El documento trata sobre el momento de inercia y sus propiedades. Explica que el momento de inercia es una integral que representa la segunda distancia de un elemento de área respecto a un eje. Define el momento de inercia para áreas típicas como rectángulos, triángulos y círculos. También describe el teorema de los ejes paralelos, el producto de inercia y los momentos de inercia para áreas compuestas.

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Tema III: Momento de Inercia
Segundo momento o momento de inercia de un
área.
Determinación del momento de inercia de una
área.
Momento de inercia de áreas
típicas.
o Momento de inercia de un área rectangular.
o Momento de inercia de una
parábola.
o Momento de inercia de un
Triangulo.
o Momento de inercia de un
Círculo.
o Momento de inercia del Semicírculo.
o Momento de inercia del cuarto de
círculo.
Momento Polar de inercia del
área.
Radio de Giro de un
área.
Teorema de los ejes paralelos o Teorema de
STEINER.
Producto de
inercia.
Momento de inercia respecto a los ejes centroidales de áreas
más
usadas:
o Rectángulo.
o Triangulo
.
o Círculo
.
o Parábola
.
Momento de inercia de áreas
compuestas.
Ejes principales y momentos principales de
inercia.
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TEMA III
MOMENTO DE INERCIA:
∫y dA
2
En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ,
donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano
del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z).
Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más
corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de
tenerlos a mano.
Ejemplo:
1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y
opuestos que están aplicados en cada uno de
los extremos de la viga.
Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura.
En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier
sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes,
∆F=Ky∆A, varían linealmente con la distancia “y” que hay entre el elemento de
área ∆A y un eje que pasa a través el centroide de la sección.
Nota : El eje que pasan a través
del centroide de la sección se
llaman Eje Neutro ó Eje
centroidal.
Las fuerzas en un lado del eje neutro
son fuerzas a tracción, mientras que
en el otro lado del eje neutro son
fuerzas a compresión, lo cual permite
decir que la resultante de las fuerzas
∆F = Ky∆A
sobre el eje neutro es cero.
y
En forma general la magnitud de la
resultan de las fuerzas ∆F, que
actuan en un diferencial de área ∆A,
es R
R ∫Ky dA e K y e dA KY A
∫
∫y dA YA e
e e prime momento de áre
s l r l a
En este caso R= cero, ya que la
cantidad YA=0 define el centroide por
el área, el cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el
F se reduce sistema de las ∆
a un par, cuya magnitud M es la
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2
suma de los momentos dM=y* ∆F=y *∆F de las fuerzas
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∫d ∫Ky k ∫y 2 dA
2
elementales. M dA
M
∫y
2
La integral dA define el segundo momento del área o momento de
inercia de la sección de la viga con respecto al eje horizontal (x).
El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto
del área dA por el cuadrado de la distancia “y”existente entre el eje (x) y el
diferencial de área.
∫
2
Como cada producto y dA es positivo la integral y 2 dA será positiva,
independientemente del valor y signo de la distancia “y”.
2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada elemento
diferencial de área una presión proporcional a la
a b
profundidad del elemento P= γy. El momento
respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida
sobre el elemento dA es dM = dF*y =PdAy
y =(γydA)y = γy2dA = γ(y2dA). El momento total
sobre la superficie ABCD, M, es la suma de
todos los momentos diferenciales dM.
∫d∫γy dA γ ∫y dA
2 2
P=γy M total
M
c donde la integral ∫y dA representa la inercia
2
del área “A” respecto al eje AB, se denota por I , ab
siendo el subíndice el nombre del eje sobre el cual se
toma el momento.
4
El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm ,
m4, pulg .
4
Momento de inercia y sus
ypropiedades:
∫x dA
2
I x
∫y dA
2
Iy
x
∫r dAI ∫( x + y 2 ) dA
2 2
Iz Io Jz
y x
r
∫x dA + ∫y dA I + I
2 2
Iz x y
Polo O
x
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El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar MR10
de inercia J , es
o
igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí,
contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar.
El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la
torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas.
Polo O
Radio de giro :
Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría
colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento
que
inercia del área total.
de
Eje L2
1/2
KL1 =(IL1
/A)
Eje L1
Eje L1
Eje L2
1/2
Ko=
(Jo/A) KL2 =(IL2
/A) 1/2
POLO
El radio de giro expresa un medida de la distribución del área respecto al eje.
