1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO (1D)
Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con
respecto a un observador es una línea recta
1. POSICIÓN.
➢ La posición de la partícula en
cualquier instante queda
definida por la coordenada x
medida a partir del origen O.
➢Si x es positiva la partícula se
localiza hacia la derecha de O y
si x es negativa se localiza a la
izquierda de O.
2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
2. DESPLAZAMIENTO.
❑ El desplazamiento se define como el cambio de posición.
❑ Se representa por el símbolo Δx.
❑ Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición
inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el
desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo
'
ˆ ˆ
' '
x x x
r r r x i xi
= −
= − = −
3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
3. VELOCIDAD MEDIA
Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un
desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt,
entonces, la velocidad media será
2 2
2 1
ˆ ˆ
' '
' '
m
m
x x
x
v
t t t
r r r x i xi
v
t t t t t
−
= =
−
− −
= = =
− −
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
3. VELOCIDAD MEDIA
❑ La velocidad media también puede
interpretarse geométricamente para ello se
traza una línea recta que une los puntos P y
Q como se muestra en la figura. Esta línea
forma un triángulo de altura x y base t.
❑ La pendiente de la recta es x/t. Entonces
la velocidad media es la pendiente de la
recta que une los puntos inicial y final de la
gráfica posición-tiempo
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al límite la
velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto
valores más pequeños de x. Por tanto:
0
0
lim( )
ˆ
lim( )
t
t
x dx
v
t dt
r dr dx
v i
t dt dt
→
→
= =
= = =
6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y
más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida
que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de
esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad
instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto
P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto
R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente
7. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
5. RAPIDEZ MEDIA.
La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula
ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,
( ) T
rap
S
v
t
=
8. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
6. ACELERACIÓN MEDIA .
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa
por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:
La aceleración media
se define como
'
'
med
v v v
a
t t t
−
= =
−
9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .
La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la
aceleración media cuando t tiende a cero es decir
0
2
2
lim( )
( )
t
v dv
a
t dt
d dx d x
a
dt dt dt
→
= =
= =
10. Ejemplo 01
La posición de una partícula que se mueve en línea recta está
definida por la relación Determine: (a) la posición,
velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y
aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración
en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;
2 3
6
x t t
= −
11. Solución
La ecuaciones de movimiento son
Las cantidades solicitadas son
3
2
6 t
t
x −
=
2
3
12 t
t
dt
dx
v −
=
=
t
dt
x
d
dt
dv
a 6
12
2
2
−
=
=
=
• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
12. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
1. LAACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir
dx
v
dt
=
dv
a
dt
=
De: y
dv
dt
a
=
dx
dt
v
=
dv dx
dt
a v
= =
adx vdv
=
vdv
a
dx
=
13. 2. LAACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir
14. 2. LAACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos
escribir
15. 4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son
19. BLOQUE A (4 puntos)
El Cohete se mueve a lo largo de una línea recta y tiene una velocidad inicial de 4 m/s
cuando t = 0, x = 0, si se le somete a una desaceleración de: , donde v
está en m/s. Indicar el valor de la respuesta correcta en cada una de las siguientes
proposiciones, justificando su respuesta:
I.- La magnitud de la distancia recorrida (en m) cuando el Cohete se detiene,
aproximadamente es:
a.- 0,75
b.- 1,5
c.- 2,75
d.- 3,55
e.- 4,95
II.- El tiempo empleado cuando el Cohete se
detiene (en s) aproximadamente es:
a.- 1,66
b.- 2,66
c.- 3,66
d.- 4,66
e.- 5,66
20. 1/2
1,5
vdv
dx
v
= −
3/2 3/2
(4)
1,5
3/ 2
v
x
−
= −
3/2 3/2
(0) (4)
1,5
3/ 2
x
−
= − 3,555
x m
=
I. Determinación de X:
II. Determinación de t:
1/2
1,5
dv
a v
dt
= = −
1/2
1,5
vdv
a v
dx
= = −
1/2
1,5
dv
dt
v
= − 1/2
4 0
1,5
v t
v dv dt
−
= −
1/2 1/2
(4)
1,5
1/ 2
v
t
−
= − 1/2 1/2
(0) (4)
1,5
1/ 2
t
−
= − 2,666
t s
=
1/2
4 0
1,5
v x
v dv dx
= −
22. Un automóvil se mueve en línea recta sobre una carretera, donde
X = 0,4t3 + 8t + 10 (m), a partir de su estado inicial en t = 0, determine:
a.- El tiempo que le toma al vehículo alcanzar la velocidad de 88i (m/s)
b.- Cual es el recorrido durante este tiempo.
c.- Cual es la aceleración cuando el vehículo alcanza la rapidez de 88 m/s.
2
1,2 8
dx
v t
dt
= = +
2
1,2 8 88
8,1649
t
t s
+ =
=
3
3
.. 0,4 8 10
0,4(8,1649) 8(8,1649) 10
293,0463
En x t t
x
x m
= + +
= + +
=
2
2
2,4
dv d x
a t
dt dt
= = =
2
2,4(8,1649)
19,5957 /
a
a m s
=
=
23. 2 2 2
3 2 (3 2 ) 3 2
dx
v t t dx t t dt t dt tdt
dt
= = + = + = +
2
0 0 0
3 2
x t t
dx t dt tdt
= +
3 2
0 0
0
3 2
3 2
3 2
t t
x t t
x
x t t
= +
= +
2
3 2 6 2
dv
v t t a t
dt
= + = = + 6(3) 2
a = + 2
20 /
a m s
=
3 2
x t t
= +
X = (3)3 + (3)2 =36 m
24. En el movimiento rectilíneo de un vehículo se sabe que
a = -2x + 1, siendo sus condiciones de frontera V0 = 4 m/s,
x0 = 5 m, t0 = 0 s; determine:
a.- La rapidez cuando x = 0,5 m.
b.- El tiempo cuando x = 0,5 m
c.- La posición X cuando t = 1 s
TALLER
Tiempo máximo: 10 minutos
25. El carrito de 2kg de masa está unido al resorte de constante K, al pasar por su
posición de equilibrio cuando X = 0, su rapidez es 5 m/s. Se sabe que su
aceleración es a = - 2x. En los paréntesis mostrados, señale con (V) lo verdadero
y con (F) lo falso, respecto a la información dada:
( ) Cuando x = 3 m, la rapidez del carrito es 2,64 m/s aproximadamente.
