inecuaciones teoria

1. TRILCE
DESIGUALDADES
Definición
Se denomina desigualdad a la comparación que se
establece entre dos expresiones reales, mediante los signos
de relación >, <;  o  .
Ejemplo :
Siendo, a y b números reales :
a > b a mayor que b
a < b a menor que b
a  b a mayor o igual que b
a  b a menor o igual que b
Observación : A los signos de relación > o < se les da el
nombre de signos simples mientras que a  o  se les
denomina signos dobles.
Axiomas de la desigualdad
1. Ley de Tricotomía
b
a
b
a
b
a
:
R
b
a 







2. Ley de Transitividad
c
a
c
b
b
a
/
R
c
b
,
a 







3. Ley Aditiva
c
b
c
a
b
a
/
R
c
b
,
a 







4. Ley Multiplicativa
4.1. bc
ac
b
a
/
R
c
R
b
,
a 





 
4.2. bc
ac
b
a
/
R
c
R
b
,
a 





 
Equivalencias Usuales :
Siendo a, b, c números reales.
1. b
a
b
a
b
a 




2. c
b
b
a
c
b
a 





Teoremas de la Desigualdad
1. 0
a
:
R
a 2



2. 0
a
1
0
a 


0
a
1
0
a 


3. R
d
c
,
b
,
a 
 :
a > b
c > d
a+c > b+d
4. 

 R
d
c
,
b
,
a :
a > b
c > d
a.c > b.d
5. 




 R
c
b
,
a
o
;
R
c
b
,
a
a
1
b
1
c
1
c
b
a 




6. /
Z
n
,
R
c
b
,
a 




1
n
2
1
n
2
1
n
2
c
b
a
c
b
a 







7. 




 Z
n
,
R
c
b
,
a
n
2
n
2
n
2
c
b
a
c
b
a 




Propiedades de la desigualdad
1. 2
2
a
c
0
c
,
0
a 



2
2
c
b
0
c
b
a 




2. 2
a
1
a
:
0
a 


3. 2
a
1
a
:
0
a 



DESIGUALDADES E INECUACIONES
1
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2. Propiedad adicional :
Para números reales positivos, tenemos :
MP = Media potencial
MA = Media aritmética
MG = Media geométrica
MH = Media Armónica
MH
MG
MA
MP 


Para dos números : a  b;

Z
k
b
1
a
1
2
ab
2
b
a
2
b
a
k
k
k






para tres números : a, b  c; 
Z
k
c
1
b
1
a
1
3
abc
3
c
b
a
3
c
b
a 3
k
k
k
k









INTERVALOS
Definición
Se denomina intervalo al conjunto cuyos elementos
son números reales, dichos elementos se encuentran
contenidos entre dos números fijos denominados extremos,
a veces los extremos forman parte del intervalo.
1. Intervalos acotados :
Son todos aquellos intervalos cuyos extremos son
reales, estos pueden ser :
1.1.Intervalo abierto :
No considera a los extremos, se presenta por exis-
tencia de algún signo de relación simple.
En la recta, se tendrá :
x
a b
Donde : 




 b
;
a
x
b
x
a
También : [
b
;
a
]
x 
1.2.Intervalo cerrado :
Se considera a los extremos, se presenta por exis-
tencia de algún signo de relación doble.
En la recta real, se tendrá :
x
a b
Donde : ]
b
;
a
[
x
b
x
a 



También : )
b
;
a
(
x 
1.3.Intervalo mixto (semi abierto o semi cerrado) :
Considera sólo a uno de sus extremos para :
x
a b
]
b
;
a
x
b
x
a 




para :
x
a b




 b
;
a
[
x
b
x
a
2. Intervalos no acotados :
Son todos aquellos donde al menos uno de los
extremos no es un número real.
2.1. Intervalo acotado inferiormente :
x
a 
Donde : a
x
x
a 







 ;
a
x
x
a 
Donde : a
x
x
a 






 ;
a
[
x
2.2. Intervalo acotado superiormente :
x
a

Donde : a
x
a
x 








 a
;
x
x
a

Donde : a
x
a
x 





]
a
;
x 


Observaciones :
1. Un conjunto se dice que es acotado si y solo si es
acotado superiormente e inferiormente a la vez.
2. Para el conjunto de los números reales R, se tiene :








