GEODESIA GEOMETRICA.ppsx

Geodesia Geometrica
Tema 1
Presentacion Conceptual
Elementos matematicos
del elipsoide
• Parametros
• Sistemas de coordenadas
• Relacion entre sistemas
• Radios de curvatura
• Longitud de arcos
• Aplicaciones
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central
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del tema

PRESENTACION CONCEPTUAL
Como su nombre lo indica, la Geodesia Geometrica (o Esferoidal) es la rama de la Geodesia
Superior que estudia las caracteristicas geometricas del elipsoide representativo de la tierra
rra y los metodos matematicos aplicados en las mediciones geodesicas , según el siguiente
esquema:
GEODESIA
GEOMETRICA
Estudia la superficie
geometrica del elip-
soide terrestre.
Analiza los metodos
geodesicos para las
mediciones sobre el
elipsoide
Describe la forma de
representacion de las
mediciones en el elip
soide sobre la esfera
y el plano.
Para esto, se conocen las di-
mensiones de los diferentes
elipsoides locales y mundia-
les (semiejes y aplanamiento).
Luego, las mediciones del te
rreno deben reducirse al elip
soide de trabajo donde se e-
jecutaran los calculos de po-
sicion y todos aquellos pro-
blemas inherentes a la geode
sia.

Según lo estudiado en Geodesia I - Tema 1, las 2 finalidades de la Geodesia son:
1. PRACTICA: para determinar la posicion de puntos geodesicos sobre la tierra
2. CIENTIFICA: para estudiar y determinar la figura (forma y tamaño), y el campo gravitatorio
exterior terrestre.
La finalidad practica requiere la aplicación de los diferentes metodos de medicion estudiados
en Geodesia I: triangulacion, poligonacion, nivelacion, satelites.
La finalidad cientifica busca:
2º Estudiar el campo gravitacional terrestre y la figura de la tierra, que vienen intimamente a-
sociados. Este estudio requiere de las mediciones geodesicas para determinar la separa
cion del geoide con respecto al elipsoide.
1º Determinar una superficie regular (matematica) que represente adecuadamente a la super-
ficie global de la tierra. Esta superficie es el elipsoide de revolucion. Consiguientemente,
este estudio requiere la determinacion de sus parametros (semiejes, aplanamiento) y orienta-
cion con respecto a la tierra.
Hoy en dia, con la Geodesia por satelites, se ha determinado el elipsoide mundial WGS84,
que ha reemplazado a los elipsoides locales diseñados para uso en diferentes paises del mun
do. El WGS84 garantiza el empleo de un sistema unico de referencia.
El campo gravitacional exterior puede analizarse bajo el mismo principio de estudio de
la figura de la tierra, es decir, se estudia primero el campo gravitacional de un cuerpo (elip
soide de revolucion), y luego se determinan las desviaciones del campo gravitacional de la
tierra con respecto a dicho elipsoide.
3º Determinar los cambios de la figura de la tierra y de su campo gravitacional causados por
por las oscilaciones de los polos, traslaciones horizontales y verticales de la corteza, dis-
tribucion irregular de las masas interiores de la tierra, movimientos de continentes y oceanos
causados por la accion combinada de la atraccion variable del sol y la luna, y otros.

Para alcanzar resultados satisfactorios en la determinacion de la figura y el campo gravitacional terres-
tre, las mediciones geodesicas deben alcanzar los siguientes errores medios cuadraticos permisibles:.
MEDICION ERROR
Distancias ± 1:500.000
Angulos horizontales ± 0”,7
Distancias zenitales en puntos de la tierra según las condiciones (algunos segundos)
Nivelacion de 1er. orden:
error nominal ± 1mm / km
error sistematico: ± 0,05 mm / km
Gravedad absoluta fracciones de miligales, o en medida
relativa de 10-6 a 10-7
Gravedad relativa 0,05 a 0,5 mgal., o en medida relativa 10-7
Latitud, longitud de primer orden ± 0”,002 a 0”,004
Azimut astronomico de primer orden ± 0”,7
Direcciones a los satelites cerca de 1”
Distancias a los satelites hasta 1mt.
Resumiendo conceptos: el estudio de la figura de la tierra se reduce a la determinacion de coorde-
nadas de puntos geodesicos en un sistema global, y el estudio de su cam-
po gravitacional externo se reduce a la determinacion del potencial de la gravedad sobre la superfi-
cie y en su espacio exterior, en el mismo sistema de coordenadas.

