Capitulo 5. Física Moderna

Ec. de Onda Ec. de Schr¨dinger
o Caja Oscilador armńico
o ´
Atomo H Zeeman Densidad Transiciones

F´
ısica Moderna: Cap´
ıtulo 5.

Mecńica cuńtica.
a a

Juan Jos´ Reyes Salgado
e

e
a a

o ´

La ecuaci´n de onda
o

∞
|Ψ|2 dV
−∞

e
a a

o ´

o

∞
|Ψ|2 dV
−∞

Normalizaci´n
o
∞
|Ψ|2 dV = 1
−∞

e
a a

o ´

o

∞
|Ψ|2 dV
−∞

Normalizaciń
o
∞
|Ψ|2 dV = 1
−∞

La ecuaciń de Schr¨dinger es la ecuaciń fundamental de la
o o o
mecńica cuńtica.
a a

e
a a

o ´

o

∞
|Ψ|2 dV
−∞

Normalizaciń
o
∞
|Ψ|2 dV = 1
−∞

La ecuaciń de Schr¨dinger es la ecuaciń fundamental de la
o o o
mecńica cuńtica.
a a
Ecuaciń de onda
o
d 2y 1 dy
2
= 2
dx v dt

e
a a

o ´

o

x
y = F (t ± )
v

e
a a

o ´

o

x
y = F (t ± )
v
y = Ae −iω(t−x/v )

e
a a

o ´

o

x
y = F (t ± )
v
e iθ = cosθ − isinθ

e
a a

o ´

o

x
y = F (t ± )
v
e iθ = cosθ − isinθ
x x
y = Acosω(t − ) − iAsinω(t − )
v v

e
a a

o ´

La ecuaciń de Schr¨dinger: La forma dependiente del tiempo
o o

Especificada en la direcciń x:
o

Ψ = Ae −iω(t−x/v )

e
a a

o ´

o o

o


Sustituyendo ω = 2πν y v = λν:

Ψ = Ae −2πi(νt−x/λ)

e
a a

o ´

o o

o


Sustituyendo ω = 2πν y v = λν:

Ψ = Ae −2πi(νt−x/λ)

Esto lo podemos expresar en funci´n de la energ´ total E y el
o ıa
momento p de la part´
ıcula.

E = hν = 2π ν
h 2π
λ= =
p p

e
a a

o ´

o o

Tenemos:
Ψ = Ae −(i/ )(Et−px)

e
a a

o ´

o o

Tenemos:

Si diferenciamos:
d 2Ψ p2
= − 2Ψ
dx 2 h
dΨ iE
=− Ψ
dt h

e
a a

o ´

o o

Tenemos:

Si diferenciamos:
d 2Ψ p2
= − 2Ψ
dx 2 h
dΨ iE
=− Ψ
dt h
La energ´ total E.
ıa
p2
E= +V
2m
p2
EΨ = Ψ + VΨ
2m

e
a a

o ´

o o

p2
EΨ =Ψ + VΨ
2m
dΨ
EΨ = −
i dt
d 2Ψ
p2Ψ = − 2 2
dx
dΨ 2 d 2Ψ
i =− + VΨ
dt 2m dx 2

e
a a

o ´

o o

p2
EΨ = Ψ + VΨ
2m
dΨ
EΨ = −
i dt
d 2Ψ
p2Ψ = − 2 2
dx
dΨ 2 d 2Ψ
i =− + VΨ
dt 2m dx 2
dΨ 2 d 2Ψ d 2Ψ d 2Ψ
i =− + + + VΨ
dt 2m dx 2 dy 2 dz 2

e
a a

o ´

La ecuaci´n de Schr¨dinger: La forma en estado estacionario
o o

Tenemos la funci´n de onda unidimensional:
o


Ψ = Ae −(iE / )t (ip/ )x
e
−(iE / )t
Ψ = ψe

e
a a

o ´

o o

Tenemos la funci´n de onda unidimensional:
o


Ψ = Ae −(iE / )t (ip/ )x
e
−(iE / )t
Ψ = ψe

Sustituyendo en la ecuaci´n:
o
2 d 2Ψ
EΨ = − + VΨ
2m dx 2
2 2ψ
)t d
E ψe −(iE / )t
=− e −(iE / + V ψe −(iE / )t
2m dx 2

e
a a

o ´

o o

As´ tenemos la ecuaci´n de Schr¨dinger en estado
ı o o
estacionario:
d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
d 2 ψ d 2 ψ d 2 ψ 2m
+ + + 2 (E − V )ψ = 0
dx 2 dy 2 dz 2

e
a a

o ´

o o

e
a a

o ´

Part´
ıcula en una caja: Funciones de onda

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
2mE
ψ = Asin 2
x

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
2mE
ψ = Asin 2
x
n2 π 2 2
En =
2mL2

