Cinemática Rectilínea: Posición, Velocidad y Aceleración

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
Vicerrectorado Barquisimeto
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Sección de Física
CINEMÁTICA
Prof. José Luis Villegas “La Universidad Técnica del Estado Venezolano”

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA
CINEMÁTICA
La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento)
es la rama de la mecánica clásica que estudia las
leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en
cuenta las causas que lo producen, limitándose
esencialmente, al estudio de la trayectoria en función
del tiempo.
También se dice que la cinemática estudia la
geometría del movimiento.
En la cinemática se utiliza un sistema de
coordenadas para describir las trayectorias,
denominado sistema de referencia.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CINEMÁTICA
MÓVIL
El móvil más simple que podemos considerar es el punto
material o partícula.
La partícula es una idealización de los cuerpos que
existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es
el concepto de punto geométrico.
Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de
dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como
puntiforme; de ese modo su posición en el espacio
quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto
geométrico.
Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones
de un cuerpo estará en relación con las condiciones
específicas del problema considerado.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio
en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.
En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes.
a. un origen O, que es un punto del espacio físico.
b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho
espacio físico.

Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si
su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.
En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el
cuerpo está en reposo en dicho referencial.
De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo,
vemos que ambos conceptos son relativos.

En la Figura hemos representado dos
observadores, S y S′, y una partícula P.
Estos observadores utilizan los
referenciales xyz y x′y′z′,
respectivamente.
Si S y S′ se encuentran en reposo
entre sí, describirán del mismo modo el
movimiento de la partícula P. Pero si S
y S′ se encuentran en movimiento
relativo, sus observaciones acerca del
movimiento de la partícula P serán
diferentes.

Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi circular en
torno a la TIERRA.
Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea ondulante.
Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán reconciliar
sus observaciones

Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria
medida con respecto a un observador es una línea recta
1. POSICIÓN.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
 La posición de la partícula
en cualquier instante queda
definida por la coordenada x
medida a partir del origen O.
Si x es positiva la partícula
se localiza hacia la derecha
de O y si x es negativa se
localiza a la izquierda de O.

DESPLAZAMIENTO.
 El desplazamiento se define como el cambio de posición.
 Se representa por el símbolo Δx.
 Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su
posición inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el
desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo
'
ˆ ˆ
' '
x x x
r r r x i xi
  
    

VELOCIDAD MEDIA
Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx
positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será
2 2
2 1
ˆ ˆ
' '
' '
m
m
x x
x
v
t t t
r r r x i xi
v
t t t t t


 
 
  
  
  

VELOCIDAD MEDIA
 La velocidad media también puede
interpretarse geométricamente,
para ello se traza una línea recta
que une los puntos p1 y p2 como se
muestra en la figura. Esta línea
forma un triángulo de altura x y
base t.
 La pendiente de la recta es x/t.
Entonces la velocidad media es la
pendiente de la recta secante que
une los puntos inicial y final de la
gráfica posición-tiempo

VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo
se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se
hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto
valores más pequeños de x. Por tanto:
0
0
lim( )
ˆ
lim( )
t
t
x dx
v
t dt
r dr dx
v i
t dt dt
 
 

 


  


VELOCIDAD INSTANTÁNEA
• Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima
más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores.
A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a
cero, tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por
tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la
recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser
positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se
trace la pendiente correspondiente

RAPIDEZ MEDIA.
La rapidez media se define como la
distancia total de la trayectoria recorrida
por una partícula ST, dividida entre el
tiempo transcurrido t, es decir,

ACELERACIÓN MEDIA .
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’
durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:
La aceleración media se define
como:
'
'
med
v v v
a
t t t
 
 
 

ACELERACIÓN INSTANTANEA .
La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la
aceleración media cuando t tiende a cero es decir
0
2
2
lim( )
( )
t
v dv
a
t dt
d dx d x
a
dt dt dt
 

 

 

Ejemplo 1
La posición de una partícula que se mueve en línea recta está
definida por la relación determine: (a) la posición,
velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y
aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t =
4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;
2 3
6
x t t
 

Solución
La ecuaciones de movimiento son
Las cantidades solicitadas son
3
2
6 t
t
x 

2
3
12 t
t
dt
dx
v 


t
dt
x
d
dt
dv
a 6
12
2
2




• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA
PARTÍCULA
LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

PARTÍCULA
LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

PARTÍCULA
LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds,
entonces podemos escribir

PARTÍCULA
LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones
obtenidas son

Ejemplo 01
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal
manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida
por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos
. Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que
cuando t = 0. S = 0

Solución
POSICIÓN Para el sistema de
referencia considerado y sabiendo que
la velocidad es función del tiempo
v = f(t). La posición es
Cuando t = 3 s, resulta
• ACELERACIÓN. Sabiendo
que v = f(t), la aceleración se
determina a partir de a = dv/dt
• Cuando t = 3 s

Ejemplo 02
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de
un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del
fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a
donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la
posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

Solución
Velocidad: Usando el sistema de
referencia mostrado y sabiendo
que a = f(v) podemos utilizar la
ecuación a = dv/dt para
determinar la velocidad como
función del tiempo esto es
POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),
la posición se determina a partir
de la ecuación v = ds/dt

Ejemplo 04
Desde una ventana situada a 20 m
sobre el suelo se lanza una bola
verticalmente hacia arriba con una velocidad
de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el
tiempo se encuentra sometida a un campo
gravitacional que le proporciona una
aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo.
Determine: (a) la velocidad y la altura en
función del tiempo, (b) el instante en que la
bola choca con el piso y la velocidad
correspondiente

 
  t
v
t
v
dt
dv
a
dt
dv
t
t
v
v
81
.
9
81
.
9
s
m
81
.
9
0
0
2
0










  t
t
v 






 2
s
m
81
.
9
s
m
10
 
   
0
2
1
0 2
0
10 9.81
10 9.81 10 9.81
y t t
y
dy
v t
dt
dy t dt y t y t t
  
    
 
  2
2
s
m
905
.
4
s
m
10
m
20 t
t
t
y 














Solución

  0
s
m
81
.
9
s
m
10 2








 t
t
v
s
019
.
1

t
• Remplazando el valor del tiempo
obtenido se tiene.
 