LA FORMA EQUIPOTENCIAL DE LA TIERRA
Ya sabemos (Geodesia I-T2) que la forma real
de la tierra esta afectada, principalmente, por
la influencia de las masas en el interior de
la tierra y por la fuerza centrifuga, siendo
esta ultima la que produce el abultamiento
en el ecuador.
Por tanto, esta superficie es equipotencial,
y se denomina GEOIDE, definido por las
aguas del mar en reposo y su prolonga-
cion imaginaria bajo los continentes.
Dicho de otra forma, el Geoide es la super-
ficie equipotencial de la tierra al nivel del mar,
donde la plomada es siempre perpendicular a es-
ta en cualquier parte de la tierra.

LA FORMA MATEMATICA
Para definir la forma de la tierra, Newton razonaba que si la tierra no girara alrededor de su eje, to-
das sus particulas sometidas a la atraccion mutua, deberian formar un cuerpo esferico.
Pero, a consecuencia de la rotacion, en cada punto surge una fuerza centrifuga perpendicular al e-
je de rotacion, alargando la tierra en la direccion del ecuador, fuerza que alcanza su valor maximo
en el ecuador, y minimo en los polos. De esta manera, la tierra debe tomar la forma de un elipsoide
de revolucion.
Es asi que, a traves de los años, diferentes continentes o grupos de paises han ido diseñando elip-
soides de referencia para sus calculos geodesicos en reemplazo del geoide, sobre cuya superficie
serian extremadamente complejos estos calculos debido a su forma irregular.
Un elipsoide esta definido por sus semiejes (a, b)
y su aplanamiento. De estos se derivan sus de-
mas parametros. a
b

b = 1 – e2
a
e2 = a2 – b2
a2
a
a
a
F1 F2
O
(a, b) : semiejes mayor y menor
(F1, F2) : focos de la elipse
1 = a – b : aplanamiento
a a
e = OF1
a
e
, = OF1 = OF2 = a2 – b2 .
b b b
Los diferentes elipsoides locales y mundiales, junto con sus parametros,
se han dado en el Tema 2 de Geodesia I (consultar).
Operando se obtiene
tambien:
b2 = 1 – e2
a2
1a.
excentricidad
ELEMENTOS MATEMATICOS
DEL ELIPSOIDE
Parametros
b
2a.
excentricidad
= OF2
a
= a2 – b2
a
e2 = 1 – b2
a2

O
La latitud geodesica (j) se mide desde el plano ecuatorial hasta
la normal al elipsoide en el punto considerado.
Puede ser positiva o negativa según la posicion
del punto al norte o al sur del ecuador.
Varia de 0º (ecuador) hasta 90º (polo
norte o sur)
La longitud geodesica (l) se mide en el
centro del elipsoide según el angulo diedro
formado por el meridiano de Greenwich y el
meridiano que pasa por el punto.
Puede ser positiva o negatiiva según la posicion
del punto al este o al oeste de Greenwich..
Varia desde 0º en el meridiano de Greenwich hasta 180º al este u oeste de Greenwich)
DEL ELIPSOIDE
A
jA
Coordenadas geodesicas (j,l)
lA
90º
Sistemas de
coordenadas

O
A
x
y
Coordenadas planas (x,y) Y
X
origen: centro de la elipse meridiana.
eje X : coincide con el semieje mayor (a) de
la elipse meridiana. Puede ser (±)
eje Y: coincide con el semieje menor (b)
de la elipse meridiana. Puede ser (±).
a
b
Las coordenadas (x, y) de un punto (A) sobre
el elipsoide se determinan en la proyeccion del
punto sobre estos ejes.
DEL ELIPSOIDE
Sistemas de
coordenadas

O
A
Coordenadas cartesianas tridimensionales (X,Y,Z)
X
Y
Z
X
Z
Y
origen: centro del elipsoide
eje X positivo: pasa por el meridiano de
Greenwich
eje Y positivo: a 90º del eje X según la re-
gla de la mano derecha
eje Z positivo: a 90º del plano XY pasan
do por el CIO (posicion
promedio del polo norte entre 1900 y 1905).
CIO
DEL ELIPSOIDE
Sistemas de
coordenadas
Para determinar las coordenadas geodesicas
de un punto sobre la tierra, primero se lo
proyecta al elipsoide según la normal a este.

