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1. FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIAL
EJERCICIOS DE DEFORMACION SIMPLE E HIPERESTATICOS
NOMBRE:
KELVINPEREZ
CURSO:
QUINTO INDUSTRIAL
PARALELO:
“A”
MODULO:
RESISTENCIA DEMATERIALES
DOCENTE:
ING. FERNANDO URRUTIA
FECHA DE ENTREGA:
16/12/2014
PERIODO:
OCTUBRE 2014 / MARZO 2015
AMBATO - ECUADOR

2. 1. Tema
Momento Polar de inercia, Momento de Inercia y Centros de gravedad.
2. Objetivos
General
 Determinar los conceptos y características del Momento Polar de
Inercia, Momento de Inercia y Centros de gravedad, mediante una
investigación bibliográfica.
Específicos
 Determinar las definiciones fundamentales del Momento Polar de
Inercia, Momento de Inercia y Centros de gravedad para su respectiva
entendimiento.
 Identificar las unidades, con sus respectivas ecuaciones de los
Momentos y Centros de gravedad, mediante na investigación.
3. Desarrollo
INERCIA
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su
movimiento, ya sea en velocidad o en dirección. Esta propiedad se escribe
claramente en la primera ley de Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en
reposo tiende apermanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiene acontinuar
moviéndose en línea recta, a no ser que actué sobre ellos una fuerza externa.
MOMENTO
Un momento es resultante de na fuerza por una distancia, este efecto hace girar
elementos en torno a un eje o punto el momento es constante, se puede tomar en
cualquier punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la
perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza.
MOMENTO DE INERCIA
Es la medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Es una magnitud escalar que
refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación,
respecto al eje rígido. Es el valor de momento angular longitudinal en un sólido
rígido.
El momento de inercia, también denominado Segundo Momento de Área, Segundo
Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica
de sección transversal de los elementos estructurales.
El Momento de Inercia solo depende de:

3.  La geometría del cuerpo.
 La posición del eje de giro.
 No depende de la fuerza que intervienen en el movimiento.
 El momento de inercia debe serespecíficamente respecto un ejede rotación
dado.
Para una masa Puntual
El Momento de Inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la
distancia perpendicular al eje de rotación.
𝐼 = 𝑚𝑟2
 Esa relación de la masa puntual, viene a ser la base para todos los demás
momentos de inercia, pesto que un objeto se puede construir a partir de una
colección de puntos materiales.
El Momento de Inercia de un objeto ordinario
Involucra una distribución de masa a una distancia continuamente variable de cualquier
eje de rotación, el cálculo del momento de inercia, generalmente involucra el cálculo
diferencial, la disciplina de las matemáticas que puede manejar tales variables
continuas. Puesto que el momento de inercia de una masa puntual se define por:
Entonces, la contribución al momento de inercia por un elemento de masa infinitesimal
dm tiene la misma forma. A esta clase de elemento de masa se le llama un elemento
diferencial de masa y su momento de inercia está dado por
Note que elelemento diferencialdel momento de inercia dI debe estar siempre definido
con respecto a un específico eje de rotación.
La suma sobre todos estos elementos se llama integral sobre la masa.
Donde:
 I = Momento de Inercia.

4.  𝑟2
= Distancia del eje.
 𝑑𝑚 = Áreas subdivididas en elementos diferenciales.
Usualmente, el elemento de masa dm será expresado en términos de la geometría del
objeto, de modo que la integración puede llevarse a cabo sobre el objeto como una
totalidad.
Características:
 El momento de inercia es usado para resolver problemas de diseño donde le
miembro es una viga o una columna larga.
 Requerido para calcular el momento polar de inercia.
 Cuanta mayor distancia entre la masa y el centro de rotación, mayor es el
momento de inercia.
Unidad Del Momento De Inercia
El SI de la unidad de Momento de Inercia está dado por:
𝐼 = 𝑘𝑔 ∗ 𝑚2
MOMENTO POLAR DE INERCIA
Es na cantidad cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistirlatorsión,
en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección
transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones.
Elmomento de inercia de un área en relación a un eje perpendiclar asu plano se lo llama
momento polar de inercia, y se representa por J.

5. Características
 Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un
par.
 Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un
objeto para resistir la flexión.
 Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que
caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
Limitaciones
El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección
circular.
En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos
con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje del par
aplicado),que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más complejo que
tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede ser utilizado
para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria.
Descripción
Un esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una forma
arbitraria o sobre un eje P es la distancia radial al elemento dA.
𝐽𝑧 = ∫⍴2
𝑑𝐴
 𝐽𝑧 = Momento Polar de Inercia
 𝑑𝐴 = Un área elemental
 𝑝 = La distancia radial al elemento dA del eje z

6. Esto significa que el momento polar de inercia de un área con respecto a un eje
perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a
dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de
intersección del eje polar y del plano
Unidad el Momento Polar de Inercia
El SI la unidad de momento polar de inercia, como el momento en la zona de la inercia.
𝐽 = 𝑚4
Comparación entre Momento de Inercia vs Momento Polar de Inercia de un cilindro
Momento Polar de Inercia
Espacio Momento de Inercia
Momento de Inercia
Momento Polar de inercia es na cantidad utilizada para predecir la capacidad de un
objeto a resistir la torsión.

