Asignacion N1 Geometria analitica S6

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede – Barcelona
Asignación Nº1
Profesor:
Pedro Beltrán.
Sección: S1
Alumno:
Suárez Juan.
C.I: 27.947.483

2. INTRODUCCÓN
Cónicas: Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta
inclinación. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante
tener en cuenta que son líneas y no superficies.
El griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C) fue el primero en estudiar las secciones
cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la
construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.
Arquímides (287-212 A.C.) logró calcular el área de un elipse y de un sector de la
parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII
d. C.
Apolonio de Praga (262 - 190 A.C.) representa la culminación de la geometría griega.
Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo y
las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben
a él.

3. Lugares geométricos
El conjunto de todos los puntos del plano
que satisfacen ciertas condiciones dadas, y
solamente esos puntos, se llama el lugar
geométrico de esas condiciones.
Se llama lugar geométrico a un conjunto de
puntos que cumplen una determinada
propiedad.
La propiedad geométrica que define el lugar
geométrico, tiene que traducirse a lenguaje
algebraico de ecuaciones.

4. Lugares geométricos ejemplos

5. Una recta es una sucesión infinita de puntos,
situados en una misma dirección. Una recta
tiene una sola dimensión: la longitud
Las rectas no tienen comienzo ni final: son
líneas compuestas de puntos que se suceden
de manera indefinida. Están consideradas como
uno de los entes fundamentales de la
geometría, al igual que los ya mencionados
puntos y los planos.
Recta

6. Clase de recta
Secantes: Las rectas secantes se cortan en un punto.
Paralelas: Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

7. Clase de recta
Coincidentes: Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

8. Ecuación de la recta puto-punto
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una
recta. En base a estos dos puntos conocidos
de una recta, es posible determinar su
ecuación. Para ello tomemos un tercer punto
R(x,y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta,
se tiene que PQ y PR deben tener la misma
pendiente. O sea

9. Luego, la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos es:
Ecuación de la recta puto-punto
que también se puede expresar como:

10. Ecuación de la recta puto-punto ejemplo
Determina la ecuación de la recta que pasa
por los puntos P(1,2) y Q(3,4)
y - 2 = x - 1
x - y + 1 = 0

11. Ecuación de la recta punto-pendiente
Se estudiarán rectas que no son paralelas al
eje Y, con pendiente m, y que pasan por un
punto P1(x1, y1) . Cualquier otro punto P de la
recta lo denominaremos P(x, y).
La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,
y1) y P2(x2, y2) es:
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
La ecuación Punto- Pendiente es: y – y1 = m(x – x1).

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (-4, 3) con pendiente –1.
Solución: La ecuación punto- pendiente es y – 3
= -1(x – (-4)).
⇒ y - 3 = -x – 4. ⇒ y = -x - 1
Ecuación de la recta punto-pendiente ejemplo

13. Paralelismo y perpendicularidad
Paralelismo: dos rectas son paralelas si la
distancia entre ellas es constante y por lo
tanto, por mucho que se propaguen nunca se
cruzan. En función de sus pendientes, dos
rectas serán paralelas si sus pendientes son
iguales. Por lo tanto:
m1= m2 Condición de paralelismo
De la cual:
m1 = pendiente de la primer recta.
m2 = pendiente de la segunda recta.

14. Paralelismo y perpendicularidad
Perpendicularidad: Dos rectas son
perpendiculares si al cruzarse forman ángulos
de 90º. En función de sus pendientes, dos
rectas serán perpendiculares si el producto de
sus pendientes es igual a -1, Por lo tanto:
m1*m2 = -1 Condición de perpendicularidad
De la cual:
m1 = pendiente de la primer recta.
m2 = pendiente de la segunda recta.