O
A
Latitud geocentrica (F)
F
se mide desde el plano del ecuador hasta el
radio vector que pasa por el punto.
DEL ELIPSOIDE
Sistemas de
coordenadas

O
A
u
Latitud reducida (u)
a
A1
se mide desde el plano del ecuador hasta el
radio que pasa por la proyeccion (A1) del
punto (A) sobre la circunferencia de radio (a).
a
DEL ELIPSOIDE
Sistemas de
coordenadas

O
Un punto cualquiera de la elipse meridiana puede
definirse por sus coordenadas planas (x,y)
Partimos de la ecuacion de la elipse:
Diferenciamos la (1) con respecto a x e y:
x2
+ y2
= 1
a2 b2
A
x
y
2x dx + 2y dy = 0
a2 b2
Y operamos:
2y dy = - 2x dx
b2 a2
y = -b2 dx
x a2 dy
(2)
j
Como: tg (90 + j) = dy
dx
cotg j = dy = - 1 .
dx tgj
Reemplazamos e2 = a2 – b2 o b2 = (1 – e2) en la (2):
a2 a2
(3)
(1) x2 b2 + y2 a2
= a2
b2
Ademas: a2 = 1 .
b2 1 – e2 (4) Y en la (1a): x2 + y2 a2 = a2
b2
(5)
y = (1 – e2) tgj
x
Latitud geodesica (j) y planas (x,y)
Y
X
(2a)
a
b
(1a)
DEL ELIPSOIDE
Relacion entre Sistemas
de coordenadas

(4) en (5): x2 + y2 = a2
1 – e2
(7)
y2 = x2(1 – e2)2 tg2j
Elevamos al cuadrado la (3):
(6)
(7) en (6): x2 + x2(1 – e2)2 tg2j = a2
(1 – e2)
x2 + x2(1 – e2) tg2j = a2
Factorizamos x2: x2[1 + (1 – e2) tg2j] = a2 Y operamos: x2(1 + tg2j - e2tg2j) = a2
x2(sec2j - e2 tg2j) = a2 x2(1 - e2 sen2j) = a2
cos2j
Finalmente: x2
= a2 cos2j .
1 – e2sen2j
x = a cosj .
1 – e2sen2j
y2 + x2(1 – e2) = a2(1 – e2)
x2 = y2 .
(1 – e2)2 tg2j
(6a)
(7a)
(8)
a2 = 1 .
b2 1 – e2 (4) x2 + y2 a2 = a2
b2
(5)
x2 1 - e2 sen2j = a2
cos2j cos2j

Para determinar (y), reemplazamos la (7a) en la (6a): y2 + y2(1 – e2) = a2(1 – e2)
(1 – e2)2tg2j
y2
+ y2
= a2(1 – e2)
(1 – e2)tg2j
y2(1 – e2)tg2j + y2
= a2(1 – e2)
(1 – e2)tg2f
y2 + y2(1 – e2)tg2j = a2
(1 – e2)2tg2j
y2[1 + (1 – e2)tg2f] = a2
(1 – e2)2tg2j
y2(1 + tg2j – e2 tg2j) = a2
(1 – e2)2 tg2j
y2 sec2j – e2sen2j = a2
cos2j
(1 – e2)2 sen2j
cos2j
y2 1 – e2sen2j = a2
cos2j cos2j
(1 – e2)2 sen2j
cos2j
y2 1 - e2sen2j = a2
cos2j .
(1 – e2)2 sen2j
cos2j
y2 (1 - e2sen2j) = a2
(1 – e2)2 sen2f
Finalmente: y = a(1 - e2)senj
1 – e2sen2j
(9)

(j - F)” = r”e2sen2j
2
O
A
y
j
Latitud geodesica (j) y latitud geocentrica (F)
F
x
Expresamos F en terminos de (x,y):
tgF = y .
x
Pero, según la (7): tgj = y . 1 .
x (1 – e2)
(10) (11)
(11) en la (10): tgF =. tgj (1 – e2) (12)
Para determinar la diferencia (j – F) en un
punto de latitud j, operamos en la (12):
tgF =. tgj – e2tgj tgj -. tgF = e2tgj
sen(j -.F) = e2tgj
cosjcosF
sen(j -.F) = e2tgj cosjcosF
sen(j -.F) = e2senjcosF
r” = 206265”
(j - F)” max. = 11’,8
(13)
Operando:
Otra formula aplicable: (j - F) = - 11`35”,66sen2j + 1”,17sen4j
Y adecuando la formula
para su aplicacion:
DEL ELIPSOIDE
de coordenadas

