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- 1. MOVIMIENTO RECTILINEO Y CURVILINEO MSC. Grimaldo Edwin Calderón Díaz DINAMICA Semana 2-3 2023 - I
- 2. CINEMATICA DE LA PARTICULA Elementos del movimiento x y z ⃗ 𝑟 ⃗ 𝑎 𝑉 trayectoria partícula masa puntual Punto material ⃗ 𝑟 : Vector posicional m, cm, pies……. ⃗ 𝑣 ∶ Velocidad 𝑚 𝑠 𝑐𝑚 𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠 , , Siempre es tangente a la trayectoria ⃗ 𝑎 ∶ Aceleración 𝑚 𝑠! 𝑐𝑚 𝑠! 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠! , , ……
- 3. DESPLAZAMIENTO ( Δ𝑟 ) Se define como el cambio de posición si la partícula se mueve de posición 1 a 2. Debido a que el desplazamiento de una partícula es una cantidad vectorial, deberá distinguirse de la distancia que recorre la partícula. De manera especifica, la distancia recorrida es un escalar positivo que representa la longitud total de la trayectoria que recorre la partícula. x y z 𝑟$ 𝑟! Δ⃗ 𝑟 𝑡$ 𝑡! Δ⃗ 𝑟 𝑟! 𝑟$ = - 𝑟$ 𝑟! Δ⃗ 𝑟 1 2 s S : longitud (espacio recorrido)
- 4. VELOCIDAD (𝑣) Si la partícula experimenta un desplazamiento Δ⃗ 𝑟 de la posición 1 a 2 durante un intervalo de tiempo Δ𝑡, La velocidad media de la partícula durante dicho intervalo de tiempo es: ⃗ 𝑣0 = Δ⃗ 𝑟 Δ𝑡 Velocidad Media ⃗ 𝑣! = 𝑟" − 𝑟# 𝑡" − 𝑡# ⃗ 𝑣 = Lim ⃗ 𝑣0 Δt → 0 = d⃗ 𝑟 d𝑡 = d⃗ 𝑟 d𝑡 ⃗ 𝑣 𝑣$ 𝑣! 𝑟$ 𝑟! x y z ⃗ 𝑣$, ⃗ 𝑣! 𝑠𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑠 En la figura Δ⃗ 𝑟 Rapidez o Celeridad : Es la magnitud de la velocidad ⃗ 𝑣 = 𝑣
- 5. ACELERACIÓN ( ⃗ 𝑎) Si se conoce la velocidad de la partícula en dos puntos 1 y 2, la aceleración media de la partícula durante el intervalo de tiempo Δ𝑡: ⃗ 𝑎0 = 78 79 Aceleración Media ⃗ 𝑎! = 𝑣" − 𝑣# 𝑡" − 𝑡# 𝑣$ 𝑣! 𝑣% − 𝑣& 𝑣! 𝑣$ ⃗ 𝑎# ⃗ 𝑎" x y z = Lim Δt → 0 ⃗ 𝑎 ⃗ 𝑎! = ;8 ;9 = ⃗ 𝑎 𝑑! ⃗ 𝑟 d𝑡! Aceleración Instantánea
- 6. SOBREACELERACIÓN ( ) Δ ⃗ 𝑎 = ⃗ 𝑎< - 𝑎= ⃗ 𝑎! ⃗ 𝑎$ Δ ⃗ 𝑎 = ⃗ 𝑎! - ⃗ 𝑎$ 𝑑$ ⃗ 𝑟 d𝑡$ ;> ;9 = Sobreaceleración “quiebre” razón de cambio de la aceleración ;> ;9 𝑚 𝑠* 𝑐𝑚 𝑠* 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠* = , , ⃗ 𝐽 = Δ ⃗ 𝑎 Δ𝑡 𝑱
- 7. MOVIMIENTO RECTILINEO Se estudian los aspectos geométricos del movimiento de una partícula que se mide con marcos de referencia fijos y variables. La trayectoria se describirá usando diferentes tipos de sistemas de coordenadas y se determinaran las componentes del movimiento a lo largo de los ejes de coordenadas El uso de la palabra partícula no implica que se limita al estudio a pequeños corpúsculos, se estudiara el movimientos de los cuerpos posiblemente tan grandes como automóviles, aviones etc. Sin importar su tamaño. Una partícula tendrá una masa que no será tomada en consideración, es decir se desprecia su tamaño y forma; objetos con dimensiones finitas serán consideradas partículas, suponiendo que su movimiento se caracteriza por el desplazamiento de su centro de masa, despreciando cualquier tipo de rotación del cuerpo
- 8. El centro de masa de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en el estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masa es un sistema equivalente al original El centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden bajo ciertas circunstancias coincidir entre si. En estos caso se suele utilizar los términos de manera intercambiables aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema, el centro de masa depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende del campo gravitatorio.
