MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptx

Cálculo de Una Variable
Métricas y espacios métricos

2
Objetivos
• Demostrar que una función dada cumple con las
propiedades para ser una métrica.
• Definir matemáticamente lo que representa un espacio
métrico.

3
Introducción
La topología es probablemente la más joven de las ramas
clásicas de las matemáticas.
En contraste con el álgebra, la geometría y la teoría de los
números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la
topología aparece en el siglo diecisiete, con el nombre de
analysis situs, ésto es, análisis de la posición.

4
1. Conceptos Previos

5
• Lógica formal, proposiciones y cuantificadores
• Propiedades de los números Reales
• Manejo algebraico general
• Resolución de Ecuaciones
• Resolución o Manipulación de Inecuaciones
• Funciones de una variable real

6
Propiedad arquimediana de los números naturales
∀𝑥 ∈ ℝ+
, ∃𝑛 ∈ ℕ, 0 <
1
𝑛
< 𝑥
Densidad de los números racionales
Dados dos números reales 𝑎, 𝑏 tal que 𝑎 < 𝑏, entonces:
∃𝑟 ∈ ℚ, 𝑎 < 𝑟 < 𝑏

7
2. Métrica y Espacio Métrico

8
Una noción intuitiva
Métrica
Distancia
P Q
R
Pozo, estoy en
la iglesia, ven
que ya salgo
Eso está lejos,
Quishpe
Son menos de
tres cuadras
Estamos a la
misma
distancia,
ven tú
¡No puedoo!
Además…
debes ir a
ver a Rita
Si voy donde ella
primero… y luego
donde tú estás… es
más lejos que ir
directo!
los espero en 15,
¡cambio y fuera!
Prefiero quedarme en
casa, así no camino
Tú la invitaste,
tú la acompañas

9
Un espacio métrico es un par (𝑋, 𝑑), que comprende a un conjunto no vacío 𝑋, y
una función:
𝑑: 𝑋 × 𝑋 ↦ ℝ
Llamada función distancia, o métrica de 𝑋, tal que cumple los siguientes axiomas:

10
Axiomas:
𝑖) ∀ 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 ∶
𝑖1) 𝑝 ≠ 𝑞 ⟺ 𝑑 𝑝, 𝑞 > 0
𝑖2) 𝑝 = 𝑞 ⟺ 𝑑 𝑝, 𝑞 = 0
𝑖𝑖) ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 , 𝑑 𝑝, 𝑞 = 𝑑 𝑞, 𝑝
𝑖𝑖𝑖) ∀𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑋 , 𝑑 𝑝, 𝑞 ≤ 𝑑 𝑝, 𝑟 + 𝑑 𝑟, 𝑞

11
Una noción intuitiva
P Q
R
Estamos a la
misma
distancia,
ven tú
Además…
debes ir a
ver a Rita
Si voy donde ella
primero… y
luego donde tú estás… es
más lejos que ir
directo!
Prefiero quedarme en casa, así
no camino
Eso está
lejos,
Quishpe
Son menos de
tres cuadras

12
Una vez verificado que el par 𝑋, 𝑑 es una métrica, se dice que:
• Los elementos de 𝑋 son llamados puntos.
• Cuando no exista confusión, se puede hablar del espacio métrico 𝑋
sobreentendiendo que la función distancia existe y es 𝑑.
Obs: El par 𝑋, 𝑑 es muy específico. Un conjunto diferente con la misma función
distancia, o un mismo conjunto con diferente función distancia podrían no
conformar una métrica.

13
𝑋 = ℝ , 𝑑 𝑝, 𝑞 = 𝑝 − 𝑞
𝑋 = ℝ2 , 𝑑
𝑝
𝑞 ,
𝑚
𝑛
= max 𝑝 − 𝑚 , 𝑞 − 𝑛
(E.M. Euclidiano en ℝ)
Ejemplos de Espacios métricos (E.M.) :
(E.M. Euclidiano en ℝ2)
Obs: De no indicarse la métrica a usar, se sobreentenderá que se trata del Espacio
métrico Euclidiano.
𝑋 = ℝ2 , 𝑑
𝑝
𝑞 ,
𝑚
𝑛
= 𝑝 − 𝑚 2 + 𝑞 − 𝑛 2

14
Ejemplo 2.1 | Demuestre que el par 𝑿 = ℝ y 𝒅(𝒑, 𝒒) = |𝒑 − 𝒒| conforma una
métrica.
Se procede a verificar cada uno de los axiomas:
𝑖) ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 ∶
𝑖1) 𝑝 ≠ 𝑞 ⟺ 𝑑 𝑝, 𝑞 > 0
𝑖2) 𝑝 = 𝑞 ⟺ 𝑑 𝑝, 𝑞 = 0

