Este documento presenta información sobre diferentes métodos de optimización como los multiplicadores de Lagrange, las condiciones de Kuhn-Tucker y el método de Lagrange. Los multiplicadores de Lagrange son una herramienta para resolver problemas de optimización con restricciones mediante la introducción de nuevas variables. Las condiciones de Kuhn-Tucker cubren problemas de optimización lineal y no lineal independientemente de las restricciones. El método de Lagrange permite encontrar máximos y mínimos de funciones con múltiples variables sujetas a restricciones.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENCIÓN COL-CABIMAS
Autor: Javier Petit
12713275
Optimización de Sistemas
Prof. Ing. Sara López

2. En los problemas de optimización, los multiplicadores
de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange,
son un método para trabajar con funciones de varias variables
que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas
restricciones. Este método reduce el problema restringido en n
variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una
nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de
Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal
involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su
demostración involucra derivadas parciales, o bien usando
diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la
cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las
condiciones para que la derivada con respecto a las variables
independientes de una función sea igual a cero.

3. Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de
enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en
Canadá
que
realizó
importantes
contribuciones
a
la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.

4. OBJETIVOS DE
KUHN TUCKER
Cubrir todos los aspectos necesarios para satisfacer los problemas
relacionados con la optimización de programaciones lineales y no
lineales, independientemente de la causa o de la intensidad de estas,
otorgando como resultado final que no existan restricciones de
desigualdad que generen incertidumbre.

5. SU APLICACION
Consideremos el problema general de optimización:
Min f(x)
Sujeto a:
gi(x) ≤ 0,i = 1,…,m
hj(x) = 0,j = 1,…,l
Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, gi(x) son las restricciones
de desigualdad, con m y l con el número de restricciones de
desigualdad e igualdad respectivamente.

6. SU IMPORTANCIA
La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una
función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente
herramienta del análisis matemático al estudio del comportamiento del consumidor.
CAMPO DE APLICACION
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin
restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte
de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o
secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de
restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Notar que si
se han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces
el problema es infectable. Esta característica particular de los modelos no lineales permite
abordar problemas donde existen economías o de economías de escala o en general
donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

7. CONDICION
1) Cualificación de la restricción de independencia lineal (CRIL): los
gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes
de las restricciones de igualdad son linealmente independientes en .
2) Cualificación de la restricción de Mangasarian-Fromowitz (CRMF):
los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los
gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente
independientes positivos en .
3) Cualificación de la restricción de rango constante (CRRC): para
cada subconjunto de las restricciones activas de desigualdad y los
gradientes de las restricciones de igualdad, el rango en el entorno de
es constante.
4) Cualificación de la restricción de dependencia lineal constante
positiva (DLCP): para cada subconjunto de restricciones activas de
desigualdad y de gradientes de las restricciones de igualdad, si es
linealmente dependiente positivo en entonces es linealmente
dependiente positivo en el entorno de . ( es linealmente dependiente
positivo si existe distintos de cero tal que )

8. METODO DE LAGRANGE
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de
encontrar máximos o mínimos (en general, "extremos") de una
función, pero a menudo es difícil encontrar una forma cerrada para
la función que se está extremando. Estas dificultades surgen a
menudo cuando se desea maximizar o minimizar una función sujeta
a condiciones exteriores fijos o restricciones. El método de los
multiplicadores de Lagrange es una herramienta poderosa para
resolver esta clase de problemas sin la necesidad de resolver
explícitamente las condiciones y los utilizan para eliminar las
variables adicionales.
Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente
para preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para
hacer esta lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy,
muy pequeño puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo
minimizar el aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas
de sopa ? " O del mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el
beneficio de mi fábrica dado que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O,
para tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto tarda en llegar a
la montaña rusa de la tierra suponiendo que se mantiene en el
camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange son útiles
cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla de
un problema son despedidos por las restricciones.

9. DEFINICION
En optimización, se define como un procedimiento para encontrar los
máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a
restricciones.
OBJETIVOS
Al permitir encontrar los puntos máximos y mínimos de funciones de
múltiples variables sujetas a restricciones, permite que esta teoría se
adapte a problemas de la vida cotidiana o inclusive mucho más
complejos, por permitir ver los resultados óptimos y peores posibles,
manejando con ello una amplia gama de oportunidades para
visualizar el panorama con el que se encuentra el o los individuos al
ejecutar una actividad o proyecto.

10. APORTES
Entre las magnificas creaciones y procesos que perfecciono Lagrange
se encuentran:
•El haber dado a conocer mucho de lo que en la actualidad se
conoce sobre astronomía.
•El haber desarrollado la mecánica Lagrangiana.
•El haber demostrado el teorema de valor medio.

11. APLICACIÓN DEL METODO DE
LARGRANGE
Las dos areas mas importantes donde se aplica este metodo:
Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel central en
la economía.

12. APLICACIÓN DEL METODO DE
LARGRANGE
Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor
se
representa
de
como
uno
de
maximizar
una
función
utilidad sujeta a una coacción de presupuesto .
El multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica
como el precio de la oposición asociado con la coacción, en
este ejemplo la utilidad marginal de ingresos.

13. APLICACIÓN DEL METODO DE
LARGRANGE
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se interpretan
como constates variables, y los multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como
la minimización del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.

14. DIFERENCIAS
La principal diferencia entre las condiciones de Kuhn Tucker y
Lagrange, y a pesar que comparten más similitudes que diferencias,
es que la primera fue creada con el fin de dar solución a problemas
relacionados con la programación lineal, la segunda se adapta a una
mayor cantidad de casos (inclusive cotidianos), por lo que se podría
decir que a pesar de tener un mayor tiempo desde su creación,
tiende a ser más importante la de Lagrange.

15. GRACIAS