Primera parte del resumen de probabilidad

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Material para estudiantes de secundaria y
universidad
Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo
Murray
}
2018

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Contenido
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................... 3
CONCEPTOS FUNDAMENTALES........................................................................................................... 3
Dos reglas básicas de la probabilidad ............................................................................................. 3
Tipos de probabilidad...................................................................................................................... 4
Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos ................................................. 6
Uniones e intersecciones de eventos.............................................................................................. 8
Reglas de probabilidad para uniones, intersecciones y probabilidades condicionales .................. 9

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INTRODUCCIÓN
La vida sería más simple si nosotros supiéramos lo que va a suceder en el
futuro, así las decisiones serían muy lógicas y racionales. Si nos sucedieran
cosas como quedar atrapado en una lluvia, sería porque olvidamos el
paraguas, si perdemos dinero en una inversión es porque no estudiamos
bien la información sobre las tasas de riesgo o el hecho de construir un
edificio más grande de lo presupuestado, si todo esto lo podemos prever
antes todo sería muy aburrido.
Fue hasta el siglo XVI que se empieza a medir los posibles riesgos y a aplicar
los conceptos de probabilidad de suceso que hasta nuestros días ya es algo
de uso muy común, podemos hablar de que hay un 40% de probabilidad de
que hoy llueva, que la tasa de riesgos de una inversión ronda el 2.5% sobre
los títulos valores o que la posibilidad de cumplir con una obra de
construcción es del 35% de que se ajuste al presupuesto.
Podemos entonces afirmar que la probabilidad es un enunciado numérico
sobre la posibilidad de que en efecto llegue a suceder un evento.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Las reglas, definiciones y conceptos que se asocian a la probabilidad son
muy importante en la toma de decisiones, es por esto que vamos a
estudiarlos a continuación.
Dos reglas básicas de la probabilidad
Existen dos reglas fundamentales que se relacionan con las matemáticas y
la probabilidad:
1. La probabilidad, P, de que ocurra cualquier evento es mayor o igual
que cero y menor o igual que 1.
0 ≤ 𝑃 ≤ 1

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Si la probabilidad es igual a cero, esto nos indica que el evento nunca
se va a presentar, mientras que, si la probabilidad es igual que 1, esto
significa que el evento se va a presentar con toda seguridad.
2. La suma de todas las probabilidades simples para todos los posibles
resultados de una actividad debe dar igual a 1.
Ejemplo: Venta de carritos para el segundo semestre
Veamos la siguiente tabla de frecuencias sobre la cantidad de carros
vendidos en San José en relación con la cantidad de días transcurridos.
Tabla 1
Cantidad Vendida Número de días Probabilidad
0 40 40/200=0.20
1 80 80/200=0.40
2 50 50/200=0.25
3 20 20/200=0.10
4 10 10/200=0.05
Totales 200 Σ1
Tipos de probabilidad
Hay dos formas para determinar la probabilidad:
- El enfoque objetivo
- El enfoque subjetivo
El enfoque objetivo tiene su base en la evaluación relativa de la probabilidad,
donde asignamos a un evento una frecuencia relativa de que se produzca
ese evento, para esto vamos a utilizar la siguiente relación:
P(𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜) =
Número de ocurrencias del evento
Número total de ensayos o resultados
Como podemos observar en la tabla 1, las ventas de carros en San José han
presentado una frecuencia de ventas desde ninguna hasta 4 carros cada
cierta cantidad de días y cuando se vende determinada cantidad, no puede
ser que otro tipo de venta se produzca. El dueño levanto un registro de
frecuencias de las ventas y decide tomarlo como un buen indicador de que
las ventas a futuro presenten este comportamiento, entonces es posible

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encontrar la probabilidad de que ocurra cada resultado posible en el futuro,
mediante la conversión de los datos a porcentajes.
Entonces, la probabilidad de que las ventas sean de 2 carros en un
determinado día, luego de pasados cierta cantidad de días podría ser:
P(2 carros)=0.25=25%
(se multiplica el resultado relativo por cien y agregamos el signo del
porcentaje)
Siguiendo la regla de que cualquier probabilidad de venta debe ser mayor o
igual a cero y menor o igual a 1, como 0, 1, 2, 3, 4 carros son todos los
posibles eventos o resultados posibles, la suma de sus valores de
probabilidad debe ser igual a 1.
Existe también el método clásico o lógico de poder determinar la
probabilidad objetiva sin necesidad de realizar una serie de ensayos o llevar
un registro de frecuencias de ocurrencia, por ejemplo, en el caso de lanzar
una moneda al aire una vez y conseguir que salga escudo o corona es:
Del mismo modo, la probabilidad de sacar un diamante de un mazo de
cartas (52 cartas) se puede establecer lógicamente como:
P(diamante) = ¼ = 0.25 = 25%
Cuando no existe una lógica o datos históricos disponibles o adecuados, los
valores de la probabilidad se pueden evaluar de forma subjetiva. La
precisión de las probabilidades subjetivas depende de la experiencia y el
juicio de la persona que hace las estimaciones. No es posible determinar
una serie de valores de probabilidad a no ser que se utilice el enfoque
subjetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la gasolina sea mayor
a setecientos en los próximos años? ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra
economía esté en una depresión severa en el año 2020? ¿Cuál es la
Número de formas de obtener un escudo
Número total de ensayos o resultados
P(𝑒𝑠𝑐𝑢𝑑𝑜) =
1
2
Número de posibilidades de escoger un diamante
Número total de resultados posiblesP(𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒) =
13
52

