2. Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico
Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de
enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue
un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió
en Rusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de
Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del
valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante
contribución en astronomía.

3. En
los
problemas
de
optimización,
los
multiplicadores
de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un
método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa
maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método
reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n
+ 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce
una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para
cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los
multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas
parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la
regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las
condiciones para que la derivada con respecto a las variables
independientes de una función sea igual a cero.

4. Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar máximos o
mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a menudo es difícil encontrar
una forma cerrada para la función que se está extremized. Estas dificultades surgen a
menudo cuando se desea maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones
exteriores fijos o restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una
herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la necesidad de
resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para eliminar las variables
adicionales.
Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para preguntar:
"¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta lata?" (La respuesta a
eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño puede!") ¡Tienes que preguntar:
"¿Cómo puedo minimizar el aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de
sopa ? " O del mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado
que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado
", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se mantiene
en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange son útiles cuando
algunas de las variables en la descripción más sencilla de un problema son despedidos
por las restricciones.

5. La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía. Por
ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa como uno de
maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto . El
multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica como el precio de la
oposición asociado con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal
de ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una
firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.

6. En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se
interpretan como constates variables, y los multiplicadores de Lagrange se
formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano , en el principio
mínimo de Pontryagin.

7. Ø Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos
valores de la variable z.
Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva
correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene
extremos.
Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método
de multiplicadores de Lagrange.
Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el
simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva
correspondiente a la función condicionante.
Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un
ambiente computacional.

8. Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995) fue
un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes
contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.

9. Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de problemas de
optimización no lineal con restricciones de desigualdad fueron publicadas
por primera vez (1939) en la tesis de Maestría de William Karush (1917-1997)
(en aquél entonces estudiante de matemáticas de la Universidad de
Chicago), aunque fueron renombradas tras un artículo en una conferencia de
Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker en 1951.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) son una generalización del
método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad.

10. En programación matemática, las condiciones de Karush-KuhnTucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son
condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de
programación matemática séa óptima. Es una generalización del método de
los Multiplicadores de Lagrange

11. La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una
función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente
herramienta del análisis matemático al estudio del comportamiento del
consumidor.

12. Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como
uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple
la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas
restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente.
Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución
también satisface las restricciones omitidas. Notar que si se han activado la
totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el
problema es infectable. Esta característica particular de los modelos no lineales
permite abordar problemas donde existen economías o de economías de escala
o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se
cumplen.

13. Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar
decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar las
alternativas y evaluarlas en términos de su comportamiento respecto de los
objetivos que desea conseguir. Es una actividad tan cotidiana que
prácticamente no le prestamos atención. En muchos casos hemos
‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como fruto de la
experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos enfrentamos es
muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y son graves sus
consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este proceso de análisis y
evaluación.

14. Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el sector
privado como en el público, son tan complejos que no pueden resolverse
usando exclusivamente sentido común y experiencia práctica. Se deben tomar
decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos
disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La
Investigación Operativa proporciona modelos y técnicas para abordar estos
problemas, que permiten comprender los sistemas reales y, en
general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de decisiones
más adecuado de acuerdo con los objetivos establecidos y el impacto que
pueden tener sobre el funcionamiento del sistema como un todo.

15. Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de
Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados simultáneamente
a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las condiciones de
optimización de segundo orden y para indicar las restricciones que se encuentran
saturadas, tienen una clara interpretación económica y financiera.
Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría
plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y
expresando en forma de igualdad las saturadas.
También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de
sistemas, matemática, toma de decisiones entre otras.