICO DE LA PROPAGACIÓN DE
LA LUZ
Hasta ahora se ha podido deducir las leyes de reflexión y refracción usando
tres puntos de vista diferentes: el principio de Huygens, el teorema de Malus y
Dupin y el principio de Fermat. Cada uno de ellos a su vez da un punto de vista
valioso y distinto en s´ı mismo. Otro punto de vista aún más poderoso se obtiene
de la teor´ıa electromagnética de la luz. Al contrario de las técnicas anteriores
que no dicen nada sobre las densidades de flujo radiante, incidente, reflejado y
transmitido (es decir Ii, Ir, It respectivamente), la teor´ıa electromagnética trata
éstas dentro del marco de una descripción bastante más completa.
El cuerpo de información que forma el tema de la óptica se ha acumulado a
lo largo de muchos siglos y al mismo tiempo que el conocimiento del universo
f´ısico se hace más extenso, las descripciones teóricas concominantes deben ser
aún más completas. Ello en general, trae consigo una complejidad aumentada. Y
as´ı, en lugar de usar la formidable maquinaria matemática de la teor´ıa cuántica
de la luz, muy frecuentemente se aprovechará los puntos de vista más simples
de tiempos más simples (por ejemplo, los principios de Huygens, Fermat, etc.).
Entonces, aunque se vaya a desarrollar otra descripción más extensa de la refle-
xión y la refracción, ciertamente no se pondrá de lado esos métodos anteriores.
En efecto, a través de este estudio se usará la técnica más simple que se pueda
dar resultados suficientemente precisos para los propósitos particulares.
SECCIÓN 3.1
Ondas en una Interfase
Supóngase que la onda de luz monocromática incidente es plana y que por
tanto tiene la forma:
Ei = E0iei(ki·r−ωit) (3.1)
o más simplemente:
Ei = E0i cos ki · r − ωit (3.2)
Suponiendo que E0i es constante en el tiempo, es decir que la onda es linealmente
polarizada o polarizada en un plano. Se verá que cualquier forma de luz se puede
representar por dos ondas ortogonales polarizadas linealmente de tal forma que
esto realmente no representa una restricción. Es preciso notar que as´ı como
el origen del tiempo, t = 0, es arbitrario, as´ı también lo es el origen O en el
espacio, donde r = 0. Entonces, sin hacer suposiciones acerca de sus direcciones,
frecuencias, longitudes de onda, fases o amplitudes, se puede escribir las ondas
reflejadas y transmitida como:
Er = E0r cos kr · ωrtεr (3.3)
y
Et = E0t cos kt · ωttεt (3.4)

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