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
2mE
ψ = Asin 2
x
n2 π 2 2
En =
2mL2
nπx
ψn = Asin
L

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
2mE
ψ = Asin 2
x
n2 π 2 2
En =
2mL2
nπx
ψn = Asin
L
∞ L
|ψn |2 dx = |ψn |2 dx = 1
−∞ 0

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
2mE
ψ = Asin 2
x
n2 π 2 2
En =
2mL2
nπx
ψn = Asin
L
∞ L
|ψn |2 dx = |ψn |2 dx = 1
−∞ 0
L
= A2
2

e
a a

o ´

Part´

d 2 ψ 2m
+ 2 (E − V )ψ = 0
dx 2
2mE
ψ = Asin 2
x
n2 π 2 2
En =
2mL2
nπx
ψn = Asin
L
∞ L
|ψn |2 dx = |ψn |2 dx = 1
−∞ 0
L
= A2
2
2 nπx
ψn = sin
L L
e
a a

o ´

Part´
ıcula en una caja: Cuantizaci´n de la energ´
o ıa

e
a a

o ´

El oscilador arm´nico
o

e
a a

o ´

o

1
En = n+ hν n = 0, 1, 2, ...
2

e
a a

o ´

o

2mν 2 /2
ψn = (2n n!)−1/2 Hn (y )e −y

e
a a

o ´

Ecuaci´n de Schr¨dinger para el ´tomo de Hidr´geno
o o a o

d 2 ψ d 2 ψ d 2 ψ 2m
+ + + 2 (E − V )ψ = 0
dx 2 dy 2 dz 2
e2
V =−
4π 0 r

e
a a

o ´

Ecuaci´n de Schr¨dinger para el ´tomo de Hidr´geno
o o a o

e
a a

o ´

Separaci´n de variables
o

ψ(r , θ, φ) = R(r )Θ(θ)Φ(φ)

e
a a

o ´

o

ψ(r , θ, φ) = R(r )Θ(θ)Φ(φ)
d 2Φ
+ ml2 Φ = 0
dφ2

e
a a

o ´

o

ψ(r , θ, φ) = R(r )Θ(θ)Φ(φ)
d 2Φ
+ ml2 Φ = 0
dφ2
1 d dΘ ml2
sinθ + l(l + 1) − 2 Θ = 0
sinθ dθ dθ sin θ

e
a a

o ´

o

ψ(r , θ, φ) = R(r )Θ(θ)Φ(φ)
d 2Φ
+ ml2 Φ = 0
dφ2
1 d dΘ ml2
sinθ + l(l + 1) − 2 Θ = 0
1 d dR 2m e 2 l(l + 1)
r2 + +E − R=0
r 2 dr dr 2 4π 0 r r2

e
a a

o ´

Los n´meros cu´nticos
u a

Φ(φ) = Ae iml φ
Ae iml φ = Ae iml (φ+2π)

e
a a

o ´

u a

N´mero cu´ntico orbital.
u a

n = 1, 2, 3, ...

e
a a

o ´

u a

u a

n = 1, 2, 3, ...

N´mero cu´ntico principal.
u a

l = 0, 1, 2, 3, ..., (n − 1)

e
a a

o ´

u a

u a

n = 1, 2, 3, ...

N´mero cu´ntico principal.
u a

l = 0, 1, 2, 3, ..., (n − 1)

N´mero cu´ntico magn´tico.
u a e

ml = 0, ±1, ±2, ±3, ..., ±l

e
a a

o ´

El n´mero cu´ntico principal
u a

me 4 1
En = −
32π 2
0
2 n2

e
a a

o ´

El n´mero cu´ntico orbital
u a

E = Tradial + Torbital + V

e
a a

o ´

u a

2 l(l + 1)
Torbital =
2mr 2

e
a a

o ´

u a

2 l(l + 1)
Torbital =
2mr 2
1 2
Torbital = mvorbital
2

e
a a

o ´

u a

2 l(l + 1)
Torbital =
2mr 2
1 2
2
L = mvorbital r

e
a a

o ´

u a

2 l(l + 1)
Torbital =
2mr 2
1 2
2
L = mvorbital r
L2
Torbital =
2mr 2

e
a a

o ´

u a

2 l(l + 1)
Torbital =
2mr 2
1 2
2
L = mvorbital r
L2
Torbital =
2mr 2
L 2 2 l(l + 1)
=
2mr 2 2mr 2

e
a a

o ´

u a

2 l(l + 1)
Torbital =
2mr 2
1 2
2
L = mvorbital r
L2
Torbital =
2mr 2
L 2 2 l(l + 1)
=
2mr 2 2mr 2
L = l(l + 1)

e
a a

o ´

u a

e
a a

o ´

El n´mero cu´ntico magn´tico
u a e

Lz = ml

e
a a

o ´

El n´mero cu´ntico magn´tico
u a e

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

τ = µBsinθ

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o
θ
Vm = µB sinθdθ
90o

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o
θ
Vm = µB sinθdθ
90o
Vm = −µBcosθ