( ) La magnitud de la constante K es 4 N/m.
( ) La magnitud de la fuerza del resorte es 12 N.
A) VVV B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF
TALLER
26. • En este capitulo explicaremos como se
puede localizar un punto en el espacio a
partir de un sistema de referencia.
• Determinaremos la Posicion, velocidad y
aceleracion de una particula en el espacio,
em forma absoluta.
• Una posicion esta determinada por un
conjunto de coordenadas, sean
rectangulares, cilindricas o esfericas.
CINEMATICA DE LA
PARTICULA EN EL ESPACIO
27.
28.
29.
30. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA
Cuando una partícula no se desplaza en línea recta, se dice que la
partícula describe un movimiento curvilíneo. Tanto en el plano como en
el espacio, existen tres procedimientos de descripción del movimiento
de una partícula:
Procedimiento vectorial
Procedimiento natural
Procedimiento de coordenadas
( )
r r t
=
Procedimiento vectorial
Vector posición:
(en el plano)
( )
R R t
= (en el espacio)
Velocidad Media:
2 1
2 1
m
r r r
v
t t t
−
= =
−
31. (para t pequeños)
0
t
r dr
v Lim r
t dt
→
= = =
Rapidez instantánea (v)
dS
v S
dt
= =
m
v
a
t
=
Magnitud de la aceleración tangencial instantánea (at )
2
2
dv d r
a v r
dt dt
= = = =
2
2
t
dv d S
a v S
dt dt
= = = = (Donde S es el arco recorrido)
32. 2
ˆ ˆ
t n t n
v
a a a ve e
= + = +
Queremos demostrar que:
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas
de movimiento plano.
ˆt
v ve
=
Velocidad de la partícula:
Donde es el radio de curvatura
ˆ
ˆ .
t
t
de ds
a ve v
dt ds
= +
2 ˆ
ˆ t
t
de
a ve v
ds
= +
PROCEDIMIENTO NATURAL o COMPONENTES INTRINSECAS
33. dS d
=
Del grafico tenemos que:
d
d
dS
ˆ ˆ 1
t t
e e
• =
También de:
ˆ ˆ
ˆ ˆ 0
t t
t t
de de
e e
dS dS
• + • =
Lo que indica que:
ˆ ˆ
/ ˆ
ˆ / n
t t
t
de de
e
dS dS
e
⊥
ˆt
e
ˆ ˆ
t t
e de
+
ˆ ˆ
t t
e de
+
ˆt
e
ˆt
de
ˆ ˆ
t t
de e d d
= =
ˆ ˆ ˆ ˆ
.
t t n n
de de e d e
= =
También:
1
d
dS d
dS
= =
Como:
Por L.A.:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
t
n
t
n
de
e
dS
de d
e
dS dS
= =
ˆ
ˆ 1
ˆ ˆ
ˆ
t
n
t
n n
de d
e e
dS d
de
e
dS S
= = =
Entonces:
2 ˆ
ˆ t
t
de
a ve v
ds
= +
En:
2
ˆ ˆ
t n
v
a ve e
= +
ˆn
e
/ /
ˆ ˆn
t
de e
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
2 0 0
t
t
t
t
de
dS
e
de
e
dS
• = • =
ˆt
de
34. DERIVADA DE UN VECTOR RELATIVO RESPECTO DE UN SISTEMA
INERCIAL DE REFERENCIA
Sea A un vector relativo dentro de un sistema móvil de referencia:
ˆ
ˆ ˆ
x y z
A A i A j A k
= + +
Sea la velocidad angular absoluta
del sistema móvil con respecto al
sistema inercial de referencia:
( ) ( )
XYZ xyz
A A A
= +
Se cumple:
ˆ
I
ˆ
J
K̂
Sistema
inercial de
referencia
Sistema
movil
35. O
X
Y
d
ˆ
i
ˆ
di
ĵ
d
dt
= =
También: ˆ
d d k
=
De donde: ˆ
d
k
dt
= =
Ahora de la figura utilizando
el concepto de vector unitario:
ˆ ˆ ˆ....(1)
di di j
=
Asimismo utilizando
el concepto de longitud de arco:
ˆ ˆ
di d i d
= =
Reemplazando en la ecuación (1):
ˆ ˆ....(2)
di d j
=
Trabajando en forma infinitesimal
ˆ
ˆ ˆ ˆ......(3)
di d
i j j
dt dt
= = = Ahora efectuando la multiplicación vectorial:
ˆ
ˆ ˆ ˆ.......(4)
i k i j
= =
Con lo que demostramos que (3)=(4):
ˆ ˆ
i i
=
Generalizando:
ˆ ˆ
j j
= ˆ ˆ
k k
= r r
=
36. ˆ
ˆ ˆ
x y z
A A i A j A k
= + + ( ) ˆ
ˆ ˆ
x y z
xyz
A A i A j A k
= + +
( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x x y y z z
XYZ
A A i A i A j A j A k A k
= + + + + +
ˆ
ˆ i
i = ˆ
ˆ j
j = ˆ
ˆ k
k =
( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
x y z
XYZ
x y z
A A i A j A k i j k
A A A
= + + + + +
( ) ( ) ˆ
ˆ ˆ
( )
x y z
XYZ xyz
A A A i A j A k
= + + +
( ) ( )
XYZ xyz
A A A
= +
Como:
( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
x y z
Z
y z
X
x
Y
A i
A A i A j
j A k A k
A
= + +
+ + +
( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
x y z
x y z
XYZ
A A A
A A i A j A k i j k
= + + + + +
Demostramos que :
De :
37. De la figura tenemos algunas propiedades importantes:
t
v a
a
v
•
=
n
v a
