El documento habla sobre las anualidades anticipadas, donde los pagos se hacen al principio de cada período. Explica que en este tipo de anualidad, la tercera cuota se paga al final del período 2. También presenta fórmulas para calcular el valor presente y futuro de una anualidad anticipada, y usa ejemplos para ilustrar cómo aplicar las fórmulas.

1. ANUALIDAD ANTICIPADA
JOSÉ BRITO PINTO
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA
LATINOAMERICANA
MATEMÁTICAS FINANCIERA

2. Es aquella en la cual los pagos se hacen al principio de cada
período. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos
de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas no le
cobrarán cuota inicial, pero en el mismo momento en que se
hace la negociación se le exige el pago de la primera cuota
del conjunto de cuotas que tiene que pagar.
El siguiente flujo de caja representa una anualidad anticipada.
ANUALIDAD ANTICIPADA

3. Se observa que las cuotas se pagan al principio del período.
Se presenta alguna confusión entre las personas que se
inician en el tema de las anualidades anticipadas, en lo que
respecta al numero de cuotas , por ejemplo al observar el flujo
de caja se podría pensar que el valor de P se esta pagando
con dos cuotas , por aparecer la tercera cuota al final del
período 2. En realidad, se paga con tres cuotas. En las
anualidades anticipadas las cuotas se pagan al principio del
periodo, y el principio del periodo tres es el final del periodo
dos.
Para resolver problemas de anualidades anticipadas se
pueden utilizar las mismas fórmulas empleadas en las
anualidades vencidas, sólo que hay que tener cuidado en
determinar en qué período se está calculando el valor
presente o el valor futuro, y cuál es el numero de pagos.

4. El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados
será el valor, que en el momento de realizada la operación
financiera, sea equivalente a toda la serie.
La fórmula para calcular el valor actual o valor presente de
una anualidad anticipada es:
𝑷 = 𝑨(𝟏 + 𝒊)
(𝟏 + 𝒊) 𝒏−𝟏
𝒊(𝟏 + 𝒊) 𝒏
Se observa que el valor presente de una anualidad
anticipada, ubicado en el momento en que se paga la primera
cuota, resulta de multiplicar el valor presente de una
anualidad vencida por (𝟏 + 𝒊).
VALOR PRESENTE DE UNA
ANUALIDAD ANTICIPADA

5. EJEMPLO: 1. Se tiene una obligación que en su momento
se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de
15.000 cada una por mes anticipado. Se decide, a última
hora, cancelarla de contado. Si la tasa de interés acordada
es del 3% mensual, hallar este valor.
Solución
𝑨 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝒏 = 𝟏𝟖 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒊 = 𝟑% = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 𝑷 =?
Reemplazando en la formula tenemos:
𝑷 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑
𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 𝟏𝟖 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟑 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 𝟏𝟖
= 𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟗𝟏, 𝟕𝟖

6. EJEMPLO: 2. A un amigo le ofrecen arrendarle un negocio
por un año pagándole un canon mensual anticipado de
800.000. Si solicita un solo pago en el momento de
arrendarla, ¿cuánto debe recibir si su tasa de oportunidad
es del 2% mensual?
Solución
𝑨 = 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎; 𝒏 = 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔; 𝒊 = 𝟐% = 𝟎, 𝟎𝟐 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍; 𝑷 =?
Reemplazando en la formula tenemos:
𝑷 = 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐
𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 𝟏𝟐 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟐 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 𝟏𝟐
= 𝟖. 𝟔𝟐𝟗. 𝟒𝟕𝟖, 𝟒𝟒

7. En clase anterior se determinó la forma de calcular
el valor futuro de una anualidad vencida, llegando a
una expresión que presupone que el valor futuro se
encuentra en la fecha del último pago (ingreso), con
la limitación de que el último pago no devenga
intereses. Se trata ahora de calcular el valor futuro
de una anualidad en la que los pagos se hacen al
iniciarse el periodo. En el flujo de caja el lector
observará que: el valor futuro de la anualidad
anticipada aparece un período después de realizado
el último pago (ingreso), lo que indica que este pago
sí devenga intereses.
VALOR FUTURO ANUALIDAD
ANTICIPADA

