Cálculo diferencial apuntes 2012

I - 2012
APUNTES DOCENTES
PROFESOR: ING. EDGAR VARGAS RUIZ
ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
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UNIDAD 1
DESIGUALDADES Y FUNCIONES
DESIGUALDADES
En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de
ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor
aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto.
La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello
utilizamos los símbolos:
>: Mayor que.  : Mayor o igual que.
<: Menor que.  : Menor o igual que.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de
desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “  ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)
Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Si a > b, entonces (a  c) > (b  c)
Si a < b, entonces (a  c) < (b  c).
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc
Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
4. Si a > b y c > 0, entonces
c
b
c
a

Si a > b y c < 0, entonces
c
b
c
a

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)
6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd
7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an
> bn
8. Si a > b, entonces
1 1
a b


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9.
a 0 b 0
0, si
a 0 b 0
a b
  

  
   
a 0 b 0
0, si
a 0 b 0
a b
  

  
   
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.
Ejemplo 3 6 6 3  
Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales
a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades.
Son satisfechas por todos los números Reales
Ejemplo:
2ab
ab
a b


Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las
desigualdades).
b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos
números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos
Ejemplo: 2 6 0x  
INTERVALOS
Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que
se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las
operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las
diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.
CLASES DE INTERVALOS

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Ejemplo
Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (–, 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:
1. A C 2. B C 3.  A C B 
Solución:
1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C =  / 5x x   Notación de conjunto
2. B C =  2, 8 Notación intervalo B C =  / 2 8x x  Notación de conjunto
3.  A C B  =    2, 5 , 8  =  , 8 Notación intervalo
 A C B  =  / 8x x  Notación de conjunto
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas
(incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las
inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó
anteriormente.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la
inecuación.
La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y
sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría
en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.

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La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades
anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a
una inecuación se da mediante un intervalo).
Solución de inecuaciones
Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas
para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación
recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación
de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos”)
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES
Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión
algebraica que aparece en ellas.
Ejemplo:
INECUACIÓN TIPO
2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita
x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita
x2
-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita
xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita
INECUACIONES DE UNA VARIABLE
1. INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas
básicas:
ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0
En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
1. Quitar los paréntesis, si los hay.
2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación
por el m.c.m. de los denominadores.
3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.
4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.
5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el
sentido de la desigualdad.
6. Despejar la x (la incógnita).
7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Ejemplo 1: Resolver
2
7
4
)7(5
3
2 xxx 




12
)7(6
12
)355(3)2(4 xxx 


4 8 15 105 42 6 5 55x x x x        

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5 55 11x x   S= x  (-, 11)
Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5  
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:
2x x 3 5  
Reduciendo términos: x 8
   S 8, x R / x 8    
Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación
5
7 6
2 3
x x
   . Halle el conjunto solución y
grafíquelo.
Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36  
Trasponiendo términos: 3x 10x 36 36   
13x 78  
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x 78
78
Dividiendo por 13: < o sea, < 6
13
x x
   S ,6 x R / x<6   
Ejemplo 4: Resolver     
2
x 3 x 1 x 1 3x    
Efectuando las operaciones indicadas:
2 2
2 3 2 1 3x x x x x     
Suprimiendo x 2
en ambos miembros y transponiendo:
2 2 3 1 3x x x   
6

)
8 
(

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x 4    S ,4 x R / x<4   
Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación
2
2x 2 2x 1 1
x
3 2 4
 
   . Halle el conjunto solución y
grafíquelo.
Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para
obtener:
   2 2
4 2 6 2 1 3 12x x x    
2 2
4 8 12 6 3 12x x x    
Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4 6 3 8x  
Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:
5
4
x 
5 5
, /
4 4
S x R x
   
         
 Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a
 x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:
   bxxaxxS  //
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 7246  x
Separando en dos desigualdades:
4 2 6 4 2 7x x    
4 6 2 4 7 2
8 9
4 4
x x
x x
    
  
2x  
9
4
x  Sol:
9
2,
4
x
 
  
2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
5/4

4

)

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Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las
siguientes formas básicas:
ax2
+bx+c < 0 ax2
+bx+c > 0 ax2
+bx+c ≤ 0 ax2
+bx+c ≥ 0
Procedimiento
Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la
ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.
Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.
Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso
seleccionado.
Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
Ejemplo
Dada la siguiente inecuación 2
5 6 0x x   . Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Primer paso: Factorizar el polinomio dado   2
5 6 3 2x x x x     , quedando una inecuación de
la forma:
  3 2 0x x  
Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:
 3 0x   y  2 0x  
Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:
 3 0x   y  2 0x  
Solución Caso I:
Sea AS el conjunto solución de la inecuación  3 0x   y BS al conjunto solución de la inecuación
 2 0x   , la solución del Caso I viene dada por: I A BS S S 
Solución para AS
3 0
3
x
x
 
 
   3, / 3AS x R x      
Solución para BS
2 0
2
x
x
 
 
   2, / 2BS x R x      
La solución para IS es entonces:

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     I A BS S S 3, 2, 2,          
   IS 2, x R / x 2      
Solución Caso II:
Si llamamos CS al conjunto solución de la inecuación  x 3 0  y DS al conjunto solución de la
inecuación x 2 0  , la solución del Caso II viene dada por: II C DS S S 
Solución para CS :
x 3 0
x 3
 
 
   cS , 3 x R / x 3      
Solución para DS :
x 2 0
x 2
 
 
   dS , 2 x R / x 2      
La solución para IIS es entonces:
     II c dS S S , 3 , 2 , 3          
   IIS , 3 x R / x 3      
Solución General
La solución general será la unión de IS y IIS , es decir:
   G I IIS S S 2, , 3       
El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método
analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el
método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones
cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático,
encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos
en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de
éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para
conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se
cumple la desigualdad.
Ejemplo 1

-3
 )
-2
)

–2
 (
–3
(

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Dada la siguiente inecuación 2
5 6 0x x   , halle el conjunto solución y grafique.
Se factoriza el polinomio   2
5 6 3 2x x x x     , quedando la inecuación de la forma:
  3 2 0x x  
Las raíces que anulan   3 2x x  son 3x   y x 2  . (Valores críticos) Se ubican sobre la
recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
los signos.
Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene
dada por:
   , 3 2,GS      
Ejemplo 2
Dada la siguiente inecuación
   
2 2
1 1 8
2 3 3
x x 
  , halle el conjunto solución y grafique.
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se
reducen términos semejantes, obteniendo:
2
2 15 0x x  
Factorizando el polinomio resultante, se tiene   2
2 15 5 3x x x x     , resultando una
inecuación de la forma:
  5 3 0x x  
Las raíces de   5 3x x  son 5x  y 3x   (valores críticos), las cuales se ubican sobre la
recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la
desigualdad.

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Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:
   3,5 / 3 5GS x R x      
Gráficamente:
Casos especiales
1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:
Solución
(ax + b)2
≥ 0
(ax + b)2
> 0  valor critico 
(ax + b)2
≤ 0 x = − b/a
(ax + b)2
< 0
Ejemplo:
2
2 1 0x x  
2
2 1 0x x  
Usando la fórmula cuadrática:
2
2 2 4 2 0
1
2 2
x
    
   
 
2
1 0x  
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 
2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al
polinomio cualquier valor si:

-3
 )
5
)

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 El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es 
 El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución
(vacio).
Solución
x2
+ x +1 ≥ 0
x2
+ x +1 > 0
x2
+ x +1 ≤ 0
x2
+ x +1 < 0
 INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Pasos:
1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.
3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.
Ejemplo:
Resolver la inecuación 3
x 4x 0 
Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo
(<0).
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar
factor común x)
 2
x x 4 0  , o lo que es lo mismo   x x 2 x 2 0  
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes
valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo.
El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen
cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el
signo de la operación. Observa la gráfica:
Los valores de la x que hacen negativo el producto son    2,02,  .
3. INECUACIONES RACIONALES
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son
inecuaciones polinómicas.
-2 2
_ +
0
_+

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Expresión general: son del tipo
ax b
0
cx d



, o todas sus equivalentes
ax b
0
cx d



, o
ax b
0
cx d



,
etc.… y de grados mayores que uno.
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente
que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos
usando el método analítico o el método gráfico.
Pasos:
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del
denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser
abiertas.
3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el
mismo signo que la fracción polinómica.
Ejemplo:
1. Dada la siguiente inecuación
2
2
3 10
0
2
x x
x x
 

 
halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dados:
  2
3 10 5 2x x x x     ,
  2
2 2 1x x x x    
Resultando una inecuación de la forma:
  