15. Ejemplo: Se trazan dos segmentos en un plano, determina si son
paralelos sabiendo que sus puntos son:
Segmento AB A(3,4) B(-6,5)
Segmento CD C(8,2) D (-10,4)
Grafica que representa las rectas:
Paralelismo y perpendicularidad ejemplo

16. Obtenemos las pendientes de las rectas:
Paralelismo y perpendicularidad ejemplo
Concluimos que m1=m2 y que por lo tanto se
trata de rectas paralelas

17. Paralelismo y perpendicularidad ejemplo
Determina si el segmento , cuyos puntos son: A(1,3) B(5,2) es
perpendicular al segmento cuyas coordenadas son C(4,4) y D(3,0)
Obtenemos las pendientes de las rectas:

18. Paralelismo y perpendicularidad ejemplo
Gráfica que representa dos rectas perpendiculares

19. Ecuación general
La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0,
donde A, B y C son números reales.
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita
(es decir, despejada y):
By = -Ax-C -> -> la pendiente es: m = -A/B
Ejemplo: hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector
director vector igual (-2, 1).

20. Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la
longitud del segmento perpendicular a la
recta, trazada desde el punto.
Ejemplo: Calcula la distancia del punto
P(2,- 1) a la recta r de
ecuación 3 x + 4 y = 0.

21. Circunferencia
La circunferencia es una curva plana y
cerrada donde todos sus puntos están a igual
distancia del centro.
Distíngase del círculo, que es el lugar
geométrico de los puntos contenidos en el
interior de dicha circunferencia, o sea, la
circunferencia es el perímetro del círculo. Los
puntos de la circunferencia están a una
distancia igual al radio del centro del círculo,
mientras los demás puntos del círculo están a
menor distancia que el radio.

22. Ecuación ordinaria y general
La ecuación de la
circunferencia con centro en el
origen se deduce a partir
de su definición utilizando la
fórmula para calcular la
distancia entre dos
puntos (ver tema: La
circunferencia como lugar
geométrico).

23. Parábola
Es el lugar geométrico de los puntos del
plano tales que sus distancias a un
punto fijo llamado foco y a una recta fija
llamada directriz son iguales.
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA:
Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado
en el origen de coordenadas.
Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y
se halla situado en el punto (h,k).
En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos
establecida la fórmula:

24. Parábola
Hacemos operaciones:
Damos valores a:
Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la
ecuación general de la parábola:
Cuando su eje focal es
paralelo al eje X se halla
situado en el punto (h, k)
la fórmula es:

25. La tangente a la parábola
La ecuación de la recta tangente a la
parábola de vértice V(0, 0) en el punto
P(x0, y0) viene dada por la fórmula:

26. Ecuación cuadrática de una parábola
Función cuadrática es aquella función que
está determinada por la ecuación de segundo
grado (cuadrática) de la forma:
Aplicación De La Parábola:
Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos
interesa hacer un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas
parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la
misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en
algunos deportes también tienen forma paraboloide.

27. Elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a
dos ejes perpendiculares entre sí:
- El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
- El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica
respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

28. Hipérbola
Una hipérbola es una sección cónica, una curva
abierta de dos ramas obtenida cortando un cono
recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con
ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje
de revolución.
Definición. Una hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos de un plano tales
que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados focos,
es igual a la distancia entre los vértices, la cual
es una constante positiva.

29. Bibliografía
- Lugares geométricos: https://www.ditutor.com/recta/lugares_geometricos.html
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/lugares-geometricos/
- Recta: https://www.ditutor.com/geometria/rectas.html
https://definicion.de/recta/
- Ecuación de la recta punto-punto:
https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-2/ecuacion-de-la-recta-que-
pasa-por-dos-puntos
- Ecuación de la recta punto pendiente:
http://www.abaco.com.ve/precalculo/EQUATIONSOFSTRAIGHTLINES.pdf
- Paralelismo y perpendicularidad: http://lageometrianalitica.blogspot.com/p/paralelismo-y-
perpendicularidad.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Perpendicular-
coloured.svg/250px-Perpendicular-coloured.svg.png

30. Bibliografía
- Ecuación general:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/vectores_rectas_plano_alm/
index/rectageneral.htm
https://www.vitutor.com/geo/rec/d_5.html
- Distancia de un punto a una recta: https://www.vitutor.com/geo/rec/d_13.html
- Circunferencia:
https://es.wikibooks.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica/Circunferencia/Definicion
- Ecuación ordinaria y general:
http://www.universidadupav.edu.mx/documentos/BachilleratoVirtual/Contenidos_PE_UPAV/3Trim
estre/MAT%203/unidad2/tema2.pdf
- Parabola: https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-3/la-circunferencia-1