Este documento estudia cómo una bailarina de ballet cambia su velocidad angular al extender o contraer sus brazos durante un giro. Presenta dos modelos: 1) considerando la masa de los brazos concentrada en sus extremos, y 2) asumiendo que los brazos y el tronco forman una placa circular y una barra ligera. Ambos modelos muestran que la velocidad angular disminuye cuando la bailarina extiende los brazos y aumenta cuando los contrae, debido a la conservación del momento angular.

1. EXPLORACIÓN FÍSICA
ESTUDIO DEL BAILE DE UNA BAILARINA DE BALLET
1. OBJETIVOS
2. INTRODUCCIÓN
3. PREGUNTA CENTRAL
¿Cuándo una bailarina de ballet estira sus brazos aumenta o disminuye la velocidad angular
del giro que lleva? ¿Por qué?
4. HIPÓTESIS
La bailarina de Ballet Disminuye su velocidad angular cuando extiende sus brazos
5. MARCO TEÓRICO
5.1. Conservación del momentum angular para una partícula
Considérese una partícula P de masa m que se mueve con respecto a un sistema de
referencia xyz, la cantidad de movimiento lineal de la partícula en un instante determinado
se define como el vector 𝑚𝒗 obtenido al multiplicar la velocidad 𝒗 de la partícula por su
masa 𝑚. El momento alrededor de O del vector mv se denomina momento de la cantidad
de movimiento, o la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno a O en ese
instante y se denota por medio de 𝑯 𝒐. Al denotar mediante r el vector de posición de P, se
escribe
𝑯 𝟎 = 𝒓 x m𝐯 (1)
Figura 1. Vector momentum en coordenadas cartesianas
Se tiene que 𝑯 𝒐 es un vector perpendicular al plano que contiene 𝒓 y 𝑚𝒗, y su magnitud
es:
𝐻 𝑜 = 𝑟𝑚𝑣 sin 𝜙 (2)
Donde 𝜙 es el ángulo entre 𝒓 y 𝑚𝒗. El sentido de 𝑯 𝒐 puede determinarse a partir del sentido de 𝑚𝒗
aplicando la regla de la mano derecha.
Si se recurre a coordenadas polares (como se muestra en la figura 2.), se descompone la cantidad de
movimiento lineal de la partícula en las componentes radial y transversal y se escribe:
𝐻 𝑜 = 𝑟𝑚𝑣 sin 𝜙 = 𝑟𝑚𝑣 𝜃
Como 𝑣 𝜃 = 𝑟𝜃̇, entonces

2. 𝐻 𝑜 = 𝑚𝑟2
𝜃̇ (3)
Figura 2. Vector momentum en coordenadas radial transversal
Si se deriva a los dos lados de la igualdad en la ecuación (1), se obtiene:
𝑯 𝒐
̇ = 𝒓̇ x 𝑚𝒗 + 𝒓x𝑚𝒗̇
𝑯 𝒐
̇ = 𝒗 x 𝑚𝒗 + 𝒓x𝑚𝒗̇
Pero como el vector 𝒗 se encuentra en la misma dirección del vector 𝑚𝒗, entonces su
producto cruz es igual a cero y por lo tanto
𝑯 𝒐
̇ = 𝒓x𝑚𝒗̇
𝑯 𝒐
̇ = 𝒓x𝑚𝒂
Considerando que la segunda ley de newton dice que
Σ𝑭 = 𝑚𝒂, entonces
𝑯 𝒐
̇ = 𝒓xΣ𝑭
𝑯 𝒐
̇ = Σ𝑴 𝒐 (4)
5.2. Momentos de inercia de masa
Considérese una pequeña masa ∆𝑚 montada sobre una barra de masa insignificante que
puede girar libremente alrededor de un eje 𝐴𝐴′
(como se muestra en la figura 4. a) ). Si se
aplica un par al sistema, la barra y la masa, supuestas inicialmente en reposo, empezarán a
girar alrededor del eje 𝐴𝐴′
. El tiempo requerido para que el sistema alcance una velocidad
de rotación determinada es proporcional a la masa ∆𝑚 y al cuadrado de la distancia 𝑟2
. Por
lo tanto, el producto 𝑟2
∆𝑚 proporciona una medida de la inercia del sistema, esto es, una
medida de la resistencia que el sistema ofrece cuando se intenta ponerlo en movimiento.
Por esta razón, el producto 𝑟2
∆𝑚 recibe el nombre de momento de inercia de la masa ∆𝑚
con respecto al eje 𝐴𝐴′.