p = a 1 – e2 .
1 – e2cos2F
Latitud geocentrica (F) y (x,y)
O
A
y
F
x
p
Partimos del radio vector (p): p = x2 + y2
Y tambien: x = p cosF y = p senF
(13)
Reemplazamos (13a) en la ecuacion de la elipse (1):
p2 cos2F + p2sen2F = 1
a2 a2(1 – e2)
y operamos:
p2 [cos2F(1 – e2) + sen2F] = 1
a2(1 – e2)
p2 (1 – e2cos2F) = 1
a2(1 – e2)
(14)
(14) en la (13a):
(13a)
x = a 1 – e2 cosF
1 – e2cos2F
y = a 1 – e2 senF
1 – e2cos2F
(15) (16)
x2 + y2 = 1
a2 b2
(1)
DEL ELIPSOIDE
de coordenadas

Latitud reducida (u) y geodesica (j)
O
A
x
u
y
a
A1
a
j
A2
En el triangulo OA1A2: (OA2)2 + (A1A2)2 = a2
En la elipse: (OA2)2 + (A2A)2 = 1
a2 b2
x = acosu
b
A1A2 = asenu
y = b tgu = 1 – e2 tgu
x a
tgu = 1 y
1 – e2 x
y = (1 – e2) tgj
x
Pero por la (3):
tgu 1 – e2 = tgj(1 – e2) tgu = tgj 1 – e2
Por ultimo: (19)
(OA2)2 + (A2A)2 a2 = a2
b2
(17)
(18) (17) = (18):
(OA2)2 + (A1A2)2 = (OA2)2 + (A2A)2 a2
b2
A1A2 = A2A a
b
A2A = y = A1A2 b
a
y = asenu b
a
(17a)
(18b) Dividiendo 18b/17a:
DEL ELIPSOIDE
de coordenadas

Cartesianas (X,Y,Z), (x,y) y geodesicas (j,l)
O
A
j
l
90º
X = (V) cosjcosl
Y = (V) cosjsenl
Z = V(1 – e2) senj
X
Y
X
-Z
-Y
y Z
x
X = x cosl
Y = x senl
Z = y
x = a cosj .
1 – e2sen2j
Según la (8) y la (9):
y = a(1 - e2)senj
1 – e2sen2j
X
(20)
Reemplazando:
(21)
estas formulas se em-
plean en el proceso
de transformacion de
Datum.
Y
(8)
(9)
DEL ELIPSOIDE
de coordenadas

.
ELEMENTOS MATEMATICOS DEL ELIPSOIDE
(radios de curvatura)
O
jA
Radio de curvatura meridiano (M)
Es el radio del plano meridiano que pasa por
el punto de observacion.
Partiendo de la ecuacion para el radio de una
curva plana:
1 + dy 2
dx .
3/2
d2y
dx2
Y adecuandola para la
elipse meridiana:
1 + dy 2
dx .
3/2
d2y
dx2
M =
A
90 - jA
r
Según la (2a): dy = - ctgj
dx
Diferenciamos con respecto a (x) toman
do a j como una funcion de (x):
d2y = 1 dj
dx2 sen2j dx
En la (8) calculamos
dj/dx:
x = a cosj .
1 – e2sen2j
= a cosj(1-e2sen2j)-1/2
(20)
M
(20a)
(8)

Diferenciando: dx = a [-senj(1-e2sen2j)-1/2 + e2senjcos2j(1-e2sen2j)-3/2] dj
dx = asenj(1-e2sen2j)-3/2 [-(1-e2sen2jcos2j) + e2cos2j] dj
dx = asenj(1-e2sen2j)-3/2 (1-e2)
dj
(20b) en la (20a): d2y = (1-e2sen2j)3/2 .
dx2 asen3j(1-e2)
(2a) y (20c) en la (20):
M = (1+ctg2j)3/2 asen3j(1-e2)
(1-e2sen2j)3/2
Asi llegamos a la expresion para el radio de curvatura en el plano meridiano (M):
M = a(1 – e2) .
(1-e2sen2j)3/2 (21)
M se emplea en el calculo de las
longitudes de arcos de meridiano,
diferencia de latitudes, calculo de
posicion geodesica, y otros.
x = a [cosj(1-e2sen2j)-1/2]
(20c)
1 + dy 2
dx .
3/2
d2y
dx2
M = = a(1–e2) (1 / sen2j)3/2 sen3j
(1-e2sen2j)3/2
= a(1–e2) (1 / senj)3 sen3j
(1-e2sen2j)3/2
(20)
dj = (1–e2sen2j)3/2 .
dx asenj(1-e2)
(20b)

V > M
Radio de curvatura del 1er. Vertical (V)
o
jA
A
.
90 - jA
r
P
Q
En el triangulo PAQ: r = Vcosj
V
x = a cosj .
1 – e2sen2j
Pero, por la (8):
Como x = r:
Luego:
a
(22)
Durante la ejecucion de los calculos, se verifica que:
V se emplea en el calculo de las longitudes de arcos de paralelo, diferen-
cias de longitud y azimut, calculo de posicion geodesica, transformacion
de datum, y otros.
a cosj .
= Vcosj
1 – e2sen2j
V = a .
1 – e2sen2j
x
plano 1er.
vertical

Radio medio de curvatura (R)
.
O
jA
A
M
V
Z
Es el limite de la media aritmetica de los radios de curvatura de las secciones normales cuando el nu-
mero de estos tiende a infinito.
B
Para deducir su formula, tomamos una seccion
normal (AB) cualquiera en A con azimut z.
Las secciones normales principales (meridiano y 1er.vertical)
tienen las curvaturas minima y maxima.
DZ
Suponiendo que z varia de 0 a 180-Dz, siendo
Dz una magnitud muy pequeña, el numero de
estos valores de z sera de 2p / Dz.
Ahora, calculamos la media aritmetica de los ra-
dios de curvatura de todas estas secciones nor-
males con intervalos de Dz.
S
0
2p-Dz
MV .
Vcos2z + Msen2z
MVDz .
Vcos2z + Msen2z
=
S
0
2p-Dz
R1 =
2p
Dz
2p
Como R = lim R1 cuando Dz 0, continuamos la operación reemplazando S por y Dz por dz.
MV dz .
Vcos2z + Msen2z
4 .
2p
R =
0
90
Dividiendo entre Vcos2z
la funcion bajo la integral
M .
cos2z . dz
1+Mtg2z
V
2 .
p
R =
0
90

Sacando MV fuera de la :
0
90 M . dz .
V cos2z
1 + M tgz 2
V
2 . MV
p
R =
Introduciendo
la igualdad:
M . tgz = q .
V
2 . MV
p
.
dq .
1 + q2
R =
0
Integrando:
.
tg-1q
2 . MV
p
R =
0
Aplicando
los limites:
2 . MV p
p 2
R = R = MV (24)
Es decir: el radio medio de curvatura es igual a la media geometrica del
producto de los radios de curvatura meridiano y 1er. vertical.
Se lo emplea al representar partes del elipsoide sobre la esfera, calculo
de los excesos esfericos en los triangulos, y otros.
dq = M 1 .dz
V cos2z
(23)
(23a) Y diferenciando: (23b)
(23a) y (23b)
en la (23):
8
8

Radio de curvatura polar (c)
O a
b
M = a(1 – e2) .
(1-e2sen2j)3/2
Aplicando la formula de M para el polo (j = 90º):
= a(1 – e2) .
(1-e2sen290)3/2
= c
c = a .
1 - e2
c = a2 .
b
Durante la ejecucion de los calculos,
se verifica que:
c > V > M
c
Este radio se emplea en el calculo del radio de curvatura en un azimut
determinado, y para reducir distancias al geoide.
Pero en los polos:
c = V = M = R
(23)
M = a(1 – e2) .
(1 - e2)3/2
geo1
b = 1 – e2
a
Concepto grafico de los radio
de curvatura

Radio de curvatura (Ra) en una latitud j y un azimut a dados
.
O
jA
A
M
V
a
Es el radio de una seccion normal cualquiera (AB) de azimut (a)
en la latitud jA.
B
Para su calculo nos basamos en la formula de Euler
que relaciona el radio de una seccion normal cual-
quiera con los radios (M y V) de las secciones
normales principales. Es decir:
1 = cos2a + sen2a
Ra M V
Ra = V .
1 + e2cos2jcos2a
Para su aplicación practica,
Ra puede expresarse asi:
Se emplea Ra en la proyeccion de las distancias de poligonal
al geoide, y en la nivelacion trigonometrica.
(25)
= Vcos2a + Msen2a
MV
Ra = MV .
Vcos2a + Msen2a
j y a son, respectivamente, la latitud y azimut medios de la linea.