 ;
[
;
]
R
Es evidente que 
 y  no son números reales.
3. Como los intervalos son conjuntos, con ellos se
podrán efectuar todas las operaciones existentes para
conjuntos, tales como la unión, intersección, diferencia
simétrica, etc.
2
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3. Clases de desigualdad
1. Desigualdad absoluta :
Es aquella que mantiene el sentido de su signo de
relación para todo valor de su variable. Vemos un
ejemplo :
* R
x
;
0
10
x
2
x2





2. Desigualdad relativa :
Es aquella que tiene el sentido de su signo de relación
para determinados valores de su variable. Veamos
un ejemplo :
* 2
x
3
x
1
x
2 




INECUACIONES
Definición
Se denomina inecuación a cualquier desigualdad
relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación
forman el conjunto solución, el cual se presenta en función
de intervalos.
1. Inecuaciones racionales :
1.1. Inecuaciones de primer grado (lineal)
0
ax 

 b
0
a
/
R
b
a 



1.2. Inecuaciones de segundo grado (cuadrática)

 0
c
bx
ax2


0
a
/
R
c
b
,
a 



Propiedades
I. Trinomio siempre positivo
Si : R
x
;
0
c
bx
ax2




 ,
entonces : 0
ac
4
b
0
a 2




II. Trinomio siempre negativo
Si : R
x
;
0
c
bx
ax2




 ,
entonces : 0
ac
4
b
0
a 2




1.3.Inecuaciones de grado superior :
0
a
...
x
a
x
a
x
a n
2
n
2
1
n
1
n
o


 
 


0
a
/
R
a
....
,
a
,
a
,
a º
n
2
1
o




3
n
/
N
n 

1.4. Inecuaciones fraccionarias :
1
]º
H
[
;
0
)
x
(
H
)
x
(
F



Resolución de la inecuación : Se recomienda utilizar el
método de los puntos de corte cuya aplicación consiste en
los siguientes pasos :
1. Se trasladan todos los términos al primer miembro,
obteniendo siempre una expresión de coeficiente
principal positivo.
2. Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.
3. Se calculan los puntos de corte. Son los valores reales
de "x" obtenidos al igualar cada factor primo a cero.
4. Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la
recta real, dichos puntos originan en la recta dos o
más zonas.
5. Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha
alternando los signos "+" y "-".
6. Si el signo de relación es > o  , el conjunto solución
estará formado por todas las zonas positivas, pero si
el signo de relación es < o  el conjunto solución lo
formarán todas las zonas negativas.
Ejemplo :
Resolver la inecuación :
6
x
x2


Resolución : De acuerdo con el método de los
puntos de corte, procedemos así :
0
6
x
x2



Factorizando : (x+3)(x-2) > 0
Hallando puntos : x = -3; x = 2
En la recta :
-3 2
marcando zonas :
-3 2
+ +
como el signo de relación es > la solución viene dada
por todas las zonas positivas.
-3 2
+ +









 ;
2
3
;
x
3
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4. Ejemplo :
Resolver : 2
2
x
10
x
9 


Resolución : Procedemos de un modo similar que
en el ejemplo anterior :
0
2
2
x
10
x
9 



0
2
x
6
x
7 


Puntos :
7x + 6 = 0 
7
6
x 

x + 2 = 0  x = -2
+ +
-2 6
7
-






7
6
;
2
x
Observación : En una inecuación fraccionaria, si el
signo de relación es doble, sólo cerraremos los
extremos que provienen del numerador.
Ejemplo :
Resolver : 1
12
x
x
5
x
2
2




Resolución :
0
1
12
x
x
5
x
2
2





0
12
x
x
7
x
2




Observar que: )
3
x
)(
4
x
(
12
x
x2





0
)
3
x
)(
4
x
(
7
x 



Puntos : }
3
4
,
7
{ 


+ +
-7 -3 4








 ;
4
3
;
7
[
x
2. Inecuaciones Irracionales
2.1. Forma : 

