Este documento presenta las propiedades fundamentales de los números reales. 1) Explica que los números reales (R) forman un conjunto que incluye a los números racionales (Q), enteros (Z) y naturales (N). 2) Enumera las propiedades básicas de los números reales como la asociativa, conmutativa, distributiva, identidad e inversa para la suma y multiplicación. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar cada propiedad.

1. Propiedades de los
Números Reales
Prof. Guillermo Calle

2. Conjuntos de números
Números
Imaginarios
Números Complejos ℂ
Números Reales ℝ
Números Racionales ℚ
Números Enteros ℤ
Números
Naturales
ℕ

3. Ejercicios de práctica
• Nombra el conjunto (o conjuntos) a los
que pertenecen los siguientes números:
1) -15 2) 11 3) 30
17
4) 3
5) 6 6) 0
7) -13 8) 3
10
9) 11
10) 𝜋
475
11) 325
12) 77
10
13) 5
14) 0 15) − 135
3

4. Propiedades de
Números Reales
• Asociativa
• Conmutativa
• Distributiva
• Identidad
• Inverso

5. Propiedad Asociativa
• Asociativa de la suma:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
• Asociativa de la multiplicación:
𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐)

6. Propiedad Conmutativa
• Conmutativa de la suma:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
• Conmutativa de la multiplicación:
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

7. Propiedad Distributiva
• Suma:
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
• Resta:
𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐

8. Identidad
• Suma:
• Multiplicación:
𝑎 + 0 = 𝑎
𝑎 × 1 = 𝑎

9. Inversa
• Suma:
• Multiplicación:
𝑎 + (−𝑎) = 0
𝑎 ×
1
𝑎
= 1

10. Identifica la propiedad que se
muestra a continuación
• 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥
• 𝑧𝑘 𝑚 = 𝑚 𝑧𝑘
• 3 + 4 + 6 = 6 + 4 + 3
• −6𝑥 ∙ 2 = 2 ∙ −6𝑥
• 5𝑥³ = 𝑥³ ∙ 5
• 2𝑥 𝑥 − 5 = 2𝑥² − 10𝑥
•
3𝑥³−4
• 7𝑥
1
7𝑥
• 0 + 𝑦 = 𝑦
• −6𝑥3𝑦2𝑚 + 6𝑥3𝑦2𝑚 = 0
3𝑥³−4
= 1
= 1
• 9𝑚³𝑛³𝑝³ ∙ 1 = 9𝑚³𝑛³𝑝³

11. Utiliza la propiedad distributiva
para simplificar cada expresión.
• −6(𝑎 + 8)
• 4(1 + 9𝑥)
• 6 −5𝑛 + 7
• (9𝑚 + 10) ∙ 2
• −4 − 3𝑛 ∙ −8
• 8 −𝑏 − 4
• −4 −8𝑥 − 8
• −6(7 + 𝑥)
• −3 𝑥 − 5
• −7 5𝑘 − 4
• −5 7𝑎 − 6
• (1 + 2𝑣) ∙ 5

12. Reglas de divisibilidad
Un número es divisible
por:
Si, …
2 su último dígito es par (termina en 0, 2, 4, 6 u 8).
3 la suma de sus dígitos es divisible por 3.
4 los últimos dos dígitos son divisibles por 4.
5 termina en 0 o 5.
6 es divisible por 2 y divisible por 3.
9 la suma de los dígitos es divisible por 9.
10 termina en 0.
11 la diferencia entre la suma de los dígitos pares y
los impares es 0 o un múltiplo de 11.

13. Completa la siguiente tabla
Número
Divisible por :
2 3 4 5 6 9 10 11
1) 63
2) 255
3) 84
4) 180
5) 70
6) 333
7) 5,058
8) 10,800
9) 5,401
10) 6,358

14. Propiedad de
clausura de la suma
• Sean a y b números reales, entonces
a + b es un número real.
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ

15. Propiedad de
clausura de la multiplicación
• Sean a y b números reales, entonces
a × b es un número real.
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → (𝑎 × 𝑏) ∈ ℝ

16. Practica lo aprendido

17. Indique la propiedad de los reales
que justifica el enunciado
1) 0 + (-5) = -5
2) -2 ( x + y) = -2x + -2y
3) (a + b) c = c (a + b)
4) 5x + 5y = (x + y)5

18. Suma de
números reales
(+) + (+) = Suma (+)
(-) + (-) = Suma (-)
(+) + (-) = Resta
Sign
(-) + (+) =
núm
Resta ma
o del
ero
yor

19. Multiplicación de
números reales
(+) × (+) = (+)
(-) × (-) = (+)
(+) × (-) = (-)
(-) × (+) = (-)