ELEMENTOS MATEMATICOS DEL ELIPSOIDE
(longitud de arcos)
Arco de meridiano (s)
O
A
j
dj
M
Si se considera un punto A (sobre el elipsoide) de
latitud j, y otro punto A1 a una distancia (ds) in-
finitamente pequeña, su longitud (asumida como
el arco de una circunferencia de radio M), sera:
ds = Mdj Reemplazando M por la (21):
ds = a(1 – e2) . dj
(1-e2sen2j)3/2
ds
A1
= a(1 – e2) dj
W3
(26)
Para calcular la longitud del arco de meridiano entre
2 ptos de latitudes j1 y j2, debemos integrar la rela-
cion (26):
s = a(1 – e2) . dj
W3
j1
j2
a(1 – e2) dj .
W3
j1
j2
=
Integral eliptica que no tiene solucion con fun-
ciones elementales, pero se la puede resolver
descomponiendola en una serie según el bino
mio de Newton, es decir:
1 = (1-e2sen2j)-3/2
= 1 + 3 e2sen2j + 15 e4sen4j + 35 e6sen6j + 315 e8sen8j + 693 e10sen10j+…..
W3 2 8 16 128 256
(26b)
(26a)

Para simplificar, calcularemos la serie hasta los terminos con e4, y expresaremos los exponentes
pares de los senos según sus igualdades equivalentes:
sen2j = 1 - 1 cos2j
2 2
sen4j = 3 - 1 cos2j + 1 cos4j
8 2 8
Reemplazando (26c)
en (26b) y operando:
1 =
W3
1 + 3 e2
2
1 - 1 cos2j
2 2
+ 15 e4
8
3 - 1 cos2j + 1 cos4j
8 2 8
1 =
W3
1 + 3 e2 – 3 e2cos2j + 45 e4 – 15 e4cos2j + 15 e4cos4j +……..
4 4 64 16 64
+……
1 =
W3
1 + 3 e2 + 45 e4 +….
4 64
– 3 e2 + 15 e4 +…cos2j
4 16
+ 15 e4 +…. cos4j…..
64
A B C
1 =
W3
A – Bcos2j + Ccos4j -….. (26d) Reemplazando (26d) en (26a):
s = a(1 – e2)
j1
j2
(A– Bcos2j + Ccos4j -…) dj Integrando:
s = a(1 – e2) A(j2 – j1) – B (sen2j2 – sen2j1) + C (sen4j2 – sen4j1) - ….
2 4
(27)
(26c)

En distancias menores o iguales a 45km, se puede considerar al arco de meridiano co-
mo esferico. De esta forma, se puede calcular el arco de meridiano con una precision
hasta de 1mm, aplicando la relacion:
s = Mm (j2 – j1)”
r”
Mm = radio de curvatura meridiano para la latitud
media [(j2 + j1) / 2]
Donde:
Otro metodo consiste en aplicar la formula de
Simpson a la integral:
Que divide el intervalo de integracion en 2 partes,
es decir:
s = Dj” (M1 + 4Mm + M2)
6r”
j1
j2
Donde:
M1: radio de curvatura meridiano en j1
M2: radio de curvatura meridiano en j2
Mm: radio de curvatura meridiano en jm
= Mm Dj”
r”
s = M dj
j1
j2
(27b)
(27c)
Este metodo proporciona un error de 1 a 2 cm en el calculo de arcos de meridiano hasta de
1000km.
jm
r” = radian en segundos = 206265”
Mm
s

s = Dj” (M1 + 4Mm + M2) = 1440” x
6r” 6x206265”
jA
jB
s = Mm Dj”
r”
EJEMPLOS:
(1) Utilizando las relaciones (27b) y (27c), calcular la longitud del arco de meridiano entre
los siguientes puntos:
A
B
jA = 17º 25`
jB = 17º 49`
1.2 Con la (27c):
Dj = jB – jA = 17º 49`- 17º 25`
= 00º 24` = 1440”
jm = (jB + jA) / 2 = (17º 49`+ 17º 25`) / 2 = 17º 37`
1.1 Con la (27b):
Calculos preliminares:
Mm = 6341364,485mt
= 6341364,485mt x 1440” =
206265”
44271,034mt
M1 = 6341493,977mt
38048188,89 = 44271,036mt
Si se conoce s y jA de un extremo del arco, se puede determinar jB del otro extremo.
M2 = 6341236,272mt

1°) Calcular la distancia de 1°
meridiano para cada gra
do de j desde 1° hasta 90°.
2°) Sumar todos los valo
res obtenidos, lo que
da la distancia para ¼
del meridiano.
3°) Multiplicar este ulti-
mo valor por 4 para
obtener la distancia de to
do el meridiano.
Para calcular la longitud del arco de un grado de meridiano (Dj = 1º) y la longitud total del me-
ridiano en el elipsoide Hayford), se puede aplicar la relacion:
1º de meridiano(km) = 111,1343 – 0,5623cos2j + 0,0011cos4j
Procedimiento:
(27a)

Arco de paralelo (p)
Facilmente se aprecia en la figura que los paralelos
en el elipsoide son circunferencias de radio (r) donde
solo el ecuador tiene radio (a).
a
r
r
p
En consecuencia, su calculo se limita a determinar un
arco de circunferencia situado entre 2 meridianos a lo
largo de un paralelo.
Para esto, recordamos la expresion matematica del ra
dio de paralelo (r = x):
x = a cosj .
1 – e2sen2j
= V cosj = r
j
V
Luego: p = VcosjDl p = V cosj Dl”
r”
Dl
Tambien se puede emplear p para calcular la
diferencia de longitud entre 2 puntos de una
misma latitud, separados por una distancia p.
(28)
Otra formula aplicable (elipsoide Hayford) para calcular
la distancia de 1º de arco de paralelo es:
1º de paralelo(km) = 111,4155cosj – 0,094cos3j + 0,0002cos5j
p

APLICACIONES DE LOS RADIOS DE CURVATURA
Y LOS ARCOS DE MERIDIANO Y PARALELO
1. Area de una faja completa (entre j1 y j2) del elipsoide
Af = 2pb2 (senj2 – senj1) 1 + 1 e2 + 3 e4 -
2 8
- (sen3j2 – sen3j1) 1 e2 + 3 e4 +
6 16
+ (sen5j2 – sen5j1) 3 e4……….…
80 j1
j2
2. Area de toda la superficie del elipsoide
Ae = 4pb2 1 + 2 e2 + 3 e4 + 4 e6 + 5 e8 + 6 e10 +…..
3 5 7 9 11
Resulta de hacer j1 = 0 y j2 = 90º en la anterior formula, con
lo cual se calcula el area de un hemisferio, que debe duplicarse
para obtener el area total, es decir:

3. Area de una hoja cartografica (ABCD) limitada por 2
paralelos (AD y BC) y 2 meridianos (AB y DC)
A
B
C
D
j1
j2
l1
l2
La formula (28) para el area de una faja, cubre 360º (2p) en el sentido de la longitud.
Ah = Dlb2 (senj2 – senj1) 1 + 1 e2 + 3 e4 -
2 8
- (sen3j2 – sen3j1) 1 e2 + 3 e4 +
6 16
+ (sen5j2 – sen5j1) 3 e4……….…
80
Una forma simplificada consiste en calcular
el area del trapecio que forma la hoja, con-
siderando que sus limites son arcos de e-
lipse (arcos de paralelo los limites norte y
sur, y arcos de meridiano los limites este y
oeste), es decir:
AB = CD = M xDj AD = BC = V x cosjm x Dl
Ah = MxVxcosjmxDjxDl Donde M y V se calculan para la latitud media jm de la hoja
Esta misma formula puede aplicarse para calcular el area de una hoja cartografica entre j1 a j2,
reemplazando el factor 2p por el Dl que corresponde al ancho de la hoja es decir:

6º
j1
j2
l1
l2
Ah = pb2 (A1sen2º cosjm – A2sen6º cos3jm + A3sen10º cos5jm – A4sen14º cos7jm +
15 + A5 sen18º cos9jm)
Donde:
A1 = 1 + 1 e2 + 3 e4 + 5 e6 + 35 e8
2 8 16 128
A2 = 1 e2 + 3 e4 + 5 e6 + 35 e8
6 16 16 192
A3 = 3 e4 + 1 e6 + 5 e8
80 16 64
A4 = 1 e6 + 5 e8
112 256
A5 = 5 e8
2304
Para calcular el area de una hoja escala 1:1
,000.000, cuya cobertura es de 4º de latitud x 6º de lon-
gitud, se puede adecuar la siguiente formula:
4º