15
𝑝 ≠ 𝑞 ⟺ 𝑑 𝑝, 𝑞 > 0 ∧ 𝑝 = 𝑞 ⟺ 𝑑 𝑝, 𝑞 = 0
La distancia definida está expresada en términos del valor absoluto. Por tanto, se
cumple 𝑑 𝑝, 𝑞 ≥ 0.
Luego, la única forma en que 𝑑 𝑝, 𝑞 = 𝑝 − 𝑞 = 0 es que 𝑝 − 𝑞 = 0 → 𝑝 = 𝑞;
dejando como resultado, que el bicondicional sea verdadero en ambos casos:

16
𝑖𝑖) ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 , 𝑑 𝑝, 𝑞 = 𝑑 𝑞, 𝑝
Una vez más, gracias a las propiedades del valor absoluto, se tiene que:
𝑝 − 𝑞 = 𝑞 − 𝑝
− 𝑞 − 𝑝 = 𝑞 − 𝑝
𝑞 − 𝑝 = 𝑞 − 𝑝
∴ 𝑝 − 𝑞 = 𝑞 − 𝑝

17
𝑖𝑖𝑖) ∀𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑋 , 𝑑 𝑝, 𝑞 ≤ 𝑑 𝑝, 𝑟 + 𝑑 𝑟, 𝑞
𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑝 − 𝑟 + 𝑟 − 𝑞
Se reemplaza por la definición dada:
Por la desigualdad triangular 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 , y escogiendo 𝑎 = 𝑝 − 𝑟,
𝑏 = 𝑟 − 𝑞 → 𝑎 + 𝑏 = 𝑝 − 𝑞; se verifica que 𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑝 − 𝑟 + 𝑟 − 𝑞 es una
proposición verdadera.
∴ Los axiomas se cumplen y 𝑋 = ℝ, 𝑑 𝑝, 𝑞 = 𝑝 − 𝑞 es una métrica.

18
Ejemplo 2.2 | Demuestre que el par (𝑿, 𝒅) conforma una métrica:
𝑿 = ℝ, 𝒅(𝒙, 𝒚) =
𝒙 − 𝒚
𝟏 + 𝒙 − 𝒚

19
Se procede a verificar cada uno de los axiomas:
𝑖) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 ∶
𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑥 − 𝑦 > 0
𝑥 − 𝑦 > 0 → 𝟏 + 𝑥 − 𝑦 > 𝟏 → 1 + 𝑥 − 𝑦 > 0
𝑖1) 𝑥 ≠ 𝑦 ⟺ 𝑑 𝑥, 𝑦 > 0
Luego
𝑥 − 𝑦
1+ 𝑥 − 𝑦
= 𝑑 𝑥, 𝑦 > 0. De igual manera, si 𝑑 𝑥, 𝑦 > 0 → 𝑥 ≠ 𝑦.
El bicondicional es verdadero y, por lo tanto, se satisface 𝑖1)

20
𝑖) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 ∶ 𝑖2) 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0
𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 − 𝑦 = 0 ↔ 𝑥 − 𝑦 = 0
Así: 𝑑 𝑥, 𝑦 =
|𝑥 −𝑦|
1+ |𝑥 −𝑦|
=
0
1+0
= 0
Además, si 𝑑 𝑥, 𝑦 =
𝑥 − 𝑦
1+ 𝑥 − 𝑦
= 0 → 𝑥 − 𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑦
El bicondicional es verdadero, se satisface 𝑖2)
∴ Se cumple 𝑖)

21
𝑖𝑖) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥
Gracias a las propiedades del valor absoluto, se tiene que:
𝑑 𝑥, 𝑦 =
|𝑥 − 𝑦|
1+ |𝑥 − 𝑦|
=
|− 𝑦− 𝑥 |
1+ |− 𝑦 − 𝑥 |
=
|𝑦 − 𝑥|
1+ |𝑦 − 𝑥|
= 𝑑 𝑦, 𝑥
∴ Se cumple 𝑖𝑖)

22
𝑖𝑖𝑖) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 , 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦
𝑥−𝑦
1+ 𝑥−𝑦
≤
𝑥−𝑧
1+ 𝑥−𝑧
+
𝑧−𝑦
1+ 𝑧−𝑦
Se reemplaza por la definición dada:
Si 𝑥 = 𝑦, 𝑥 = 𝑧 o 𝑧 = 𝑦, la desigualdad se cumple. Descartando esos casos, se tiene
que: 𝑥 − 𝑦 > 0, 𝑥 − 𝑧 > 0 y 𝑧 − 𝑦 > 0

