Presentación que explica de forma sencilla la resolución de inecuaciones lineales y cuadráticas.

1. Sistemas de
Inecuaciones
Prof: Pedro Santo Rguez.

2. Contenidos
-Desigualdades. Propiedades.
-Valor absoluto.
-Intervalos. Clases.
-Longitud y punto medio de un intervalo.
-Concepto y resolución de inecuaciones
lineales.
-Inecuaciones lineales con valor absoluto.
-Inecuaciones cuadráticas con una
incógnita.

3. :
Desigualdades. Propiedades
Expresión que indica que una cantidad es mayor o menor
que otra, y sus signos son > que se lee mayor que, y < que
se lee menor que.
Por ejemplo:
5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4 < - 2 se lee
- 4 menor que - 2.
Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la
diferencia a - b es positiva [(a – b) > 0 ]. Así, 4 es mayor que -
2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6 (> 0 ); - 1 es mayor
que - 3 porque - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 es una cantidad
positiva.
Del mismo modo, una cantidad a es menor que otra
cantidad b cuando la diferencia a - b es negativa.

4. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1) Dada la desigualdad a > b, se puede afirmar que:
a + c > b + c y a - c > b - c
5 > 2 ↔ 5 + 3 > 2 + 3 ↔ 8 > 5
2) Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva,
puede afirmarse que:
ac > bc y a/c > b/c
3) Si en la desigualdad a > b se multiplica ambos miembros
por - c , se tiene:
-ac < - bc
4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia
de signo. Si a > b es evidente que b < a
.

5. Valor Absoluto
Representa la distancia de un punto a al origen en la recta
real.
.
El valor absoluto de un número real, x, se define como:
Ejemplos:

6. INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la
recta real, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de
todos los números reales comprendidos entre a y b.
El segmento se llama intervalo ab. Los puntos
a y b se llaman extremos del intervalo.
.
-∞ a b +∞

7. CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS
Abierto en ambos extremos:
=
Cerrado en ambos extremos:
=
- ∞ a b + ∞
- ∞ a b + ∞

8. Longitud y punto medio de un intervalo
La longitud de un intervalo ab está dada mediante la
expresión: L = , o bien b – a.
El punto medio de un intervalo ab es la media aritmetica entre
a y b, es decir:
Ej.: hallar la longitud y el punto medio del intervalo
representado por la gráfica
L = 1 – (- 5) = 6
Pm =

9. INECUACIONES
Son desigualdades en las que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se
verifican (o demuestran) para determinados valores
de las incógnitas. Las inecuaciones también se
conocen como desigualdades de condición.
Al igual que las ecuaciones, pueden ser lineales
(primer grado) y no lineales (grado superior al 1ro).
La resolución de inecuaciones lineales y no lineales
se fundamenta en las propiedades de las
desigualdades.
Ejemplos: resolver las siguientes inecuaciones
lineales:

10. 2)
*Suprimiendo denominadores se tiene que:
42 - 3x > 10x - 36
*Sumando – 10x – 42 nos quedará:
-3x - 10x > - 36 - 42
-13x > - 78
*Dividiendo por – 13 tendremos:
1) 2x - 3 > x + 5
Sumando – x + 3 y reduciendo términos semejantes:
2x - x > 5 + 3
X > 8

11. 3) Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación y
graficarlo.
Solución: Hallamos el mcm (2, 3,4)=12
Cuyo conjunto solución es entonces; S=
Gráficamente:

12. Inecuaciones lineales con valor absoluto
Sea . Se tiene entonces:
1)
2)

13. Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:
Y grafique.

14. b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:
Y grafique.
o

15. Inecuaciones cuadráticas en una variable
Una inecuación de variable x se llama cuadrática cuando
la podemos escribir en la forma ax2+bx+c>0
en donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Los métodos de
resolución de inecuaciones cuadráticas en una variable son el
analítico y el gráfico este ultimo también es llamado método
del cementerio.
Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas de
forma analítica:
Primer Paso: Factorizar el polinomio.
Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se
cumpla la inecuación.
Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos
solución de acuerdo al caso seleccionado.
Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

16. Ejemplo
Dada la siguiente inecuación halle el
conjunto solución y grafíquelo.
Primer paso: Factorizar el polinomio dado:
quedando una inecuación de la forma:
Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los
siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:
y Cuyas soluciones respectivas son:
y
La solución del caso I es,
entonces:

17. Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:
y Cuyas soluciones respectivas son:
y
La solución del caso II
es, entonces:
La solución general será la unión de y , es decir:

18. El método que acaba de estudiarse, para resolver
inecuaciones cuadráticas con una variable se llama método
analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico,
que también se conoce como el método del Cementerio o
método de las cruces. El procedimiento a seguir es:
Primer Paso: Factorizar el polinomio.
Segundo Paso: Ubicar las raíces reales sobre una recta.
Tercer Paso: Determinar el signo de cada binomio en los
distintos intervalos que se originan; para ello se le asignará a
la variable un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo
que se esté analizando.
Cuarto Paso: Determinar qué signo le corresponde al
producto de los binomios en cada intervalo estudiado.
Quinto Paso: Seleccionar los intervalos para los cuales se
cumple la desigualdad. El conjunto solución es la unión de los
mismos.

19. Ejemplos:
1) Dada la siguiente inecuación halle el
conjunto solución y grafíquelo.
Factorizamos el polinomio dado:
quedando una inecuación de la forma
Las raíces que anulan son y
La solución será:

20. 2) Dada la siguiente inecuación
halle el conjunto solución y grafique
Expresamos la inecuación en su forma estándar
Factorizamos el polinomio quedando:
Siendo las raíces de los factores 5 y - 3.
La sol. General es: