2. Razones de cambio y límites
La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida
durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del
intervalo.
3. Ejemplo 1
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez
promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1
segundo del segundo 1 al segundo 2?
La caída esta gobernada por la siguiente ecuación
y = 5.1 t2
m
a) los primeros 2 segundos: ( ) ( ) m/s2.10
02
01.521.5
22
=
−
−
=
∆
∆
t
y
b) del segundo 1 al 2: ( ) ( ) m/s4.20
12
11.521.5
22
=
−
−
=
∆
∆
t
y
4. Ejemplo 2
Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2.
La rapidez promedio en el intervalo [t0 , t0 + h] es
Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y
obtenemos la siguiente tabla
( ) ( )
h
tht
t
y
2
0
2
0 1.51.5 −+
=
∆
∆
Longitud del
intervalo de
tiempo h
Rapidez promedio en
un intervalo de
tiempo de longitud h,
empezando en t0 = 1
Rapidez promedio en
un intervalo de
tiempo de longitud h,
empezando en t0 = 2
1 15.3 25.5
0.1 10.71 20.91
0.01 10.251 20.451
0.001 10.2051 20.4051
0.0001 10.20051 20.40051
Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.
5. Rectas secantes
La razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x1, x2]
es
( ) ( ) ( ) ( )
h
xfhxf
xx
xfxf
t
y 11
12
12 −+
=
−
−
=
∆
∆
x1 x2
∆x
∆ysecante
P(x1,f(x1))
Q(x2,f(x2))
y = f(x)
x
y
6. Límites de funciones
Analicemos la función: ( )
1
12
−
−
=
x
x
xf
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
( ) ( )( ) 1
1
11
1
12
+=
−
+−
=
−
−
= x
x
xx
x
x
xf x ≠ 1
x
y
1
1
–1
0
( )
1
12
−
−
==
x
x
xfy
2
x
y
1
1
–1
0
y = x + 1
2
7. Valores de x menores y
mayores 1ue 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
( ) 1
1
12
+=
−
−
= x
x
x
xf x ≠ 1
Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
( ) 2
1
1
lim2lim
2
11
=
−
−
=
→→ x
x
oxf
xx
8. Definición informal de límite
Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si
f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se
dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
( ) Lxf
x
=
→10
lim
x
y
1
1
–1
0
( )
1
1
)
2
−
−
=
x
x
xfa
2
x
y
1
1
–1
0
( ) 1) += xxhc
2
x
y
1
1
–1
0
( )
=
≠
−
−
=
1,1
1,
1
1
)
2
x
x
x
x
xgb
2
9. Funciones sin límite en un punto
≥
<
=
0,1
0,0
)
x
x
yb
La función salta
-3 -2 -1 0 1 2 3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
=
≠
=
0,0
0,
1
)
x
x
xyb
Crece demasiado
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
>
≤
=
0,
1
sen
0,0
)
x
x
x
yc
Oscila demasiado
10. Ejercicio
1
1
2 3
y = g(x)
y
x
( )xg
x 1
lim
+→
Encontrar
( )xg
x 2
lim
+→
( )xg
x 3
lim
+→
11. Tarea #9
Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –
6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx→–6 g(x)?
( )
124
6
2
−+
+
=
xx
x
xg
Haga tablas con los valores de G en valores de t que se aproximan a t0 = 0 por arriba
y por abajo. Luego estime limt→0 G(t).
( ) ( )
2
cos1
t
t
tG
−
=
12. Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limx→c f(x) = L y limx→c g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma: limx→c [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limx→c [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limx→c f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limx→c k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limx→c f(x) / g(x) = L / M, M ≠ 0
6. Regla de la potencia: limx→c [f(x)]m/n
= Lm/n
13. Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn
+ an–1 xn–1
+...+ a0, entonces
limx→c P(x) = P(c) = ancn
+ an–1 cn–1
+...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del
denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) ≠ 0, entonces
limx→c P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
14. Eliminación de denominador
cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos
casos simplificar la fracción y calcular el límite.