  
5 2
0
2 1
x x
x x
 

 
Las raíces que anulan el numerador son 5x   y 2x  , y las que anulan el denominador son
2x   y 1x  , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en
cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

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Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución
viene dada por:
   GS 5, 2 1,2   
Gráficamente:
2. Resolver
x 1
1
x 1



x 1
1 0
x 1

 

, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos
cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1   y compara los resultados.
Para nuestro caso, operando
x 1 x 1 x 1 2
1 0 0
x 1 x 1 x 1
   
    
  
, y todo se reduce a
averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en  ,1 .
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
RECORDEMOS:
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su
definición formal es:
para 0
para 0
a a
a
a a

 
 
, a R
y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
-5

( )
-2 1
( )
2

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Ejemplo: 555 
Propiedades del valor absoluto
La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio
de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las
propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.
Sean , .a b R
1. 0a 
2.
2
a a
3. a a 
4. 2 2
a a
5. a b a b  
6. , si b 0
aa
b b
 
7. a b a b   Desigualdad triangular
8.  0a b b a b a b       
Desigualdades con valor absoluto
Sea , ,x y a R . Se tiene entonces:
1. sii a 0 óx a x a x a a x a         
2. siix a x a x a    
3. 2 2
siix y x y 
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de
la misma.
Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los
teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de
inecuaciones.
Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:
 
-a a
] [
[ ] 
-a a

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   5,1 / 5 1S x R x      
   9, 3 / 9 < < 3S x R x      
Sean , , ,x a b c R .
1) cbax   y ó
ax b c
c ax b c
ax b c
  
 
    
    
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x   y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:
15 5 10 15
15 10 5 10 10 15 10
25 5 5
25 5 5
5 5 5
5 1
x
x
x
x
x
   
      
  

 
  
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 1
3
x
 y grafique.
1 < 2< 1
3
3 < < 1
3
3 3 < 3< 1 3
3
9 < < 3
x
x
x
x
 
 
    
 
2) cbax   ó ó
ax b c
ax b c ax b c
ax b c
  
 
      
    
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 8 2x   y grafique.
[ ] 
-5 1
( ) 
-9 -3

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2

4
5

) (
2

4
5

)) ((
3 8 2
3 2 8
3 10
10
3
x
x
x
x
  
  
 


3 8 2
3 2 8
3 6
6
3
2
x
x
x
x
x
  
 
 


 

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x  y grafique.
Otro ejemplo
Resolvamos la desigualdad
2 1
3
3
x
x



Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades
equivalentes:
2 1
3
3
x
x



2 1 3 3x x  
   
2 2
2 1 3 9x x  
   
2 2
2 1 3 9 0x x   
       2 1 3 9 2 1 3 9 0x x x x            
   10 5 8 0x x   
Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de  10x  + ─ ─
Signo de  5 8x  ─ ─ +
Signo de   10 5 8x x   ─ + ─
Vemos que la solución de la desigualdad es
8
10,
5
 
   
5 3>7
5 >7+3
5 >10
>10 5
>2
x
x
x
x
x
  5 3< 7
5 < 7+3
5 < 4
< 4 5
x
x
x
x
 



  10, 2,
3
     

 
4
, 2,
5
 
     
 
-
2

10 3 -2

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18 I I - 2011
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones
Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el
peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no
debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones
iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos
para poder llevarlos en ella?
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón
y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
875 − 4. X  415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
 Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x  415 - 875
 Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x  - 460
 Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por
1
4

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,
debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x   460
4
1







 Hacemos el cálculo x  115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un
peso, x > 0.
Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo
(0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:
Funciones de variable Real

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19 I I - 2011
Definición de función
Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A
llamado dominio un valor único f(x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los
elementos y a los que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y
cada uno de sus elementos se llama imagen.
Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función
Ahora representemos en el plano cartesiano una relación que no es función.
Si una gráfica contiene los puntos (a, b) y (a, c) entonces dicha gráfica no representa una función,
ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango.
Observe el dibujo:
Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f(x), por ejemplo:
)()(;
4
2
)(;6)(
3
1
)(;3)(;)( 22
xsenxky
x
x
xtyxxjy
x
x
xhyxxxgyxxfy








Página
20 I I - 2011
Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e y está
claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de forma explícita de
la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene
expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:
Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita
de la función.
La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la
variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con
una expresión implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una
de las anteriores expresiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es y por qué?
Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede servirnos de ayuda.
Gráfica de una función
La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano xy, tal que
restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.
El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
Prueba de la recta vertical
Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la
gráfica en un solo punto.
Ejemplo
Para obtener la gráfica de f(x) = 3x2
- 4x + 1 con dominio restringido a [0, + ∞), sustituimos f(x)
por y, y obtenemos la ecuación y = 3x2
- 4x + 1.
Entonces obtenemos la gráfica por medio de trazado de puntos, donde restringimos a x al estar en
[0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo:
No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0.
Elementos de una función

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21 I I - 2011
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas
variables (dependiente e independiente).
 Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente (x) de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales.
El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas
expresiones: D (f), Dom (f).
 Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la
función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas
expresiones: R (f), Rango (f), Im (f).
Dominio de algunas funciones
1. Dominio de las funciones polinómicas
Definición:
Una función polinómica es de la forma:
01
2
2
1
1 ....)( axaxaxaxaxf n
n
n
n
n
n  


 , donde n Z+
Ejemplos: 2 3 2
( ) 2 3 2 ; ( ) 2 2 ; ( ) 2 5f x x x g x x x x h x x        
Notación: Dominio de f (x) se escribe: Domf(x)
El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Domf(x)=R
2. Dominio de las funciones racionales
Definición:
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios). Ejemplos:
xx
x
xh
xx
x
xg
x
x
xf







 422
)(;
42
4
)(;
1
32
)(
Una expresión de números reales de la forma
B
A
no existe si B =0, de manera que para hallar el
dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero y determinar así los
únicos valores de x que no pertenecen al dominio (valores críticos del denominador).
El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de los
valores críticos del denominador (V.C.D): Dom f(x) = ℛ − {V.C.D}
Ejemplo:
Hallar el dominio de la función
23
32
)( 2



xx
x
xf

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22 I I - 2011
Igualamos el denominador a cero: 0232
 xx
Factorizamos: 0)1)(2(  xx este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:
02 x , entonces: x = - 2
01x , entonces: x = - 1
De lo anterior, deducimos que los números – 2 y 1 no pertenecen al dominio y por lo tanto:
Domf(x)= ℛ − {-2,-1}
3. Dominio de funciones con radicales
Primer caso: 1)( 2
 xxf
La expresión que define a esta función tiene validez en R solamente si el radicando es mayor o
igual que cero, es decir, 012
x al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen
al dominio.
0)1)(1(012
 xxx
Al resolver la inecuación se obtiene    , 1 1,    , entonces: Dom    ( ) , 1 1,f x     
Segundo caso:
4
)(


x
x
xg
En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero ( )4x , y además que el
radicando sea mayor que cero ( 04 x ), de tal manera que debemos resolver la ecuación:
04 x Domg(x)= ),4( 
Tercer caso:
4
2
)(



x
x
xh
En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el
denominador, es decir:
- El radicando debe ser positivo o cero. 02 x , 2x
- El denominador debe ser distinto de cero. 4x
Observemos sobre una recta numérica esta situación:
De manera que la solución es: Domh(x) = ),4()4,2[ 
Recorrido o rango de algunas funciones
Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.