- 9. CINEMATICA RECTILINEA Una partícula puede desplazarse sobre una trayectoria recta o curva. Con objeto de explicar la cinemática del movimiento de una partícula, se empezara con el movimiento rectilíneo. La cinemática en este movimiento, se caracterizara por especificar, en un momento determinado, la posición, velocidad y aceleración de la partícula. 𝑉' 𝑉 𝑠+ Δ𝑠 𝑠 𝑎+ 𝑎 𝑡+ 𝑡 0 origen Movimiento Rectilíneo MRU MRUV acelerado desacelerado MRV 𝑉 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 a= ,- ,. derivadas integrales
- 10. ⃗ 𝑣 = d⃗ 𝑠 d𝑡 𝑣i = 𝑑(𝑠𝑖) 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 S= X ó Y ó Z Δ𝑠 = 𝑠 -𝑠% Δ𝑠 = 𝑒 = 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 modulo del desplazamiento Casos a) Conocida x(t) Si se da la posición en función del tiempo, se hallara la velocidad y la aceleración sin mas que derivar
- 11. b) Conocida V(t) Cuando se da la velocidad en función del tiempo, puede hallarse la aceleración por derivación. La posición se Obtiene integrando la ecuación
- 12. c) Conocida a(t) Cuando se da la aceleración en función del tiempo, la velocidad se obtiene integrando: La posición se halla, como antes, integrando la velocidad
- 13. d) Conocida a(x) Cuando se da la aceleración en función de la posición, hay que aplicar la regla de la cadena de la derivación a La definición de la aceleración:
- 14. Una vez conocida la velocidad en función del tiempo, podemos integrarla como en el apartado b) para obtener la Posición en función del tiempo. De otra manera se puede hallar la velocidad en función de la posición integrando la ecuación:
- 15. Ahora se reconoce la velocidad en función de la posición y podemos hallar esta en función del tiempo integrando La ecuación : e) Conocida a(v) Cuando se da la aceleración en función de la velocidad, esta puede hallarse en función del tiempo integrando La ecuación:
- 16. f) Conocida a= constante En el estudio anterior esta incluido el caso de aceleración constante ( llamado uniformemente acelerado) ya que Si la aceleración es constante se puede tratar como función del tiempo, de la posición o de la velocidad, según Convenga. Sin embargo, el caso particular del movimiento uniformemente acelerado (y el caso particular de éste Movimiento uniforme en el cual a=0 aparece tan a menudo en mecánica que vale la pena tratarlo aparte. Si la aceleración es constante, las integraciones del apartado c) son inmediatas y dan : Analogamente, la integración del apartado d) da
- 17. g) También : 𝑽𝟎 + 𝒗𝒇 𝟐 . t e = 𝑒7 = 𝑣8 ± 𝑎 2𝑛 − 1 Espacio en el enésimo segundo
- 18. EJERCICIOS : 1. El movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta está definido por s= 0,10t3-10,08t. a) Determine la aceleración promedio durante el cuarto segundo. b) Cuando la partícula invierte su sentido, ¿cuál es su aceleración?
- 19. 2. Un carrito esta sujeto entre dos resortes cuyas espiras están muy separadas y su aceleración viene dada por : a(x) = -x-3x2 (m/s2 ) . Determine la posición máxima del carrito si tiene una velocidad V= 2 m/s cuando x= - 1m .