3. Figura 3. Geometría del momento de inercia de un cuerpo rígido
Considérese ahora un cuerpo de masa m que girará alrededor de un eje 𝐴𝐴′ (figura 4. b)).
Al dividir el cuerpo en elementos de masa ∆𝑚1, ∆𝑚2, etc., se encuentra que la resistencia
del cuerpo que se va a girar se mide por la suma 𝑟1
2
∆𝑚1 + 𝑟2
2
∆𝑚2 + 𝑟3
2
∆𝑚3 + ⋯. Esta suma
define el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje 𝐴𝐴′. Al aumentar el número
de elementos, se encuentra que el momento de inercia es igual, en el límite, a la integral
𝐼 = ∫ 𝑟2
𝑑𝑚 (5)
El radio de giro 𝑘 del cuerpo con respecto al eje 𝐴𝐴′ se define mediante la relación:
𝐼 = 𝑘2
𝑚
𝑘 = √
𝐼
𝑚
(6)
El radio de giro k representa, en consecuencia, la distancia a la cual la masa completa del
cuerpo debe concentrarse si el momento de inercia con respecto a 𝐴𝐴′ va a permanecer sin
cambio (figura 4. c) ). Ya sea que conserve su forma original o si se concentra como se
muestra en la figura 4. c), la masa m reaccionará de la misma manera a una rotación, o giro,
alrededor de 𝐴𝐴′
.
5.3. Momento de inercia centroidal de una placa rectangular
En el caso de una placa rectangular de lados a, b, se obtienen los siguientes momentos de
inercia de masa con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad dela placa:
Figura 4. Placa plana rectangular
𝐼𝐴 𝐴′ =
1
12
𝑚𝑎2
(7)
𝐼 𝐵𝐵′ =
1
12
𝑚𝑏2
5.4. Momento de inercia centroidal de una placa circular
En el caso de una placa circular de radio r, se obtienen los siguientes momentos de inercia
de masa con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad dela placa:

4. Figura 5. Placa plana circular
𝐼𝐴 𝐴′ = 𝐼 𝐵𝐵′ =
1
4
𝑚𝑟2
(8)
𝐼 𝐶𝐶′ =
1
2
𝑚𝑟2
(9)
5.5. Conservación del momentum angular cuerpo rígido
Considerando una placa rigida, con movimiento plano, asumiendo que la placa esta contemplada
por un gran numero de pequeñas particulas 𝑃𝑖 de masa ∆𝑚𝑖, cada una de esas particulas lleva una
velocidad 𝒗𝒊, como se muestra en la figura 3.
Figura 6. Momentum algular de una placa respecto de su centroide
La cantidad de movimiento angular con respecto al centroide 𝐺 de toda la placa se puede calcular
sumando la cantidad de movimiento angular de cada una de las particulas con respecto al centro de
masa 𝐺, así que teniendo en cuenta la ecuación (1) tenemos que:
𝑯 𝑮 = ∑(𝒓′
𝒊 x 𝐯′𝐢∆mi)
𝒊
Pero debe considerarse que 𝐯′𝐢 = 𝝎 x 𝒓′
𝒊 donde 𝝎 es la velocidad angular de la placa de
donde se obtiene:
𝑯 𝑮 = 𝝎 ∑(𝒓′
𝒊
𝟐
∆mi)
𝒊