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23 I I - 2011
Por ejemplo
Hallar el recorrido de la función
5
12
)(



x
x
xty
Para lograrlo despejamos x:
( 5) 2 1 5 2 1
2 5 1 ( 2) 5 1
5 1
2
y x x xy y x
xy x y x y y
y
x
y
      
      



Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las
imágenes, por lo tanto la solución es:
R {2}ango  
Intersecciones con los ejes
Un punto (a, 0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si 0)( af , es decir, si este
punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la
gráfica con el eje y debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.
Un punto (0, b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si bf )0( es decir, si este punto
es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica
con el eje x debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.
Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos.
A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:
Ejemplo
Halle los interceptos de la función
7
22



x
x
y

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24 I I - 2011
1. Intersección con el eje y → Hacemos x = 0, entonces:
7
2
y
2. Intersección con el eje x → Hacemos y = 0, entonces:
7
22
0



x
x
por lo tanto 022 x y
obtenemos que: x = - 1
Simetrías de una función
Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una
función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en
determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una
función puede presentar diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los
posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en
esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio.
Una función es:
a. Simétrica respecto al eje Y si ; se dice que f(x) presenta simetría par.
b. Simétrica respecto al origen de coordenadas si ; se dice que f(x) presenta
simetría impar.
Veamos los siguientes ejemplos
1. Simetría con el eje y 2. Simetría con el origen
Funciones par e impar
Sea f una función, entonces:
a. f es par si satisface f (-x) = f(x)
b. f es impar si satisface f (-x) = - f(x)

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25 I I - 2011
Ejemplos:
La función f(x)= x2
es par, veamos: 2 2
( ) ( ) ( )f x x x f x     por lo tanto es par.
La función 3
( )f x x es impar, veamos: 3 3
( ) ( ) ( )f x x x f x       por lo tanto es impar.
Álgebra de funciones
Definimos las operaciones básicas entre funciones así:
SUMA: )()())(( xgxfxgf 
DIFERENCIA: )()())(( xgxfxgf 
PRODUCTO: )().())(.( xgxfxgf 
COCIENTE:
( )
( )
( )
f f x
x
g g x
 
 
 
, ( ) 0g x 
Nota:
En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los
dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores
de x que anulen el denominador g.
Ejemplo:
Dadas
x
xgxxxf
1
)(,2)( 3
 . Determinar gfgfgf  ,, y los dominios
En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función:
fDom (Es un polinomio);  0gDom (Porque no se puede dividir por cero)
Realicemos las operaciones:
    
x
x
x
xx
x
xxxgxf
2224
3 1121
2)()(










 0)(  gDomfDomgfDom
  
4 2
3 1 2 1
( ) ( ) 2
x x
f x g x x x
x x
  
     
 
 0)(  gDomfDomgfDom
  
3
3 21 2
( ) ( ) 2 2
x x
f x g x x x x
x x
 
       
 
 ( ) 0Dom f g Dom f Domg    
Función a trozos
Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión
del tipo y = f(x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención
de información) que la expresión f(x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con
expresiones simples como por ejemplo:

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2
2 3
3
x
y x   
3 2
4
x
y
x



2
3 25y x 
2
3 2y x x  
Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias
Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de
manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de
x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos.
Una función a trozos es aquella en la que se usan “trozos” de funciones para conformar una nueva
función, por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos,
veamos:
0
0 0
0
x si x
x si x
x si x


 
 
Otros ejemplos
1. 2
0
( ) 0 1
1 1
x si x
f x x si x
si x
 

  
 
2.
2
( ) 1 2 3
2 5 3
x si x
g x si x
x si x


  
  
Movimientos en el plano

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27 I I - 2011
Translación Vertical
La ecuación realconstanteuna,)( kxfky  describe una traslación vertical de y = f(x) de k
unidades.
 Si k > 0, la traslación es hacia arriba.
 Si k < 0, la traslación es hacia abajo.
1y x Ejemplo
Translación Horizontal de y = f(x+h) de h unidades.
 Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.
 Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.
Ejemplo 1 xy

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28 I I - 2011
Gráficas de funciones básicas
Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo,
entre ellas tenemos:
1. Función Lineal: baxxf )(
2. Función Cuadrática: cbxaxxf  2
)(
3. Función Cúbica: dcxbxaxxf  23
)(
4. Función Raíz Cuadrada: xxf )(
5. Función Valor Absoluto: xxf )(
6. Función Racional:
x
xf
1
)( 
7. Función logarítmica ( ) ( )af x Log x
8. Función exponencial x
axf )(
9. Función logística ( ) c x
a
f x
b e 


10. Función seno ( )f x senx
11. Función coseno ( ) cosf x x
A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones:
1. Función lineal
xxf )( (Función identidad) Ejemplo: ( ) 2 1f x x 
2. Función cuadrática
2
)( xxf  Ejemplo: 1)( 2
 xxf

Página
29 I I - 2011
3. Función cúbica
3
)( xxf  Ejemplo: 12)( 3
 xxf
4. Función raíz cuadrada
xxf )( Ejemplo: 2)(  xxf
5. Función valor absoluto

Página
30 I I - 2011
xxf )( Ejemplo: 21 x
6. Función Racional
x
xf
1
)( 
7. Función logarítmica
( ) ( )af x Log x
a > 0 0 < a

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31 I I - 2011
8. Función exponencial
x
axf )(
Composición de Funciones o Función compuesta
En general, dadas dos funciones )(),( xgxf
x f(x) g[f(x)]
g º f
La función fg  es la función compuesta de f y g, que transforma x en g [f(x)]
Se debe tener cuidado con los dominios de fg  y de gf  . El dominio de fg  es la parte del
dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.
También, el dominio de gf  es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-
imagen.
Ejemplo
Si f y g son las funciones definidas por:
3
( ) ( )
2
x
f x y g x x

 
Entonces:     
3
( )
2
x
g f x g f x f x

    
    
( ) 3 3
2 2
g x x
f g x f g x
 
    
Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
   ( ) ( )g f x f g x
Se debe tener también cuidado con los dominios de fg  y de gf  . El dominio de fg  es la
parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.
Esto es, D (f) = ℛ

Página
32 I I - 2011
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:
3
( ) 0 0 3
2
x
f x x

    
Se concluye entonces que: D (g o f) = [3, + )
Nótese que      1 1 1g f g f g     NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente,       12 2
2
g f g f g     NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio gf  es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-
imagen.
Es decir, D (g) = [0, + ).
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g
en el intervalo D (g) = [0, + ).
De esta forma: D (f o g) = [0, + ).
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos
funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.
Así por ejemplo, la función:
2
( ) 3 5 2p x x x   puede escribirse en las formas:
P(x) = ( )g f x siendo 2
( ) 3 5 2 ( )f x x x y g x x   
P(x) = ( )g f x siendo 2
( ) 3 5 ( ) 2f x x x y g x x   
En efecto,       2 2
3 5 2 3 5 2g f x g f x g x x x x         en el primer caso, y
      2 2
3 5 3 5 2g f x g f x g x x x x        en el segundo caso.
Función inversa
Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f -1
(x) de forma que se verifica:
Si f(a)=b entonces f -1
(b)=a
Propiedades
1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad ( y x ).
2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad
   1 1
( ) ( )f f x f f x x 
 
3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función
inversa es igual dominio de la función directa

Página
33 I I - 2011
1
1
( ) ( )
( ) ( )
Dom f x Rango f x
Rango f x Dom f x




4. 1 1
( )
( )
f x
f x


Para que exista la inversa de una función ésta debe cumplir con la condición de ser una función
inyectiva.
Función inyectiva
Definición:
Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:
.
o equivalentemente, 1 2 1 2 1 2( ) ( ); , ( )x x f x f x x x D f    
En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y
en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.
Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a
una función 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal.
Criterio de la recta horizontal
Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es
una función 1-1
Así por ejemplo, en la fig. 1, aparece la gráfica de la función 2
( ) 1y f x x   la cual, de acuerdo
al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1.
Figura 1 Figura 2
Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto:    1 21,2 1,2p y p
Igualmente, en la fig. 2, aparece la gráfica de la función 3
( ) 1y f x x   , la cual, de acuerdo al
criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1.
Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.
Si Tenemos la función y=f(x), y queremos hallar su inversa, seguimos los siguientes pasos:
1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y=f(x) x=f(y)
2) Se despeja la y en la nueva expresión x = f (y) y=f -1
(x)