- 21. 6.. Una esferita cae en el aire tiene una aceleración dada por: 9,81 – 0,003 v2 m/s2 Determinar la Velocidad de la bola en función de la altura si lleva una velocidad hacia abajo de 3m/s cuando y=0. Considerar que el sentido positivo es hacia abajo.
- 22. GRAFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILINEO a) Posición – tiempo (x-t) MRUV x t acelerado parabola MRU t x m < 0 (-) 𝜃 MRU x t m > 0 𝜃
- 23. t x 𝑡$ 𝑚& = 𝑣& 𝑚% = 𝑣% 𝑡! t x MRUV desacelerado parábola m = pendiente = velocidad instantánea = d𝑥 d𝑡 m = cte (MRU)
- 24. b) Velocidad – tiempo (v – t ) t v V < 0 MRU t v V > 0 MRU v t v MRUV (acelerado) m > 0 𝜃
- 25. t (-) m < 0 MRUV (desacelerado) v t 𝑡$ 𝑡! v 𝑚& = 𝑎& 𝑚% = 𝑎% AREA m = pendiente = aceleración instantánea 𝐴𝑅𝐸𝐴 = 𝑥 − 𝑥+ = Δx v - t
- 26. c) aceleración - tiempo t MRU a = 0 t a MRU (desacelerado) a = cte (-) t a a = cte (+) MRU (acelerado) a
- 27. 𝑚 = d𝑎 d𝑡 = d* 𝑥 d𝑡* m > 0 a a t t AREA 𝑡$ 𝑡! = Δ𝑣 AREA = v2 – v1 a - t
- 28. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO CURVILINEO - COMPONENTES RECTANGULARES - COMPONENTES NORMALES Y TANGENCIALES - COMPONENTES CILINDRICAS COMPONENTES RECTANGULARES Las componentes x, y, z son funciones del tiempo X = X(t) Y = Y(t) Z = Z(t) 𝑟 = 𝑟 𝑡 Magnitud de ⃗ 𝑟 = r = 𝑥! + 𝑦! + z! Dirección de ⃗ 𝑟 ∶ 𝑢K = ⃗ K K Vector unitario Vector posición : ⃗ 𝑟 = 𝑥⃗ 𝚤 + 𝑦⃗ 𝚥 + 𝑧𝑘 ⃗ 𝚤 ⃗ 𝚥 𝑘 ⃗ 𝑟 P(x,y,z) S Trayectoria x y z z x y POSICIÓN :
- 29. ⃗ 𝑣 = d⃗ 𝑟 d𝑡 = d d𝑡 𝑥⃗ 𝚤 + d d𝑡 y⃗ 𝚥 + d d𝑡 𝑧𝑘 ⃗ 𝑣 = d𝑥 d𝑡 ⃗ 𝚤 + d𝑦 d𝑡 ⃗ 𝚥 + d𝑧 d𝑡 𝑘 = d𝑥 d𝑡 ⃗ 𝚤 + 𝑥 d⃗ 𝚤 d𝑡 d d𝑡 𝑥⃗ 𝚤 ⃗ 𝑣 = 𝑣1⃗ 𝚤 + 𝑣2⃗ 𝚥 + 𝑣3𝑘 𝑣 = 𝑣1 " + 𝑣4 " + 𝑣5 " 𝑢6 = ⃗ 𝑣 𝑣 Vector unitario P ⃗ 𝑣 x y z VELOCIDAD :
- 30. ⃗ 𝑎 = d𝑉 d𝑡 = 𝑎1⃗ 𝚤 + 𝑎4⃗ 𝚥 + 𝑎3𝑘 𝑎 = 𝑎1 " + 𝑎2 " + 𝑎3 " 𝑎1 = ̇ 𝑣1 = ̈ 𝑥 𝑎2 = ̇ 𝑣2 = ̈ 𝑦 𝑎3 = ̇ 𝑣3 = ̈ 𝑧 𝑢7 = ⃗ 𝑎 𝑎 Vector unitario ⃗ 𝑎 P x y z ACELERACIÓN :
