El documento presenta 6 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide calificar proposiciones como verdaderas o falsas. El Problema 2 involucra determinar si vectores pertenecen al núcleo o imagen de una matriz dada. El Problema 3 pide determinar los valores reales de una variable para que un sistema tenga infinitas, única o ninguna solución. Los Problemas 4 y 5 involucran subespacios vectoriales y sus propiedades. Finalmente, el Problema 6 pide hallar la matriz de cambio de base y coord

1. ´Algebra Lineal
Examen 2017 2S 1-Parcial
Facultad de Ciencias Naturales y Matem´aticas
Guayaquil, Noviembre del 2017
Problema 1.
Califique, justificando cada respuesta, como verdadero o falso las siguientes
proposiciones.
a. El conjunto soluci´on del sistema
x1 + x2 = 1
x3 + x4 = 0
es un subespacio vec-
torial de R4
.
b. Sean V un espacio vectorial sobre un campo K y W un subespacio de V .
Si v /∈ W entonces, v + w /∈ W para cada w de W.
c. Sean V un espacio vectorial sobre un campo K, A y B subconjuntos de
V . Entonces Gen(A ∩ B) = Gen(A) ∩ Gen(B).
d. Si {u, v} es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial
V , entonces {u+v, u+w, v+w} es un conjunto linealmente independiente,
para todo vector no nulo w de V .
e. Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio
rengl´on de A, entonces A es una matriz sim´etrica.
Problema 2.
Dada A =


2 4 −2 1
−2 −5 7 3
3 7 −8 6

, determine:
a. Si u = (3, −2, −1, 0) es un elemento del n´ucleo de A.
b. Si v = (3, −1, 3) es un elemento de la imagen de A.
c. Nulidad de A.
d. Dimensi´on de la imagen de A.
Problema 3.
Determine los valores reales de a para que el sistema



x + ay + 3z = 2
x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3

2. Tenga:
a. Infinitas soluciones.
b. Soluci´on ´unica.
c. Ninguna soluci´on.
Problema 4.
Sea V = M2x2 el espacio de las matrices sim´etricas de orden 2, sobre R, y
sean los subespacios:
H1 = Gen
1 2
2 1
,
2 −3
−3 1
H2 =
a11 a12
a21 a22
a11 = a22 y a12 = a21
a. Encuentre el subespacio intersecci´on, expresado como un conjunto con
condiciones, una base y su dimensi´on.
b. Encuentre el subespacio suma, una base y su dimensi´on.
Problema 5.
V =
a b
c 0
a ∈ R+
y b, c ∈ R es un espacio vectorial sobre R,
con las operaciones
a1 b1
c1 0
⊕
a2 b2
c2 0
=
a1a2 b1 + b2 + 7
c1 + c2 0
α
a b
c 0
=
aα
αb + 7α − 7
α 0
Determine
a. El vector nulo de V .
b. El vector opuesto de un elemento
a b
c 0
de V .
c. Los valores de a y x tal que
a 2
1 0
sea una combinaci´on kineal de los
vectores
1 0
x 0
y
1 1
3x 0
.
Problema 6.
Sean B = {v1, v2} y B = {u1, u2} dos bases de un espacio vectorial real
V , tales que u1 = v1 − 2v2 y u2 = 3v1 + 4v2. Hallar:
a. La matriz de cambio de base de B a B .
b. Las coordenadas del vector 5u1 − u2 en la base B.
c. Las coordenadas del vector 7v2 en la base B .
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