El documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que una relación es un par de conjuntos ordenados que se corresponden, y que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas. También define conceptos como relaciones binarias, propiedades de relaciones como reflexividad y transitividad, y tipos de funciones como inyectivas y sobreyectivas. Finalmente, concluye que la teoría de grafos permite modelar estructuras de datos y medir propiedades de redes.

1. Relaciones y
grafos
BACHILLER:
CAIRO JESÚS
C.I: 28 628 841

2. Introducción
De manera resumida podemos describir la relación (en las matemáticas)
como un par de conjuntos ordenados que se corresponden o tienen un vinculo
entre sí.
Un grafo, G, es un par
ordenado de V y A, donde V es
el conjunto de vértices o nodos
del grafo y A es un conjunto de
pares de vértices, a estos
también se les llama arcos o
ejes del grafo.

3. Relaciones
Sean A y B conjuntos finitos. Si R es un subconjunto del producto
cartesiano AxB tal que los elementos x de A cumplen la propiedad con
respecto a los elementos y de B, se dice que R es una relación definida
de A en B y se denota R:A→B al que xRy o (x,y)E R. Por lo tanto, se dice
x de A está relacionado con y de B. Al conjunto A se llama “conjunto de
partida” y a B “conjunto de llegada”.

4. Grafo
Un grafo es una composición de un conjunto de objetos
conocidos como nodos que se relacionan con otros nodos a través de un
conjunto de conexiones conocidas como aristas.
Los grafos permiten estudiar las relaciones que existen entre
unidades que interactúan con otras.

5. Grafo
Algunas aplicaciones requieren extensiones más
generales a las dos propuestas clásicas de grafos. Aunque la
definición original los permite, según la aplicación concreta
pueden ser válidos o no. A veces 𝑉 o 𝐸 pueden ser un
multiconjunto, pudiendo haber más de una arista entre cada par
de vértices. La palabra grafo (a secas) puede permitir o no
múltiples aristas entre cada par de vértices, dependiendo del autor
de la referencia consultada. Si se quiere remarcar la inexistencia
de múltiples aristas entre cada par de vértices (y en el caso no
dirigido, excluir bucles) el grafo puede llamarse simple. Por otra
parte, si se quiere asegurar la posibilidad de permitir múltiples
aristas, el grafo puede llamarse multigrafo (a veces se utiliza el
término pseudografo para indicar que se permiten tanto bucles
como múltiples aristas entre cada par de vértices).

6. Producto cartesiano
Un par ordenado es un conjunto
de dos elementos donde se tiene
prioridad en el orden de dichos
elementos; cada uno de esos elementos
ocupa una posición fija. El primer
elemento se llama “primera componente”
o “primera coordenada” y el segundo
elemento se denomina “segunda
componente” o “segunda coordenada”.
Las parejas ordenadas se
denotan de manera diferente a la de los
conjuntos; pues estos últimos se escriben
entre llaves (como se vio en el capítulo de
conjuntos) y sin importar el orden; por
ejemplo, {x, y}={y, x}
Para diferenciar un conjunto
ordenado de un conjunto cualquiera de
dos elementos la notación usada de par
ordenado es (x, y).

7. Producto cartesiano

8. Relación Binaria
En matemáticas, una relación binaria​ es una relación
matemática 𝑅 definida entre los elementos de dos conjuntos 𝐴 y
𝐵. Una relación 𝑅 de 𝐴 en 𝐵 se puede representar mediante pares
ordenados 𝑎, 𝑏 para los cuales se cumple una propiedad 𝑃(𝑎, 𝑏),
de forma que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 𝐵, y se anota:
𝑅 = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 𝐵 𝑃(𝑎, 𝑏)
Que se lee: la relación binaria 𝑅 es el conjunto de pares
ordenados 𝑎, 𝑏 pertenecientes al producto cartesiano 𝐴 𝑥 𝐵, y
para los cuales se cumple la propiedad 𝑃 que los relaciona.