23
Considerando los recíprocos y sumando 1 en ambos miembros:
1
𝑥 − 𝑦
≥
1
𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
1
𝑥 − 𝑦
+ 1 ≥
1
𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
+ 1
1 + 𝑥 − 𝑦
𝑥 − 𝑦
≥
1 + 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
Partiendo de la desigualdad triangular:
𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦

24
Obteniendo nuevamente los recíprocos:
𝑥 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑦
≤
𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
Separando sumandos en el miembro derecho de la desigualdad:
𝑥 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑦
≤
𝑥 − 𝑧
1 + 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
+
𝑧 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦

25
Eliminando términos positivos del denominador, cada fracción tiene mayor valor:
𝑥 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑦
≤
𝑥 − 𝑧
1 + 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
+
𝑧 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦
≤
𝑥 − 𝑧
1 + 𝑥 − 𝑧
+
𝑧 − 𝑦
1 + 𝑧 − 𝑦
Por transitividad:
𝑥 − 𝑦
1 + 𝑥 − 𝑦
≤
𝑥 − 𝑧
1 + 𝑥 − 𝑧
+
𝑧 − 𝑦
1 + 𝑧 − 𝑦
𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦
Cumpliéndose el tercer axioma. Finalmente el par 𝑋, 𝑑 conforma una métrica.

26
Objetivos
• Definir elementos topológicos: bola abierta y punto de
acumulación.
• Relacionar los elementos topológicos con la definición del
límite de una función.

27
3. Entorno, Vecindad o Bola

28
Sea el espacio métrico 𝑋, 𝑑 , se define al entorno, vecindad o bola, con centro en
𝑐 y de radio 𝑟, como el conjunto:
N𝑟 𝑐 = 𝑥 ∈ 𝑋/𝑑 𝑥, 𝑐 < 𝑟
Bajo las mismas condiciones, se define al entorno no incluido, con centro en 𝑐 y de
radio 𝑟, como el conjunto:
N
o
𝑟 𝑐 = 𝑥 ∈ 𝑋/0 < 𝑑 𝑥, 𝑐 < 𝑟
N𝒓 𝒄
𝒄
( )
𝒄 + 𝒓
𝒄 − 𝒓
N
o
𝒓 𝒄
𝒄
( )
𝒄 + 𝒓
𝒄 − 𝒓

29
Ejemplo 3.1| Exprese, de ser posible, en notación de conjunto los siguientes
entornos indicados:
N2 2
N1 −2
N−3 4
N
o
3 −5
N
o
8 8

30
Ejemplo 3.1| Exprese, de ser posible, en notación de conjunto los siguientes
entornos indicados:
N2 2 = 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 − 2 < 2
N1 −2 = 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 + 2 < 1
N−3 4 , 𝑟 = −3 → 𝑟 < 0. No es posible expresar el conjunto.
N
o
3 −5 = 𝑥 ∈ 𝑋, 0 < 𝑥 + 5 < 3
N
o
8 8 = 𝑥 ∈ 𝑋, 0 < 𝑥 − 8 < 8

31
Ejemplo 3.2| Relacione con líneas los puntos y los entornos a los cuales
pertenecen.
−3
−6
𝜋
2
8
N2 2
N1 −2
N
o
3 −5
N
o
8 8

32
Ejemplo 3.2| Relacione con líneas los puntos y los entornos a los cuales
pertenecen.
−3
−6
𝜋
2
8 …
N2 2
N1 −2
N
o
3 −5
N
o
8 8

33
4. Punto de acumulación

34
Sean 𝑋 una métrica con distancia 𝑑, 𝐸 un subconjunto de 𝑋, 𝑐 un punto de 𝑋 y 𝑟 un
número real
Un punto 𝑐, será de acumulación, si y sólo si:
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 𝑐 ∩ 𝐸 ≠ ∅
Obs: El punto 𝑐 no necesariamente es un elemento de 𝐸

35
Al conjunto formado por todos los puntos de acumulación de 𝐸 se conoce como
Conjunto Derivado de E y se lo denota como 𝑬′.
Si un determinado punto 𝑐 pertenece a 𝐸 pero no es de acumulación, se lo
denomina Punto Aislado. Negando la definición de punto de acumulación, se puede
obtener su definición:
∃𝑟 > 0, N
o
𝑟 𝑐 ∩ 𝐸 = ∅
El conjunto de puntos aislados se puede obtener como 𝐸−𝐸′

36
Ejemplo 4.1| ¿Es 𝑥 = 𝟔, un punto de acumulación de 𝐸 = (𝟐, 𝟕]?

37
Para ser punto de acumulación, se debe cumplir que:
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 𝑐 ∩ 𝐸 ≠ ∅

38
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 𝑐 ∩ 𝐸 ≠ ∅
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 6 ∩ 2, 7 ≠ ∅
Es decir, que TODO entorno no incluido (sin importar su radio) centrado en 𝑥 = 6
TENGA elementos en común con el conjunto 𝐸.