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probabilidad de que usted sea presidente de una gran empresa dentro de 20
años?
Existen varios métodos para hacer evaluaciones subjetivas de probabilidad.
Las encuestas de opinión se pueden utilizar para ayudar a determinar las
probabilidades subjetivas de posibles resultados de las elecciones y los
posibles candidatos políticos. En algunos casos, es necesario usar la
experiencia y el juicio para realizar evaluaciones subjetivas de los valores de
probabilidad. Un gerente de producción, por ejemplo, podría creer que la
probabilidad de que la fabricación de un nuevo producto sin un solo defecto
es de 0.85.
Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos
Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si solo puede ocurrir
uno de los eventos en cualquier ensayo. Se les llama colectivamente
exhaustivos si la lista de eventos incluye todos los resultados posibles.
Muchas experiencias comunes incluyen eventos que tienen ambas
propiedades.
En el lanzamiento de una moneda, los posibles resultados son un escudo o
una corona. Dado que no es posible que ocurran los dos resultados en
cualquier lanzamiento, los resultados de escudo o corona son mutuamente
excluyentes. Como obtener un escudo o una corona representan todos los
posibles resultados, también son colectivamente exhaustivos.
Veamos una representación con un diagrama de Venn de eventos
mutuamente excluyentes, donde A representa que salga escudo y B que
salga corona, podemos observar que los eventos no se tocan y menos se
superponen, concluyendo entonces que son eventos mutuamente
excluyentes.
A B

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La siguiente situación nos proporciona un ejemplo de eventos que no son
mutuamente excluyentes; tomando como ejemplo con un mazo de cartas
que contiene 52 cartas en total y nos solicitan que saquemos una carta con
las siguientes condiciones:
A = evento en el cual se saque un 7
B = evento en el que se saque un corazón
Utilizamos de nuevo un diagrama de Venn para visualizar estas condiciones:
Las probabilidades de estos eventos se pueden asignar usando el enfoque
de frecuencia relativa. Hay 4 sietes y 13 corazones. Por lo tanto, tenemos:
P(se saca un 7) = P(A) = 4/52
P(se saca un corazón) = P(B) = 13/52
Estos eventos no son mutuamente excluyentes dado que el 7 de corazones
es común a los eventos A y B. Tendríamos entonces una intersección cuando
sacamos un 7 de corazones.
A B
A B7

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Uniones e intersecciones de eventos
La intersección de dos eventos es el conjunto de todos los resultados que
son comunes a ambos eventos. El símbolo que se asocia con el concepto de
intersección es: ∩, aunque existen varias notaciones para representar la
intersección de dos eventos:
Intersección del evento A y el evento B = A y B
= A ∩ B
= AB
La notación para la probabilidad sería:
P(Intersección del evento A y el evento B) = P(A y B)
= P(A ∩ B)
= P(AB)
En ocasiones, la probabilidad de la intersección se denomina una
probabilidad conjunta, lo cual implica que ambos eventos se producen al
mismo tiempo o de forma conjunta.
La unión de dos eventos es el conjunto de todos los resultados que están
contenidos en cualquiera de estos dos eventos. Por lo tanto, cualquier
resultado que está en el evento A se encuentra en la unión de ambos
eventos, y cualquier resultado que está en el evento B también se encuentra
en la unión de los dos eventos. La palabra “o” se suele asociar con la unión,
del mismo modo que el símbolo ∪.
Unión del evento A y el evento B = (A o B)
La notación para la probabilidad de la unión de los eventos sería:
P(Unión del evento A y el evento B) = P(A o B)
= P(A ∪ B)