xx
xx
x −
−+
→ 2
2
1
2
lim
h
h
h
22
lim
0
−+
→
15. Teorema del emparedado
supóngase que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c,
excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que
( ) ( ) Lxhxg
cxcx
==
→→
limlim
Entonces ( ) Lxf
cx
=
→
lim
g
f
h
c
L
y
x
17. Uso del teorema del emparedado
Demostración del límite de sen(θ)/θ cuando θ tiende a 0
1
P
T
tan θ
sen θ
cos θ
θ
1
A(1, 0)QO
arco de longitud θ
De la figura se ve que:
sen θ ≤ θ ≤ tan θ
Dividiendo entre sen θ :
1 ≤ θ /sen θ ≤ tan θ / sen θ = 1/cos θ
Invirtiendo cada término
1 ≥ sen θ / θ ≥ cos θ
Tomando el límite
limθ→0 1 ≥ limθ→0 sen θ / θ ≥ limθ→0 cos θ
pero
limθ→0 cos θ = 1
Por el teorema del emparedado limθ→0 sen θ/θ = 1
18. Límites de razones de cambio
En cálculo aparecen límites de la forma:
( ) ( )
h
xfhxf
h
−+
→0
lim
Ejemplo:
Sea f(x) = x2
encuentre el límite de la razón de cambio en x = –2
( ) ( ) ( ) xhx
h
hhx
h
xhx
h
xfhxf
hhhh
22lim
2
limlimlim
0
2
0
22
00
=+=
+
=
−+
=
−+
→→→→
Sustituyendo valores
( ) ( ) ( ) 422lim
0
−=−=
−+
→ h
xfhxf
h
19. Tarea #10
65
2
lim 22 ++
+
→ yy
y
y
x
xx
x −
−
→ 2
4
lim
2
4
232 2
42
lim
xx
x
x +
−−
−→
1
38
lim
2
1 +
−+
−→ x
x
x
( ) ( )
h
xfhxf
h
−+
→0
lim
Evalúe el límite de la razón de cambio para:
f(x) = 3x – 4, x = 2
f(x) = 1/x , x = –2
20. Valores objetivo
Control de una función lineal
¿Qué tan cerca de x0 = 4 debemos mantener el valor de entrada x para estar
seguros de que el resultado de y = 2x – 1 a menos de 2 unidades de y = 7?
Para que valores de x es | y – 7 | < 2
| y – 7 | = | (2x – 1) – 7 | = | 2x – 8 |
o | 2x – 8 | < 2
Resolviendo
3 < x < 5 o –1 < x – 4 < 1
3 4 5
9
7
5
Restringe esto
Paracontrolar
esto
y = 2x – 1
Cota superior
Cota inferior
y
x
21. ejemplo
¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = π62
h = 36πh
¿Con qué precisión se debe medir h para
medir 1 L(1000 cm3
) con un error no
mayor de 1% (10 cm3
)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36πh – 1000 | ≤ 10
| 36πh – 1000 | ≤ 10
–10 ≤ 36πh – 1000 ≤ 10
990 ≤ 36πh ≤ 1010
990 /36π ≤ h ≤ 1010 /36π
8.8 ≤ h ≤ 8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
h
r = 6 cm
22. Proceso del cálculo de un límite
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < ε = 1/10
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < δ1/10 (un número)
x0+δ1/10x0+δ1/10
x0
L
L +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < ε = 1/100
x0
L
L +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < δ1/100
x0+δ1/100x0+δ1/100
23. x0
L
L +1/1000
L–1/1000
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < ε = 1/1000
x0
L
L +1/1000
L–1/1000
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < δ1/1000
x0+δ1/1000x0+δ1/1000
x0
L
L +1/1000000
L–1/1000000
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < ε = 1/1000
x0
L
L +1/1000000
L–1/1000000
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < δ1/1000000
x0+δ1/1000000x0+δ1/1000000
24. Definición de límite
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0.
Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos
si, para cada número ε > 0, existe un número correspondiente δ > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < δ ⇒ | f(x) – L | < ε
( ) Lxf
xx
=
→ 0
lim
25. Como encontrar una δ
Cómo encontrar algebraicamente una δ para f, L, x0, y ε > 0 dados
Para hallar una δ > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < δ ⇒ | f(x) –L | < ε
Deben seguirse dos pasos
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < ε para encontrar un intervalo abierto (a,
b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor δ > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – δ, x0 + δ) con
centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < ε se cumplirá para
toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por δ.
26. Tarea #11
Hallar una δ > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < δ ⇒ | f(x) – L | < ε
Dados
f(x) = 2x – 2, L = – 6, x0 = – 2, ε = 0.02
f(x) = √19 – x , L = 3, x0 = 10, ε = 1
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < ε para encontrar un intervalo abierto (a,
b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor δ > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – δ, x0 + δ) con
centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < ε se cumplirá para
toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por δ.
