1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
19 de Marzo a 23 de Marzo
TOPOLOG´ I
IA
MIRIAM J.
Definici´n 1.25: Sean A ⊂ X y x ∈ X, x es un punto f ronterizo, x ∈ F r(A)
o
si ∀ V vecindad de x, V ∩ A = ∅ ∧ V ∩ Ac = ∅.
F r(A) = {x ∈ X : x es punto fronterizo de A }
Definici´n 1.26: Sea A ⊂ X, x es un punto exterior si existe una V vecin-
o
dad de x tal que V ∩ A = ∅. Denotamos x ∈ ext(A)
Definici´n 1.27:
o
Aa = {x ∈ X : x es punto de acumulaci´n de A}
o
b
A = {x ∈ X : x es punto fronterizo de A}
Ac = {x ∈ X : x no pertenece a A}
Ae = {x ∈ X : ∃ V (x) tal que V (x) A = ∅}
Ai = {x ∈ X : ∃ V (x) tal que V (x) ⊂ A}
A− = A ∪ Ac
Definici´n 1.28: A es denso en cualquier parte si A− = X
o
x ∈ X cualquiera, V vecindad de x cualquiera V ∩ A = ∅
Definici´n 1.29: A es denso en ninguna parte si Ac es denso en cualquier
o
parte.
”TAREA 1.12”
Teorema de Baire: Sea X un espacio m´trico completo. Sea (Ui )i∈ℵ
e
una familia numerable de conjuntos abiertos y densos en X. Probar que
i∈ℵ Ui = ∅
1

2. Demostraci´n: o
Sean x ∈ X y > 0. Mostraremos que la intersecci´n B (x) ∩ U no es
o
vac´
ıa.
Como U1 es denso, existe x1 ∈ B (x) ∩ U1 . Tanto B (x) como U1 son
abiertos, por lo que B (x) ∩ U1 es tambi´n abierto y podemos encontrar un
e
δ1 > 0 tal que
Bδ1 (x1 ) ⊂ B (x) ∩ U1
Sea r1 = m´ { δ21 , 2 },
ın
¯
y A1 = Br1 (x1 ).
A1 es cerrado y es subconjunto de B (x) ∩ U1 . De igual forma, ya que U2
es abierto y denso en X, podemos encontrar x2 ∈ X y r2 ≤ 4 tales que
¯
A2 = Br2 (x2 ) ⊂ Br1 (x1 ) ∩ U2 ⊂ B (x) ∩ U2 .
Por inducci´n, constru´
o ımos una sucesi´n decreciente de conjuntos cerra-
o
dos no vac´ An tal que
ıos
diam An ≤ 2n−1
y An ⊂ B (x) ∩ Un .
Por el teorema de Cantor, n An = {x0 } para alg´n x0 ∈ X. Pero entonces
u
x0 ∈⊂ An ⊂ B (x) ∩ Un
para todo n, por lo que conclu´ ımos que x0 ∈ B (x) ∩ U .
SANDY
Definici´n 1.30: Sean X un espacio m´trico y A ⊂ X, A es compacto
o e
si toda sucesi´n de puntos de A tiene un punto de acumulaci´n en A.
o o
Lema: Si X es un espacio m´trico y A es compacto (A ⊂ X), entonces
e
A es cerrado.
Demostraci´n:
o
A es cerrado si A = A− = A ∪ Aa ⇒ Aa ⊂ A
Sea x ∈ A− q.p.p x ∈ A
ie: A ∪ Aa ⊂ A ⇒ A = A ∪ Aa ⇒ Aa ⊂ A
Si x ∈ A− ⇒ {xn }n∈ℵ tal que xn − → → ∞
n− −
−∞
a
Si x ∈ A ⇒ ∀ > 0 ∃B (x) tal que B (x) ∩ A = ∅
1
sea = n , xn ∈ B 1 (x) A, xn → x
n
Por lo tanto x ∈ A y Aa ⊂ A ⇒ A = A ∪ Aa = A−
Por lo tanto A es cerrado.
Lema: Si X es un espacio m´trico y A es compacto (A ⊂ X), entonces
e
2