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2 Ix
Ix Kx A Kx
A
Iy
Iy 2
Ky A Ky ; donde Ix+ I y= I = K A Æ Ko2= Kx 2 Ky
z o
2
+ 2
A
Iz
Iz Jo K z2 A Ko
A
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA
DE
STEINER.
ye d + y1
∫y d
2
IA e
A
∫(y + d) d 2
dA IA 1
A
∫y d + 2∫ d + ∫ d
2 2
Y1 1 dy d 1
Eje C = Eje A A A
∫y d + 2d ∫y d + d ∫
2 2
ye centroida 1 d 1
d l A A A
Eje A
La integral ∫y dA
1 Y A , representa el primer momento del área con respecto al eje C. Si
el
centroide del área se localiza en el Eje C, dicha integral será
nula.
La ∫dA A , representa el área
integral total.
∫y1 dA , define el momento de inercia de un área con respecto del eje
2
La
integral el segundo momento del área total se consigue
finalmente C,
mediante: 2 A
IA I + d
El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, I ,Aes igual al
de inercia
momento respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área multiplicada por
cuadrado de la distancia (d) entre los dos ejes. Dicho en otras palabras la distancia d es
el
distancia existente entre el eje centroidal (Eje C) hasta el eje donde se desea calcular
la
momento de inercia (Eje
el
A). EJES A Y C DEBEN SER PARALELOS (Eje A // Eje C)
LOS
LIMITANTE: el teorema de Steiner sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes
paralelos pasa a través del centroide del
área.
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Para comprender los términos de la ecuación que define el teorema de los
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paralelos, se ilustra a continuación un área A (figura morada) con su centroide
ejes
el
enpunto C y el origen de coordenadas pasando por el punto “o”.
Eje Y Eje YC= Eje centroidal
Y
d1
C
Eje XC= Eje centroidal
x
d3
d2
o Eje X
2
Jo J c + Ad 3
2
2
Ko K c2 + d 3
donde:
Jo: momento polar de inercia de un área con respecto de un punto O.
Jc es el momento polar de inercia de un área respecto a su centroide C.
d3: distancia entre el polo o y el centroide C.
Ix I x + Ad 2 −− ! Kx
2
kx + d 2
2
Iy I y + Ad 2 −− ! Ky
2
ky + d 2
2
En las cuatro expresiones precedentes, la distancia d debe interpretarse como
distancia entre los dos eje paralelos involucrados; dependiendo el caso, se
la
como la
tomará distancia (d 2) entre los ejes X y centroidal, o se razonará como la
(d
X 1) entre los eje Y e Y centroidal. distancia
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PRODUCTO DE INERCIA MR10
Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:
x
I xy ∫xydA dA
y
Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes
coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva,
negativa ó cero.
Cuando uno ó ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de
inercia será nulo. I xy ∫xydA 0
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
yc
Y
∫xydA x + x y + y dA
´ ´
I XY
∫x y dA + ∫x y dA + ∫x y dA + ∫x y dA
´ ´ ´ ´
I XY
X x`
y`
C xc I xy I xy + x y ∫dA dado que :
∫x ydA + ∫xy dA
´ ´
Y ceroserán x e y
pues ceroson
y
por ubuicadosesta centroid C o
elen losen x c y c
ejes
X r e
x
x
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El producto de inercia ( I xy ) respecto a los ejes x ∧ y ubicados en el plano del área será
equivalente a la suma del producto de inercia respecto a los ejes centroidales ( I xy ) más el
producto del área A por las distancias x e y desde los ejes x y hasta los ejes centroidales.
I xy I xy + xy
A
Producto de inercia de un rectángulo
Y Yce De acuerdo al teorema de los ejes paralelos para el
producto de inercia es I xy I xy + xy , aplicando dicho
A
teorema a un diferencial de área se tiene:
d xy I xy + xyd . Como el diferencial de área (dA=h*dx)
I d A
(rectángulo rayado) es simétrico respecto a sus ejes
Xce X
centroidales (X ce ), el valor del producto diferencial de
,x ce
b inercia centroidal es nulo, d I xy 0. Los valores de x e y se
h
definen mediante las siguientes expresiones: x x ; . Finalmente para obtener el
y 2
producto de inercia del rectángulo (área amarilla) respecto a los ejes X,Y se plantea la
b
h
b h2 x2 h 2b 2
siguiente integral: I xy ∫d xy ∫ x 2 hd
0 2 2 4
.
I x 0
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