5. Y como ∑ (𝒓′
𝒊
𝟐
∆mi)𝒊 = 𝑰̅, donde 𝑰̅ representa el momento de inercia de masa centroidal de
la placa, se concluye entonces que la cantidad de movimiento es:
𝑯 𝑮 = 𝝎𝑰̅ (10)
Y derivando a ambos lados de la ecuación obtenemos
𝑯 𝑮
̇ = 𝝎̇ 𝑰̅
𝑯 𝑮
̇ = 𝜶𝑰̅ (11)
6. DESARROLLO DE CONTENIDOS
El comportamiento del baile de la bailarina de ballet se puede llevar a cabo planteando
diferentes modelos que simplifiquen el problema y los cuales pueden arrojar diferentes
respuestas que conduzcan al mismo resultado.
En este trabajo se estudiara el comportamiento del baile de la bailarina de ballet desde dos
modelos, el primero será concentrando la masa de los brazos de la bailarina en sus extremos
y aplicando conservación del momentum angular de una partícula y el segundo será
asumiendo que los brazos y el troco de la bailarina se asumen como una placa circular y una
barra ligera
6.1. Modelo 1 Conservación del momentum angular de la particula
Este es el modelo más simplificado que podemos encontrar y los resultados pueden
manejar un mayor margen de error, sin embargo, es un buen modelo para responder a la
pregunta, que ¿Cuándo la bailarina de ballet estira sus brazos aumenta o disminuye su
velocidad angular?
En la figura 7. se presenta el caso de la bailarina con los brazos abiertos y se considera una
distancia de las masas puntuales al eje central de 𝑅
Figura 7. Bailarina con brazos abiertos
Aplicando la ecuación (3) tenemos:
𝐻1 = 𝑚𝑅2
𝜔1
En la figura 8. Se presenta el caso de la bailarina con los brazos cerrados y se considera una
distancia de las masas puntuales al eje central de 𝑟.

6. Figura 8. Bailarina con brazos cerrados
Aplicando la ecuación (3) tenemos:
𝐻2 = 𝑚𝑟2
𝜔2
Debido a que el momentum angular se conserva podemos igualar y obtener:
𝐻1 = 𝐻2
𝑚𝑅2
𝜔1 = 𝑚𝑟2
𝜔2
De donde simplificando obtenemos que:
𝜔2 =
𝑅2
𝑟2
𝜔1
Y como 𝑅 > 𝑟 entonces 𝜔2 > 𝜔1, es decir que la velocidad angular de la Bailarina de ballet
disminuye cuando abre sus brazos y aumenta cuando los cierra, como hipotéticamente se
había afirmado.
𝜔2 =
0,752
0,32
𝜔1 = 6,25𝜔1
Claro está que este modelo es muy simplificado y no considera factores como la resistencia
al aire que opone la bailarina.
6.2. Modelo 2 Conservación del momentum angular de un cuerpo rígido
Este modelo es algo más completo, sin embargo, considera el movimiento no en 3
dimensiones sino en el plano (como una proyección) y tampoco considera factores como la
resistencia al aíre que presenta el cuerpo, Pero es un modelo que evidencia mejor por qué
la velocidad disminuye cuando la bailarina estira sus brazos.
En la figura 9. Se presenta el caso de la bailarina con los brazos cerrados y por lo tanto toda
la masa se concentra en un disco circular cuyo radio es 𝑟, el momento de inercia de masa
centroidal de este disco circular está dado por la ecuación (9), es decir.
𝐼̅ =
1
2
𝑚𝑟2

7. Figura 9. Modelo con brazos cerrados
Aplicando la ecuación (10) tenemos que:
𝑯 𝟏 = 𝝎 𝟏 𝑰 𝟏
̅
En la figura 10. Se presenta el caso de la bailarina con los brazos abiertos y por lo tanto la
masa se distribuye en un disco circular cuyo radio es 𝑟 y en una barra ligera cuya logitud se
determina sabiendo que la longitud de cada brazo es L.
Figura 9. Modelo con brazos abiertos
El momento de inercia de masa centroidal de la barra ligera se calcula haciendo una resta
entre dos momentos de inercia equivalentes uno a una barra que contiene a los brazos y
que atraviesa el disco y otro a una barra que tiene como longitud el diámetro del disco como
se presenta en la figura 11.
Figura 11. Barras para calcular momento de inercia
Teniendo en cuenta la ecuación (7) sabemos que el momento de inercia de una barra ligera
cuya longitud es 𝑙 es:
𝐼̅ =
1
12
𝑚𝑙2
Así que el momento de inercia que queremos calcular es:
𝐼2
̅ =
1
12
𝑚(2(𝐿 + 𝑟))2
−
1
12
𝑚𝑟2
Aplicando la ecuación (10) tenemos entonces que:

8. 𝑯 𝟐 = 𝝎 𝟐 𝑰 𝟐
̅
Aplicando conservación del momentum angular obtenemos
𝐻1 = 𝐻2
𝝎 𝟏 𝑰 𝟏
̅ = 𝝎 𝟐 𝑰 𝟐
̅
𝝎 𝟏 =
𝑰 𝟐
̅
𝑰 𝟏
̅
𝝎 𝟐
En consecuencia se debe verificar cuál de las dos inercias es mayor, por lo tanto
𝑰 𝟐
̅
𝑰 𝟏
̅
=
1
12
𝑚(2(𝐿 + 𝑟))2
−
1
12
𝑚𝑟2
1
2
𝑚𝑟2
=
4(𝐿 + 𝑟)2
6𝑟2
−
1
6
Como (𝐿 + 𝑟)2
> 𝑟2
entonces
𝑰 𝟐̅̅̅
𝑰 𝟏̅̅̅
> 1 y por lo tanto 𝑰 𝟐
̅ > 𝑰 𝟏
̅ , así 𝝎 𝟏 > 𝝎 𝟐
Y esto quiere decir que la velocidad angular es mayor cuando la bailarina cierra sus brazos
que cuando los abre.
Asumiendo que 𝐿 = 0,75𝑚 y 𝑟 = 0,3 numericamente también se puede ver que:
𝐼1
̅
𝑚
=
1
2
𝑟2
=
1
2
(0,3)2
= 0,045
𝑚𝑡𝑠2
𝑘𝑔
𝐼2
̅
𝑚
=
1
12
(2(𝐿 + 𝑟))
2
−
1
12
𝑟2
=
1
12
(2(0,75 + 0,3))
2
−
1
12
(0,3)2
= 0,36
𝑚𝑡𝑠2
𝑘𝑔
Luego
𝐼2
̅
𝑚
𝐼1
𝑚
̅
=
0,36
0,045
𝐼2
̅
𝐼1
̅
= 8
𝐼2
̅ = 8𝐼1
̅
Con este modelo puede observarse con mayor claridad que realmente la disminución de la
velocidad se debe a un aumento en la inercia del cuerpo, que hace referencia a la resistencia
al giro del cuerpo

9. 7. RESULTADOS DEL SOFTWARE PHYSICS TRACKER
En la parte experimental se grabó un video de una persona que simulara el movimiento de
la bailarina girando en una silla con movimiento rotacional. Este video fue llevado al
software Physics Tracker, el cual permitió hacer un análisis de la cinemática del cuerpo y el
cual arrojo una serie de datos que se presentan aquí y que serán comparados con los
resultados teóricos.
Con el fin de dar respuesta a la pregunta central, el modelo que se construyó en la parte
experimental está enfocado en el análisis del cambio en la velocidad de la bailarina de ballet
cuando abre y cierra sus brazos, por eso se hace énfasis en los resultados que arrojó el
software Physics Tracker, de las gráficas de velocidad angular respecto al tiempo.
Como muestra la gráfica de velocidad angular en función del tiempo, hay un cambio drástico
en la velocidad entre los 2.7 s y los 3.5 s, la velocidad aumentó de 170 rpm a 385 rpm, esto
es aumentar en un factor de 2.3.
Gráfica 1. Velocidad angular en función del tiempo
A continuación se analiza qué sucedió antes y después de este tiempo.