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En el ejemplo anterior, la intersección del evento A y el evento B sería:
(A y B) = se saca el 7 de corazones
La notación para la probabilidad sería:
P(A y B) = P(se saca el 7 de corazones) =
1
52
Asimismo, la unión del evento A y el evento B sería:
(A o B) = (se saca un 7 o bien se saca un corazón) =
16
52
Para saber por qué P(A o B) =
16
52
y no
17
52
( que es P(A) + P(B)), cuente todas
las cartas que están en la unión y verá que hay 16. Esto le ayudará a
entender la regla general para la probabilidad de la unión de dos eventos
que se presentan a continuación.
Reglas de probabilidad para uniones, intersecciones y probabilidades condicionales
La regla general para la probabilidad de la unión de dos eventos (a veces
llamada la regla aditiva) es como sigue:
P(a o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Analicemos esto con una explicación gráfica sobre la relación de la unión de
dos probabilidades, utilizando un diagrama de Venn:

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Para ilustrarlo más con el ejemplo que hemos estado usando, si queremos
encontrar la probabilidad de la unión de los dos eventos (se saca un 7 o un
corazón), tenemos:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
P(A o B) =
4
52
+
13
52
-
1
52
P(A o B) =
16
52
Uno de los conceptos de probabilidad más importantes en la toma de
decisiones es el conjunto de probabilidad condicional, que es la probabilidad
de que ocurra un evento dado que ya ha ocurrido otro. La probabilidad del
evento A dado que ya se ha producido el evento B se escribe como P(A | B).
Cuando las empresas toman decisiones, a menudo utilizan estudios de
mercado de algún tipo para ayudarse a determinar su probabilidad de éxito.
Dado un buen resultado de la investigación de mercado, la probabilidad de
éxito se incrementaría.
La probabilidad de que A ocurra teniendo en cuenta que el evento B ya se
ha producido se puede encontrar dividiendo la probabilidad de la
intersección de los dos eventos (A y B) entre la probabilidad del evento que
ha ocurrido (B):
P(A | B) =
𝑃(𝐴𝐵)
P(B)
De aquí, es posible deducir fácilmente la fórmula para la intersección de dos
eventos, la cual se escribe como:
P(AB) = P(A | B) * P(B)
En el ejemplo de la carta, ¿cuál es la probabilidad de que se saque un 7
(evento A) dado que sabemos que la carta sacada es un corazón (evento B)?
Con lo que ya sabemos, y dada la fórmula de probabilidad condicional,
tenemos:
P(A | B) =
𝑃(𝐴𝐵)
P(B)
=
1
52
13
52
=
1
13

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Con este ejemplo de la carta, podría determinarse esta probabilidad sin
necesidad de utilizar la fórmula. Si se tiene en cuenta que se obtuvo un
corazón, que hay 13 corazones y que sólo uno de ellos es un 7, podemos
determinar que la probabilidad es de
1
13
.
En los negocios, sin embargo, es común que no se tenga la información
completa y la fórmula es absolutamente esencial.
Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no tiene
impacto en la ocurrencia del otro. En caso contrario los eventos son
dependientes.
Por ejemplo, suponga que se saca una carta de un mazo y, después, se
devuelve al mazo de cartas y se saca una segunda carta. La probabilidad de
obtener un 7 en el segundo ensayo es de
4
52
, sin importar qué se haya
sacado en el primer ensayo, porque el mazo es exactamente igual que en el
primer ensayo. Ahora compare una situación similar con dos retiros de un
mazo de cartas, pero la primera carta no se devuelve al mazo. Ahora sólo
hay 51 cartas en el mazo y hay tres o cuatro sietes en éste, dependiendo de
cuál haya sido la primera carta obtenida.
Una definición más precisa de la independencia estadística sería la
siguiente: el evento A y el evento B son independientes si
P(A | B) = P(A)
La independencia es una condición muy importante en la probabilidad, ya
que muchos cálculos se simplifican. Uno de ellos es la fórmula para la
intersección de dos eventos. Si A y B son independientes, entonces la
probabilidad de la intersección es:
P(A y B) = P(A)P(B)
Suponga que una moneda legal se lanza dos veces. Los eventos se definen
como:
A = evento donde el resultado del primer lanzamiento es escudo
B = evento donde el resultado del segundo lanzamiento es corona
Estos eventos son independientes porque la probabilidad de una cara en el
segundo será la misma, sin importar el resultado en el primer lanzamiento.

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Debido a que es una moneda legal, sabemos que hay dos resultados
igualmente probables en cada lanzamiento (escudo o corona), por lo que
P(A) = 0.5 y P(B) = 0.5
Debido a que A y B son independientes,
P(AB) = P(A)P(B) = 0.5(0.5) = 0.25
Por lo tanto, hay una probabilidad de 0.25 de que dos lanzamientos de una
moneda resulten en dos escudos.
Si los eventos son independientes, entonces la determinación de
probabilidades puede ser un poco más difícil. Sin embargo, los resultados
suelen ser muy valiosos para un tomador de decisiones. Un estudio de
mercado sobre la apertura de una nueva tienda en un lugar determinado
puede tener un resultado positivo, y esto causaría una revisión de la
evaluación de la probabilidad de que la nueva tienda tenga éxito.

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