Presentación resumida sobre Los números reales, conjuntos, valor absoluto, intervalos, desigualdades e inecuaciones.

1. Unidad II
Plano Numérico
Augusto Navas
CI. 11.264.785
Sección: 0403

2. Números Reales
Se puede decir que son aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no
periódica. Son un conjunto de números que incluye a los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números
racionales, los números irracionales. A su vez, los números racionales se clasifican en:
a)
Números Naturales (N)
Los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
b)
Números Enteros (Z)
Los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
c)
Números Fraccionarios
Son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la
forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
Definición de Conjuntos

3. Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos son operaciones que se pueden realizar entre dos o más conjuntos para obtener
un nuevo conjunto. Las operaciones básicas con conjuntos son:
-Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B
o a ambos.
-Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que
pertenecen a A y a B.
-Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a
A pero no a B.
-Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los
elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos.
Representación de conjuntos
Los conjuntos se pueden representar de diferentes maneras, entre las que se encuentran:
Lista: La lista de elementos es una forma de representar un conjunto enumerando todos sus elementos entre
llaves.
Diagrama de Venn: Es una representación gráfica de un conjunto mediante círculos.

4. Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real, denotado por |x|, es la distancia de x a 0 en la recta numérica. En otras
palabras, el valor absoluto de x es la magnitud numérica de x sin considerar su signo, sea este positivo o negativo.
Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3, el valor absoluto de -3 es también 3, y el valor absoluto de 0 es 0.
El valor absoluto de un número real tiene las siguientes propiedades:
|x| ≥ 0, para todo x ∈ R.
|x| = x, si x ≥ 0.
|x| = -x, si x < 0.
|x + y| ≤ |x| + |y|, para todo x, y ∈ R.
El valor absoluto se utiliza en una variedad de campos, entre los que se encuentran:
Matemáticas: El valor absoluto se utiliza en todas las ramas de las matemáticas, desde la aritmética básica hasta el
cálculo avanzado.
Ciencia: El valor absoluto se utiliza en la física, la química, la biología, la medicina, etc.
Ingeniería: El valor absoluto se utiliza en la ingeniería civil, la ingeniería mecánica, la ingeniería eléctrica, etc.
Economía: El valor absoluto se utiliza en economía, finanzas, contabilidad, etc.
.

5. Ejercicios de Valor Absoluto
Ejercicio 1:
Calcular el valor absoluto de 2 + 3.
Solución
|2 + 3| = |5| = 5
La respuesta es:
5
Ejercicio 2:
Resolver la ecuación |x - 2| = 4.
Solución
Si x ≥ 2, entonces |x - 2| = x - 2. Por lo tanto, x - 2 = 4.
x = 6
Si x < 2, entonces |x - 2| = -(x - 2). Por lo tanto, -(x - 2) = 4.
x - 2 = -4
x = -2
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x = 6 y x = -2.
Y la respuestas son:
x = 6, x = -2

6. Intervalos
Es un conjunto de números reales que están comprendidos entre dos valores que delimitan un extremo inferior
y/u otro superior.
Ejemplos de intervalos
El intervalo abierto (-∞, 2) es el conjunto de todos los números reales menores que 2.
El intervalo cerrado [-1, 1] es el conjunto de todos los números reales entre -1 y 1, incluyendo los extremos -1 y 1.
El intervalo semiabierto (-∞, 1] es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que 1.
Tipos de intervalos
Los intervalos se pueden clasificar en los siguientes tipos:
Abiertos: Un intervalo abierto es un intervalo que no contiene sus extremos. Por ejemplo, (-∞, 2) y (-∞, 1] son
intervalos abiertos.
Cerrados: Un intervalo cerrado es un intervalo que contiene sus extremos. Por ejemplo, [-1, 1] y [-∞, 2] son
intervalos cerrados.
Semiabiertos: Un intervalo semiabierto es un intervalo que contiene uno de sus extremos, pero no el otro. Por
ejemplo, (-∞, 1] y [-1, ∞) son intervalos semiabiertos.

7. Ejercicios de Intervalos
Ejercicio 1:
Determinar la intersección de los intervalos (-∞, 1] y [1, 2].
Solución:
La intersección de dos intervalos es el intervalo que
contiene todos los elementos que están en ambos
intervalos.
Los intervalos (-∞, 1] y [1, 2] no tienen ningún elemento en
común, por lo tanto, su intersección es el conjunto vacío.
La respuesta sería: {}
Ejercicio 2:
Determinar la unión de los intervalos (-∞, 1] y [1, 2].
Solución:
La unión de dos intervalos es el intervalo que contiene todos
los elementos que están en uno de los intervalos o en el otro, o
en ambos.
Los intervalos (-∞, 1] y [1, 2] contienen todos los números
reales menores o iguales que 2, por lo tanto, su unión es el
intervalo (-∞, 2].
La respuesta es: (-∞, 2]

8. Desigualdades
Una desigualdad es una proposición que establece una relación de orden entre dos expresiones algebraicas. Las
desigualdades se utilizan para modelar una variedad de situaciones en el mundo real, como la comparación de
cantidades, la distribución de recursos, y el comportamiento de sistemas físicos.
Tipos de desigualdades
Las desigualdades se pueden clasificar en dos tipos principales:
Desigualdades estrictas: Las desigualdades estrictas expresan que una expresión es mayor o menor que otra
expresión, sin que haya igualdad. Por ejemplo, la desigualdad x < 2 expresa que x es menor que 2, y la desigualdad
y > -1 expresa que y es mayor que -1.
Desigualdades no estrictas: Las desigualdades no estrictas expresan que una expresión es mayor o menor que otra
expresión, o que es igual a otra expresión. Por ejemplo, la desigualdad x ≤ 2 expresa que x es menor o igual que 2, y
la desigualdad y ≥ -1 expresa que y es mayor o igual que -1.
Operaciones con desigualdades
Las desigualdades se pueden manipular de manera similar a las ecuaciones. Por ejemplo, se pueden sumar o
restar términos de ambos lados de una desigualdad, se pueden multiplicar o dividir ambos lados de una
desigualdad por un número real positivo, y se pueden intercambiar los lados de una desigualdad que no sea
estricta.

9. Ejercicios de Desigualdades
Ejercicio 1:
Resolver la desigualdad x + 1 < 3.
Solución:
Restando 1 a ambos lados de la desigualdad,
obtenemos x < 2.
La respuesta es:
x ∈ (-∞, 2)
Ejercicio 2:
Resolver la desigualdad |x - 2| ≤ 1.
Solución:
Si x ≥ 2, entonces |x - 2| = x - 2. Por lo tanto, x - 2 ≤ 1.
x ≤ 3
Si x < 2, entonces |x - 2| = -(x - 2). Por lo tanto, -(x - 2) ≤ 1.
x - 2 ≥ -1
x ≥ 1
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x ∈ [1, 3].

10. Inecuaciones
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos
signos:
< Menor que 2x − 1 < 7
≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> Mayor que 2x − 1 > 7
≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
En otras palabras es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o más
incógnitas.
Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación
de desigualdad. a < b significa "a es menor estrictamente que b".

11. Ejercicios de Inecuaciones
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación: 2(x – 1)² – 2(x + 1)² ≥ 3(2x – 3) – 1
Paso 1: Se eliminan los paréntesis. De izquierda a derecha en los 2 primeros paréntesis debemos aplicar la formula de
producto notable para desarrollar un binomio cuadrado, en el tercer paréntesis multiplicamos por 3.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
2( x² – 2.x.1 + 1²) – 2( x² + 2.x.1 + 1²) ≥ 3.2x + 3.(-3) – 1
Paso 2: Operamos con los coeficientes dentro de cada paréntesis().
2( x² – 2x + 1) – 2( x² + 2x + 1) ≥ 6x – 9 – 1
Paso 3: Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro de la inecuación.
2.x² – 2.2x + 2.1 – 2.x² – 2.2x – 2.1 ≥ 6x – 9 – 1
2x² – 4x + 2 – 2x² – 4x – 2 ≥ 6x – 9 – 1
Paso 4: Se agrupan los términos semejantes en el primer miembro.
( 2x² – 2x²) + (4x – 4x) + (2 – 2) ≥ 6x – 10
0x² – 8x + 0 ≥ 6x – 10
-8x ≥ 6x – 10
Paso 5: Se transponen términos. El término 6x del segundo miembro se pasa al primer miembro cambiando de signo.
-8x – 6x ≥ – 10

12. Ejercicios de Inecuaciones
Ejemplo 1:
Paso 6: Se reducen términos semejantes . Se suman los coeficientes de la variable «x» en el primer miembro, recuerda
que signos iguales se suman y se copia el mismo signo.
-14x ≥ – 10
Paso 7: Multiplicamos toda la inecuación por «(-1)» para que el coeficiente de la variable «x» sea positivo, se cambia el
símbolo de la desigualdad.
(-1).(-14x ≥ – 10)
14x ≤ 10
Paso 8: Se despeja a la variable «x». El coeficiente 14 que está multiplicando en el primer miembro para a dividir al
segundo miembro de la inecuación.
Procedemos a representar la solución en forma gráfica:
+ ∞

13. Bibliografía
• Ejercicios resueltos de Inecuaciones. Superprof.es
• Apuntes de las clases de Cálculo 10 Prof. Derwis Rivas
• Algebra y Ecuaciones. Ediciones McGraw Hill España. Agosto 2013.
• Expresiones Algebraicas. Fajardo Ashley… Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la educación.