Página
34 I I - 2011
Ejemplo:
Hallar la inversa de y=2x
1) Cambiamos la x por la y, nos queda entonces x=2y
2) Despejamos la y, nos queda entonces
2
x
y 
Por tanto la función inversa de y=2x es
2
x
y  ; es decir
1
( )
2
x
f x
 CIONES ODELOS
MATEMÁTICOS:
Modelos matemáticos: construcción de funciones
Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La
representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.
1. Modelos lineales de costo, ingreso y utilidad
a. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En
consecuencia, es el costo de x artículos, y tiene la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la
forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo
es b. La pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
b. Una función ingreso específica el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículos.
El ingreso que resulta es
I = p . x (Precio por número de unidades).
c. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta
de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula
U(x) = I(x) - C(x).
El equilibrio ocurre cuando P(x) = 0, es decir, cuando R(x) = C(x).
Ejemplo
Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60
cada uno, entonces cuantos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio
Solución
C(x) = 40x + 400 I(x) = 60x
U(x) = R(x) - C(x)
= 60x - (40x + 400)
= 20x - 400.
Para el equilibrio, U(x) = 0
20x - 400 = 0,

Página
35 I I - 2011
Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.
2. Modelos demanda y oferta
Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una
función del precio unidad p (el precio por artículo).
Una función de oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto
a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente
el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.
Una función lineal (de) demanda tiene la forma q = m .p + b, donde q es la demanda (número de
artículos vendidos) y p es el precio por artículo. Se puede construir una ecuación demanda lineal a
saber la demanda a dos precios distintos
La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes
de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de
equilibrio, determine el precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces
podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y
despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio en
equilibrio.
Ejemplo
Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja
el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es
q = -50p + 600 Ecuación de la recta por (10, 100) y (8, 200)
Entonces, la función ingreso relacionada es
R = p. q = p (-50p+600)
= -50p2
+ 600p.
Otros ejemplos
Ejemplo 1
A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y 16 metros
de altura entra agua a una razón determinada.
Expresar el volumen de agua en un instante dado:
a. En función de la altura h.

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36 I I - 2011
b. En función del radio de la base x.
Solución
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante
determinado.
El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:
21 1
( )( ) (1)
3 3
cV r h V areabase altura
 
  
 
Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:
16
4
4
h
h x
x
   (2)
a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y sustituirlo
en (1). Así,
4
h
x  →
2
1
3 4
h
V h
 
  
 
Luego,
31
48
V h
b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1).
Así:
2 31 4
(4 )
3 3
V x x x  
Ejemplo 2
Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver fig.). Exprese el volumen de la caja en
función del lado del cuadrado recortado.

Página
37 I I - 2011
Solución
Volumen de la caja = Área de la base x altura
 
2
( ) 2 .V x a x x 
3 2 2
( ) 4 4 0
2
a
V x x ax a x x    
Ejemplo 3
Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en un
extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para
llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo.
a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su
profundidad x en el extremo profundo.
b. Calcular V (1) y V (2)
Solución
a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos
profundo.
Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo cuyos lados son 20 y
3 mts.
De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:

Página
38 I I - 2011
20 20
, 0 3
3 3
L
L x con x
x
    
Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por:
V = (Área de la sección transversal). (Ancho)
2
20
.
. 1003.10 .10
2 2 3
x x
L x
V x  
2100
( )
3
V x x
b.  
2 3100 100
(1) 1 33.3
3 3
V m  
 
2 3100 400
(2) 2 133.3
3 3
V m  

Página
39 I I - 2011
UNIDAD 2
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Límite de funciones
Conceptos básicos
Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el
cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar
en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello.
Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.
Consideremos la función:
1
( )
1
x
f x
x



cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto
x=1, es decir:  / 0, 1D x x x   
Si realizamos su representación gráfica:
Para x=1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como
puede verse a continuación:

Página
40 I I - 2011
Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1.
Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?
Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea
capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si
x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función?
A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:
1
lim ( )f x L
x


Definición informal de límite
Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los
valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x) cuando x
tiende a b es igual a L y escribimos: lim ( )
x b
f x L


Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de
aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la
izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los
llamaremos límites laterales.
Límites laterales
lim ( )f x
x b
, se llama límite lateral por la derecha.
lim ( )f x
x b
, se llama límite lateral por la izquierda
Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales,
de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:
lim ( )
b
f x L
x

 , si y solamente si: lim ( )
b
f x
x 
= lim ( )
b
f x
x 
Ejemplo 1 Sea






14
14
)( 2
xsixx
xsix
xf Hallar )(lim
1
xf
x

Página
41 I I - 2011
Solución:
314)4(lim)(lim
11
 

xxf
xx
(Acercamiento por la izquierda)
314)4(lim)(lim 2
11
 

xxxf
xx
(Acercamiento por la derecha)
Entonces: 3)(lim
1


xf
x
Ejemplo 2
Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:
1
( )
1
x
f x
x



Solución:
Calculemos:
2
lim ( )
x
f x

Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:
1
(2)
1 2
f 
 
y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:
2 2
1
lim ( ) lim ( )
1 2x x
f x f x 
 
 
 
con lo cual tenemos que:
2
1
lim ( )
1 2x
f x


 
Para el segundo punto, calculemos:
0
lim ( )
x
f x


Página
42 I I - 2011
En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda
de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la
derecha si existe y vale:
0
lim ( ) 1
x
f x

 , por lo tanto el límite pedido no existe.
En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos
a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no
tiene porqué existir en dicho punto.
Ejemplo 3
Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición.
Consideremos, por ejemplo, la función:
Representémosla gráficamente:
En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x=0, que es punto interior,
en él, existe la función y vale f (0) = 0
No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero, ya que los límites laterales no coinciden (por
la izquierda toma el valor cero y por la derecha el valor −∞, como observamos en la gráfica).
Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales utilizamos x2
cuando determinamos el
límite por la izquierda y Log(x) cuando calculamos el límite por la derecha.
Nota:
Sabemos que “el infinito” no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande,
de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él.
Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un
número real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe. En los dos ejemplos siguientes
puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el
primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no
coinciden.

Página
43 I I - 2011
2 2 2
0 0 0
1 1 1
lim lim lim
x x xx x x   
   
0 0
1 1
lim lim
x xx x  
   
Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos:
F(x) = 1/x2
F(x) =1/x:
Definición formal de límite
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número
real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos
los valores de x distintos de c que cumplen la condición |x – c | < δ, se cumple que |f(x) - L| <ε.
lim ( ) 0 0 / 0 ( )
x a
f x L x c f x L   

           
Ejemplo 1
Utilicemos la definición para demostrar que  
2
lim 4 5 3
x
x

 
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar
la definición para hacer la demostración.
Se debe demostrar que para cualquier 0  existe una 0  tal que
Si 0 2x    entonces (4 5) 3x    (A)
Si 0 2x    entonces 4 8x  
Si 0 2x    entonces 4 2x  
Si 0 2x    entonces 2
4
x

 
Entonces, si tomamos
4

  se cumple la proposición (A). Esto demuestra que  
2
lim 4 5 3
x
x

 
Ejemplo 2
Demuestre que
2
3
lim ( 5) 7
x
x x

   utilizando la definición de límite.

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44 I I - 2011
Para hacer la demostración basta con encontrar un  tal que:
2
0 3 ( 5) 7x x x        
34127)5( 22
 xxxxxx < (1)
Ya que por definición, el lim ( )
x b
f x L

 existe siempre que
  Lxfcx )(0
Para efectos de simplificación, asumimos un valor de  =1 y obtenemos:
84444424213  xxxx
Sustituyendo en (1) se obtiene que 8 < y que  < /8; ya que  3x por definición.
Propiedades de límites
Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:
BxgAxf
cxcx


)(lim,)(lim Entonces:
1. lim
x c
b b

 2. lim
x c
x c


3. lim . ( )
x c
b f x bA

 4.  lim ( ) ( )
x c
f x g x A B

  
5.  lim ( ). ( ) .
x c
f x g x A B

 6.
( )
lim
( )x c
f x A
g x B
 , 0B
7. lim ( ) lim ( )
x cx c
f x f x

 8.
0
lim 0
x
x
k
 (K es constante)
9.
0
lim ( )
x
k
no existe
x
  10. lim 0, 0nx
k
n
x
 
11. lim ( )
x
x
no existe
k
 
Cálculo de límites
1. Límites de funciones polinómicas
Sea 223)( 23
 xxxxf La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo
continuo, por lo cual podemos afirmar:
Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que )()(lim cfxf
cx


, es decir,
que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen.
Ejemplo:
Para la función anterior )1(821232)1()1(2)1(3)(lim 23
1


fxf
x

Página
45 I I - 2011
2. Si al evaluar el limite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una
expresión de la forma convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función
tiene límite, en caso contrario el límite no existe.
Cuando se presenten funciones con valor absoluto o funciones a trozos también es conveniente
calcular los límites laterales.
3. Si al evaluar el limite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una
expresión de la forma
0 00
, , 0. , 0 , , 1
0

    (indeterminación) entonces debemos realizar
procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación.
Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la
aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las
indeterminaciones.
Resumen del Cálculo de límites Indeterminados
1. Indeterminación
0
0
Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta
con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo
3
2
1
1
lim
1x
x
x


Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y
resolvemos el límite obtenido, así:
  
  
 
 
2 23
2
1 1 1
1 1 11
lim lim lim
1 1 1 1x x x
x x x x xx
x x x x  
    
 
   
Por lo tanto
3
2
1
1 3
lim
1 2x
x
x



En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir
por la expresión radical conjugada.
Ejemplo 1
  
     
 
1 1 1
1
1 11 1
lim lim lim
2 2 2 2 1 2. 1 1
1 1
lim
42. 1
x x x
x
x xx x
x x x x x
x
  

                          
 
  
 
 

Página
46 I I - 2011
Ejemplo 2
0
1 1
lim
x
x
x
 
Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma
0
0
por lo cual debemos realizar algún procedimiento
algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por 11 x , es decir, se
racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable:
22
))(( bababa  , y así eliminar la indeterminación
0 0 0
1 1 ( 1 1)( 1 1) ( 1) 1
lim lim lim
( 1 1) ( 1 1)x x x
x x x x
x x x x x  
       
 
   
0 0
1 1
lim lim
2( 1 1) 1 1x x
x
x x x 
  
   
2. Indeterminación


En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de
la variable del denominador.
También se pueden utilizar teoremas como:
Sea f(x) una función racional definida por:
o
m
m
m
m
o
n
n
n
n
bxbxbxb
axaxaxa
xf


 



1
1
1
1
1
1
......
......
)(
a) Si n < m entonces: lim ( ) 0
x
f x


b) Si n = m entonces: lim ( )
x
anf x
bm

c) Si n > m entonces: lim ( )
x
f x

 
Ejemplo 1
2
2
4 1
lim
1x
x x
x 
 


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Dividimos por la variable de mayor grado del denominador,
2
x
2
2 2 2 2
2
22 2
4 1 1 1
4
4 0 0 4
lim lim lim 4
11 1 0 11
x x x
x x
x x x x x
x
xx x
     
   
 
   

Entonces,
2
2
4 1
lim 4
1x
x x
x 
 


Ejemplo 2
2
3
lim
x
x x
x 
 
2
2 2
3 1 3
1
1 0 1
lim lim lim 1
1 1 1x x x
x x
x x x x x
x
x
     
   

   
Entonces,
2
3
lim 1
x
x x
x 
 

3. Indeterminación   
∎ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo
2
2
1
lim
4 2x
x
x x
 
     
  
Indeterminación
Realizamos la diferencia:
 
2 2 2
2 2 2
21 2 2
lim lim lim
4 2 4 4 0x x x
x xx
x x x x  
       
       
        
Hay que hacer límites laterales:
2
2
2
2
2 2
lim
4 0
2 2
lim
4 0
x
x
x
x


   
      
   
         
2
2
1
lim
4 2x
x
No existe
x x
 
   
  
∎ En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar
y dividir por la expresión radical conjugada(es decir, racionalizar).
Ejemplo  2
lim
x
x x x
 
 

Página
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 
  
 
 
2
2 2 2 2
2
22
lim lim lim
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x xx x x     
     
   
  
2 2
2 2
lim lim
x x
x x x x
x x x x x x   
   
 
   
Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma


que se resuelve dividiendo el
numerador y el denominador entre x, así:
2 2
2 2
1 1 1
lim lim lim
21 1 1 0
1 1
x x x
x
x x
x x x x x x
xx x x
     

  
    
     
Por lo tanto,  2 1
lim
2x
x x x
 
   
4. Indeterminación 0 
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo
  23
1
lim 3 . 0.( )
9x
x
x
 
   
 
Indeterminación
Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo
0
0
:
  
23
3 3
3 0
lim
09
3 1 1
lim lim
3 3 3 6
x
x x
x
x
x
x x x

 
 
 
 
   
         
5. Indeterminación 0 0
, 0 , 1

∎ Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
 
( )( )
( ) ( )( )
( )
g xLn f x
g x Ln f xg x
f x e e
 
 
 
  , de donde resulta que:
 
( )
lim ( ) ( )
lim ( )g x
x a
g x Ln f x
x a
f x e
  



Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por
métodos que aprenderemos en temas posteriores.
Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo 1
debemos tener en
cuenta que:  
1
0
1
lim 1 lim 1 x
x
x x
x
x
e
 
 
    
 
=2'71828...

Página
49 I I - 2011
∎ También para la indeterminación 1
podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
( )
lim ( ) kg x
x a
f x e

 , donde lim ( ) 1 ( )k f x g x
x a
 
  

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
2
2
2
2
1 3
0
1
lim
1
x
x
x
x
x


 
 
 
Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma1
, aplicando la formula, tenemos:
2
2
2
2
1 3
0
1
lim
1
x
x
x
x
x


 
 
 
= 1 k
e

2 2
2 2
0
1 1 3
lim ( ) 1 ( ) lim 1
1x
x x
k f x g x k
x a x x
 
 

    
       
    
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 3 2 1 3
lim lim
1 1x x
x x x x x
k
x x x x 
           
         
        
´
2 2
2 2
0 0
2 1 3 2 6 2
lim lim 2
1 1 1 1x x
x x
k
x x 
     
        
      
Entonces,
2
2
2
2
1 3
2
0
1
lim
1
x
x k
x
x
x
e e



 
 
 
Límites trigonométricos
Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:
0
( )
lim 1
x
sen x
x

A partir de este resultado podemos resolver límites como:
1.
0
1 cos( )
lim 0
x
x
x

 2.
0
lim 1
( )x
x
sen x
 3.
0
( )
lim
x
sen kx
k
kx

No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las
identidades trigonométricas
Ejemplo
Calcular
0
tan
lim
t
t t
sent

Solución: Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de
seno y coseno, tenemos:
0 0
tan coslim lim
t t
sent
t
t t t
sent sent 




Página
50 I I - 2011
0 0 0 0
cos
cos coscoslim lim lim lim
cos cos cost t t t
t t sent
t t sent t t sentt
sent t sent t sent t sent   


  
0 0
1
lim lim 1 1 2
cost t
t
sent t 
   
Entonces obtenemos que
0
tan
lim 2
t
t t
sent

 Nota: En este ejemplo se utilizó
0
lim 1
t
t
sent

Limites infinitos
Asíntotas verticales
Definición 1
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:


)(lim xf
ax
, significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan
grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos
casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza
la gráfica)
Definición 2
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:


)(lim xf
ax
, significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente negativos (tan
grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos
casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza
la gráfica)

Página
51 I I - 2011
Definición 3
La recta x = a se llama asíntota vertical de la función )(xfy  si se cumple una de las siguientes
proposiciones:






)(lim)(lim)(lim
)(lim)(lim)(lim
xfxfxf
xfxfxf
axaxax
axaxax
Limites al infinito
Sea f una función definida en un intervalo ),( a , entonces Lxf
x


)(lim significa que los valores
de f(x) se pueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande.
Asíntotas horizontales
Definición
La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva )(xfy  si se satisface una de las dos
expresiones: LxfoLxf
xx


)(lim)(lim
De lo anterior podemos concluir que una función
racional presenta una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el
grado del denominador.

