Documento de ppte para la informacion de los fundamentos de algebra

1. Fundamentos de Algebra
Matemáticas
• LOS NÚMEROS REALES
• EXPONENTES
• FACTORIZACIÓN
• FRACCIONES ALGEBRAICAS
• ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES
• ECUACIONES CUADRÁTICAS Y APLICACIONES
• DESIGUALDADES Y APLICACIONES
UNIDAD 1

2. 1.1 LOS NÚMEROS REALES
• Clasificación
• Propiedades
• Operaciones

3. 3
Clasificación de los Números Reales

4. 4
Los números racionales consisten de todas las fracciones,
𝑎
𝑏
donde a y b son enteros con b ≠ 0.
Un número es racional si podemos expresarlo como la razón de
dos enteros con denominador distinto de cero.
Ejemplos:
Números Racionales
0.25 =
1
4
0. 6 =
1
6

5. 5
Los enteros incluyen los números naturales, los negativos de
cada número natural y el número cero (0). De este modo,
podemos representar el sistema de los enteros mediante.
..…….., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,…………
Ejemplos:
5 + 2 = - 3
(- 5)(3)= -15
8 + 4 = 12
8
4
= 2
Números Enteros

6. 6
Los números naturales son los que están formados por: 1, 2, 3, 4,
.……….∞
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales
cualesquiera, el resultado siempre es un número natural.
Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos
sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir.
Ejemplo:
5 + 2 = 7
(5) (4) = 20
5 – 8 = -3 no pertenece a N
2
7
= 0.2857 no pertenece a N
Números Naturales

7. 7
Los números que no se pueden expresar como la fracción de dos
enteros se los denomina números irracionales.
IMPORTANTE:
Se deduce que todo número irracional también puede
representarse por un punto sobre la recta numérica. En
consecuencia, todos los números reales, tantos los racionales
como los irracionales, pueden representarse por tales puntos.
Más aún, cada punto sobre la recta numérica corresponde a uno
y sólo un número real.
Ejemplos de Números Irracionales:
15, 3
29, 𝜋 = 3.141592 …, 𝑒 = 2.718281 … ,
4
124
Números Irracionales

8. 8
Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un
número real; de manera similar, cuando dos números reales se
multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos
operaciones de adición y multiplicación son fundamentales en el
sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades que
se enuncian a continuación:
Propiedades Conmutativas.- Si a y b son dos números reales
cualesquiera, entonces:
Propiedades de los Números Reales
𝑎+𝑏 = 𝑏 + 𝑎 y 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

9. 9
Ejemplos:
Multiplicación:
• 4 ∙ 6 = 6 ∙ 4
• −3 ∙ 5 = 5 ∙ −3
• 14 ∙ 1 = 1 ∙ 14
• 12 ∙ −2 = −2 ∙ (12)
Suma
• 3 + 5 = 5 + 3
• −5 + 4 = 4 + −5
• 8 + 7 = 7 +8
• −3 + 9 = 9 + −3

10. 10
Propiedades Asociativas.- Si a, b y c son tres números reales
cualesquiera, entonces:
Propiedades de los Números Reales
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑏𝑐
Suma:
• 3 + 5 + 2 = 3 + 5 + 2
• 2 + 4 + 5 = 2 + 4 + 5
Multiplicación:
• 4 ∙ 2 ∙ 2 = 4 ∙ 2 ∙ 2
• 14 ∙ 1 ∙ 3 = 14 ∙ 1 ∙ 3
Ejemplos:

11. 11
Propiedades Distributivas Si a, b y c son números reales
cualesquiera, entonces:
Propiedades de los Números Reales
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 𝑦 𝑏 + 𝑐 𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎
• 2 5 + 2 = 2 5 + 2 2
2 7 = 10 + 4
• 4 + 5 3 = 4 3 + 5 3
9 3 = 12 + 15
Ejemplo:

12. 12
Propiedad Transitiva de la Igualdad.-
Si: 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑏 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐
Elementos Identidad.- Si a es un número real cualquiera,
entonces:
Ejemplos:
𝑎 + 0 = 𝑎 𝑦 𝑎 ∙ 1 = 𝑎
Suma: Multiplicación:
2 + 0 = 2
0 + 4 = 4
3 ∙ 1 = 3
16 ∙ 1 = 16
Propiedades de los Números Reales

13. 13
Si a es un número real arbitrario, entonces existe un único
número real denominado el negativo de 𝒂 (denotado por −𝑎)
en donde −𝒂 es el inverso aditivo de 𝒂 y se cumple que:
Inversos de la Suma y Multiplicación
𝑎 + −𝑎 = 0
𝑎 ∙ 𝑎−1
= 1
Si a no es cero, entonces también existe un único número real
denominado el recíproco de a (denotado por 𝒂−𝟏
) en donde 𝒂−𝟏
es el inverso multiplicativo de a y se cumple que:
Propiedades de los Números Reales