a
v
=
3
v
v a
=
2 2
t n
a a a
= +
3/2
2
2
2
1 ( )
dy
dx
d y
dx
+
=
38. BLOQUE B (4 puntos)
El vagón de una Mina sigue la trayectoria [m], y es jalado por un motor de
diámetro 1m, con una rapidez angular = 5rad/s y una aceleración angular
constante de 4 rad/s2 (ambos en sentido horario), cuando el vagón está a un
nivel de 2 m debajo del eje x, determine:
a.- La magnitud de la velocidad del vagón.(m/s)
b.- La magnitud del radio de curvatura.(m)
c.- La magnitud de la aceleración normal del vagón.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración del vagón.(m/s2)
2
32
x
y =
39. A
v
A
. 5(0,5) 2 /
,5
A
v r m s
= = =
2
. 4(0,5) 2 /
t
A
a r m s
= = =
2
32 16
dy x x
dx
= =
2
2
1
0,0625
16
d y
dx
= =
2
32
x
y =
2
2 8
32
x
x m
= =
8
0,5
16
dy
dx
= =
3
2 2
2
2
1
dy
dx
d y
dx
+
= ( )
( )
3
2 2
1 0,5
0,0
22,3606
625
m
+
= =
2 2
2
(2,5)
/
22,3206
0,28
n
v
a m s
= = =
( ) ( )
2 2
t n
a a a
= +
( ) ( )
2 2 2
2 0,2 9
8 5 /
2,01
a m s
= + =
(1 pto)
(0,5 ptos)
(0,5 ptos)
(1 pto)
(1 pto)
40. ˆ ˆ
r
v re r e
= +
Vector Velocidad:
Vector Aceleración:
2
ˆ ˆ
( ) ( 2 )
r
a r r e r r e
= − + +
Donde:
2
( )
r
a r r
= −
( 2 )
a r r
= +
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES
RADIAL Y TRANSVERSAL
COORDENADAS POLARES
Es útil para aplicaciones en problemas de movimiento plano:
Vector posición: ˆr
r re
=
Donde:
r
v r
= v r
=
a
r
a
a
2 2
r
v v v
= +
2 2
r
a a a
= +
La vida no cuenta los pasos que has dado, sino las
huellas que has dejado”
48. PROBLEMA
En un diseño de un mecanismo de control la
guía se mueve con una velocidad horizontal
constante de vx = 15 m/s durante el intervalo
de x = - 8 m a x = + 8 m. Para x = 6 m,
determine:
a.- La magnitud de la rapidez de la partícula
P.(m/s)
b.- La magnitud de la aceleración de P en el
eje Y.(m/s2)
c.- La magnitud de la aceleración de la
partícula P.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración normal de la
partícula P.(m/s2)
e.- La magnitud de la aceleración tangencial
de la partícula P.(m/s2)
23,4307
45
45
28,8081
34,5699
49.
50.
51. ( ) ( ) ( )
2
2 2
x y z
v v v v
= + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
x y z
a a a a
= + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
R X Y Z
= + +
R
52. MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)
La posición de la partícula P se define utilizando las
coordenadas cilíndricas (a)
Descomponiéndose en términos de sus vectores unitarios:
ˆ
ˆ ˆ
, ,
r
e e k
Siendo R el vector posición: ˆ
ˆr
R re zk
= +
ˆ
ˆ ˆ
r
dR
v re r e zk
dt
= = + +
2
2
2
ˆ
ˆ ˆ
( ) ( 2 )
r
dv d R
a r r e r r e zk
dt dt
= = = − + + +
r
v r
= v r
= z
v z
=
2
r
a r r
= − 2
a r r
= + Z
a z
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
r z
v v v v
= + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
r z
a a a a
= + +
Siempre se mide a partir del eje
Positivo X
54. Vr = 4,5962 m/s
v = 6,128 m/s
vZ = 3,8567 m/s
ar = - 24,512 m/s2
a = 36,7698 m/s2
aZ = 0 m/s2
Respuestas con 4 decimales
truncado
Ejemplo 1
La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante
mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante
Para el instante cuando = /2 rad, determine:
4 /
rad s
=
6 /
S m s
=
Obligatorio: Resolver por Coordenadas Cilíndricas
1.- La magnitud de la velocidad radial vr .(m/s)
2.- La magnitud de la velocidad transversal v
.(m/s)
3.- La magnitud de la velocidad vZ.(m/s)
4.- La magnitud de la aceleración radial ar .(m/s2)
5.- La magnitud de la aceleración transversal
a.(m/s2)
6.- La magnitud de la aceleración en el eje
Z.(m/s2)
55. Donde:
2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2
( )
2
Cos d R
a R Sen
R dt
= −
2
2
1 ( )
d R
a R Sen Cos
R dt
= +
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
a a a a
= + +
R
v R
=
v R Cos
=
v R
=
56. Vr = 4,5962 m/s
v = 6,128 m/s
vZ = 3,8567 m/s
ar = - 24,512 m/s2
a = 36,7698 m/s2
aZ = 0 m/s2
R
S
r
z
40
50
2
S m
=
Solución:
S
r
z
Percibimos que el ángulo =40=cte.