9. Relación binaria

10. Representación de
relaciones

11. Diagrama de flechas
Indica el orden en que deben ser ejecutadas las actividades de un
proyecto, permitiendo planificar y controlar su desarrollo. Para este fin,
identifica las actividades que lo componen y determina su ruta crítica,
mediante una representación de red.
El aspecto que tiene un diagrama de flechas es el siguiente:

12. Diagrama de flechas
¿Qué podemos hacer con esta herramienta?
•Planificar una serie de actividades relacionadas entre sí para
alcanzar un objetivo determinado.
•Hallar el camino más realista para el desarrollo eficaz de un
proyecto, en el tiempo mínimo posible.
•Controlar el progreso de un proyecto y las actividades que lo
componen.
•Identificar las prioridades de un proyecto.

13. Propiedades de las
relaciones
•Propiedad antirreflexiva: Una relación 𝑅 sobre un conjunto 𝐴 es
antirreflexiva si para todo 𝑥 ∈ 𝐴 se cumple que (𝑥, 𝑥) ∉ 𝑅, es decir que
∀ x ∈ A se cumple que x no está relacionado consigo mismo. Ejemplo:
𝑅 = {(1,2), (2,1), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }.
•Propiedad reflexiva (o idéntica): Una relación 𝑅 sobre un conjunto 𝐴 es
reflexiva si para todo 𝑥 ∈ 𝐴 entonces (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅. En otras palabras una
relación es reflexiva si todo elemento del conjunto sobre el que está
definida, está relacionado consigo mismo. ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 se cumple que
(𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 . Ejemplo: 𝑅 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} 𝑂𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑅2 =
{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (1,4) }.

14. Propiedades de las
relaciones
•Propiedad simétrica: Una relación 𝑅 sobre un conjunto 𝐴 es simétrica si
para todo 𝑥 ∈ 𝐴, y ∈ 𝐴, si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 entonces (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. Dicho de otra
forma: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se cumple que si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 entonces (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.
Ejemplo: 𝑅 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 2), (4, 4)}.
• Propiedad asimétrica: Una relación 𝑅 sobre un conjunto 𝐴 es
asimétrica si para todo 𝑥 ∈ 𝐴, y ∈ 𝐴, si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 entonces (𝑦, 𝑥) ∉
𝑅. Dicho de otra forma: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se cumple que si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
entonces (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅. Ejemplo: 𝑅 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (4, 3)}.
•Propiedad antisimétrica : Una relación 𝑅 sobre un conjunto 𝐴 es
antisimétrica si para todo 𝑥 ∈ 𝐴, y ∈ 𝐴, si 𝑥 𝑅 𝑦 e 𝑦 𝑅 𝑥 entonces 𝑥 = 𝑦.
De nuevo: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴se cumple que si (𝑥, 𝑦), (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 entonces 𝑥 = 𝑦.
Ejemplo: 𝑅 =
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.

15. Propiedades de las
relaciones
Propiedad transitiva: Una relación 𝑅 sobre un conjunto 𝐴 es transitiva si
para todo 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ 𝐴 si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 y (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 entonces (𝑥, 𝑧) ∈
𝑅 ∀ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝐴 se cumple que si (𝑥, 𝑦), (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 entonces (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅.
Ejemplo: 𝑅 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

16. Relación de equivalencia
En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia
sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del
conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar
dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos
similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos
los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y
que define la noción de conjunto cociente.
Ejemplo: 𝑅 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (3, 4), (1, 4), (3, 1), (4, 3), (4, 1)}
Clase de equivalencia: En lógica de clases y análisis matemático, la relación de
equivalencia 𝑅 define subconjuntos disjuntos en 𝐾 llamados clases de
equivalencia:
Dado un elemento 𝑎 ∈ 𝐾, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con 𝑎
definen la clase: 𝑎 = 𝑏 ∈ 𝐾 𝑎𝑅𝑏 se le llama la clase de equivalencia asociada al
elemento 𝑎.