14. 14
Ejemplos:
Multiplicación:
• 4 ∙ 4−1
= 1
4 ∙
1
41 = 1
• 16 ∙ 16−1
= 1
16 ∙
1
161 = 1
Suma:
• 3 + (−3) = 0
• 15 + −15 = 0
• (−3456) + 3456 = 0
• 1′
245000 + (−1′
245000) = 0

15. 15
Otras Propiedades
Propiedad
1) 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
2) 𝑎 − −𝑏 = 𝑎 + 𝑏
3) − 𝑎 = −1 𝑎
4) 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
5) 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
Ejemplo(s)
• 2 − 7 = 2 + −7 = −5
• 2 − −7 = 2 + 7 = 9
• −7 = −1 7
• 6 7 + 2 = 6 ∙ 7 + 6 ∙ 2 = 54
• 6 7 − 2 = 6 ∙ 7 − 6 ∙ 2 = 30

16. 16
6) − 𝑎 + 𝑏 = −𝑎 − 𝑏
7) − 𝑎 − 𝑏 = −𝑎 + 𝑏
8) − −𝑎 = 𝑎
9) 𝑎 0 = 0
10) −𝑎 𝑏 = − 𝑎𝑏 = 𝑎 −𝑏
11) −𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏
12)
𝑎
1
= 𝑎
• − 7 + 2 = −7 − 2 = −9
• − 2 − 7 = −2 + 7 = 5
• − −2 = 2
• 2 0 = 0
• −2 7 = − 2 ∙ 7 = 2 −7 = −14
• −2 −7 = 2 ∙ 7 = 14
•
7
1
= 7
−2
1
= −2
Otras Propiedades
Propiedad Ejemplo(s)

17. 17
Ejercicios:
Simplifique, si es posible cada uno de las siguientes expresiones:
a) – 3 ÷ 15 = b) 4 ÷ (-2) =
c) 0 (-5) = d) 5-(-3) =

18. 18
Ejercicios:
e) 5(-3) = f) 8 ÷
(-2)
=
g) -(2 - 6) = h) 3 (-2) (-4) =

19. FRACCIONES
• Definición
• Propiedades
• Operaciones

20. 20
Una fracción se la expresa de la siguiente forma:
5
4
Una fracción algebraica esta dada por la siguiente expresión:
𝑝
𝑞
, donde q ≠0
Multiplicación de fracciones:
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer
término, los dos numeradores y luego los dos denominadores.
Definición
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑

21. 21
Fracciones
1)
𝑎
𝑏
= 𝑎
1
𝑏
2)
𝑎
−𝑏
= −
𝑎
𝑏
=
−𝑎
𝑏
3)
−𝑎
−𝑏
=
𝑎
𝑏
4)
0
𝑎
= 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
5)
𝑎
𝑎
= 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
•
2
7
= 2
1
7
•
2
−7
= −
2
7
=
−2
7
•
−2
−7
=
2
7
•
0
7
= 0
•
2
2
= 1,
−5
−5
= 1
Propiedad Ejemplo(s)

22. 22
Fracciones
6) 𝑎
𝑏
𝑎
= 𝑏
7) 𝑎 ∙
1
𝑎
= 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
8)
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
• 2
7
2
= 7
• 2 ∙
1
2
= 1
•
2
3
∙
4
5
=
2∙4
3∙5
=
8
15
Propiedad Ejemplo(s)

23. 23
Ejemplos:
•
2
3
5
9
=
2∙5
3∙9
=
10
27
•
2
3
4 =
2
3
4
1
=
(2)(4)
3(1)
=
8
3
• 3
4
5
=
3
1
4
5
=
(3)∙(4)
1(5)
=
12
5

24. 24
Ejercicios:
Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes expresiones.
𝑎)
2
3
∙
7
3
=
𝑏)
𝑥
2
∙
7
5
=
𝑐) 8
1
11
=
𝑑) 2𝑥
3
2𝑥
=

25. 25
El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden
multiplicarse o dividirse por un número real cualquiera distinto
de cero, sin alterar el valor de la fracción.
Cancelación de factores comunes
Ejemplos:
𝑎
𝑏
=
𝑎𝑐
𝑏𝑐
𝑐 ≠ 𝑜
•
𝑎
𝑏
=
2𝑎
2𝑏
•
3
5
=
6
10
=
9
15
=
−12
−20
=∙∙∙

26. 26
1)
𝑎𝑏
𝑐
=
𝑎
𝑐
𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑐
2)
𝑎
𝑏𝑐
=
𝑎
𝑏
1
𝑐
=
1
𝑏
𝑎
𝑐
3)
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑐
=
𝑎𝑐
𝑏𝑐
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 ≠ 0
•
2∙7
3
=
2
3
∙ 7 = 2 ∙
7
3
•
2
3∙7
=
2
3
∙
1
7
=
1
3
∙
2
7
•
2
7
=
2
7
5
5
=
2∙5
7∙5
Cancelación de factores comunes
Propiedad Ejemplo(s)

