Tarea3

1. Topología 1
Rodrigo José Burgos y Veronica Villegas Santiago
03/03/2012
TERCER REPORTE
Definición:
Si X es un espacio métrico x ∈ X es un punto aislado si ∃Br (x) bola con centro en X
tal que Br (x) = {x} para algún r > 0.
Si X es un espacio métrico y todos sus puntos son aislados, decimos que X es un
espacio discreto.
Definición:
En un espacio métrico X , A ̸= ∅, A ⊂ X , esta acotado si existe x ∈ X y Br (x) tal que
A ⊂ Br (x), para algún r > 0.
Definición:
Sea X espacio métrico, A ⊂ X acotado. Definimos al diametro de A como:
δ(A) = Supx,y∈A d(x, y)
Definición:
Sea X espacio métrico, V ∈ X es una vecindad de X si ∃r > 0 tal que Br (x) ⊂ V
TEOREMA:
En un espacio métrico X un conjunto U es un abierto, sí y solo si es vecindad de cada
uno de sus puntos.
⇒
como U es abierto, entonces tenemos que U ⊂ X por lo que ∃x ∈ X cualquiera y
r ∈ R>0 tal queBr (x) ⊂ U .
Es decir, hay una bola Br (x) con centro en x y radio r en U .
pero entonces como dijimos x cualquiera, cumple con la definición de vecindad, por
lo cual tenemos que es vecindad de cada uno de sus puntos.
⇐=
Como U es vecindad de cada uno de sus puntos, U ⊂ X, ∃x ∈ X cualquiera y
r ∈ R>0 tal queBr (x) ⊂ U .
pero si eso se cumplía, entonces había una bola Br (x) con centro en x y radio r en U ,
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2. lo cual también cumple con la definición de conjunto abierto, por lo cual U es abierto.
TEOREMA: Sea X un espacio métrico y sea
σ = {A ⊂ X/A es un conjunto abierto}
entonces satisface:
i) ∅, X ∈ σ
ii) Sí σ ′ ⊂ σ , entonces ∪σ ′ ∈ σ
iii) Sí σ ′ ⊂ σ finito, ∩σ ′ = ∩A∈σ A = {x ∈ X/x ∈ A, para todoA ∈ σ ′ }
Podemos traducir todo esto a algo mas simple, es decir:
i) ∅, X son abiertos.
ii) Unión arbitraria de abiertos es abierta.
iii) Intersección finita de abiertos es abierta.
Dem:
i) el ∅ por vacuidad es abierto.
ii) sea x ∈ ∪σ ′ , entonces existe A ⊂ σ ′ tal que A es abierto.
Pero como
A ∈ σ ′ ⊂ σ y σ es un conjunto de abiertos. entonces A es abierto.
como A es abierto ∃Br (x) ⊂ A, x ∈ A
Br (x) ⊂ A ⊂ ∪σ ′ pues A ⊂ σ ′
Br (x) ⊂ ∪σ ′ por lo tanto ∪σ ′ es abierto.
iii) Sea σ ′ finito, σ ′ = {A1 , ..., An }; Ai ∈ σ ′ ⊂ σ
∃Bri (x) ⊂ Ai ; i = 1, 2, ...n
tomemos
r = min1⩽r⩽n ri
tenemos que:
Br (x) ⊂ ∩n i=1 Ai = ∩σ ′
por lo tanto la intersección es abierta.
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