- 31. COMPONENTES RECTANGULARES MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL Eje x : MRU e = v.t X = 𝑣+ cos 𝜃+ 𝑡 𝑡 = 𝑥 𝑣+ cos 𝜃+ …… 1 Eje y : MRUV e = 𝑣+𝑡 + 1 2 𝑎𝑡! ℎ = ℎ+ + 𝑉+1 𝑡 + 1 2 ⃗ 𝑔𝑡! 𝑣() = 𝑣' cos 𝜃' 𝑣 * ) = 𝑣 ' se n 𝜃 ' 𝑣' 𝑉& 𝑉% (x,y) x y 𝑦+ x y 𝜃' Parábola (trayectoria) a = g ⃗ 𝑔 ⃗ 𝑎 = −𝑔⃗ 𝚥
- 32. 𝑦⃗ 𝚥 = 𝑦%⃗ 𝚥 + 𝑣%2⃗ 𝚥 . 𝑡 + 1 2 −𝑔⃗ 𝚥 𝑡" 𝑦 = 𝑦% + 𝑣%𝑠e𝑛𝜃%. 𝑡 − 1 2 𝑔𝑡" ……. 2 1 2 en 𝑦 = 𝑦% + 𝑣%𝑠e𝑛𝜃% 𝑥 𝑣%𝑐𝑜𝑠𝜃% − 1 2 𝑔 𝑥 𝑣% cos 𝛩% " ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA PARABOLICA 𝑦 = 𝑦% + tan 𝜃% .. 𝑋 − 9 ":+ , ;<=- >) . 𝑋" 𝑦 = 𝑐# + 𝑐"𝑥 − 𝑐$𝑥" Cóncava hacia abajo
- 33. COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL 𝜑$ 𝜑! 𝜑* 𝑐$ 𝑐! 𝑐* 𝑎2 𝑎. 𝑎$ 𝑎2 𝑎2 𝑎. 𝑎. 𝑎! 𝑎* 𝑎 = 𝑎 . Mov. Rectilíneo 𝜑 → ∞ 𝑎 . = 0 𝑐$, 𝑐!, 𝑐* ∶ 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜑$ , 𝜑! , 𝜑* : Radio de curvatura 𝑎2 : aceleración normal o centrípeta 𝑎. ∶ aceleración tangencial 𝑎 = 𝑎2 ! + 𝑎. ! Aceleración del movimiento (aceleración total)
- 34. ⃗ 𝑎 = ⃗ 𝑎9 + ⃗ 𝑎e ⃗ 𝑎 = 𝑎9 ⃗ 𝑒9 + 𝑎e ⃗ 𝑒e ⃗ 𝑒9 ∶ 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 ⃗ 𝑒e ∶ 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑣 = ⃗ 𝑣 = rapidez 𝑎e = 𝑉< 𝜑 Aceleración normal o centrípeta 𝑎9 = 𝑎. 𝑒9 = > .8 8 𝑎e = ⃗ 𝑎 ⋅ 𝑒e = ⃗ 𝑎𝑥 ⃗ 𝑣 𝑣 𝜑 = 𝑣< ⃗ 𝑎𝑥 ⃗ 𝑣 radio de curvatura 1 + 𝑓C(𝑥+ )! ⁄ * ! 𝑓E! CC 𝜑 h = radio de curvatura en el plano xy 𝑥+ 𝜑 E! x y y = f(x)
- 35. 4) El pasador P de la figura se desliza por ranuras (una horizontal y otra vertical) unidas a los collares A y B. El collar A corre horizontalmente según: x(t) = 10 cos 3t mm , mientras que el collar B lo hace verticalmente según: y(t) = 10 sen 4t mm. Calcular la velocidad y aceleración del pasador en el instante t=5s.
- 36. 5) El muchacho en O lanza al aire una pelota con una rapidez Vo y un ángulo Ѳ1. Si después lanza otra pelota con la misma rapidez Vo y un ángulo Ѳ2 < Ѳ1, determine el tiempo entre lanzamientos de modo que las pelotas choquen en el aire en el punto B.
- 37. La bajada de la figura tiene forma hiperbólica dada por f(x) = 6/(5 – x)2 . Una esferita que rueda descendiendo la bajada pasa por el punto A ( xo = 3m) con una rapidez de 2 m/s que aumenta a razón De 3 m/s2 . Determine : a) Las componentes normal y tangencial de la aceleración cuando la esferita pasa por el punto A. b) E l ángulo que forma en el punto A los vectores velocidad y aceleración del móvil.
- 39. MOVIMIENTO EN EL PLANO: COORDENADAS POLARES ⃗ 𝑟 = 𝑟𝑢K 𝑢? 𝑢> ⃗ 𝑟 𝜃 r 𝜃 (+) Coordenada radial Eje r Coordenada transversal eje 𝜃 Línea de referencia POSICIÓN
- 40. VELOCIDAD ⃗ 𝑣 = ̇ ⃗ 𝑟 = d d𝑡 𝑟𝑢K ̇ 𝑢K= ?? ⃗ 𝑣 = ̇ 𝑟𝑢K + 𝑟 ̇ 𝑢K d𝜃 = ST" T" U T" # UV 𝜃 = 𝑆 R 𝑢I 𝑢 J C d𝑢J 𝑢J d𝜃 R R S 𝑢J 𝑢I 𝑢J C 𝜃 d𝜃 0 d𝑢K= d𝜃 (magnitud) d𝑢K= d𝜃 𝑢i (vector) ̇ 𝑢K = ̇ 𝜃. 𝑢i
- 41. ⃗ 𝑣 = ̇ 𝑟𝑢K + 𝑟 ̇ 𝜃𝑢i 𝑣i = 𝑟 ̇ 𝜃 𝑉 = 𝑉 ? " + 𝑉> " r 𝑉I 𝑉 J ⃗ 𝑣 ⃗ 𝑟 𝜃 o Tangente a la trayectoria Aumento o reducción de ls Longitud de la coordenada radial Rapidez del movimiento a lo largo de un circulo de radio “r” ⃗ 𝑣 𝑣K = ̇ 𝑟 𝑣K 𝑣i
- 42. ACELERACIÓN ⃗ 𝑣 = ̇ 𝑟𝑢K + 𝑟 ̇ 𝜃𝑢i ⃗ 𝑎 = ̇ ⃗ 𝜈 = d d𝑡 (𝑣K𝑢K + 𝑣i𝑢i) ⃗ 𝑎 = ̇ 𝑣K𝑢K + 𝑣K ̇ 𝑢K + ̇ 𝑣i𝑢i + 𝑣i ̇ 𝑢i ̇ 𝑢K = ̇ 𝜃𝑢i ⃗ 𝑎 = ̇ 𝑣K𝑢K + 𝑣K ̇ 𝜃𝑢i + ̇ 𝑣i𝑢i + 𝑣i ̇ 𝑢i 𝑣K = ̇ 𝑟 ̇ 𝑣K = ̈ 𝑟 𝑣i = 𝑟 ̇ 𝜃 ̇ 𝑣i = ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 + 𝑟 ̈ 𝜃 ⃗ 𝑎 = ̈ 𝑟 𝑢K + ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 𝑢i + ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 + 𝑟 ̈ 𝜃 𝑢j + 𝑟 ̇ 𝜃 ̇ 𝑢i d𝜃 𝜃 𝑢J 𝑢I 𝑢J C 𝑢I C O
- 43. ⃗ 𝑎 = ̈ 𝑟 𝑢K + 2 ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 + 𝑟 ̈ 𝜃 𝑢j + 𝑟 ̇ 𝜃 ̇ 𝑢i ̇ 𝑢i = ? ? d𝜃 = ST$ T$ U T$ # UV d𝑢i = 𝑑𝜃 (magnitud) d𝑢i = 𝑑𝜃 −𝑢K ̇ 𝑢i = − ̇ 𝜃𝑢K ⃗ 𝑎 = ̈ 𝑟 𝑢K + 2 ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 + 𝑟 ̈ 𝜃 𝑢j + 𝑟 ̇ 𝜃 (− ̇ 𝜃 ⃗ 𝜇K) (vector) 𝑢> 𝑢? d𝑢> 𝑢> A d𝜃
- 44. ⃗ 𝑎 = ̈ 𝑟 − 𝑟 ̇ 𝜃< 𝑢K + 𝑟 ̈ 𝜃 + 2 ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 𝑢i 𝑎K = ̈ 𝑟 − 𝑟 ̇ 𝜃< 𝑎i = 𝑟 ̈ 𝜃 + 2 ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 𝑎 = ̈ 𝑟 − 𝑟 ̇ 𝜃< < + 𝑟 ̈ 𝜃 + 2 ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 < ⃗ 𝑎J ⃗ 𝑎I ⃗ 𝑎 𝜃 ⃗ 𝑟 r O