Sabemos que S=2m, 6 /
S m s
= 0
S =
Se cumple:
. 40
r S Cos
=
( )
. 40 0
r S Cos S
= +
0 0
= =
6. 40
r Cos
=
Derivando respecto del tiempo:
Para S= 2m y =40:
2. 40
r Cos
=
4,5962 /
r m s
=
1,532
r m
=
r z
r z
r z
= = =
= = =
= = =
57. . 40 4,5962 /
r SCos m s
= =
Derivando respecto del tiempo la ecuación:
. 40 (0)
r SCos S
= + 0
r =
De igual manera se procede con:
.Sen40
z S
=
.Sen40
z S
= 6.Sen40 3,8567 /
z m s
= =
.Sen40
z S
= 0
z =
2.Sen40 1,2855
z m
= =
También:
2
rad
= 4 /
rad s cte
= = 0
=
Luego:
4,5962 /
r
v r m s
= =
( )
1,532 4 6,128 /
v r m s
= = =
3,8567 /
z
v z m s
= =
2 2
0 1,532(4)
r
a r r
= − = −
2 1,532(0) 2(4,5962)(4)
a r r
= + = +
0
Z
a z
= =
2
24,512 /
r
a m s
= −
2
36,7696 /
a m s
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
r z
v v v v
= + +
8,5762 /
v m s
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
r z
a a a a
= + +
2
44,1909 /
a m s
=
58. Los carros de un Parque de Atracciones están sujetos a unos brazos de longitud
constante R = 8m, los que están articulados en un plato central giratorio que
arrastra al conjunto en torno a su centro, siguiendo la relación Z = (h/2)(1-Cos2).
Si h = 4m y = 8k [rad/s] constante. Para = /4 rad, determine:
1.- La magnitud de la velocidad radial.(m/s)
2.- La magnitud de la velocidad transversal.(m/s)
3.- La magnitud de la velocidad en el eje Z.(m/s)
4.- La magnitud de la aceleración radial.(m/s2)
5.- La magnitud de la aceleración transversal a.(m/s2)
6.- La magnitud de la aceleración en el eje Z.(m/s2)
Ejemplo 2 Obligatorio: Resolver por Coordenadas Cilíndricas
Respuestas con 4
decimales
truncado
r z
r z
r z
= = =
= = =
= = =
EL INFORME QUE
ENTREGUEN TIENE QUE
SER UTILIZANDO
NORMAS APA
59. 2
7,7459 2
4
8,2623 / 8 / 32
141,012 / 0 0
r m rad z m
r m s rad s z m
r m s z
= = =
= − = =
= − = =
2
2
636,7496 / s
132,1968 / s
0
r
Z
a m
a m
a
= −
= −
=
2
650,3276 /s
a m
=
61. MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )
Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas
complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido
del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero
manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ
aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el
que tendría el movimiento de B si aumentara pero manteniéndose constantes R y
θ.
R
64. ˆR
R Re
=
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
R R R
dR
v v e v e v e Re R Cos e R e
dt
= = + + = + +
Donde:
R
v R
= v R Cos
= v R
=
EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION
DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS
2
2
ˆ ˆ ˆ
R R
dv d R
a a e a e a e
dt dt
= = = + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
v v v v
= + +
65. Donde:
2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2
( )
2
Cos d R
a R Sen
R dt
= −
2
2
1 ( )
d R
a R Sen Cos
R dt
= +
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
a a a a
= + +
R
v R
=
v R Cos
=
v R
=
67. R
v R
v R Cos
v R
=
=
=
2 2 2
2
2 2
2
R
a R R R Cos
a R Cos R Cos R Sen
a R R R Sen Cos
= − −
= + −
= + +
8 14,4775
4
0 8 4,1312
0 0 4,4066
R
R
R
= = =
= = =
= = =
2
2
2
616,5346 / s
132,1968 / s
159,1882 / s
R
a m
a m
a m
= −
= −
=
68. VR = 6 m/s
v = 6,128 m/s
v = 0
aR = - 18,7783 m/s2
a = 36,7701 m/s2
a = 15,7569 m/s2
Obligatorio: Resolver por Coordenadas Esféricas
La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante
mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante
Para el instante cuando = /2 rad, determine:
Ejemplo 1
1.- La magnitud de la velocidad radial vR .(m/s)
2.- La magnitud de la velocidad transversal v
.(m/s)
3.- La magnitud de la velocidad v.(m/s)
4.- La magnitud de la aceleración radial aR
.(m/s2)
5.- La magnitud de la aceleración transversal
a.(m/s2)
6.- La magnitud de la aceleración a .(m/s2)
Respuestas con 4 decimales
truncado
4 /
rad s
=
6 /
S m s
=
R
v R
v R Cos
v R
=
=
=
2 2 2
2
2 2
2
R
a R R R Cos
a R Cos R Cos R Sen
a R R R Sen Cos
= − −
= + −
= + +
69. VR = 6 m/s
v = 6,128 m/s
v = 0
aR = - 18,7783 m/s2
a = 36,7701 m/s2
a = 15,7569 m/s2
6 /
R
v R m s
= =
Utilizando el método de coordenadas esféricas tenemos:
V = 8.5764 m/s
S
2
rad
= 4 /
rad s cte
= = 0
=
2 6 s 0
R m R m R
= = =
40 0 0
= = =
2(4) 40
v R Cos Cos
= =
0
v R
= =
6,1283 /
v m s
=
6 /
R
v m s
=
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
v v v v
= + +
R
70. a = 44,1922 m/s2
2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
2 2 2
0 2(0) 2(4 ) 40
R
a Cos
= − −
2
18,7783 /
R
a m s
= −
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2(6)(4) 40 2(0) 40 2(2)(4)(0) 40
a Cos Cos Sen
= + −
2
36,7701 /
a m s
=
2
2(6)(0) 2(0) 2(4) 40 40
a Sen Cos
= + +
2
15,7569 /
a m s
=
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
a a a a
= + +
R
71. Vr = 4,5962 m/s
v = 6,128 m/s
vZ = 3,8567 m/s
ar = - 24,512 m/s2
a = 36,7698 m/s2
aZ = 0 m/s2
a.- Vr = 4,5962 (m/s)
b.- v = 6,1283 (m/s)
c.- vZ = 3,8567 (m/s)
d.- ar = -24,5134 (m/s2)
e.- a = 36,7701 (m/s2)
f.- aZ = 0 (m/s2)
Cuando esta en B, hallar:
Respuestas con 4 decimales
truncado
R
R
r
z
40
50
2
S m
=
V = 8.5764 m/s a = 44,1921 m/s2
a.- ar = (m/s2)
b.- a = (m/s2)
c.- aZ = (m/s2)
a.- Vr (m/s)
b.- v (m/s)
c.- vZ = (m/s)
72. Vr = 4,5962 m/s
v = 6,128 m/s
vZ = 3,8567 m/s
ar = - 24,512 m/s2
a = 36,7698 m/s2
aZ = 0 m/s2
a.- Vr = (m/s)
b.- v = (m/s)
c.- vZ = (m/s)
d.- ar = (m/s2)
e.- a = (m/s2)
f.- aZ = (m/s2)
Hallar:
Respuestas con 4 decimales
truncado
73. ˆ
ˆ ˆ
r
v re r e zk
= + +
2
2
2
ˆ
ˆ ˆ
( ) ( 2 )
r
dv d R
a r r e r r e zk
dt dt
= = = − + + +
RESOLVER
OBLIGATORIAMENTE
EN COORDENADAS
CILINDRICAS
R
74. Primero determinaremos las
variaciones de respecto del
tiempo:
4
rad
=
8 /
rad s
=
0
=
Con h = 4 m = cte. lo
reemplazamos en Z y
determinamos las variaciones
de z respecto del tiempo:
2 2 2
z Cos
= − Para = /4
4 2 ( )
z Sen
= Para = /4 32 /
z m s
=
2
8 2 ( ) 4 2 ( )
z Cos Sen
= +
2
z m
=
0
z =
Para = /4
75. r
2
64
r z
= −
De la figura obtenemos:
8 .