27. 27
4)
𝑎
𝑏 −𝑐
=
𝑎
−𝑏 𝑐
=
−𝑎
𝑏𝑐
= −
𝑎
𝑏𝑐
5)
𝑎 −𝑏
𝑐
=
−𝑎 𝑏
𝑐
=
𝑎𝑏
−𝑐
= −
𝑎𝑏
𝑐
•
2
3 −5
=
2
−3 5
=
−2
3 5
=
−2
−3 −5
= −
2
3 5
= −
2
15
•
2 −3
5
=
−2 3
5
=
2 3
−5
=
−2 −3
−5
= −
2 3
5
= −
6
5
Cancelación de factores comunes
Propiedad Ejemplo(s)

28. 28
Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden
sumarse simplemente sumando sus numeradores.
Adición y Sustracción de Fracciones
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
=
𝑎 + 𝑏
𝑐
Una regla similar se aplica a la sustracción:
𝑎
𝑐
−
𝑏
𝑐
=
𝑎 − 𝑏
𝑐

29. 29
1)
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
=
𝑎 + 𝑏
𝑐
2)
𝑎
𝑐
−
𝑏
𝑐
=
𝑎 − 𝑏
𝑐
3)
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
4)
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑑
•
2
9
+
3
9
=
2+3
9
=
5
9
•
2
9
−
3
9
=
2−3
9
=
−1
9
•
4
5
+
2
3
=
4∙3+5∙2
5∙3
=
22
15
•
4
5
−
2
3
=
4∙3−5∙2
5∙3
=
2
15
Adición y Sustracción de Fracciones
Propiedad Ejemplo(s)

30. 30
Ejemplos:
•
5
12
+
11
12
=
5+11
12
=
16
12
=
4
3
•
3
2𝑥
−
5
2𝑥
=
3−5
2𝑥
=
−2
2𝑥
= −
1
𝑥
•
5
6
+
1
2
=
5+3
6
=
8
6
=
4
3
•
5
6
−
3
4
=
10−9
12
=
1
12

31. 31
Ejercicios:
a)
2
3
+
7
3
= b)
1
2
+
1
3
=
c)
5
12
+
3
4
= d)
3
10
−
7
15
=

32. 32
Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se
invierte y después se multiplica por la primera. En otras palabras:
División de Fracciones:
Ejemplos:
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
• 5𝑦 ÷
6
5𝑥
=
5𝑦
1
5𝑥
6
=
25𝑥𝑦
6
•
3
2𝑥
÷ 2𝑦 =
3
2𝑥
÷
2𝑦
1
=
3
2𝑥
1
2𝑦
=
3
4𝑥𝑦
•
3
5
÷
7
9
=
3
5
9
7
=
27
35

33. 33
1)
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
∙
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
2)
𝑎
𝑏
𝑐
= 𝑎 ÷
𝑏
𝑐
= 𝑎 ∙
𝑐
𝑏
=
𝑎𝑐
𝑏
3)
𝑎
𝑏
𝑐
=
𝑎
𝑏
÷ 𝑐 =
𝑎
𝑏
∙
1
𝑐
=
𝑎
𝑏𝑐
•
2
3
7
5
=
2
3
÷
7
5
=
2
3
∙
5
7
=
2∙5
3∙7
=
10
21
•
2
3
5
= 2 ÷
3
5
= 2 ∙
5
3
=
2∙5
3
=
10
3
•
2
3
5
=
2
3
÷ 5 =
2
3
∙
1
5
=
2∙1
3∙5
=
2
15
División de Fracciones:
Propiedad Ejemplo(s)

34. 34
Ejercicios:
Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida o no.
Reemplace cada proposición falsa por una verdadera
a)
3
x
+
4
x
=
7
x
b)
x
3
+
x
4
=
x
7
c)
a
b
+
c
d
=
a + c
b − d
d)
a
b
∙
c
d
∙
e
f
=
ace
bdf
e)
a
b
÷
c
d
=
ac
b𝑑
f)
a
b
÷
c
d
÷
e
f
=
adf
bce
g)
1
a
+
1
b
=
1
a + b

35. 35
Ejercicios:
a)
18
11
÷
8
33
= b)
4
9
÷
2
3
∙ 8 =
c)
12
25
∙
15
7
÷
20
7
= d)
2
3
+
1
12
∙
7
10
+
1
4
=
Resuelva las siguientes operaciones:

36. 36
Ejercicios:
e)
1
2
−
1
3
1
4
+
1
5
= f)
8
5
+
2
3
2+
4
7
=
g)
1
3
−
1
4
1
5
−
1
6
= h)
2−
3
4
3+
1
8
=