17. Propiedades de clases de
equivalencia
Cada elemento 𝑥 de 𝑋 es un miembro de la clase de equivalencia
[𝑥]. Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de 𝑋 forma
una partición de 𝑋: cada elemento de 𝑋 pertenece a una sola clase de
equivalencia. Por el contrario, cada partición de 𝑋 proviene de una relación
de equivalencia de esta manera, según la cual 𝑥 ~ 𝑦 si y solo si 𝑥 e 𝑦
pertenecen al mismo conjunto de la partición.
De las propiedades de una relación de equivalencia se deduce
que: 𝑥 ~ 𝑦 si y solo si [𝑥] = [𝑦].
En otras palabras, si ~ es una relación de equivalencia en un
conjunto 𝑋, y 𝑥 e 𝑦 son dos elementos de 𝑋, entonces estas declaraciones
son equivalentes:
• 𝑥 ∼ 𝑦
• [𝑥] = [𝑦]
• [𝑥] ∩ [𝑦] ≠ ∅

18. Partición de un conjunto
Una partición de un conjunto es una división del mismo en
«trozos» separados y no vacíos. Esta división se representa mediante
una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo
recubren.

19. Cerradura
En Álgebra, la clausura algebraica (o cerradura algebraica) de un
cuerpo K es una extensión algebraica de K que sea algebraicamente
cerrada. Es una de las muchas complexiones que existen en
matemáticas.
La clausura algebraica de un cuerpo K puede pensarse como la
mayor extensión algebraica de K. Para ver esto, notar que si L es
cualquier extensión algebraica de K, entonces la clausura algebraica de L
es también una clausura algebraica de K, y así L está contenida en la
clausura algebraica de K. La clausura algebraica de K es también el
cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a K, ya que
si M es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K,
entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman una
clausura algebraica de K.
En el caso del conjunto R de los números reales, su clausura
algebraica es el conjunto C de los números complejos.

20. Función inyectiva
Una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto 𝑋
(dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto 𝑌
(codominio) de 𝑓. Es decir, cada elemento del conjunto 𝑌 tiene a lo
sumo una pre imagen en 𝑋, o, lo que es lo mismo, en el conjunto 𝑋 no
puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

21. Función sobreyectiva
En matemáticas, una función sobreyectiva si está aplicada sobre todo
el codominio, es decir, cuando cada elemento de 𝑌 es la imagen de
como mínimo un elemento de 𝑋.

22. Función biyectiva
Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y
sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida
tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento
del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de
salida.

23. Conclusión
Los grafos sirven para modelizar matemáticamente una estructura de
datos. La teoría de grafos es un instrumento utilizado en la aplicación de estos
métodos, permitiéndonos evaluar las relaciones entre los puntos del espacio
conectados por la red. El análisis de grafos permite medir propiedades
territoriales como la conexión de la red, la conectividad e indicadores de
homogeneidad e isotropía. Los indicadores más utilizados son
diferentes expresiones de la accesibilidad.
La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las matemáticas discretas y
de las matemáticas aplicadas. Esta teoría requiere de diferentes conceptos de
diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos,
aritmética y topología. Actualmente ha tenido mayor influencia en el campo de la
informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. Debido a la
gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos,
algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se
conoce como análisis de redes.

24. Bibliografía
•https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo
•https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-8-
relaciones-19a0432cf7e1
•https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria
•https://www.aiteco.com/diagrama-de-flechas/
•https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
•https://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalencia
•https://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_de_un_conjunto
•https://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_algebraica#:~:text=En%20%C3%81lg
ebra%2C%20la%20clausura%20algebraica,complexiones%20que%20existen
%20en%20matem%C3%A1ticas.&text=En%20el%20caso%20del%20conjunt
o,C%20de%20los%20n%C3%BAmeros%20complejos.