Sesion 13 Flexion 1

1. FLEXIÓN
SESION
Dr. Ing. Jony Lazo Ramos

2. CONTENIDO
 Flexión pura
 Otros tipos de carga
 Elemento simétrico en flexión pura
 Deformaciones de flexión
 Deformaciones en una sección transversal
 Tensión debido a la flexión
 Centroide
 Momento de inercia
 Teorema de Steiner
 Ejemplos
 Caso general de carga axial excéntrica
 Ejemplos

3. Flexión pura
4 - 3
Una viga es un elemento que se somete a cargas transversales al eje
longitudinal. Si aplicamos la carga F en el plano de simetría y
perpendicular al eje x entonces se produce la flexión pura
- La viga tiene un plano de simetría
axial, que consideramos que es el
plano xy

4. Elemento simétrico sometido a flexión pura
Flexión pura: Viga prismática sujeta a pares de fuerzas iguales y opuestas que
actúan en el mismo plano longitudinal

5. 4 - 5
El par M consta de dos cargas
iguales y opuestas. M y M´ que
actúan en el mismo plano
longitudinal.
Se observa que si se efectúa un corte a través
del elemento AB en algún punto arbitrario C,
las condiciones de equilibrio de la porción AC
del elemento requieren que las fuerzas
internas en la sección sean equivalentes al par
M

6. Deformación de un elemento simétrico en
flexión pura
4 - 6
Viga con un plano de simetría en flexión pura:
 El elemento permanece simétrico, se dobla
uniformemente para formar un arco circular
 La sección transversal pasa por el centro del
arco y permanece plano
 La longitud de la parte superior disminuye
y la longitud de la parte inferior aumenta y
existe una superficie neutral que es paralela
a las superficies superior e inferior y en el
cual la longitud no cambia
 Las tensiones y las deformaciones son
negativas (de compresión) por encima del
plano neutral y positivas (tensión de
tracción) por debajo

7. Deformación debido a la flexión
4 - 7
La deformación unitaria longitudinal normal x varía
linealmente con la distancia y desde la superficie
neutral.

9. La expansión por encima de la
superficie neutra y la contracción por
debajo causan una curvatura en el
plano,
Deformación en la sección transversal
Aunque los planos de sección transversal
permanecen planos cuando se someten a
momentos de flexión, las deformaciones
en el plano son distintas de cero

10. Tensión debido a la deformación
• Para un material en el rango elástico,
c
c
(la tensión varia linealmente)
sx   y
sm
s x  E x  y
E m
• Formula para el momento de
flexión,
4 -
• Para el máximo momento de flexión, El esfuerzo normal varía linealmente
con la distancia a la superficie neutral
La razón I/c depende sólo de la geometría de la
sección transversal. Esta relación se denomina
módulo elástico de la sección y se representa
por S.

11. Entonces la deformación debida al momento flector M se
cuantificara por la curvatura de la superficie neutral

12. La unidad dimensional de S es
[L3], de modo que sus unidades
están en in3, mm3, etc. Las
fórmulas para los módulos de
sección de las secciones
transversales mas comunes se
dan en la siguiente figura.

13. Tipos de vigas

16. MECHANICS OF MATERIALS
Propiedades de la sección de la viga
S I/c Modulo elástico de la sección
• Tensión máxima normal debido a la flexión,
s m  Mc  M
I S
I  momento de inercia de la sección
Una sección de viga con un módulo de sección
más grande tendrá una tensión máxima más baja
Para una sección transversal de viga rectangular,
I 2
6 6
1 bh3
c h 2
S   12  1 bh  1 Ah
Entre dos vigas con la misma área de sección transversal,
la viga con la mayor altura será más efectiva para resistir
la flexión.
Las vigas de acero estructural están diseñadas para tener
un módulo de sección grande
4 -

17. Propiedades de perfiles según norma USA

20. Ejemplo 1

21. Ejemplo 2

23. Problema 3
Una parte de la máquina de hierro fundido es
accionada por un momento de 3 kN-m. Conociendo
E = 165 GPa y despreciando los efectos de los
bordes, determine (a) las tensiones máximas de
tensión y compresión, (b) el radio de curvatura.
SOLUCION:
• Según la geometría de la sección transversal,
calcular la ubicación del centroide de la sección
y el momento de inercia.
• Aplicar la fórmula de flexión elástica se
encuentra las tensiones máximas de tensión y
compresión.
I
s m  Mc
• Calcular la curvatura
 EI
4 - 23
1  M

24. SOLUCION:
Según la geometría de la sección transversal, calcule la
ubicación del centroide de la sección y el momento de
inercia
Area,mm2 y, mm yA,mm3
1
2
2090 1800
4030 1200
50
20
90103
24103
 A 3000  yA  114103
4 - 24

26. Dos fuerzas verticales se aplican a una viga con la sección transversal que se
muestra en las figuras. Determine los esfuerzos máximos de tensión y de
compresión en la porción BC de la viga.
Ejemplo 4

27. A, mm2 ത
𝑦𝑜𝑚𝑚 A ത
𝑦𝑜, mm3
1 600 30 18x103
2 600 30 18x103
3 300 5 1,5x103
1500 37,5x103
ത
𝑌𝑜 =
37,5𝑥103
1500
=25 mm
El eje neutral se encuentra 25 mm debajo de la base
𝐼1 =
1
12
10 60 3 + 600 5 2 = 19,5𝑥103 𝑚𝑚4 𝐼2 = 𝐼1 = 195 𝑚𝑚4
𝐼3 =
1
12
30 10 3 + 300 20 2 = 122,5𝑥103 𝑚𝑚4
𝐼 = 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3 = 512𝑥103 𝑚𝑚4 = 512𝑥10−4𝑚4
𝑦𝑠𝑢𝑝 = 35 𝑚𝑚 = 0,035 𝑚 𝑦𝑖𝑛𝑓 = −25 𝑚𝑚 = −0,025 𝑚

28. s𝑖𝑛𝑓 =
𝑀𝑦𝑖𝑛𝑓
𝐼
= −
1,5𝑥103 0,025
512,5𝑥10−4 = −73,2𝑥106 𝑃𝑎 s𝑖𝑛𝑓 = −73,2 𝑀𝑃𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
s𝑠𝑢𝑝 =
𝑀𝑦𝑠𝑢𝑝
𝐼
= −
1,5𝑥103 0,035
512,5𝑥10−4 = −102,4𝑥106 𝑃𝑎 s𝑠𝑢𝑝 = −102,4 𝑀𝑃𝑎 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