- 45. COORDENADAS CILINDRICAS Hasta ahora solamente se han utilizado coordenadas rectangulares con sus vectores unitarios constantes. Sin embargo, hay muchos problemas que se pueden enunciar y resolver mejor por medio de otros sistemas Coordenados. El primero de ellos es el de las coordenadas cilíndricas, en las cuales la localización de un punto P, se especifica por medio de tres cantidades r,𝜃,z cuyas definiciones se muestran en la figura mostrada, esta figura muestra también el vector de posición r del punto. Si al partícula P se desplaza a lo largo de una curva espacial, es posible describir su ubicación por medio de tres coordenadas r, Ɵ y Z. La coordenada Z es idéntica a la que se emplea en XYZ. Como el vector unitario 𝑢S Es constante, la derivada temporal es cero. La relación entre las coordenadas cilíndricas y las rectangulares para un punto P son : 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 y= 𝑟 sen 𝜃 z = z 𝑟 = 𝑥" + 𝑦" ⁄ # " tan 𝜃 = 𝑦 𝑥 De manera que
- 46. ⃗ 𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑡 𝒆𝒓 + 𝑧 𝑡 𝒌 ⃗ 𝑣 𝑡 = ̇ ⃗ 𝑟 𝑡 = ̇ 𝑟𝒆𝒓 + 𝑟 ̇ 𝜃𝒆𝜽 + ̇ 𝑧𝒌 ⃗ 𝑎 𝑡 = ̇ ⃗ 𝑣 𝑡 = ̈ 𝒓 𝑡 = ̈ 𝑟 − 𝑟 ̇ 𝜃< 𝒆𝒓 + 𝑟 ̈ 𝜃 + 2 ̇ 𝑟 ̇ 𝜃 𝒆𝜽 + ̇ 𝑧𝒌
- 47. En la figura el brazo del robot esta programado de manera que el punto P describa la trayectoria r = 1 – 0,5 cos 2πt m, Ɵ = 0,5 – 0,2sen 2πt rad. En t= 0,8 s, determine: a) la velocidad de P en términos de las componentes radial y transversal; b) las Componentes cartesianas de la velocidad de P. Ejercicios
- 49. Un pequeño anillo se mueve en un cerco circular de radio r. Una varilla OA pasa atravez del anillo y gira Alrededor del punto fijo en la circunferencia del anillo a la velocidad angular constante φ. Encontrar la Aceleración absoluta del anillo.
- 50. La guía ranurada vertical se mueve a lo largo de su árbol horizontal con velocidad constante ̇ 𝑥 = 1,2 m/s Antes de invertir el sentido de su movimiento en x = 12,5 cm. El vástago P vine así obligado a moverse en Las guías vertical y circular simultáneamente. Determinar la aceleración angular ̈ 𝜃 de la línea OP en el Instante en que x = 7,5 cm.
- 52. El automóvil desciende de un estacionamiento por una rampa Cilíndrica espiral con rapidez constante V = 1,5 m/s. Si la rampa desciende una distancia de 12 m en cada revolución completa 𝜃 = 2π rad, determine la magnitud de la aceleración del automóvil a medida que desciende por la rampa; r= 10 m