4. Limites de las hojas cartograficas
Donde:
Toda hoja cartografica del sistema nacional esta limitada
por 2 paralelos (j1 y j2) y 2 meridianos (l1 y l2), que no
son mas que arcos de paralelo y meridiano, respectivamen-
te, sobre elipsoide, cuyas relaciones matematicas ya se han
deducido.
j1
j2
l2 l1
Luego:
M2 M1
P1
P2
M1 = M2 = Mm x Dj”
r”
Para los limites este y oeste
P1 = V1 cosj1 Dl”
r”
Para los limites norte y sud
P2 = V2 cosj2 Dl”
r”
M1 = M2 = limites oeste y este
P1 = P2 = limites norte y sud
Mn = radio de curvatura meridiano para jm
V1 = radio de curvatura 1er. Vertical para j1
V2 = radio de curvatura 1er. Vertical para j2

POSICIONAMIENTO GEODESICO
Es el conjunto de operaciones tecnicas de campo y gabinete para
determinar los diferentes elementos que conforman la posicion
geodesica (j,l) de los puntos del terreno.
Se presenta bajo las modalidades de:
(1) Posicion geodesica inversa.
(2) Posicion geodesica directa.

1
2
j1, l1
j2, l2
A1
A2
POSICION GEODESICA INVERSA
DATOS CONOCIDOS DATOS CALCULADOS
Posicion geodesica del pto. 1
Posicion geodesica del pto. 2
Azimut geodesico directo (1-2)
Azimut geodesico inverso (2-1)
Distancia geodesica (1-2)
Consiste en el calculo de los azimuts (directo e inverso) y la distancia geodesica
entre 2 ptos. cuyas coordenadas geodesicas son conocidas.
excel

1
2
A1
A2
POSICION GEODESICA DIRECTA
DATOS CONOCIDOS DATOS CALCULADOS
Posicion geodesica del pto 1 (j1,l1)
Azimut geodesico directo (A1)
Distancia geodesica DG
Calcula la posicion geodesica de un punto (2) en base a la posicion geodesica,
azimut y distancia conocidas de un punto (1).
(j1, l1)
(j2, l2)
Posicion geodesica del pto 2 (j2,l2)
Azimut geodesico inverso (A2)
excel geocal
topo2

PROYECCION DE PUNTOS EN LA
UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERC
Es el conjunto de operaciones matematicas para proyectar puntos
desde el elipsoide al plano (mapa).
j,l (x,y)
Y = 10
,000000 – (I + IIp2 + IIIp4 + A6)
X = 5OOOOO (IVp + Vp3 + B5)
-
+
Se conoce como la Transformacion de coordenadas geograficas a
CUTM y viceversa
FORMULAS DE TRANSFORMACION
+
-
Geograficas a CUTM
CUTM a Geograficas
j = j, - VIIq2 + VIIIq4 – D6
l = IXq - Xq3 + E5 lo
+
-

LAS RELACIONES MATEMATICAS DE LA UTM
S: arco de meridiano desde el ecuador hasta el punto
Ko: factor de escala en el meridiano central = 0,9996
CALCULO DE LOS TERMINOS I a XIX

CALCULO DE LOS TERMINOS VIII a XIX

CALCULO DE LOS TERMINOS A6 a F5

Desarrollos en serie
senx = x – x3 + x5 - x7 +…….
3! 5! 7!
(1 + x)d = 1 + dx1 + d(d – 1) x2 + …..+ d(d – 1) (d – n + 1) xn + …...
2! n!
1 = (1 - e2sen2j)-3/2
= 1 + 3 e2sen2j + 15 e4sen4j + 35 e6sen6j + 315 e8sen8j + 693 e10sen10j+…..
W3 2 8 16 128 256
Calculos auxiliares
sen(a ± b) = sena.cosb ±cosa.senb
cos(a ± b) = cosa.cosb sena.senb
±
tan(a ± b) = tana ± tanb .
1 tana.tanb
±
cot(a ± b) = cota.cotb 1 .
cotb ± cota
±
Equivalencias de funciones
trigonometricas
Derivadas
d sena = cosa d cosa = -cosa
d tana = da .
cos2a
d cota = - 1 .
sen2a
d tan-1a = da .
1 + a2
d sen-1a = da .
1 - a2
d cos-1a = - da .
1 - a2
d cot-1a = - da .
1 + a2
n = 1,2,3,……
tana ± tanb = sen(a ± b) .
cosa.cosb

Calculos auxiliares
Equivalencias de funciones
trigonometricas
sena.cosb = sen(a + b) + sen(a – b)
2 2

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