Este documento describe diferentes tipos de variables aleatorias discretas y continuas. Explica que una variable aleatoria puede ser discreta, tomando valores numéricos finitos, o continua, tomando valores en un intervalo infinito. Luego define distribuciones de probabilidad como binomial, Poisson, normal y otras, y proporciona ejemplos de cómo modelar diferentes procesos aleatorios usando estas distribuciones. Finalmente, discute aproximaciones entre distribuciones discretas y continuas.

1. VARIABLES ALEATORIAS Y CONTINUAS
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación Superior
I.U.P. Santiago Mariño
Sede de Barcelona
Bachiller:
Josmauri Mendoza
C.I 27.664.428

2. INTRODUCCIÓN:
Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde al resultado
de un experimento aleatorio, como el número de caras que se obtienen
al lanzar 4 veces una moneda, el número de lanzamientos de un dado
hasta que aparece el seis, el número de llamadas que se reciben en un
teléfono en una hora, el tiempo de espera a que llegue un autobús.
Las variables aleatorias, como las estadísticas, pueden ser discretas o
continuas.
Las variables aleatorias permiten definir la probabilidad como una función
numérica (de variable real) en lugar de como una función de un
conjunto dado.
Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme si la
función de densidad es constante en el intervalo en el que se
encuentran todos los valores de la variable.

3. DEFINICIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS Y CONTINUAS.
Las variables aleatorias
Una variable aleatoria es una función que asocia un número
real a cada resultado de un experimento aleatorio.
Para referirse a dichas variables se utilizan letras mayúsculas,
mientras que las letras minúsculas servirán para referirse a
los valores concretos de dichas variables.

4.  Lanzar un dado una vez. Sea la v.a. X = resultado de la tirada.
¿cuántos sucesos elementales hay? ¿qué valores puede tomar
X? Se denotan las v.a. con letras mayúsculas, y sus posibles
valores con letras minúsculas.
 V.a. discreta
Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o
numerable de valores.
 V.a. continua
Una variable aleatoria es continua si toma un número infinito no
numerable de valores (por ejemplo, en un intervalo de R).
Ejemplos
• X =“resultado al tirar un dado” es una variable discreta.
• Y = “altura de un alumno elegido al azar” es una variable continua.

5. 2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
ACUMULADAS
 La función de distribución acumulada (CDF) calcula la
probabilidad acumulada de un valor dado de x.
 Utilice la CDF para determinar la probabilidad de que una
observación aleatoria que se toma de la población sea
menor que o igual a cierto valor.
 También puede usar esta información para determinar la
probabilidad de que una observación sea mayor que cierto
valor o se encuentre entre dos valores.

6. EJEMPLO DE USO DE LA CDF PARA EVALUAR PESOS DE LLENADO
 Por ejemplo, los pesos de llenado de una lata de gaseosa siguen una
distribución normal, con una media de 12 onzas y una desviación
estándar de 0.25 onzas. La función de densidad de probabilidad (PDF)
describe la probabilidad de valores posibles de peso de llenado. La
CDF proporciona la probabilidad acumulada de cada valor de x.
La CDF para pesos de llenado en
cualquier punto específico es igual al
área que se encuentra por debajo de la
curva PDF a la izquierda de ese punto.
La probabilidad de que una lata de gaseosa
seleccionada aleatoriamente tenga un peso
de llenado menor que o igual a 11.5 onzas
es la CDF en 11.5 o aproximadamente
0.023.

7. fgf La probabilidad de que una
lata de gaseosa seleccionada
aleatoriamente tenga un peso
de llenado mayor que 12.5
onzas es 1 menos la CDF en
12.5 (0.977) o aproximadamente
0.023.
La probabilidad de que una
lata de gaseosa
seleccionada
aleatoriamente tenga un
peso de llenado entre 11.5
onzas y 12.5 onzas es la
CDF en 12.5 menos la CDF
en 11.5 o aproximadamente
0.954.