Página
52 I I - 2011
Ejemplo
1
1
2
2



x
x
y si calculamos:
1
1
lim 2
2


 x
x
x
obtenemos como resultado 1, lo cual significa
que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo:
Asíntotas oblicuas
Sea )(xf una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del
denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la
división indicada en la función.
Ejemplo
Sea
42
3
)(
2



x
x
xf
Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:
Asíntota oblicua: 1
2
1
 xy
Veamos la gráfica:

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53 I I - 2011
Nótese que 


 42
3
lim
2
x
x
x
y además
2
3
lim
2 4x
x
x 

 

Teorema del emparedado
Sean f, g, h funciones tales que: )()()( xhxgxf  para todo cx  en un intervalo que contiene a
c, supongamos que Lxhxf
cxcx


)(lim)(lim , entonces:
Lxg
cx


)(lim
Ejemplo:
Demuestre que 0)
1
(lim 2
0




 x
senx
x

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54 I I - 2011
Obsérvese que no podemos aplicar que )
1
(lim.lim)
1
(lim
0
2
0
2
0 x
senx
x
senx
xxx 



 puesto que el segundo
límite no existe.
Como 1)
1
(1 2

x
senx entonces:
222
)
1
( x
x
senxx  (véase la figura de arriba)
Además: 0)(limlim 2
0
2
0


xx
xx
por lo tanto 0)
1
(lim 2
0




 x
senx
x
Continuidad de una función
Estudiaremos una característica importante de las funciones como lo es su continuidad, tanto en
forma gráfica como de manera analítica.
Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños cambios en la variable
independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y. Gráficamente, se
observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel.
Matemáticamente, la definición es la siguiente.
Definición:
Sea f una función, decimos que f es continua en un punto x = c si se satisfacen tres propiedades:
1. f esta definida en c, es decir, f(c) existe, o , ))(()( xfDomcf 
2. )(lim xf
cx
existeM
3. )()(lim cfxf
cx


El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f
es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo.
Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la
derecha en a y por la izquierda en b.
Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva el cálculo de límites,
cuestión que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de
cálculo.
Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, A
continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad.
Clases de discontinuidad
Si cualquiera de las tres condiciones de Continuidad falla decimos que la función es Discontinua.
a. Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide
con el valor de la función en el mismo. Graficamente se reconoce esta discontinuidad si la función
posee un hueco o un quiebre.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama
verdadero valor de la función en el punto.

Página
55 I I - 2011
En este caso la función se puede redefinir para que sea continua, es decir la discontinuidad se
puede reparar. Toda función Discontinua evitable es Reparable.
Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva a partir de la que tenemos, de la
siguiente manera:
( ) si
( )
si
f x x a
g x
L x a

 

, es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en
todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le
asignamos el valor del límite.
Ejemplo:
Hallar el verdadero valor de la función f x
x x
x
( ) 
 

2
5 6
3
en el punto x = 3.
Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3, pero si calculamos el límite
de la función en ese punto, obtenemos:
2
3 3 3
5 6 ( 3) ( 2)
lim lim lim( 2) 3 2 1
3 3x x x
x x x x
x
x x  
    
     
 
que sería el verdadero valor de la función
en ese punto. La nueva función
g x
x x
x
si x
si x
( ) 
 








2
5 6
3
3
1 3
, sería continua en el punto x = 3.
b. Discontinuidad no evitable o esencial
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función
en dicho punto.
En este caso, debido a la imposibilidad de hacerla continua decimos que la discontinuidad es
Irreparable.
Graficamente se reconoce esta discontinuidad si la funcion presenta un Salto o separación.
Nota: debe observarse que para clasificar una discontinuidad en una función, es de primordial
importancia el cálculo del límite de la función puesto que si éste existe la función se puede reparar
(evitable); en cambio, si no existe, la discontinuidad es irreparable (esencial).
Ejemplos
Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3)
mencionadas en la definición anterior.
1) La función:
1
( )
1
x
f x
x



no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho
punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2(compruébelo).

Página
56 I I - 2011
La función es discontinua evitable en x=1 por existir el límite, sin embargo la función si es continua
en cualquier otro punto de su dominio.
2)
2
0
( )
( ) 0
x x
f x
Log x x
 
  
 
2
. (0) (0) 0a f  
0 0
2
0 0
0
. lim ( ) lim ( )
lim ( ) lim 0
lim ( )
x x
x x
x
b f x Log x
f x x
f x No existe
 
 
 
 

  
 
 
0
. (0) lim ( )
x
c f f x


La función no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no existe
el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero).
La función es discontinua inevitable en x=0 por no existir el límite.
3)
2
2 2
( )
2
x
f x
x x
 
  
 
. (2) 2a f 
2
. lim ( ) 4
x
b f x


2
. (2) lim ( )
x
c f f x


La función no es continua en el punto x=2 ya que, si bien existe la función en el punto y existe el
límite, ambas cantidades no coinciden.
La función es discontinua evitable en x=2
4) Dada la función f x
x si x
si x
x si x
( ) 
  
  
  





3 5 1
2 1
3 1
, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1
Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:
a. Estudiamos la existencia del
1
lim ( )
x
f x
 
Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia
de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:
1 1
lim ( ) lim (3 5) 2
x x
f x x
    
  

Página
57 I I - 2011
1 1
lim ( ) lim (3 ) 2
x x
f x x
    
  
En consecuencia, existe
1
lim ( ) 2
x
f x
 
 pues los límites laterales son iguales.
b. ( 1) 2f   
c. lim f x f
x
 
1
1( ) ( )
Luego la función es discontinua evitable en el punto x = 1 por existir el límite
Las discontinuidades las podemos resumir de la siguiente forma:
lim ( ) ( )
lim ( )
lim ( ) ( )( )
lim ( )( )
lim ( ) lim ( ) ( )
( )
x a
x a
x a
x a
x a x a
f x f a continua
f x existe
f x f a discontinua evitablef a está definido
f x no existe discontinua no evitablef x
f x existe f x f a di
f a no definido




 
  
 
 
    


  
 
lim ( )
x a
scontinua evitable
f x no existe discontinua no evitable












 
  
   

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58 I I - 2011
UNIDAD 3
DERIVADAS Y APLICACIONES
Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin
duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes
funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo
microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización
modelado mediante un proceso en derivadas parciales. Este documento ilustra algunas de las
aplicaciones de la derivada de las funciones de una variable independiente, con énfasis en las
aplicaciones económicas.
CONCEPTOS BÁSICOS
Incrementos y razón (tasa) de cambio
Sea ( )y f x una función definida en el intervalo 1 2,x x , si x cambia de 1x a 2x entonces el
cambio o variación en x se llama incremento de x: 12 xxx  El correspondiente incremento de
y es )()( 12 xfxfy 
2 1
2 1 2 1( ) ( )
x x x
y y y f x f x
  
 
    
Dicha variación puede ser positiva o negativa.
El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio o tasa de variación media
de y con respecto a x
Razón de cambio promedio =
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y





Si las variaciones las medimos para valores de x muy próximos obtendremos la tasa de variación
instantánea o razón de cambio instantánea de y con respecto a x en el punto )(,( 11 xfx :
Razón de cambio instantáneo = 2 1
0 0
2 1
( ) ( )
lim lim
x x
f x f xy
x x x   


 
Ejemplos:
1. Para la función 2
4 2y x x   , calcular el incremento de x y el incremento de y para
1 21, 2x x  
2 1 2 ( 1) 3x x x      

Página
59 I I - 2011
2
1
2 12
2
4 2( 1) ( 1) 4 2 1 7
4 7 3
4 2(2) (2) 4 4 4 4
y
y y y
y
         
       
      
El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir que al
aumentar la x tres unidades, la función (y) disminuye en tres unidades.
2. El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es  1,000 200q p  , en
donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de
gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el
incremento en el precio?
2 1 160 150 10p p p     Centavos/litro.
1
2 1
2
1,000(200 150) 50,000 litros/dia
40,000 50,000 10,000 /
1,000(200 160) 40,000 litros/dia
q
q q q Lit dia
q
  
       
  
Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas
disminuye en 10,000 litros diarios.
3. Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto
químico, expresado en dólares está dado por: ( ) 50,000 60C x x  y el ingreso correspondiente
por la venta de x toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares,
está dado por 2
( ) 300 0.03I x x x  . La compañía actualmente produce 4,000 toneladas por
semana, pero desea incrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico
semanales, calcular:
a) El incremento semanal en los costos de producción.
b) El incremento semanal en los ingresos.
c) El incremento semanal en las utilidades.
d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.
a.    (4,200) (4,000) 50,000 60(4,200) 50,000 60(4,000) 302,000 290,000C C C        
$12,000C 
b. 2 2(4,200) (4,000) 300(4,200) 0.03(4,200) 300(4,000) 0.03(4,000)I I I         
   
730,800 720,000 $10,800I   
c. 10,800 12,000 $ 1,200U I C       
1,200
6
200
U
x
 
  

. Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional producida y
vendida por semana, la utilidad disminuye en $6.
Incremento de una función en forma general
2 1 2 1x x x x x x       , como se puede ver en la gráfica.
2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x     . Por lo tanto sustituyendo 2x se tiene que ( ) ( )1 1y f x x f x    
para cualquier incremento de x, a partir de un valor conocido de x. En general, para cualquier valor
de x y cualquier incremento de x, se tiene que: ( ) ( )y f x x f x    

Página
60 I I - 2011
Ejemplo:
2
( ) 4f x x 
a) Calcular el incremento de y si 3, 0.8x x  
b) Calcular el incremento de y si 3x  , para cualquier incremento de x.
c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x.
Solución:
a) 2 2( ) ( ) (3 0.8) (3) (3.8) (3) (3.8) 4 (3) 4 10.44 5 5.44y f x x f x f f f f                   
   
b)  2 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4 9 6 ( ) 4 9 4y f x x f x f x f x x x                           
     
2 2
5 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x           .
c)
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 4 4 2 ( ) 4 4 2 ( )y f x x f x x x x x x x x x x x x                                    
La derivada
Definiciones
Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo).
Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posición límite
de las líneas secantes PQ , siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la
derecha o por la izquierda (Ver figura abajo).
Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la
línea tangente a la curva en el punto P.
h
xfhxf
m
h
)()(
lim
0



Otra definición
La pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy  en el punto P ))(,( afa es:
ax
afxf
m
ax 



)()(
lim
Derivada de una función ( )y f x : Es la función denotada por )(xf  o por y, definida por:

Página
61 I I - 2011
Siempre que el límite exista.
Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la
misma.
Diferentes formas de representar la derivada de una función )(xfy  :
 
( )
; ( ); ; ; ; ( )x x
dy df x
y f x D y D f x
dx dx
 
La derivabilidad implica la continuidad (aunque no al revés) es decir si f(x) es derivable en un punto
a, entonces es continua en dicho punto.
Esto es equivalente a: “Si f(x) no es continua en un punto a entonces no puede ser derivable en
dicho punto”
Derivadas laterales
Como la derivada de una función es un límite y teniendo presente que, en algunas ocasiones los
límites no existen aunque si sus límites laterales, se pueden dar las siguientes definiciones:
Se llama derivada lateral de f(x) a la izquierda de “a”, al límite, cuando existe y es finito:
.
( ) ( )
( ) lim
x a
f x f a
f a
x a



 

Se llama derivada lateral de f(x) a la derecha de “a”, al límite, cuando existe y es finito:
( ) ( )
( ) lim
x a
f x f a
f a
x a



 

Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y éstas coinciden.
La derivada como razón de cambio
Definición:
0
( ) lím
x
y
f x y
x 

  


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0
esla razóndecambiopromediode ycon respectoa
( )
lím esla razóndecambioinstantánea de ycon respectoa
x
y
x
x
si y f x
y dy
x
x dx 


  
 
 
La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio ( )
dy
f x y
dx
    ,
y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x.
Ejemplos
1. Halle la derivada de 2
xy  en x = 2
 
 
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
0
2
( ) 2 2 (2 )
' lim lim lim lim
lim(2 ) 2
: 2
h h h h
h
d x x h x x xh h x xh h h x h
y
dx h h h h
x h x
d x
Entonces x
dx
   

      
    
  

En x = 2 la derivada es: 2(2)=4
2. La derivada de 3
xy  es
 
 
3 3 3 3 2 2 3 3
2
0 0
3
2
( ) 3 3
' lim lim 3
: 3
h h
d x x h x x x h xh h x
y x
dx h h
d x
Entonces x
dx
 
     
   

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf )( en el punto (4,2)

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En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:
( )( ) ( )
lim lim lim lim
0 0 0 0( ) ( ) ( )
1 1 1 1
lim
0 4( ) 2 2 4
x h x x h x x h x x h x h
m
h h h hh h x h x h x h x h x h x
h x h x x
       
   
        
   
  
Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy 
1 1 1
( 4) 2 1 2 1
4 4 4
y x x x       
Solución:
1
1
4
y x 
Propiedades o reglas de derivación
Sea ( ), ( )u f x v g x  son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o
constantes.
1. Si 0y c y   2. Si 1y x y   3. Si y cx y c  
4. Si
1n n
y x y n x 
   5. Si y cu y cu   
6.
Si y u v y u v      
7.
Si . . ' . 'y u v y vu u v   
8.
2
Si
u v u - u v
y y =
v v
 
 
9. Si ln
u
y u y
u

  
Si a
u
y Log u y
u Lna

  
10. Si u u
y e y u e   
Si u u
y a y a Lnau   
11. Si
u
y u y u
u
   
Ejemplos:
1. 3 2
2 5 7y x x  
2 2
2(3 ) 5(2 ) 0 6 10y x x x x      . Se aplicaron las reglas 6, 5, 4, 1.
2. 1/3 2/33
2/3 3 2
1 1 1
3 3 0
3 3 3
dy
y x x x
dx x x

         . Se aplicaron las reglas 6, 1, 4.
3.
1/ 2 1/ 2 1/ 2 2/3
1/ 2 2/323
3 4 3 4
( ) 5 5 5 3 4g x x x x x x
x xx x
 
        
1/ 2 3/ 2 5/3
1/ 2 3/ 2 5/3
1 1 2 5 3 2
( ) 5 3 4
2 2 3 2 2 3
g x x x x
x x x
                    
     

Página
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3 53
5 3 2
( )
2 2 3
g x
x x x
    . Se aplicaron las reglas 6, 5, 4.
4. Halar la derivada de
       
 
2
72
72535372
)(
72
53
)(
222






x
xDxxDx
xf
x
x
xf xx
    
     2
2
2
22
2
2
72
10426
72
1064212
72
)2(53672
)(









x
xx
x
xxx
x
xxx
xf
Se aplicaron las reglas 8, 6, 5, 4,1
5. 2222
2
2
)3(
ln2
3
)3(
)2(ln
1
)3(
3
ln














x
xx
x
x
x
xx
x
x
y
x
x
y .
Se aplicaron las reglas 7, 9, 6, 4 y 1.
6.    
5 3 5 3 5 3
4 4 4 2 2 2 4
( ) ( ) 5 12 5 12x x x x x x
f x e f x e x x x x e  
      .
Se aplicaron las reglas 10, 6, 4, y 5.
Ejemplos aplicados:
1. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es
0.003
1,000
x
p e
 .
Evalúa la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas
son 500.
  0.003(500)0.003 0.003 1.5
1,000 0.003 3 3 3 0.6694
500
dp dpx x
e e e e
dx dx x
  
          

Es decir, el precio disminuye a razón de $0.6694/unidad por cada unidad adicional demandada.
2. La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos, está dada por ( ) 50ln( 1) 90U x x  
donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcular la razón de cambio de la
utilidad con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y venden 10 unidades.
1 50
( ) 50 (10) 4.54545
1 1
U x U
x x
    
 
 
 
 
Es decir, la utilidad aumenta $4,545.45 por cada unidad más que se fabrique y venda.
Regla de la cadena
Si f (u) es derivable en )(xgu  y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ))(()( )( xgfgf x 
es derivable en x. Además:
( )( )' '( ( )). '( )xf g f g x g x
Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy  entonces:

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dy dy du
dx du dx
 
Regla de la cadena para potencias
Si )(xu es una función derivable entonces:
1( ) n
n
d u du
n
dx dx
u 

Ejemplos
1. Sea 42
)13(  xxy halle su derivada
)13()13(4' 32
 xxxy
2. Sea xxy  3
calcule
dx
dy
1 1 2
3 3 3 22 2
3
1 3 1
( ) ( ) (3 1)
2 2
dy x
y x x x x x x x
dx x x
 
        

Derivada de funciones trigonométricas
Derivada de seno de x
( ) cos( )
d
sen x x
dx

 
)cos()1)(cos()0)((
)(
lim)cos(
1)cos(
lim)(
)cos()(
lim
1))(cos((
lim
)cos()()1))(cos((
lim
)()cos()()cos()(
lim
)()(
lim)(
00
000
00
xxxsen
h
hsen
x
h
h
xsen
h
xhsen
h
hxsen
h
xhsenhxsen
h
xsenxhsenhxsen
h
xsenhxsen
xsen
dx
d
hh
hhh
hh