 Z
n
;
B
A
n
2
se resuelve :
)
B
A
0
B
0
A
(
S n
2
1






)
0
B
0
A
(
S2




2
1
S
S
CS 


2.2. Forma : 

 Z
n
;
B
A
n
2
n
2
B
A
0
B
0
A
CS 





2.3. Forma :

Z
n
m
;
B
A n
2
m
2 <
> 
m
2
n
2
B
A
0
B
0
A
CS 






Ejemplo :
Resolver : 1
x
1
x 


Resolución : De acuerdo con la forma (2.1), se
plantea :
1
S :
2
)
1
x
(
1
x
0
1
x
0
1
x 








0
x
3
x
0
1
x
0
1
x 2









0
x
3
x
0
1
x
0
1
x 2








0
)
3
x
(
x
0
1
x
0
1
x 







+  +
-1 1

0 3
+ +
Intersectando :
-1 0 1 3
Observar que : 
 3
;
1
[
S1
0
1
x
0
1
x
:
S2





+ 
-1 1
+
Intersectando :
1
-1
Observar que : 

 1
;
1
[
S2
Finalmente :
2
1
S
S
CS 




 3
;
1
[
CS
Ejemplo :
Resolver : x
5
2
x 


Resolución : De acuerdo con la forma (2.3) se plantea:
x
5
2
x
0
x
5
0
2
x 








0
7
x
2
0
5
x
0
2
x 








5
+

2
+ +
7
2
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5. Intersectando :
2 5
7
2



2
7
;
2
[
CS
VALOR ABSOLUTO (V.A.)
Definición
Dado el número real "x", la relación funcional
denotada por |x| es el valor absoluto de "x", definido de la
manera siguiente :










0
x
;
x
0
x
;
0
0
x
;
x
|
x
|
Según la definición :
* |5|= 5 5 > 0
* |-7| = -(-7) -7 < 0
|-7| = 7
Teoremas :
1. R
x
;
0
|
x
| 


2. R
x
;
|
x
|
|
x
| 



3. R
y
x
;
|
y
|
.
|
x
|
|
y
.
x
| 



4. 0
y
/
R
y
x
;
|
y
|
|
x
|
y
x 




5. R
x
;
x
|
x
|
|
x
| 2
2
2




6. R
x
|;
x
|
x
|
x
| 




7. R
y
x
|;
y
|
|
x
|
|
y
x
| 





Propiedades :
1. Si : |x+y| = |x|+|y|,
entonces : 0
xy 
2. Si : |x - y| = |x|+|y|,
entonces : 0
xy 
Ecuaciones con valor absoluto :
b
x
b
x
0
b
;
b
|
x
| 






Ejemplo :
Resolver : |2x-1| = 7
Resolución : Observar que : b = 7 > 0. Luego, tenemos :
3
x
4
x
6
x
2
8
x
2
7
1
x
2
7
1
x
2














}
3
;
4
{
CS 


Ejemplo :
Resolver : |5x - 1| = 2 - x
Resolución : Se plantea lo siguiente :
)
2
x
1
x
5
2
1
x
5
(
0
x
2 








)
1
x
4
3
x
6
(
0
2
x 






)
4
1
x
2
1
x
(
2
x 





Observar que :
2
1
x  verifica x < 2.
4
1
x 
 verifica x < 2.
}
4
1
;
2
1
{
CS 


Inecuaciones con Valor Absoluto
1. b
x
b
x
b
|
x
| 





2. )
b
x
b
(
0
b
b
|
x
| 






3. 0
)
y
x
)(
y
x
(
|
y
|
|
x
| 



 

Ejemplo :
Resolver : |3x + 4| < 5
Resolución : De acuerdo con la forma (2), se plantea :
)
5
4
x
3
5
(
0
5
R







¿ ? porque es una verdad
Luego, sólo se resuelve :
-5 < 3x + 4 < 5
-5 - 4 < 3x < 5 - 4
-9 < 3x < 1
-3 < x <
3
1





3
1
;
3
x
Ejemplo :
Resolver : 4
|
x
|
3
x2


Resolución : Se sabe que 2
2
|
x
|
x  . Luego, se tendrá :
4
|
x
|
3
|
x
| 2


0
4
|
x
|
3
|
x
| 2



0
)
1
|
x
(|
)
4
|
x
(| 


Observa que : R
x
;
0
1
|
x
| 



En consecuencia : 0
4
|
x
| 

4
|
x
| 
Según la forma (1) : 4
x
4
x 










 ;
4
[
]
4
;
x
5
Prof. Tasilla Culqui Jeremias Jerson