   2
2
2
2
s
019
.
1
s
m
905
.
4
s
019
.
1
s
m
10
m
20
s
m
905
.
4
s
m
10
m
20






























y
t
t
t
y
m
1
.
25

y
Solución

Solución
• Cuando la bola choca contra el suelo y = 0
Entoces tenemos.
  0
s
m
905
.
4
s
m
10
m
20 2
2















 t
t
t
y
 
   
s
28
.
3
s
m
81
.
9
s
m
10
s
28
.
3
s
m
81
.
9
s
m
10
2
2
















v
t
t
v
s
m
2
.
22


v

MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su
trayectoria descrita esta es una línea curva.

Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema
coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se
representa por r = r(t).

Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partícula se mueve
durante un pequeño intervalo de tiempo t hasta el punto P’, entonces su
posición será r’ (t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y
se expresa

Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un
desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como
'
'
m
r r r
v
t t t
 
 
 
La velocidad media es un
vector que tiene la misma
dirección que el
desplazamiento es decir
es secante a la curva.
La velocidad media
depende del intervalo de
tiempo.

Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño
(t0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad
media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir.
La velocidad instantánea
es un vector tangente a la
trayectoria.
0 0
'
lim lim
'
t t
r r r dr
v
t t t dt
   
 
  
 

Velocidad Instantánea:
Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco s =
acrPQ, obtenemos
0 0 0
lim lim lim
t t t
r s r s
v
s t s t
     
   
 
   
t
ds
v e
dt

A medida que Q se acerca a P la
magnitud de r se aproxima a
s, entonces se tiene
Además se tiene
0
lim t
t
dr r
e
ds s
 

 

0
lim
t
s ds
v
t dt
 

 


Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio
de velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio
de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
La aceleración media
es un vector paralelo
a v y también
depende de la
duración del intervalo
de tiempo
Q P
m
Q P
v v
v
a
t t t


 
 

Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la
partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración media
es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
La aceleración media es un
vector paralelo a v y también
depende de la duración del
intervalo de tiempo
Q P
m
Q P
v v
v
a
t t t


 
 

Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la
aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeños
los intervalos de tiempo
La aceleración instantánea es un
vector que tiene misma
dirección que el cambio
instantáneo de la velocidad es
decir apunta hacia la concavidad
de la curva.
0
2
2
lim
t
v dv
a
t dt
d dr d r
a
dt dt dt
 

 

 
 
 
 

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN
POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y, z es
k
z
j
y
i
x
r







Las coordenadas x, y, z son
funciones del tiempo: x = f(t), y
= f(t), z = f(t)
La magnitud del vector de posición será
2
2
2
z
y
x
r 



COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo de tiempo
t. El desplazamiento está dado por:
ˆ
ˆ ˆ
'
r r r xi yj zk
        
2 2 2
( ) ( ) ( )
r x y z
      

Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento
r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media será
Es un vector secante a la
trayectoria
ˆ
ˆ ˆ
m
r x y z
v i j k
t t t t
   
   
   

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN
Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al límite cuando t  0, la velocidad
media es decir:
Es un vector tangente a la curva y
tiene una magnitud definida por
k
v
j
v
i
v
k
z
j
y
i
x
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
z
y
x






















2
2
2
z
y
x v
v
v
v 



Aceleración media. Cuando la partícula cambia de posición su velocidad también
cambia. Entonces la aceleración media será
Es un vector que se encuentra dirigido a lo
largo del cambio de velocidades.
ˆ
ˆ ˆ
y
x z
m
v
v v
v
a i j k
t t t t

 

   
   

Ejemplo
En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico
está definida por x = (9t) m, donde t se mide en segundos. Si la
ecuación de la trayectoria es y = xª/30, donde a = 2: Determinar la
distancia del globo a la estación A, la magnitud y la dirección de la
velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

Solución
Cuando t = 2 s, la posición del globo es
La distancia en línea recta será
Las componentes de la velocidad son
• La magnitud y dirección de la
velocidad para t = 2 s son

Solución
Las componentes de la aceleración
será
La magnitud y dirección de la
aceleración son

MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y
ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su
trayectoria.

MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis
Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis
(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para
poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración
gravitatoria g es normal a dicha superficie);
(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como
para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración
de la gravedad) terrestre con la altura;
(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para
poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del
proyectil y
(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que,
como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la
derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el
hemisferio Norte.

DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
x
x
x
v v a t
x x v t a t
v v a x x
 
  
  
0
0 0
0
( )
( )
( )
x x
x
x x
v v
x x v t
v v

 


MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
y y y
y y
y y y
v v a t
y y v t a t
v v a y y
 
  
  
0
2
0 0
2 2
0 0
( )
1
( )
2
( ) 2 ( )
y y
y
y y
v v gt
y y v t gt
v v g y y
 
  
  

MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y
alcance alcanzado por el proyectil
Cuando se estudia el
movimiento de proyectiles, dos
características son de especial
interés.
1. El alcance R, es la máxima
distancia horizontal
alcanzada por el proyectil
2. La altura máxima h
alcanzada por el proyectil


2 2
sin
2
i i
v
h
g


2
sin2
i i
v
R
g

MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance
alcanzado por el proyectil
El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45°

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