( ) cos( )
d
sen x x
dx
 
Derivada de coseno de x
 
)()1)(()0)(cos(
)(
lim)(
1)cos(
lim)cos(
)()(
lim
1))(cos(cos(
lim
)()()1))(cos(cos(
lim
)cos()()()cos()cos(
lim
)cos()cos(
lim)cos(
00
000
00
xsenxsenx
h
hsen
xsen
h
h
x
h
xsenhsen
h
hx
h
xsenhsenhx
h
xxsenhsenhx
h
xhx
x
dx
d
hh
hhh
hh















Página
66 I I - 2011
cos( ) ( )
d
x sen x
dx
  
Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades
que involucran a seno y a coseno.
Derivada de tangente de x
2 2
2
2 2 2
( ) cos( )cos( ) ( ( )) ( ) cos ( ) ( ) 1
tan( ) sec ( )
cos( ) (cos( )) (cos( )) cos ( )
d d sen x x x sen x sen x x sen x
x x
dx dx x x x x
    
     
 
2
tan( ) sec ( )
d
x x
dx
 
Se puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas:
)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2
xxx
dx
d
xxx
dx
d
xx
dx
d

Derivadas de funciones trigonométricas compuestas
2
2
1. ( ) cos( ) 2. cos( ) ( ) 3. tan( ) sec ( )
4. cot( ) csc ( ) 5. sec( ) sec( )tan( ) 6. csc( ) csc( )cot( )
d du d du d du
sen u u u sen u u u
dx dx dx dx dx dx
d du d du d du
u u u u u u u u
dx dx dx dx dx dx
   
    
Ejemplos
1. Derive )( 2
xseny 
)cos(22)cos(' 22
xxxxy 
2. Derive )
2
11
( 
x
seny
)
2
11
cos(
1
)
1
)(
2
11
cos(' 22

xxxx
y
Derivación implícita
Una función f(x) esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si al sustituir y por f(x) se
llega a una identidad.
Ejemplos
1. La ecuación xy 2
define dos funciones implícitamente, ellas son:
xxfyxxfy  )(,)(

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67 I I - 2011
Para hallar
dx
dy
xf )(' debemos derivar implícitamente la ecuación xy 2
, en primer lugar vamos
a sustituir y por f(x) en la ecuación, así:
  xxf 
2
)( , ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena
en el miembro izquierdo
1 1
2 ( ) '( ) 1 '( )
2 ( ) 2
f x f x f x
f x y
  
2. Suponga que 33
7 xyy  define a y como una función implícita de x, halle
dx
dy
Derivando en ambos miembros:
2
2 2 2 2
2
3
3 . 7 3 (3 7) 3
3 7
dy dy dy dy x
y x y x
dx dx dx dx y
      

Derivada de una función elevada a otra función
Tambien se conoce como la derivada de la función exponencial compuesta, se puede representar
de la forma:
V
y U
Para hallar su derivada podemos podemos usar la formula
Otra forma de derivarla es por medio del logaritmo natural. Se le aplica a los dos lados de la
expresión logaritmo natural (Ln) para por medio de propiedades de logaritmos bajar la función del
exponente y posteriormente derivar cada lado en forma de derivada implicita, para luego despejar
'y
Ejemplo:
Derivar x
y x
1 1
' 1.x
Ln y Ln x Ln y x Lnx y Lnx x
y x
    
   
1
' 1 ' 1 ' 1x
y Lnx y y Lnx y x Lnx
y
        
Derivadas de orden superior
Sea y = f(x) una función entonces:
)()('' xf
dx
d
xfy  , es la primera derivada o derivada de primer orden
2
''
2
'' ( ) ( )
d
y f x f x
dx
  , es la segunda derivada o derivada de segundo orden
3
3
''' '''( ) ( )
d
y f x f x
dx
  , es la tercera derivada o derivada de tercer orden

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.
.
( ) ( )
( ) ( )
n
n n
n
d
y f x f x
dx
  , es la enésima derivada o derivada de orden n
Ejemplos
1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234
 xxxy
3 2 2
12 6 2 36 12 2 72 12 72
0 0 .......... 0
' '' ''' ivy x x x y x x y x y
viv ny y y
        
  
2. Halle la tercera derivada de
x
y
1

2 3 4
2 6' '' '''y x y x y x  
      
Teorema del Valor medio
Si f es una función en la que se cumple que:
1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que:
( ) ( )
´( )
f b f a
f c
b a



A la izquierda se observa una ilustración de la
interpretación geométrica del Teorema del Valor
medio.
El teorema afirma que si la función es continua
en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un
punto c en la curva, entre A y B, donde la recta
tangente es paralela a la recta que pasa por A y
B. Esto es,
 
( ) ( )
, , ´( )
f b f a
c a b tal que f c
b a

  

Ejemplo
Para la función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor
medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este
teorema:
 3 2
( ) ; 2,1f x x x x   
Solución:
Por ser f una función polinomial, es derivable para toda x por lo que debe existir por lo menos

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un número  2,1c  , tal que:
 
 1 2(1) ( 2)
´( ) 1
1 2 3
f f
f c
  
  
 
Además 2
´( ) 3 2 1f x x x   por lo que 2
´( ) 3 2 1f c c c  
Como ´( ) 1f c  entonces 2
3 2 1 1c c   por lo que
1 7 1 7
3 3
c o c
   
 
Luego en
1 7 11 5 7 1 7 11 5 7
, ,
3 27 3 27
y en
        
      
   
la recta tangente es paralela a la
recta secante que pasa por los puntos    2, 2 1,1y 
Análisis marginal
Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor
que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la
demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos
que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso
marginal y beneficio marginal.
a. Costo marginal
Es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.
Tambien se define como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos
producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).
Si ( )C x es la función del costo total de producción de x artículos ( )
dC
C x
dx
  es la función
del costo marginal.
El costo total está dado por f VC C C  , es decir la suma de los costos fijos y los costos
variables.
El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por:
C
C C Cx
x
  
Ejemplos:
a. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por
2
45 5C x  . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.
3
' 10 ' 30
x
dC dC
C x C
dx dx 
     , es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4
libras, el costo se incrementa 30 dólares.
b. El costo medio unitario en la producción de x unidades es
2 100,000
0.002 0.4 50C x x
x
    .
Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.
3 2 2
0.002 0.4 50 100,000 ' 0.006 0.8 50
dC
C Cx x x x C x x
dx
         

Página
70 I I - 2011
40
9.6 32 50 $27.60 / unidad adicional producida
x
dC
dx 
   
b. Ingreso marginal
Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es
decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida).
Si ( )I x es la función del ingreso total por la venta de x unidades ( )
dI
I x
dx
  es la función
del ingreso marginal.
La función de ingreso se obtiene multiplicando: (precio unitario) ∙ (No. de unidades vendidas), es
decir: I px
Ejemplo: Un fabricante vende un producto a 3 50x  pesos/unidad. Determinar la ecuación del
ingreso marginal y el ingreso marginal para 100x  .
  2
100
3 50 3 50 6 50 $650 / unidadadicionalvendida
x
dI dI
I px x x x x x
dx dx 
         
c. Utilidad marginal
Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades
producidas y vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una
unidad adicional).
Si ( )U x es la función de la utilidad total por la producción y venta de x unidades ( )
dU
U x
dx

es la función de la utilidad marginal.
La utilidad se calcula restando: (Ingresos) – (Costos), es decir: U I C 
Ejemplo: La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 2
10 0.01 700p x x   y
la función de costo es
2
( ) 1,000 0.01C x x  . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar
la utilidad marginal para a) 100x  unidades b) $10p  /unidad.
Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( )U x I x C x  y que el ingreso es I px . Por lo tanto
despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener la función
ingreso:
2 2 2 3
10 700 0.01 70 0.1 0.001 ( ) 70 0.1 0.001p x x p x x I x px x x x           
   2 3 2 3 2
( ) 70 0.1 0.001 1,000 0.01 0.001 0.11 70 1,000U x x x x x x x x         
2
( ) 0.003 0.22 70U x x x     . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100
simplemente sustituimos este valor de x en dicha función. Para evaluarla en p = 10 tenemos que
calcular primero cuánto vale x para ese valor de p en la ecuación de la demanda:
2
10(10) 0.01 700x x   . Ordenando la ecuación cuadrática nos queda:
2
0.01 600 0x x    .
Resolviendo la ecuación:
1 1 4(0.01)( 600) 1 1 24 1 25 1 5 4
200
2(0.01) 0.02 0.02 0.02 0.02
x
          
     

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