R m cte
= =
Para z = 2m: 7,7459
r m
=
( )
1/2
2
64
r z
= −
( )
1/2
2
2
1 ( )
64 .( 2 . )
2 64
z z
r z z z
z
− −
= − − =
− 8,2623 /
r m s
= −
: 2 32 /
Para z m z m s
= =
( )
2 2
2
2
{ ( )}
64 [( ( ) (z) ] [ ( )]
64
64
z z
z z z z z
z
r
z
−
− − + − −
−
=
−
( )
2 2 2
3/2
2 2
( ) (z) ( )
64 64
z z z z
r
z z
− −
= −
− −
0
z =
Con:
Obtenemos:
2
141
,011 /
r m s
=−
76. La velocidad en coordenadas cilíndricas es:
ˆ
ˆ ˆ
r
v re r e zk
= + +
8,2623 /
r
v r m s
= =−
(7,7459)(8) 61,9672 /
v r m s
= = =
32 /
z
v z m s
= =
Ordenando la información:
2
7,7459
8,2623 /
141,011 /
r m
r m s
r m s
=
= −
= −
4
8 /
0
rad
rad s
=
=
=
2
32 /
0
z m
z m s
z
=
=
=
Luego determinamos cada componente de esta velocidad:
70,2296 /
v m s
=
77. De igual manera calcularemos las componentes de la aceleración en coordenadas
cilíndricas:
2
7,7459
8,2623 /
141,011 /
r m
r m s
r m s
=
= −
= −
4
8 /
0
rad
rad s
=
=
=
2
32 /
0
z m
z m s
z
=
=
=
2 ˆ
ˆ ˆ
( ) (2 )
r
a r r e r r e zk
= − + + +
2 2
( ) ( 141,011 7,7459(8)
r
a r r
= − = − −
2
636,7486 /
r
a m s
= −
2 2( 8,2623)(8) (7,7459)(0)
a r r
= + = − +
2
132,1968 /
a m s
= −
0
z
a z
= =
0
z
a =
2
650,3266 /
z
a m s
=
78. MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )
Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas
complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido
del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero
manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ
aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el
que tendría el movimiento de B si aumentara pero manteniéndose constantes R y
θ.
80. ˆR
R Re
=
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
R R R
dR
v v e v e v e Re R Cos e R e
dt
= = + + = + +
Donde:
R
v R
= v R Cos
= v R
=
EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION
DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS
2
2
ˆ ˆ ˆ
R R
dv d R
a a e a e a e
dt dt
= = = + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
v v v v
= + +
81. Donde: 2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2
( )
2
Cos d R
a R Sen
R dt
= −
2
2
1 ( )
d R
a R Sen Cos
R dt
= +
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
a a a a
= + +
R
v R
=
v R Cos
=
v R
=
82. TALLER
VR = 6 m/s
v = 6,128 m/s
v = 0
aR = - 18,7783 m/s2
a = 36,7701 m/s2
a = 15,7569 m/s2
R
v R
v R Cos
v R
=
=
=
Utilizando el método de coordenadas esféricas, determine:
2 2 2
2
2 2
2
R
a R R R Cos
a R Cos R Cos R Sen
a R R R Sen Cos
= − −
= + −
= + +
a.- VR = 6 (m/s)
b.- v = 6.1283 (m/s)
c.- v = 0 (m/s)
a.- aR = - 18,7783 (m/s2)
b.- a = 36.7701 (m/s2)
c.- a = 15,7569 (m/s2)
V = 8.5764 m/s
a = 44,1922 m/s2
83. RESOLVER
OBLIGATORIAMENTE
EN COORDENADAS
ESFERICAS
ˆR
e
R
v R
v R Cos
v R
=
=
=
2 2 2
2
2 2
2
R
a R R R Cos
a R Cos R Cos R Sen
a R R R Sen Cos
= − −
= + −
= + +
8 14,4775
4
0 8 4,1312
0 0 4,4066
R
R
R
= = =
= = =
= = =
2
2
2
616,5346 / s
132,1968 / s
159,1882 / s
R
a m
a m
a m
= −
=
=
84. BLOQUE A (4 puntos)
El avión se mueve en una trayectoria
rectilínea donde su rapidez en A es
252 km/hr y su aceleración constante
es de 2 m/s2
. Para un tiempo de 60 s
determine:
a.- La componente r
v de la velocidad
de P.(m/s)
b.- La componente v de la velocidad
de P.(m/s)
c.- La componente R
v de la velocidad de P.(m/s)
d.- La componente v de la velocidad de P.(m/s)
85. Transformacion de Coordenadas
Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un Sistema desconocido,
en base a otros conocidos.
Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el
algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:
Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:
ˆr
e
ê
Haciendo una vista de Planta:
X
v Y
v
Z
v
r
v
v
Z
v
86.
r
O
X
Y
X
v
Y
v
ˆr
e
ê
0
r x y z
v v Cos v Sen v
= + +
x
v Cos
x
v Sen
y
v Cos
y
v Sen
0
x y z
v v Sen v Cos v
= − + +
0 1
z x y z
v ov v v
= + +
r
v
v
Z
v
Z
v
87. Donde:
cos 0
cos 0
0 0 1
r x
y
z z
v sen v
v Sen v
v v
= −
88. ]
][
[
]
[ )
,
,
(
)
,
,
( z
y
x
z
r v
T
v
=
−
=
1
0
0
0
cos
0
cos
Sen
sen
T
]
][
[
]
[ )
,
,
(
)
,
,
( z
y
x
z
r a
T
a
=
Siendo:
En forma similar:
En forma simplificada:
cos 0
cos 0
0 0 1
r x
y
z z
a sen a
a Sen a
a a
= −
89. Transformacion de Coordenadas
]
][
[
]
[ )
,
,
(
1
)
,
,
( z
r
z
y
x v
T
v
−
=
Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:
]
][
[
]
[ )
,
,
(
1
)
,
,
( z
r
z
y
x a
T
a
−
=
−
=
−
1
0
0
0
0
1
Cos
Sen
Sen
Cos
T
cos 0
cos 0
0 0 1
x r
y
z z
v sen v
v Sen v
v v
−
=
cos 0
cos 0
0 0 1
x r
y
z z
a sen a
a Sen a
a a
−
=
90. Transformacion de Coordenadas
]
][
[
]
[ )
,
,
(
)
,
,
( z
r
R v
T
v
=
−
=
Cos
Sen
Sen
Cos
T
0
0
1
0
0
Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:
]
][
[
]
[ )
,
,
(
)
,
,
( z
r
R a
T
a
=
cos 0
0 1 0
0 cos
R r
z
v Sen v
v v
v Sen v
=
−
cos 0
0 1 0
0 cos
R r
z
a Sen a
a a
a Sen a
=
−
91. Transformacion de Coordenadas
]
][
[
]
[ )
,
,
(
1
)
,
,
(
R
z
r v
T
v
−
=
−
=
−
Cos
Sen
Sen
Cos
T
0
0
1
0
0
1
Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:
]
][
[
]
[ )
,
,
(
1
)
,
,
(
R
z
r a
T
a
−
=
cos 0
0 1 0
0 cos
r R
z
v Sen v
v v
v Sen v
−
=
cos 0
0 1 0
0 cos
r R
z
a Sen a
a a
a Sen a
−
=
92. Transformacion de Coordenadas
Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:
−
−
−
=
Cos
Sen
Sen
Cos
Sen
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
T
T 0
cos
cos
]
][
][
[
]
[ )
,
,
(
)
,
,
( z
y
x
R v
T
T
v
=
cos cos
0
R X
Y
Z
v Cos Sen Sen v
v Sen Cos v
v Sen Cos Sen Sen Cos v
= −
− −
93. cos cos
0
R X
Y
Z
a Cos Sen Sen a
a Sen Cos a
a Sen Cos Sen Sen Cos a
= −
− −
]
][
][
[
]
[ )
,
,
(
)
,
,
( z
y
x
R a
T
T
a
=
94. Transformacion de Coordenadas
Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:
−
−
−
=
−
−
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
Cos
Sen
Sen
Cos
Sen
Cos
Cos
T
T
0
1
1
]
][
][
[
]
[ )
,
,
(
1
1
)
,
,
(
R
z
y
x v
T
T
v
−
−
=
0
X R
Y
Z
v Cos Cos Sen Cos Sen v
v Sen Cos Cos Sen Sen v
v Sen Cos v
− −
= −
95. 0
X R
Y
Z
a Cos Cos Sen Cos Sen a
a Sen Cos Cos Sen Sen a
a Sen Cos a
− −
= −
]
][
][
[
]
[ )
,
,
(
1
1
)
,
,
(
R
z
y
x a
T
T
a
−
−
=
96. Donde: 2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2
( )
2
Cos d R
a R Sen
R dt
= −
2
2
1 ( )
d R
a R Sen Cos
R dt
= +
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
a a a a
= + +
R
v R
=
v R Cos
=
v R
=
97. TALLER : TRANSFORMACION DE COORDENADAS
VR = 6 m/s
v = 6,128 m/s
v = 0
aR = - 18,7783 m/s2
a = 36,7701 m/s2
a = 15,7569 m/s2
En base a los resultados de las
aceleraciones en coordenadas
esféricas:
Determine.
ar = ???
a = ???
aZ = ???
ar = - 24,512 m/s2
a = 36,7698 m/s2
aZ = 0 m/s2
a.- Vr = 4,5962 (m/s)
b.- v = 6,1283 (m/s)
c.- vZ = 3,8567 (m/s)
d.- ar = -24,5134 (m/s2)
e.- a = 36,7701 (m/s2)
f.- aZ = 0 (m/s2)
98.