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o
θ
Vm = µB sinθdθ
90o
Vm = −µBcosθ
µ = iA

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o
θ
Vm = µB sinθdθ
90o
Vm = −µBcosθ
µ = iA
µ = −eνπr 2

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o
θ
Vm = µB sinθdθ
90o
Vm = −µBcosθ
µ = iA
µ = −eνπr 2
L = 2πmνr 2

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

θ
Vm = τ dθ
90o
θ
Vm = µB sinθdθ
90o
Vm = −µBcosθ
µ = iA
µ = −eνπr 2
L = 2πmνr 2
e
µ=− L
2m

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

e
Vm = LBcosθ
2m

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

e
Vm = LBcosθ
2m
ml
cosθ =
l(l + 1)

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

e
Vm = LBcosθ
2m
ml
cosθ =
l(l + 1)
L= l(l + 1)

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

Energ´ magn´tica
ıa e
e
Vm = ml B
2m

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

Energ´ magn´tica
ıa e
e
Vm = ml B
2m
Magnet´n de Bohr
o
e
µb = = 9.27 × 10−24 J/T
2m

e
a a

o ´

Efecto Zeeman

Energ´ magn´tica
ıa e
e
Vm = ml B
2m
Magnet´n de Bohr
o
e
µb = = 9.27 × 10−24 J/T
2m
Efecto Zeeman
B
ν1 = ν0 − µb
h
ν1 = ν0
B
ν1 = ν0 + µb
h

e
a a

o ´

La densidad de probabilidad electr´nica
o

ψ(r , θ, φ) = R(r )Θ(θ)Φ(φ)
d 2Φ
+ ml2 Φ = 0
dφ2
1 d dΘ ml2
sinθ + l(l + 1) − 2 Θ = 0
1 d dR 2m e 2 l(l + 1)
r2 + +E − R=0
r 2 dr dr 2 4π 0 r r2

e
a a

o ´

o

|ψ|2 = |R|2 |Θ|2 |Φ|2

e
a a

o ´

o

|ψ|2 = |R|2 |Θ|2 |Φ|2
|ψ|2 dV

e
a a

o ´

o

|ψ|2 = |R|2 |Θ|2 |Φ|2
|ψ|2 dV
dV = r 2 sinθdrdθdφ

e
a a

o ´

o

|ψ|2 = |R|2 |Θ|2 |Φ|2
|ψ|2 dV
π 2π
P(r )dr = r 2 |R|2 dr |Θ|2 sinθ |Φ|2 dφ
0 0

e
a a

o ´

o

|ψ|2 = |R|2 |Θ|2 |Φ|2
|ψ|2 dV
π 2π
P(r )dr = r 2 |R|2 dr |Θ|2 sinθ |Φ|2 dφ
0 0
P(r )dr = r 2 |R|2 dr

e
a a

o ´

o

e
a a

o ´

Transiciones radiativas

En
νn =
h

e
a a

o ´


En
νn =
h
Ψn = ψn e −(iEn / )t

e
a a

o ´


En
νn =
h

Ψ∗ = ψn e (iEn /
n
)t

e
a a

o ´


En
νn =
h

n
)t
∞
< x >= xΨn Ψ∗ dx
n
−∞

e
a a

o ´


En
νn =
h

n
)t
∞
< x >= xΨn Ψ∗ dx
n
−∞
∞
∗
< x >= xψn ψn dx
−∞

e
a a

o ´


La funci´n de onda de un electr´n es capaz de existir en dos
o o
estados.

Ψ = aΨn + bΨm

e
a a

o ´


o o
estados.

Ψ = aΨn + bΨm
∞
< x >= x(a∗ Ψ∗ + b ∗ Ψ∗ )(aΨn + bΨm )dx
n m
−∞

e
a a

o ´


o o
estados.

Ψ = aΨn + bΨm
∞
< x >= x(a∗ Ψ∗ + b ∗ Ψ∗ )(aΨn + bΨm )dx
n m
−∞
∞ ∞
∗ ∗
< x >= a2 xψn ψn dx + b 2 xψm ψm dx
−∞ −∞
∞
+2a∗ bcos(2πνt) ∗
xψn ψm dx
−∞

e
a a

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