10. En la Figura 12. se puede observar que en el tiempo 2.74 s los brazos se encontraban
abiertos
Figura 12. Captura de pantalla con brazos abiertos en tiempo 2,74 s
En la Figura 13, se puede observar que en el tiempo 3.14 s los brazos se encontraban
cerrados
Figura 13. Captura de pantalla con brazos cerrados en tiempo 3,14 s
En los anexos se presenta la tabla con los datos obtenidos de tiempo y velocidad angular.
En el software se puede observar que antes del tiempo 2.6 s el promedio de la velocidad
angular es:
𝜔̅ =
∑ 𝜔𝑖
𝑛
= 215,91 𝑟𝑝𝑚

11. Gráfica 2. Promedio de velocidad angular antes de 2.7 s
Desviación estándar
𝑠2
=
∑ (𝜔𝑖 − 𝜔̅)2𝑛
𝑖
𝑛 − 1
= 41,53
También se puede observar que a partir de los 2.4 s, el valor máximo de la velocidad angular
es:
𝜔 𝑚𝑎𝑥 = 385,22 𝑟𝑝𝑚
Que se encuentra en el tiempo 3.4 s
No se calculó el promedio de velocidades a partir del tiempo 2.4 s porque a partir de ese
momento la fricción afecta mucho el modelo hasta llevarlo al estado de velocidad cero, lo
que significa que hay demasiados datos atípicos.
8. ANÁLISIS DE RESULTADOS
En la gráfica se puede observar un aumento drástico en la velocidad entre los 2.7 s y los 3.5
s, y de las imágenes presentadas se encontró que antes de 2.7 s los brazos estaban abiertos,
y después de 3.5 s, los brazos estaban cerrados.
Según los cálculos de la velocidad promedio antes de 2.4 s y de velocidad máxima después
de 3.4 s, se calcula un aumento en la velocidad de 215.91 rpm a 385.22 rpm, esto es
equivalente a aumentar la velocidad en un factor de 1.78.

12. De lo anterior se puede validar la hipótesis ya que la velocidad de la bailarina de ballet
disminuye cuando extiende sus brazos, pero se puede ver que la diferencia con los datos
teóricos es alta.
El error obtenido de lo experimental respecto de lo teórico es:
Para modelo como partícula:
𝜀 = |
𝜔 𝑡 − 𝜔 𝑒
𝜔 𝑡
| = 71,5%
Donde
𝜔 𝑡 es la velocidad angular teórica
𝜔 𝑒 es la velocidad angular experimental
Para modelo como cuerpo rígido:
𝜀 = |
𝜔 𝑡 − 𝜔 𝑒
𝜔 𝑡
| = 77,8%
9. CONCLUSIONES
 El modelo físico que se presentó valida completamente la hipótesis: “La velocidad
angular de la Bailarina de ballet disminuye cuando extiende sus brazos”
 Es posible que los errores obtenidos en los cálculos sean elevados porque en las
resultados teóricos no se consideró la fuerza de fricción ni la estabilidad que presenta
la silla giratoria, tampoco se tuvo en cuenta el error que presentan las medidas de la
persona con la que se hizo el modelo.
 Los modelos ideales sirven como objeto de estudio porque explican el comportamiento
físico de la naturaleza, sin embargo los resultados ideales varían en gran magnitud de
los reales.
 El modelo teórico pudo ser más preciso si se hubiera realizado un análisis del
movimiento en el espacio y no como una proyección en el plano (que fue lo que se
hizo), esto no se realizó por la complejidad que presenta la determinación de las
inercias para hallar el tensor de inercia.
 La implementación de un software para realizar modelos físicos como Physics Tracker,
es útil ya que no es necesario tomar mediciones del modelo real (evitando aumentar el
error) sino que se pueden obtener de dicho software, mejorando así la precisión de los
datos obtenidos.

13. 10. BIBLIOGRAFÍA
[1] R. C. Hibbeler, Ingeniería Mecánica Dinámica, décimo segunda edición. Pearson 2009
11. ANEXOS