99. BLOQUE A
La Grúa Liebherr telescópica móvil de 10
m de largo en el instante mostrado, gira
alrededor del eje vertical CD a razón
constante de 3 rad/s y el extremo B se
aleja de A (observe los detalles de la
figura derecha) a razón constante de 0,2
m/s. Si disminuye a razón constante de
2 rad/s. Para el instante mostrado cuando
= 30, determine:
a.- La magnitud de la aceleración aR de la
arandela.(m/s2)
b.- La magnitud de la aceleración a de la
arandela.(m/s2)
c.- La magnitud de la aceleración
transversal a .(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración aX
.(m/s2)
e.- La magnitud de la aceleración aY de la
arandela.(m/s2)
f.- La magnitud de la aceleración aZ de la
arandela.(m/s2)
g.- La magnitud de la aceleración de
B.(m/s2)
100. R
v R
=
v R Cos
=
v R
=
2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
( ) ( ) ( )
2
2 2
R
a a a a
= + +
10 60
2
0,2 / 3 / 2 /
0 0 0
R m rad
R m s rad s rad s
R
= = =
= = = +
= = =
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES
a aR -62,5 m/s
b a -103.323 m/s
c a 39,7711 m/s2
101. RESULTADOS
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES
d aX 103,323 m/s2
e aY -65,6927 m/s
f aZ -34,241 m/s
g a 127,1362 m/s2
−
−
−
=
−
−
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
Cos
Sen
Sen
Cos
Sen
Cos
Cos
T
T
0
1
1
0
X R
Y
Z
a Cos Cos Sen Cos Sen a
a Sen Cos Cos Sen Sen a
a Sen Cos a
− −
= −
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES
a aR -62,5 m/s
b a -103.323 m/s
c a 39,7711 m/s2
102. RESULTADOS BLOQUE C
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES
A vX 0,0966 m/s
B vZ 0,2779 m/s
C aX 0,6071 m/s2
D aZ 0,3853 m/s2
−
−
−
=
−
−
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
Cos
Sen
Sen
Cos
Sen
Cos
Cos
T
T
0
1
1
R
v R
v R Cos
v R
=
=
=
2 2 2
2
2 2
2
R
a R R R Cos
a R Cos R Cos R Sen
a R R R Sen Cos
= − −
= + −
= + +
0
X R
Y
Z
a Cos Cos Sen Cos Sen a
a Sen Cos Cos Sen Sen a
a Sen Cos a
− −
= −
108. BLOQUE A (4 puntos)
El avión se mueve en una trayectoria
rectilínea donde su rapidez en A es
252 km/hr y su aceleración constante
es de 2 m/s2
. Para un tiempo de 60 s
determine:
a.- La componente r
v de la velocidad
de P.(m/s)
b.- La componente v de la velocidad
de P.(m/s)
c.- La componente R
v de la velocidad de P.(m/s)
d.- La componente v de la velocidad de P.(m/s)
109. 0 70 2(60) 190 /
P
v v at m s
= + = + =
P
v
P
a
2
2 /
P
a m s cte
= =
2 2
0 0
1 1
0 70(60) (2)(60)
2 2
S S v t at
= + + = + +
7800
S m
=
15 Y
Z
Y
v
190 15 183,5259
Y
v Cos
= =
Z
v
190 15 49,1756 /
Z
v Sen m s
= =
7534,2214
2,5114
300
68,288
0
3
tg
= =
=
2 2
(7534,2214) (30
810
0
9
0)
,5309
r
r m
+
=
=
0
0
0 0 1
r X
Y
z Z
v Cos Sen v
v Sen Cos v
v v
−
=
68,2883 68,2883 0 0
68,2883 68,2883 0 183,5259
0 0 1 49,1756
r
z
v Cos Sen
v Sen Cos
v
−
=
170,506 /
r
v m s
=− 67,8929 /
v m s
=
S
110. P
v
P
a
15 Y
Z
Y
v
190 15 183,5259
Y
v Cos
= =
Z
v
190 15 49,1756 /
Z
v Sen m s
= =
2018,7885
0,24894
8109,53
13,979
09
tg
=
= =
2 2
(7534,2214) (30
810
0
9
0)
,5309
r
r m
+
=
=
cos cos
0
R X
Y
Z
v Cos Sen Sen v
v Sen Cos v
v Sen Cos Sen Sen Cos v
= −
− −
cos13,979. 68,2883 13,979.Sen68,2883 13,979 0
68,2883 68,2883 0 183,5259
13,979. 68,2883 13,979. 68,2883 13,979 49,1756
R
v Cos Cos Sen
v Sen Cos
v Sen Cos Sen Sen Cos
= −
− −
177,3355 /
R
v m s
= 6,5307 /
v m s
=
0
X
v =
2 2
(2018,7885) (8109,5309)
8357,0328
R m
R
=
= +
111. RESULTADOS BLOQUE A
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION
a Vr 170,506 m/s
b V 67,8929 m/s
c vR 177,3355 m/s
d v 6,5307 m/s
113. Un niño se desliza por un tobogán acuático AB. La descripción del movimiento en
coordenadas cilíndricas es R = 4m, = at2 y z = h(1 - t2); cuando el niño se encuentra
en B, calcule:
a.- La magnitud de la velocidad vR.(m/s)
b.- La magnitud de la aceleración aR.(m/s2)
c.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)
114. cos 0
0 1 0
0 cos
R r
z
v Sen v
v v
v Sen v
=
−
cos 0
0 1 0
0 cos
R r
z
a Sen a
a a
a Sen a
=
−
r
v r
= v r
=
z
v z
=
2
r
a r r
= − 2
a r r
= +
Z
a z
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
r z
v v v v
= + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
r z
a a a a
= + +
115. Luego z derivando y reemplazando:
1.- Observamos que la trayectoria de la
partícula se hace a través de un cilindro:
2
3 3
z t
= −
4
0
0
r m cte
r
r
= =
=
=
2.- De la expresión:
2
0
3(2) 6 /
6 /
z
z t m s
z m s
=
= − = −
= −
Para z = 0 determinamos el tiempo t
2
0 3 3 1
t t s
= − =
3.- De la expresión:
2
at
= En B: = rad
2
at
=
2
(1)
a a
= = 2
t
=
2 2 /
t rad s
= =
2
2 2 /
rad s
= = 2
2 /
2 /
rad
rad s
rad s
=
=
=
R
116. 0
r
v r
= =
6 /
z
v z m s
= =−
2
6 /
Z
a z m s
= = −
4
0
0
r m
r
r
=
=
= 2
0
6 /
6 /
z
z m s
z m s
=
= −
= −
2
2 /
2 /
rad
rad s
rad s
=
=
=
4(2)(3,1416) 25,1328 /
v r m s
= = =
2 2 2
4(2 ) 157,9144 /
r
a r r m s
= − = − = −
2
2 4(2 ) 25,1328 /
a r r m s
= + = =
Determinando las expresiones de la velocidad y
aceleración en coordenadas cilíndricas:
117. Ahora en velocidades realizaremos la transformación de
coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0
0
0 1 0
0
R r
z
v Cos Sen v
v v
v Sen Cos v
=
−
0 0 0 0
0 1 0 25,1328
0 0 0 6
R
v Cos Sen
v
v Sen Cos
=
− −
1 0 0 0
0 1 0 25,1328
0 0 1 6
R
v
v
v
=
−
0
R
v = 6 /
v m s
= −
25,1328 /
v m s
=
118. Ahora en aceleraciones realizaremos la transformación de
coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0
0
0 1 0
0
R r
z
a Cos Sen a
a a
a Sen Cos a
=
−
0 0 0 157,9144
0 1 0 25,1328
0 0 0 6
R
a Cos Sen
a
a Sen Cos
−
=
− −
1 0 0 157,9144
0 1 0 25,1328
0 0 1 6
R
a
a
a
−
=
−
2
157,9144 /
R
a m s
= −
2
6 /
a m s
= −
2
25,1328 /
a m s
=
119.