3. A est´ acotado.
a
Demostraci´n:
o
Supongamos que A no est´ acotado, entonces ∃{xn }n∈ℵ ⊂ A tal que
a
d(x, xn ) ≥ n, como A es compacto {xn }n∈ℵ tiene un punto de acumulaci´n
o
(y) en A y adem´s y ∈ A, es decir:
a
d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y)
m ≤ d(x, xm ) ≤ d(x, y) + d(y, xm )
m ≤ d + (contradicci´n) o
Por lo tanto A est´ acotado.
a
”TAREA 1.13”
Lema: Si X es un espacio m´trico compacto, entonces X es completo.
e
Demostraci´n: o
Sea {xn }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy en X. Como X es compacto, {xn }n∈ℵ
o
tiene un punto de acumulaci´n y en X.
o
P.D {xn }n∈ℵ → y
Sea S ⊂ X un subconjunto.
Si y ∈ S ⊂ S es un punto de acumulaci´n, para todo r > 0 se cum-
o
ple que (Br (y){y}) ∩ S = ∅ y esta intersecci´n contiene infinitos puntos.
o
Construimos entonces la sucesi´n siguiente tomando para r > 0 los valores
o
1 1
1, 2 , ..., n , ..., sucesivamente:
Para r = 1, tomamos x1 ∈ (B1 (y){y}) ∩ S
1
Para r = 2 , tomamos x2 ∈ (B 1 (y){y}) ∩ S, x1 = x2
2
...
1
Para r = n , tomamos xn ∈ (B 1 (y){y}) ∩ S, xn−1 = xn
n
...
Es evidente, tal y como se ha construido, que {xn }n∈ℵ → y.
Por lo tanto X es completo.
MIRIAM J, SANDY
Definici´n 1.31: Sean X un espacio m´trico y A ⊂ X, A es un conjun-
o e
to compacto si toda sucesi´n en A tiene un punto de acumulaci´n en A.
o o
Teorema de Heine-Borel:
Si X es un espacio m´trico y A ⊂ X es compacto, entonces A es un con-
e
junto cerrado y acotado.
”TAREA 1.14”
3

4. Sea X un espacio m´trico y A ⊂ X compacto, (Ui )i∈I una familia de
e
conjuntos abiertos tal que A ⊂ i∈I Ui , entonces, ∃ρ ∈ tal que ∀x ∈ A,
Bρ(x) ⊂ Uj para algun j ∈ I.
Lema de Lebesgue:. Si X es un espacio m´trico y K ⊂ X un subcon-
e
junto secuencialmente compacto y {Ai }i∈ℵ es un recubrimiento abierto de K,
entonces existe r > 0 tal que para cada x ∈ K existe i ∈ I de modo que
Br (x) ⊂ Ai . (A este r > 0 se le llama n´mero de Lebesgue del recubrimiento).
u
Demostraci´n:
o
Supongamos que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de K para el que no
existe ning´n n´mero de Lebesgue. Entonces para cada n ∈ ℵ existir´ xn ∈ K
u u a
tal que B 1 (xn ) no est´ contenido en ning´n Ai para todo i ∈ I.
a u
n
Como K es secuencialmente compacto, ha de existir una subsucesi´n (xnk )k
o
convergente a un punto x ∈ K. Adem´s, como {Ai }i∈ℵ es un recubrimiento
a
de K, x ∈ Aj para alg´n j ∈ I. Aj es abierto en, luego existe un nj ∈ ℵ tal
u
que B 2 (x) ⊂ Aj .
nj
1
Como la subsucesi´n anterior es convergente a x, dado
o nj
> 0, existir´ un
a
r0 ∈ ℵ tal que si nr ≥ nr0 , xnr ∈ B 1 (x).
nj
Tomemos ahora nr ≥ nr0 tal que tambi´n sea nr ≥ nj . Entonces, B 1 (xnr ) ⊂
e
nr
B 2 (x), ya que si y ∈ B 1 (xnr ), entonces
nj nr
1 1 2
d(x, y) ≤ d(x, xnr ) + d(xnr , y) < nj
+ nr
≤ nj
De aqu´ se deduce que B 1 (xnr ) ⊂ Aj , en contradicci´n con la hip´tesis.
ı o o
nr
Definici´n 1.32: Sean X, Y espacios m´tricos y f : X → Y , x ∈ X. Deci-
o e
mos que f es continua en x0 si ∀{xn }n∈ℵ sucesi´n en X tal que xn → x0 la
o
sucesi´n {f (xn )}n∈ℵ converge a f (x0 ).
o
En t´rminos de Bolas:
e
f
Sea x → Y es continua en xo ∈ x si dado > 0 ∃δ > 0 tal que
dx (xn , x0 ) < δ ⇒ dy (f (xn ), f (x0 )) <
dx (x, x0 ) < δ ⇒ dy (f (x), f (x0 )) < .
Teorema: Sean X, Y espacios m´tricos y f : X → Y continua en todos
e
sus puntos. Si A ⊂ X es compacto en X, entonces f (A) es compacto en Y .
4

5. Demostraci´n:
o
Sea {yn }n∈ℵ una sucesi´n en f (A),
o
q.p.q ∃y ∈ f (A) tal que yn → y
yn ∈ f (A) ⇒ ∃xn ∈ A tal que f (xn ) = yn
{xn }n∈ℵ es una sucesi´n en A ⇒ ∃x ∈ A tal que xn − → → x (por ser A
o n− −
−∞
compacto)
como f es continua f (xn ) ∈ f (A),
tomamos y = f (x), ie: ∃ y ∈ f (A) tal que yn → y.
5