8. Se observa que la anualidad vencida comienza con período
y termina con pago, y la anualidad anticipada comienza con
pago y termina con período.
La fórmula para calcular el valor futuro de una anualidad
anticipada es:
𝑭 = 𝑨
(𝟏 + 𝒊) 𝒏+𝟏−(𝟏 + 𝒊)
𝒊

9. EJEMPLO: 3. Katya Elena recibe al principio de cada mes la
suma de 100.000 por concepto del arriendo de una bodega de
su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago
del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que
le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea
saber cuanto tendrá ahorrado en la cuenta al final del año.
Solución
𝑨 = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎; 𝒏 = 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔; 𝒊 = 𝟑% = 𝟎, 𝟎𝟑 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥; 𝑭 =?
Reemplazando en la formula tenemos:
𝑭 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑) 𝟏𝟐+𝟏−(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑)
𝟎, 𝟎𝟑
= 𝟕𝟑𝟎𝟖𝟖𝟗, 𝟓𝟐

10. EJEMPLO: 4. El propietario de una casa recibe por concepto
de arriendo de ella 350.000 mensuales que los deposita en una
corporación de ahorro que paga el 2,5% de interés mensual.
Realiza cada depósito el mismo día que recibe la renta. Si la
casa estuvo arrendada por espacio de dos años, hallar la
cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros al final de los
dos años.
Solución
𝑨 = 𝟑𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ; 𝒏 = 𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥 ;
𝑭 =?
Reemplazando en la formula tenemos:
𝑭 = 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓) 𝟐𝟒+𝟏−(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓)
𝟎, 𝟎𝟐𝟓
= 𝟏𝟏𝟔𝟎𝟓𝟐𝟏𝟕, 𝟑𝟖

11. Corresponde al valor de la cuota, de una serie de
cuotas, que se pagan al principio del período. Para
lograr una expresión que nos permita calcular su
valor haremos igual que en la anualidad vencida,
despejaremos su valor de la fórmula para calcular el
valor futuro o valor presente de una anualidad
anticipada, dependiendo de los datos con los que se
cuente en el ejercicio.
𝑨 =
𝑷
𝟏+𝒊
𝒊(𝟏+𝒊) 𝒏
(𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏
o 𝑨 =
𝒊𝑭
(𝟏+𝒊) 𝒏+𝟏−(𝟏+𝒊)
CUOTA O PAGO DE LA
ANUALIDAD ANTICIPADA

12. EJEMPLO: 5. Se recibe un préstamo de 10.000.000 para
pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en
forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual,
calcular el valor de las cuotas.
Solución
𝑨 =? ; 𝒏 = 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔; 𝒊 = 𝟒% = 𝟎, 𝟎𝟒 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥;
𝐏 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Reemplazando en la formula tenemos:
𝑨 =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏+𝟎, 𝟎𝟒
𝟎, 𝟎𝟒(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒) 𝟏𝟐
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒) 𝟏𝟐−𝟏
= 𝟏. 𝟎𝟐𝟒. 𝟓𝟒𝟎, 𝟏𝟐

13. EJEMPLO: 6. Se desea adquirir un paquete turístico por el
Mediterráneo para viajar a fin de año, tiempo en el cual
tendrá un valor de 18.000.000, le ofrecen 12 pagos fijos a
principio de cada mes con una tasa del 1,5% mensual,
encuentre el valor de dicho pagos?
Solución
𝑨 =?; 𝒏 = 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔; 𝒊 = 𝟏, 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥
F= 𝟏𝟖. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Reemplazando en la formula tenemos:
𝑨 =
𝟎, 𝟎𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟖. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓) 𝟏𝟐+𝟏−(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓)
= 𝟏. 𝟑𝟓𝟗. 𝟖𝟒𝟐, 𝟐𝟒

14. GRACIAS