8. 2.1 ESPERANZA MATEMÁTICA
 La esperanza matemática o valor esperado de una
variable aleatoria discreta es la suma del producto de
la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho
suceso.
 Ejemplos
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la
que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de
2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál
sería el precio justo a pagar por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

9. 2.2 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
 La desviación estándar (σ) mide cuánto se
separan los datos.
 la varianza (que es el cuadrado de la
desviación estándar: σ2) se define así:
Es la media de las diferencias con la
media elevadas al cuadrado.

10. EJEMPLO:
 1.Hallar la desviación media, la varianza y la
desviación típica de la series de números
siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
 Media
 Desviación típica

11. 2.3 FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS.
 Sea X una variable aleatoria. El valor
esperado:
Recibe el nombre de función generadora de
momentos.
 Si X es una variable aleatoria discreta
 Si la variable es continua

12. EJEMPLO:
 Halla la función generatriz de momentos de la siguiente
variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad
viene dada por:
 Utilizando la fórmula que hemos mencionado al comienzo obtenemos:

13. 3.0 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE
PROBABILIDAD
 Una distribución discreta describe la
probabilidad de ocurrencia de cada valor de una
variable aleatoria discreta.
 Con una distribución de probabilidad discreta,
cada valor posible de la variable aleatoria
discreta puede estar asociado con una
probabilidad distinta de cero. Por lo tanto, una
distribución de probabilidad discreta suele
representarse en forma tabular.

14. 3.1 BERNOULLI
Es un proceso aleatorio tenga exactamente dos resultados:
evento o no evento. Por ejemplo, en el campo de la
calidad, un producto se puede clasificar como bueno o
malo.
Las variables de Bernoulli pueden tomar dos valores
numéricos, 0 y 1, donde 1 corresponde a un evento y 0
corresponde a un no evento. Una variable aleatoria X sigue
una distribución de Bernoulli si P(X = 1) = p y P(X = 0) = 1 –
p, donde p es la probabilidad de ocurrencia del evento.

15. 3.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Una Distribución Binomial es una distribución
discreta que modela el número de eventos
en un número de ensayos fijo. Cada ensayo
tiene dos resultados posibles, y evento es el
resultado de interés en un ensayo.

16. EJEMPLO:
la probabilidad de que 3 o más elementos defectuosos se
encuentren en una muestra de 25 elementos si la probabilidad de
un elemento defectuoso en cada ensayo es 0.02. El número de
elementos defectuosos (X) sigue una distribución binomial con n
= 25 y p = 0.02.
El número de eventos (X) en n ensayos sigue una distribución
binomial si se cumplen las siguientes condiciones:
 El número de ensayos es fijo.
 Cada ensayo es independiente de otros ensayos.
 Cada ensayo tiene uno de dos resultados: evento o no evento.
 La probabilidad de un evento es igual para cada ensayo.
Una de las propiedades de la distribución binomial es que cuando n
es grande, la distribución binomial puede ser aproximada
razonablemente por la distribución normal. Por ejemplo, para la
siguiente distribución binomial, n = 100 y p = 0.5.

17. 3.3. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Es una distribución discreta que puede
modelar el número de ensayos consecutivos
necesarios para observar el resultado de
interés por primera vez. La distribución
geométrica también puede modelar el
número de no eventos que ocurren antes de
que se observe el primer resultado.

18. EJEMPLO
Una distribución geométrica puede modelar el número de
veces que se debe lanzar al aire una moneda para obtener
el primer resultado de "cara".
De manera similar, si se trata de productos construidos en una
línea de ensamble, la distribución geométrica puede
modelar el número de unidades producidas antes de que se
produzca la primera unidad defectuosa.
La siguiente gráfica representa una distribución geométrica
con probabilidad de evento de 0.5.