120.
121. Las barquillas del Tiovivo del Parque de Atracciones se mueven con una
frecuencia angular N = 11,2 RPM constante para β = (π/6)t, para t = 1 s
Calcule en coordenadas esféricas:
1.- La velocidad radial.(m/s)
2.- La velocidad transversal en θ.(m/s)
3.- La velocidad transversal en .(m/s)
4.- La aceleración radial.(m/s2)
5.- La aceleración transversal en θ.(m/s2)
6.- La aceleración transversal en .(m/s2)
122. El problema se puede resolver por dos métodos:
1.- Coordenadas cilíndricas
2.- Coordenadas esféricas
1 Forma de Solución: Coordenadas esféricas:
4,6m
R
2 2 2
(4,6) (9,2) 2(4,6)(9,2) (90 )
o
R Cos
= + − +
De la figura utilizando la Ley de Cosenos:
1
,1728 /
N rad s
= =
0
=
2
105,8 84,64
R Sen
= + Para t = 1 s 6
rad
= R = 12,17 m
(1)
2 84,64
6 6
RR Cos t
= 1,5768 /
R m s
=
Derivando (1) respecto de t:
123. 2 84,64
6 6
RR Cos t
=
Nuevamente derivando (2):
(2):
2 2
2( . ) ( ) (84,64)
6 6
R R R Sen t
+ = −
Para t = 1 s:
2
0,6809 /
R m s
=−
Ahora determinaremos
el ángulo y
4,6m
R
9,2Sen(/6)t
9,2Cos(/6)t
Z
r
9,2
6
4,6 9,2
6
Cos t
Z
tg
r Sen t
−
= =
+
40,8932
=−
Para t = 1 s:
Derivando la tg:
2
2
(4,6 (9,2 ))(9,2( ) ) ( 9,2 )(9,2( ) )
6 6 6 6 6 6
(4,6 (9,2 ))
6
Sen t Sen t Cos t Cos t
Sec
Sen t
+ − −
=
+
0,37588 /
ra s
=
1,5768 /
R
v R m s
= =
12,17(1,1728) ( 40,8932 )
v R Cos Cos
= = −
12,17(0,37588)
v R
= =
10,7893 /
v m s
=
4,5744 /
v m s
=
124. Reemplazando datos para el calculo de las aceleraciones tenemos:
2 2 2
R
a R R R Cos
= − −
2 2
a R Cos R Cos R Sen
= + −
2
2
a R R R Sen Cos
= + +
2 2 2
( 0,6809) (12,17)(0,37588) (12,17)(1,1728) ( 40,8932)
R
a Cos
= − − − −
2
11,9657 /
R
a m s
= −
2(1
,5768)(1
,1728) ( 40,8932 ) 12,17(0) ( 40,8932 ) 2(12,17)(1
,1728)(0,37588) ( 40,8932 )
a Cos Cos Sen
= − + − − −
2
15,8917 /
a m s
= −
2
2
a R R R Sen Cos
= + + COMPLICADO CALCULAR:
125. 2 Forma de Solución: Coordenadas Cilíndricas:
4,6m
R
9,2Sen(/6)t
Z
9,2Cos(/6)t
ˆ
ˆr
R re zk
= +
4,6 9,2
6
r Sen t
= +
( )9,2
6 6
r Cos t
=
2
( ) 9,2
6 6
r Sen t
= −
Para t = 1 s
9,2
r m
=
4,17171 /
r m s
=
2
1
,2611 /
r m s
=
9,2
6
z Cos t
= −
( )9,2
6 6
z Sen t
=
2
( ) 9,2
6 6
z Cos t
=
Para t = 1 s 7,9674
z m
=−
2,4085 /
z m s
=
2
2,1843 /
z m s
=
También:
2
rad
=
1
,1728 /
N rad s cte
= = = 0
=
2 2
1,2611 (9,2)(1,1728) 13,9153 /
r
a m s
= − − = −
2
(9,2)(0) 2(4,1717)(1,1728) 9,7851 /
a m s
= + =
2,4085 /
Z
v m s
=
4,1717 /
r
v m s
= 10,7897 /
v m s
=
2
2,1843 /
Z
a m s
=