39
𝐸
𝟓
( ]
Para 𝑟 = 2.5; 𝐸 = 2, 7
𝟔 𝟕 𝟖 𝟗
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
( )
✓
( ]
N
o
𝟐.𝟓 6
N
o
𝟐.𝟓 6 ∩ 𝐸

40
𝐸
𝟓
( ]
Para 𝑟 = 2; 𝐸 = 2, 7
𝟔 𝟕 𝟖 𝟗
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
( )
✓
( ]
N
o
𝟐 6
N
o
𝟐 6 ∩ 𝐸

41
𝐸
𝟓
( ]
Para 𝑟 = 0.3 ; 𝐸 = 2, 7
𝟔 𝟕 𝟖 𝟗
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
( )
✓
( )
N
o
𝟎.𝟑 6
N
o
𝟎.𝟑 6 ∩ 𝐸

42
( ]
𝐸
𝟓
Para todo 𝑟 > 0; 𝐸 = 2, 7
𝟔 𝟕 𝟖 𝟗
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
( )
𝑥 = 6 sí es punto de
acumulación de 𝐸.
( )
N
o
𝒓 6
N
o
𝒓 6 ∩ 𝐸

43
Ejemplo 4.2| ¿Es 𝑥 = −𝟏, un punto de acumulación de 𝐸 = (−𝟏, 𝟎]?

44
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 𝑐 ∩ 𝐸 ≠ ∅
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 −1 ∩ −1, 0 ≠ ∅
Es decir, que TODO entorno no incluido (sin importar su radio) centrado en 𝑥 = −1
Ejemplo 4.2| ¿Es 𝑥 = −𝟏, un punto de acumulación de 𝐸 = (−𝟏, 𝟎]?

45
𝐸
−𝟏
( ]
Para 𝑟 = 2; 𝐸 = −1, 0
𝟎 𝟏
−𝟐
−𝟑
( )
✓
]
(
N
o
𝟐 −1
N
o
𝟐 −1 ∩ 𝐸

46
−𝟏 𝟎 𝟏
−𝟐
−𝟑
𝐸 ( ]
Para 𝑟 = 1 2 ; 𝐸 = −1, 0
( )
✓
( )
N
o
1 𝟐 −1
N
o
𝟏 𝟐 −1 ∩ 𝐸

47
−𝟏 𝟎 𝟏
−𝟐
−𝟑
𝐸 ( ]
Para todo 𝑟 > 0; 𝐸 = −1, 0
( )
𝑥 = −1 sí es punto de
acumulación de 𝐸.
Obs: 𝑥 = −1 no pertenece a 𝐸
( )
N
o
𝒓 −1
N
o
𝒓 −1 ∩ 𝐸

48
Ejemplo 4.3| Analice si 𝑥 = 𝟎, es un punto de acumulación del conjunto
𝑬 = −𝟐, −𝟏 ∪ 𝟎 ∪ 𝟎. 𝟓, 𝟑 ?

49
Se debe cumplir que:
∀𝑟 > 0, N
o
𝑟 0 ∩ −2, −1 ∪ 0 ∪ 0.5, 3 ≠ ∅
Es decir, que TODO entorno no incluido (sin importar su radio) centrado en 𝑥 = 0
Si existe AL MENOS un entorno no incluido centrado en 𝑥 = 0 que NO se
interseque con 𝐸, se especifica que 𝑥 = 0 NO es punto de acumulación para 𝐸.
Ejemplo 4.3| Analice si 𝑥 = 𝟎, es un punto de acumulación del conjunto
𝑬 = −𝟐, −𝟏 ∪ 𝟎 ∪ 𝟎. 𝟓, 𝟑

50
𝐸
𝟎
( ]
Para 𝑟 = 2; 𝐸 = −2, −1 ∪ 0 ∪ 0.5, 3
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
( )
✓
[ )
( ] [ )
N
o
𝟐 0 ∩ 𝐸
N
o
𝟐 0