19. 3.4. BINOMIAL NEGATIVA
Es una distribución discreta que modela el número de
ensayos necesarios para producir un número específico
de eventos. Cada ensayo tiene dos resultados posibles.
El evento es el resultado de interés en un ensayo. La
distribución binomial negativa también puede modelar el
número de no eventos que deben ocurrir para que se
observe el número especificado de resultados.

20. EJEMPLO
Una distribución binomial negativa puede modelar el número
de veces que se lanza al aire una moneda para obtener
cinco cruces. De manera similar, para el caso de productos
que se construyen en una línea de ensamble, la distribución
binomial negativa puede modelar el número de unidades
ensambladas para que se produzcan 100 unidades
defectuosas. La siguiente gráfica ilustra una distribución
binomial negativa con probabilidad de eventos de 0.5 y 5
eventos necesarios.

21. 3.5. DISTRIBUCIÓN MULTINOMINAL
La distribución multinomial es similar a la
distribución binomial, con la diferencia de
que en lugar de dos posibles resultados en
cada ensayo, puede haber múltiples
resultados:
La distribución multinomial sigue el siguiente
modelo:

22. EJEMPLO:
 En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30%
franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño
grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que
2 sean españoles y 2 italianos?
P = 0,0384
Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo esté formado por
personas de estos países es tan sólo del 3,84%.

23. 3.6. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 Se utiliza para describir el número de veces que un evento
ocurre en un espacio finito de observación. Por ejemplo,
una distribución de Poisson puede describir el número de
defectos en el sistema mecánico de un avión o el número
de llamadas a un centro de llamadas en una hora. La
distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el
control de calidad, los estudios de fiabilidad/supervivencia y
los seguros.

24. EJEMPLO
¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir
bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si
verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9
estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b)
¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las
identificaciones pertenezcan a menores de edad?
Solución:
a) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que
pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

25. b) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a
personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

26. 3.7. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
 Es una distribución discreta que modela el número
de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando
usted conoce el número total de elementos en la
población de la cual proviene la muestra. Cada
elemento de la muestra tiene dos resultados
posibles (es un evento o un no evento).

27. EJEMPLO
 De cada 20 piezas fabricadas por una máquina, hay 2 que
son defectuosas. Para realizar un control de calidad, se
observan 15 elementos y se rechaza el lote si hay alguna
que sea defectuoso. Vamos a calcular la probabilidad de
que el lote sea rechazado.

28. 3.8. DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO APROXIMACIÓN
A LA BINOMIAL E HIPERGEOMÉTRICA
 La distribución de Poisson es un límite de la distribución binomial
cuando n tiende a infinito y p tiende a 0 (o a 1).
Veremos el comportamiento de ambas distribuciones para p=0,5; p=0,25 y
p=0,1 y, para cada caso, n=10; n=20 y n=40.
Caso 1: Distribución Binomial y de Poisson con p=0,5 y n= 10, 20 y 40
El primer par de curvas es el correspondiente a n=10; el segundo par de
curvas es para n=20 y el tercero para n=40.
En todos los casos, la distribución que presenta mayor kurtosis es la
correspondiente a la binomial.

29. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN
HIPERGEOMÉTRICA A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 La diferencia entre las distribuciones
hipergeométrica y binomial radica en que la
probabilidad de éxito es variable en la
primera y constante en la segunda.
 La esperanza matemática de la cantidad de
éxitos a obtener repitiendo el experimento n
veces en la distribución binomial es: E(x)=np,
mientras que en la hipergeométrica es .

30. 4.0. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE
PROBABILIDADES
Distribución uniforme
La distribución uniforme es una distribución continua
que modela un rango de valores con igual
probabilidad. La distribución uniforme se especifica
mediante cotas inferior y superior. Por ejemplo, la
siguiente gráfica ilustra una distribución uniforme.

31. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Se puede utilizar la distribución exponencial para modelar el
tiempo entre eventos en un proceso continuo de Poisson.
Se presupone que eventos independientes ocurren a una
tasa constante.
Esta distribución tiene una amplia gama de aplicaciones, que
incluyen el análisis de fiabilidad de productos y sistemas,
teorías de colas y cadenas de Markov.
La distribución exponencial de 2 parámetros se define por sus
parámetros de escala y valor umbral. El parámetro de valor
umbral, θ, si es positivo, desplaza la distribución una
distancia θ a la derecha

32. EJEMPLO
 Si se está interesado en estudiar la falla de un sistema con θ = 5.
Esto significa que las fallas comienzan a ocurrir solo después de
5 horas de funcionamiento y no pueden ocurrir antes. En la
siguiente gráfica, el parámetro de valor umbral, θ, es igual a 5 y
desplaza la distribución 5 unidades a la derecha.
 Para la distribución exponencial
de 1 parámetro, el valor umbral es
cero y la distribución se define por
su parámetro de escala. Para la
distribución exponencial de 1
parámetro, el parámetro de escala es igual a la media.

33. DISTRIBUCIÓN GAMMA
 Es una distribución continua que se define por sus
parámetros de forma y escala. La distribución
gamma de 3 parámetros se define por sus
parámetros de forma, escala y valor umbral. Se
utiliza comúnmente en estudios de supervivencia
de fiabilidad.
 Por ejemplo, la distribución gamma puede describir
el tiempo que transcurre para que falle un
componente eléctrico.

34. POR EJEMPLO
 En la siguiente gráfica, la distribución gamma se define según
valores de forma y escala diferentes cuando el valor umbral se
establece en 0.0
 Cuando el parámetro de
forma es un entero, la
distribución gamma a
veces se menciona como
distribución de Erlang.
La distribución de Erlang
se utiliza frecuentemente
en aplicaciones de teorías
de colas.

35. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
La distribución normal estándar, o tipificada o
reducida, es aquella que tiene por media el
valor cero, μ = 0, y por desviación típica la
unidad, σ =1.
Su función de densidad es:
Su gráfica es:

36. DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN
A LA BINOMIAL.
 En este caso se estarán calculando probabilidades de
experimentos Binomiales de una forma muy aproximada
con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo
si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o
cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ;
esto es:

37. EJEMPLO
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad
de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta
enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30
sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan?, c) menos de 50 no sobrevivan?
Solución:
a)
n = 100
p = p(paciente se recupere) = 0.40
q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60
m = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen
s = = pacientes que se recuperan
x = variable que nos define el número de pacientes que se recuperan
x = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

38. p(z = 1.33) = 0.4082
p(x > 46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918
b) n = 100
p = p(paciente no sobreviva) = 0.60
q = p(paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40
pacientes que no se recuperan
pacientes que no se recuperan
x = variable que nos define el número de pacientes que no
sobreviven
x = 0, 1, 2, ....,100
p( z = -2.14) = 0.4838
p(x < 50) = 0.5 – p(z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162

39. CONCLUSIÓN:
Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria
discreta es un listado mutuamente excluyente de todos
los resultados posibles para esa variable aleatoria, tal
que una probabilidad particular de ocurrencia esté
asociada con cada resultado. La probabilidad es la
posibilidad u oportunidad de que suceda un evento
particular.
La probabilidad involucrada es una porción o fracción cuyo
valor varía entre cero y uno exclusivamente. Observamos
un evento que no tiene posibilidad de ocurrir (es decir, el
evento nulo), tiene una probabilidad de cero, mientras
que un evento que seguramente ocurrirá (es decir, el
evento cierto), tiene una probabilidad de uno.

40. BIBLIOGRAFIAS:
 https://www.monografias.com
/estadistica/estadistica.shtml
 https://support.minitab.com
 https://www.vitutor.com/pro/5/a_2.html
 http://nulan.mdp.edu.ar/2040/1/morettini.201
3.pdf