Bitácora correspondiente a la 3ra semana de clases, incluye notas y tareas de dicha semana.

1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
20 de Febrero a 24 de Febrero
TOPOLOG´ I
IA
Miriam J.
Teorema: Sea X un conjunto no vac´ d1 y d2 dos espacios m´tricos so-
ıo, e
bre X.
Si d1 es equivalente a d2 , entonces d1 y d2 generan la misma familia de
conjuntos abiertos en X y rec´ ıprocamente.
Demostraci´n:
o
=⇒) Supongamos que d1 ≈ d2 , es decir, dados r > 0 y x ∈ X existen
1 2 2 1
r1 > 0 y r2 > 0 tales que ∃ Br1 (x) ⊂ Br (x) y Br2 (x) ⊂ Br (x)
Queremos probar que si U es d1 -abierto entonces U es d2 -abierto.
Generalizando:
i
U es di -abierto si (∀x ∈ U) existe rx > 0 tal que Brx (x) ⊂ U, como
j i
di ≈ dj entonces existe Brj (x) ⊂ Brx (x) ⊂ U
j
As´ U ⊂ x∈U Brj (x) ⊂ U por que U = x∈U {x} esto implica que U es
ı
dj -vecindad de cada uno de sus puntos, es decir U es dj -abierto.
⇐=) Supongamos que di genera la misma familia de conjuntos abiertos que
genera dj .
i i
Si Br (x) es un di -abierto, entonces Br (x) es tambi´n dj -abierto, esto es:
e
i j
Br (x) = Br (x) es decir di ≈ dj
Sandy
Teorema (dual):
i) Φ y X son cerrados
1

2. ii) La familia F de conjuntos es estable bajo uniones finita
iii) La familia F es estable bajo intersecci´n arbitraria
o
Hasta ahora hemos visto 3 teoremas importantes para un conjunto abierto U:
Teorema 1: Sean X un espacio m´trico, y ϑ = {A ⊂ X : A es un con-
e
junto abierto} entonces ϑ satisface:
i) φ, X ∈ ϑ
ii) Si ϑ, ⊂ ϑ, entonces ϑ, ∈ ϑ, es decir;
ϑ, = A∈ϑ, A = {x ∈ X : x ∈ A, para alg´n A ∈ ϑ, } ∈ ϑ
u
,
iii) Si ϑ ⊂ ϑ y es finita, entonces
ϑ, = A∈ϑ, A = {x ∈ X : x ∈ A, para toda A ∈ ϑ, }
Teorema 2: El teorema dual del anterior.
Teorema 3: Sea X un conjuntono vac´ d1 y d2 dos espacios m´tricos sobre
ıo, e
X.
Si d1 es equivalente a d2 , entonces d1 y d2 generan la misma familia de
conjuntos abiertos en X y rec´ ıprocamente.
Miriam J.
Definici´n 1.11 Sean X un espacio m´trico, A ⊂ X A = Φ
o e
Un punto x ∈ X es adherente a A si toda vecindad de x interseca al
conjunto A.
Ejemplo: A = (0, 1] ∈
0 es punto adherente
Negaci´n de la definici´n anterior: Si x no es adherente a F, enton-
o o
ces ∃V , una vecindad de x tal que V ∩ F = Φ, es decir V ⊂ F c lo cual
implica que F c es abierto.
Por lo tanto, si F es cerrado, los puntos adherentes a F son puntos de F.
Sandy.
Definici´n 1.12 Dados X un espacio m´trico, A ⊂ X un conjunto cual-
o e
quiera, entonces se define la adherencia o cerradura de A (A− ) como:
2

3. A− = {y ∈ X : y es adherente a A }
Observaci´n: A ⊂ A−
o
A es cerrado ssi A = A−
Tenemos que: A− = min{F ⊂ X : F es cerrado y A ⊂ F }
Teorema Sea F la familia de todos los cerrados que contienen al conjun-
to A, entonces f ⊂F f es cerrada y A ⊂ f ⊂F f = A−
Miriam J y Sandy
Definici´n 1.13 Dados X un espacio m´trico, A ⊂ X, se dice que x es
o e
un punto interior de A si ∃V una vecindad de x, tal que V ⊂ A, entonces se
define el interior de A (Ao ) como:
Ao = {x ∈ X : x es punto interior de A }
Ao = max{U ⊂ X : U es abierto y U ⊂ A }
TAREA 1.6 Demostrar que Aco = A−c
Primero probaremos que Ao = Ac−c
Sabemos que x ∈ Ao ssi existe Nx ∈ η(x) abierta tal que Nx ⊂ A, pero
esto sucede ssi Nx ∩ Ac = Φ ssi (Nx − {x}) ∩ Ac = Φ y x ∈ Ac , lo cual pasa
/
c− c−c
ssi x ∈ A ssi x ∈ A
/
Por lo tanto x ∈ Ao ssi x ∈ Ac−c , por lo cual Ao = Ac−c
Ahora probemos que Aco = A−c
Sea B = Ac y por consecuencia B c = Acc = A, luego por lo que probamos
B o = B c−c lo que sustituyendo queda como Aco = A−c
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