7.  Cuando mayor es el momento polar de inercia, menos se retuerce, cando se
somete a un par dado.
Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia que se
caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a un par.
 Momento polar de inercia, es la tendencia de una masa en reposo a permanecer
en reposo y masa en movimiento a permanecer en movimiento, en línea recta,
a menos que actué sobre él una fuerza externa.
CENTRO DE GRAVEDAD
Es un punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto,
o es decir es el punto en el que actúa el peso. Siempre que la aceleración de la
gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que
el centro de masas.
El equilibrio de una partícula o de un cuerpo rígido también se puede describir como
estableo inestableen un campo gravitacional. Para los cuerpos rígidos las categorías
del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente en términos del centro de
gravedad. El centro de gravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo
el peso de un cuerpo está concentrado y representado como una partícula.
Cuando la aceleración debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y
el centro de masa coinciden.
Características del centro de gravedad
a) El centro de gravedad puede estar dentro o fuera del cuerpo.
b) El centro de gravedad de un cuerpo quedara perfectamente determinado
con respecto a un eje de coordenadas, por una avisa (X) y una ordenada (Y).
c) El centro de gravedad no varía con la posición pero si depende de su forma
geométrica.
d) Si un cuerpo presentase un eje de simetría el centro de gravedad se
encontrara en un punto contenido en dicho eje.
e) Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso en sentido contrario y en
el centro de gravedad, dicho cuerpo permanecerá en equilibrio,

8. independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo respecto al
centro de gravedad.
Notas adicionales
 En el caso de un cuerpo simétrico, como na pelota de tenis, ese punto se
encuentra en el centro geométrico del cuerpo.
 En el caso de n cuerpo irregular, como un martillo, tiene más peso en no de sus
extremos y el centro de gravedad está cargado hacia dicho extremo.
 Cuando los cuerpos presenten distribución de masa uniforme y simétrica,
indistintamente hablaremos, plantearemos y definiremos al centro de gravedad
y centros de masa como aquellos puntos físicamente iguales.
 Realmente el peso de un cuerpo se aplica en el centro de gravedad y no en el
centro de masa.Para propósitos prácticos no hay diferencia entre dichos centros
a menos que el cuerpo sea muy grande.
 El centro de gravedad como punto de aplicación del peso, tiene sentido para
cuerpos pequeños (cuyas dimensiones son pequeñas en comparación alradio de
la tierra) y cuando las fuerzas de gravedad puedan considerarse paralelas.
Centro de masa
El centro de masa o centro de inercia para cuerpos grandes o pequeños y cuando
sobre el cuerpo actúan fuerzas externas (diferentes a la gravitatoria) y no
necesariamente paralelas.En consecuencia elcentro de masa,es aquel punto donde
se consideran concentrada la masa de un cuerpo y en donde se supone que acta la
fuerza resultante total (que no necesariamente será el peso).
4. RESUMEN
5. CONCLUSIONES
 El Momento Polar de Inercia se observa en un área en relación a un eje
perpendicular a su plano, mientras que el momento de inercia refleja la
distribución de masa de un cuerpo o de n sistema de partículas en
rotación, respecto a un eje de giro dado.

9.  Momento Polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia
respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dicho, mientras que
el Momento de Inercia es la suma de los productos que se obtiene de
multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al
eje.
 La unidad del momento de inercia es 𝑘𝑔 ∗ 𝑚2
y el Momento Polar de
Inercia es 𝑚4
.
 El centro de gravedad puede estar ubicado dentro o fuera del cuerpo
dependiendo de su forma.
6. BIBLIOGRAFIA
 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mi.html
 http://es.slideshare.net/MKatherineRDuran/momento-de-inercia-22820195
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/simbolos/simbolos1.htm
 http://wiki.ead.pucv.cl/index.php/Momento_de_Inercia.
 https://sites.google.com/site/inescedenofisica/momento-de-inercia/momento-
polar-de-inercia
 https://es.scribd.com/doc/62590739/Momento-Polar-de-Inercia#
 http://mecatronica4b.blogspot.com/2011/11/momento-polar-de-inercia-en-
ejes.html
 http://es.slideshare.net/torimatcordova/centro-de-gravedad-15042531
7. ANEXOS

13. https://es.scribd.com/doc/140158799/RESISTENCIA-DE-MATERIALES-MARCO-LLANOS-
pdf
https://es.scribd.com/doc/230772147/Resistencia-Solucionario-Singer