27. Demostración de teoremas
Regla para el límite de una suma
Dado que lim x→c f(x) = L y limx→c g(x) = M, demostrar que
lim x→c (f(x) + g(x)) = L + M
Sea ε > 0, se quiere hallar un número positivo δ tal que para toda x
0 < | x – x0 | < δ ⇒ | f(x) + g(x) – (L + M)| < ε
Reagrupando
| f(x) + g(x) – (L + M)| = | (f(x) – L) + (g(x) – M)|
≤ | f(x) – L | + |g(x) – M |
Ya que limx→c f(x) = L, Existe δ1 > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < δ1 ⇒ | f(x) – L | < ε/2
Análogamente
0 < | x – x0 | < δ2 ⇒ | g(x) – M| < ε/2
Sea δ= min(δ1, δ2) por lo tanto
| f(x) + g(x) – (L + M)| < ε/2 + ε/2 = ε
Esto muestra que
lim x→c (f(x) + g(x)) = L + M
28. Límites por un lado
Definición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
( ) Lxf
ax
=+
→
lim
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
( ) Mxf
ax
=−
→
lim
29. Límites por un lado y bilaterales
Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la
derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx → c f (x) = L ⇔ Limx → c– f (x) = L y Limx → c+ f (x) = L
30. Ejemplo
( ) 1lim
0
=+
→
xf
x
( ) ( ) existennoxfyxf
xx 00
limlim
→→ −
( ) 0lim
1
=−
→
xf
x
( ) 1lim
1
=+
→
xf
x
( ) existenoxf
x 1
lim
→
( ) 1lim
2
=−
→
xf
x
( ) 1lim
2
=+
→
xf
x
( ) 1lim
2
=
→
xf
x
( ) ( ) ( ) ( ) 23limlimlim
333
====
→→→ +−
fxfxfxf
xxx
( ) 1lim
4
=−
→
xf
x
( ) ( ) existennoxfyxf
xx 44
limlim
→→ +
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
31. Tarea #12
¿cuáles límites son verdaderos y cuales son
falsos?
( ) 1lim
1
=+
→
xf
x
( ) 0lim
0
=−
→
xf
x
( ) 1lim
0
=−
→
xf
x
( ) ( )xfxf
xx +−
→→
=
00
limlim
( ) existexf
x
=
→0
lim ( ) 0lim
0
=
→
xf
x
( ) 1lim
0
=
→
xf
x
( ) 1lim
1
=
→
xf
x
( ) 0lim
1
=
→
xf
x
( ) 2lim
2
=−
→
xf
x
( ) existenoxf
x
=−
→1
lim ( ) 2lim
2
=+
→
xf
x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
32. Límites infinitos
Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo,
se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
( ) ∞=
→
xf
cx
lim
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de
cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito
negativo.
( ) −∞=
→
xf
cx
lim
33. -3 -2 -1 0 1 2 3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Ejemplos
∞=+
→ xx
1
lim
0
x
y
−∞=−
→ xx
1
lim
0
y = 1/x
36. 0
5
10
15
20
25
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
y
( )
∞=
++
−→
2
3 3
1
lim
xx
( )
∞=
+−
→
2
3 3
1
lim
xx
( )2
3
1
+
=
x
y
37. Límites de funciones racionales
( ) ( )
( )( )
( )
( )
0
2
2
lim
22
2
lim
4
2
lim
2
2
22
2
2
=
+
−
=
+−
−
=
−
−
→→→ x
x
xx
x
x
x
xxx
( )( ) ( ) 4
1
2
1
lim
22
2
lim
4
2
lim
2222
=
+
=
+−
−
=
−
−
→→→ xxx
x
x
x
xxx
( )( )
−∞=
+−
−
=
−
−
→→ −
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
( )( )
∞=
+−
−
=
−
−
→→ +
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
( )( )
existeno
xx
x
x
x
xx
=
+−
−
=
−
−
→→ 22
3
lim
4
3
lim
222
( )
( )
( ) ( )
−∞=
−
−
=
−
−−
=
−
−
→→→ − 22323
2 2
1
lim
2
2
lim
2
2
lim
xx
x
x
x
xxx
38. Definición formal de límite
lateralLímite por la derecha
Decimos que f(x) tiene un límite por la derecha L en x0, y escribimos
Si para cada número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que para toda x
x0 < x < x0 + δ ⇒ | f(x) – L | < ε
( ) Lxf
xx
=+
→ 0
lim
Límite por la izquierda
Decimos que f(x) tiene un límite por la izquierda L en x0, y escribimos
Si para cada número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que para toda x
x0 – δ < x < x0 ⇒ | f(x) – L | < ε
( ) Lxf
xx
=−
→ 0
lim
39. Definición formal de límites
infinitosLímites infinitos
Decimos que f(x) se aproxima a infinito cuando x tiende a x0, y escribimos
Si para cualquier número real positivo B existe un número δ > 0 tal que para
toda x
0 < | x – x0 |< δ ⇒ f(x) > B
( ) ∞=
→
xf
xx 0
lim
Decimos que f(x) se aproxima a menos infinito cuando x tiende a x0, y
escribimos
( ) −∞=
→
xf
xx 0
lim
Si para cualquier número real negativo –B existe un número δ > 0 tal que
para toda x
0 < | x – x0 |< δ ⇒ f(x) < –B
40. Continuidad
Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
( ) ( )cfxf
cx
=
→
lim
43. Tipos de discontinuidades
xy = Discontinuidad escalonada
x
seny
1
= Discontinuidad oscilante
2
1
−
=
x
y Discontinuidad infinita
2
22
−
−
=
x
x
y Discontinuidad removible
44. Continuidad en los extremos
Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si
( ) ( )afxf
ax
=+
→
lim
Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si
( ) ( )bfxf
bx
=−
→
lim
y = f(x)
a c b
45. Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx →c f(x) existe (f tiene un límite cuando x→c)
3. Limx →c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
46. Ejemplo
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Continua
Discontinua
47. Reglas de continuidad
Teorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son
continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n
(si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son
enteros)
48. Continuidad de polinomios
Teorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional
es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
( ) ( )
( ) ( )25
20x4
−
+
==
xxxg
xf
xr
Ejemplo:
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y
f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx→0| x | = 0.
49. Continuidad de la composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.
f g
g ° f
f (c) g(f (c))Continua en c Continua en f(c)
Continua en c
51. Tarea #14
1
1
20
Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.
¿En qué puntos son continuas las siguientes
funciones?
34
1
2
+−
+
=
xx
x
y xsenxy +−= 1
1
tan
2
+
=
x
xx
y
a) b) c)
-1
52. Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limx→c f(c ) = L, se
puede definir una función F(x) usando la regla
f(x) si x está en el dominio de f
F(x) =
L si x = c
Ejemplo:
( )
4
6
2
2
−
−+
=
x
xx
xf
Se puede simplificar en:
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )2
3
22
32
4
6
2
2
+
+
=
+−
+−
=
−
−+
=
x
x
xx
xx
x
xx
xf
Que es continua en x = 2
53. Teorema del valor intermedio
Teorema 9
Suponga que f(x) es continua en un intervalo I, y que a y b son dos puntos en I.
Entonces, si y0 es un número entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que
f(c) = y0.
f(a)
f(b)
f(c)
a b c x
y
0
54. Consecuencias del teorema del
valor intermedio
Conexidad
La gráfica de una función continua no debe tener salto, debe ser conexa, una curva
ininterrumpida.
Búsqueda de raíces
Una raíz es una solución a la ecuación f(x) = 0. Si el valor de la función f(x) cambia
de signo en algún intervalo, entonces debe tener una raíz dentro del intervalo.
55. Ejemplos
Definir g(3) de modo que extienda a g(x) = (x2
– 9)/(x – 3) y sea continua en x = 3.
Definir g(4) de modo que extienda a g(x) = (x2
– 16)/(x2
– 3x – 4) y sea continua en
x = 4.
56. Explicar por qué la ecuación cos x =x tiene al menos una solución
Demuestra que la ecuación x3
– 15x + 1 = 0 tiene 3 soluciones en el intervalo [-4,
4].
Dar un ejemplo de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las cuales la
composición f ° g sea discontinua en x = 0. ¿Contradice el teorema 8?
57. Tarea #15
¿Para que valor de a, f(x) es continua para toda x?
x2
– 1 x<3
f(x) =
2ax x ≥ 3
Definir f(4) de modo que extienda a f(x) = (x3
– 1)/(x2
– 1) y sea continua en x = 1.
Demuestra que la función f(x) = (x – a)2
(x – b)2
+ x toma el valor (a + b)/2.
59. Definición de tangente(?)
1. L pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y por el centro de C.
2. L pasa por un solo punto de C, a saber, P.
3. L pasa por P y queda de un solo lado de C.
P
L
C
P
LC
P
L
C
L toca un solo punto de C L es tangente a C en P, pero
toca a C en varios puntos
L es tangente a C en P, pero
está en ambos lados de C
