Lagrange y Kunh Tucker y sus ejemplos

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universitaria.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago
Mariño”
Extensión Cabimas Edo. Zulia.
Lagrange y Kunh Tucker
Ing. Sistemas
Raniel Sulbaran C.l: 19.327.942

2. Método de Lagrange.
Biografía.
Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe
Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi
Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín 10 de abril de 1813 en París) fue un matemático, físico
y astrónomo italiano que después vivió en Rusia y
Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en
Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el
teorema del valor medio, desarrolló la mecánica
Lagrangiana y tuvo una importante contribución en
astronomía.

3. Definición.
En los problemas de optimización, los multiplicadores de
Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange,
son un método para trabajar con funciones de varias
variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está
sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el
problema restringido en n variables en uno sin restricciones
de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.
Este método introduce una nueva variable escalar
desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada
restricción y forma una combinación lineal involucrando los
multiplicadores como coeficientes. Su demostración
involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales
totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El
fin es, usando alguna función implícita, encontrar las
condiciones para que la derivada con respecto a las
variables independientes de una función sea igual a cero.

4. Cuando son útiles.
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es
el de encontrar máximos o mínimos (en general,
"extremos") de una función, pero a menudo es difícil
encontrar una forma cerrada para la función que se
está extremized. Estas dificultades surgen a menudo
cuando se desea maximizar o minimizar una función
sujeta a condiciones exteriores fijos o restricciones. El
método de los multiplicadores de Lagrange es una
herramienta poderosa para resolver esta clase de
problemas sin la necesidad de resolver explícitamente
las condiciones y los utilizan para eliminar las variables
adicionales.

5. Las dos aéreas mas importantes donde se aplica este método.
Economía.
La optimización reprimida desempeña un
papel central en la economía. Por ejemplo, el
problema selecto para un consumidor se
representa como uno de maximizar una
función de utilidad sujeta a una coacción de
presupuesto.
Teoría de control
En la teoría de control óptimo , los
multiplicadores de Lagrange se interpretan
como
constates
variables,
y
los
multiplicadores de Lagrange se formulan de
nuevo como la minimización del hamiltoniano ,
en el principio mínimo de Pontryagin.

6. Objetivos.
•Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de
nivel para distintos valores de la variable z.
•Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y)
sobre la curva correspondiente a la función restricción
donde la función principal tiene extremos.
•Interpretar gráficamente los resultados obtenidos
empleando el método de multiplicadores de Lagrange.
•Aproximar las soluciones del problema a partir de la
observación en el simulador, de las curvas de nivel de la
función principal y la curva correspondiente a la función
condicionante.
•Adquirir habilidad en la resolución de problemas de
optimización en un ambiente computacional.

7. Método de Kuhn Tucker.
Biografía.
Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995)
fue un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó
importantes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la
Programación no lineal.
Definición.
En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
(también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son
condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema
de programación matemática sea óptima. Es una generalización del
método de los Multiplicadores de Lagrange.
Importancia.
La importancia de este teorema radica en que nos dice que
podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto
nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis
matemático al estudio del comportamiento del consumidor.

8. Campo de aplicación.
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el
problema no lineal como uno sin restricciones, luego
si la solución óptima de dicho problema no cumple la
totalidad o parte de las restricciones del problema se
activan dichas restricciones (en conjunto y/o
secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se
repite hasta llegar a un conjunto de restricciones
activas cuya solución también satisface las
restricciones omitidas. Notar que si se han activado
la totalidad de restricciones sin encontrar una
solución factible, entonces el problema es infectable.
Esta característica particular de los modelos no
lineales permite abordar problemas donde existen
economías o de economías de escala o en general
donde los supuestos asociados a la proporcionalidad
no se cumplen.

9. La Optimización en la toma de Decisiones.
Una de las características del ser humano es su
capacidad para tomar decisiones, lo que
incluye, básicamente, su capacidad para
analizar las alternativas y evaluarlas en
términos de su comportamiento respecto de
los objetivos que desea conseguir. Es una
actividad tan cotidiana que prácticamente no
le prestamos atención. En muchos casos
hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de
decisiones como fruto de la experiencia. Sin
embargo, cuando el problema al que nos
enfrentamos es muy complejo, hay muchas
alternativas posibles, y son graves sus
consecuencias, por lo que resulta difícil realizar
este proceso de análisis y evaluación.

10. Ejemplos.
Matriz Jacobiana.
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas
parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones
más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar
función la función en un punto. En este sentido, el Jacobiano
representa la derivada de una función multivariable. Supongamos F:
Rn → Rm es una función que va del espacio euclidiano ndimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función
está determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,...,
xn). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser
organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F:
Esta matriz es notada por:
O como:

11. Funciones Para métricas
En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no
está dada.
En la forma Como en las igualdades.
sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos
de una misma variable.
Por ejemplo, consideremos las ecuaciones:

12. se tiene que ver cada valor de t le corresponde un punto (X,Y) del
plano, el conjunto de los cuales determinara una relación R.
La siguiente tabla de valores :
Nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente
manera:

13. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
Estas condiciones deben ser satisfechas por la solución óptima de
cualquier problema. lineal y la mayoría de los problemas no lineales.
Constituyen la base para el desarrollo de muchos algoritmos
computacionales y proporcionan un criterio de parada para muchos otros,
permitiendo establecer cuando ha sido alcanzado un óptimo local
restringido. En los problemas diferenciables de optimización no restringida
la condición necesaria para que una solución sea un mínimo local es que
se anule el gradiente. Por el contrario, esta propiedad no es cierta para
problemas diferenciables restringidos. Las condiciones de Karush–Kuhn–
Tucker generalizan la condición necesaria desarrollada para problemas no
restringidos a los problemas con restricciones ecuaciones.
Problema general de optimización, consideremos el siguiente problema
general:

14. La Optimización y la Toma de Decisiones.
Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar
decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar las
alternativas y evaluarlas en términos de su comportamiento respecto de
los objetivos que desea conseguir. Es una actividad tan cotidiana que
prácticamente no le prestamos atención. En muchos casos hemos
‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como fruto de la
experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos enfrentamos es
muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y son graves sus
consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este proceso de análisis y
evaluación.

15. Los problemas que surgen en las grandes organizaciones,
tanto en el sector privado como en el público, son tan
complejos que no pueden resolverse usando exclusivamente
sentido común y experiencia práctica. Se deben tomar
decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos
disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos
objetivos.