51
Para 𝑟 = 0.1; 𝐸 = −2, −1 ∪ 0 ∪ 0.5, 3
𝐗
No hay intersección, por lo tanto 𝑥 = 0
NO es punto de acumulación de 𝐸.
𝐸
𝟎
( ]
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
)
[
()
N
o
𝟐 0 ∩ 𝐸 = ∅
N
o
𝟎.𝟏 0

52
Para 𝑟 = 0.1; 𝐸 = −2, −1 ∪ 0 ∪ 0.5, 3
𝐸
𝟎
( ]
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
)
[
()
N
o
𝟐 0 ∩ 𝐸 = ∅
Obs: 𝑥 = 0 pertenece a 𝐸, pero no es punto
de acumulación, entonces es punto aislado.
N
o
𝟎.𝟏 0

53
Ejemplo 4.4| Determine el conjunto derivado de 𝐸, si:
𝐸 = −7, −2 ∪ 3

54
𝐸 = −7, −2 ∪ 3
• Tanto 𝑥 = −7, como 𝑥 = −2 son puntos de acumulación
• 𝑥 = 3 es un punto aislado
• Todo el intervalo −7, −2 contiene puntos de acumulación

55
𝐸 = −7, −2 ∪ 3
• Tanto 𝑥 = −7, como 𝑥 = −2 son puntos de acumulación
• 𝑥 = 3 es un punto aislado
• Todo el intervalo −7, −2 contiene puntos de acumulación
Entonces, el conjunto derivado de 𝐸 es 𝐸′ = −7, −2 ∪ −7, −2 = −7, −2

56
5. Definición formal de límite
Considere:
• Los espacios métricos 𝑋, 𝑑𝑋 y 𝑌, 𝑑𝑌
• 𝐸 como subconjunto de 𝑋
• 𝑐 un punto de acumulación de 𝐸
• Una función 𝑓: 𝐸 ↦ 𝑌
• 𝜀, 𝛿, 𝐿 ∈ ℝ
Se dice que 𝐿 es el límite de 𝑓 en 𝑐, denotado lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 , si y sólo si:
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐸 𝑥 ∈ N
o
𝛿 𝑐 ⇒ 𝑓 𝑥 ∈ N𝜀 𝐿

57
En adelante, se trabajará únicamente con el espacio métrico euclidiano para 𝑋 y 𝑌.
Se considera entonces:
• 𝐸 como subconjunto de ℝ
• 𝑐 un punto de acumulación de 𝐸
• Una función 𝑓: 𝐸 ↦ 𝑌, por lo tanto, 𝐸 = 𝑑𝑜𝑚𝑓
• 𝜀, 𝛿, 𝐿 ∈ ℝ
Se tiene que:
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀

58
Conocida como “definición épsilon-delta”
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳 ⟺ ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝜹 > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝒅𝒐𝒎 𝒇 𝟎 < 𝒙 − 𝒄 < 𝜹 ⇒ 𝒇(𝒙) − 𝑳 < 𝜺
𝒇 𝒙 ∈ N
o
𝜺 𝑳
𝒙 ∈ N
o
𝜹 𝒄
𝑳
( ) 𝑳 + 𝜺
𝑳 − 𝜺
𝒇
𝒄
( )𝒄 + 𝜹
𝒄 − 𝜹
𝑥
𝑦
𝒙
𝒇(𝒙)
𝒄
( )𝒄 + 𝜹
𝒄 − 𝜹
𝑥
𝑳
𝑳 + 𝜺
𝑳 − 𝜺
(
)
𝑦
𝒇
𝒇(𝒙)
𝒙

59
Ejemplo 5.1| Exprese el siguiente límite según su definición formal:
lim
𝑥→4
𝑥 = 2
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 0 < 𝑥 − 4 < 𝛿 ⇒ 𝑥 − 2 < 𝜀
El valor “𝑐” es 𝑐 = 4.
La función 𝑓 es 𝑓 𝑥 = 𝑥.
El límite es 𝐿 = 2.
Entonces su definición formal es:

60
Ejemplo 5.2| Exprese el siguiente límite según su definición formal:
lim
𝑥→3
2
𝑥 − 5
= −1
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇒
2
𝑥 − 5
+ 1 < 𝜀
El valor “𝑐” es 𝑐 = 3.
La función 𝑓 es 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−5
.
El límite es 𝐿 = −1.
Entonces su definición formal es:

61
Referencias
• Bustamante, J. (2013). Nociones de Topología.
• Guccione, J., & Guccione, J. (2014). Espacios Métricos.
• Macho, M. (2009). Topología de Espacios Métricos.

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