distribuciones de probabilidad continuas.

1. Universidad “Fermín toro”
Departamento de formación general
Escuela de ingeniería
Cabudare
Distribuciones de
Probabilidad continuas.
Integrante:
Mariangel Carrillo
CI:23.570.472.

2. Índice:
Introducción………………………………………………………………………………………………3
1 Distribuciones de probabilidad continúas………………………………………………4
1.1 Distribución Gamma………………………………………………………………………..5
1.1.1 Media y varianza……………………………………………………………………6
1.1.2 Valores de la función Gamma………………………………………………6
1.1.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………….7
1.2 Distribución Exponencial……………………………………………………………….8
1.2.1 Media y varianza…………………………………………………………………..9
1.2.2 Una aplicación de la distribución exponencial ……………….9-10
1.2.3 Ejercicio.……………………………………………………………………………..11
1.3 Distribución de Erlang…………………………………………………………………..12
1.3.1 Media y varianza………………………………………………………………….13
1.3.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………..13
1.4 Distribución de Weibull………………………………………………………………….14
1.4.1 Media y varianza………………………………………………………………….15
1.4.2 Ejercicio.……………………………………………………………………………..15
Conclusión……………………………………………………………………………………………….16
Bibliografía……………………………………………………………………………………………….17
2

3. Introducción:
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado de un experimento. Una
distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias
relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la
probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede
diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las
tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son
fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de
distribución de probabilidades.
En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de
distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la
fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran
en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la
distribución de probabilidades discretas.
3

4. Distribuciones de probabilidad continúas
En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se
llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la
función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por:
La definición implica que en una distribución de probabilidad
continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la
probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a.
Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria
continua.
En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de
probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos
entonces que:
Grafica de probabilidad continúa
4

5. Distribución Gamma
En estadística la distribución gamma es una distribución de
probabilidad continua con dos parámetros y cuya densidad para
valores es
El valor esperado y la varianza de distribución gamma son:
La función Gamma: G(z) es una función que extiende el concepto de
factorial a los números complejos. Si la parte real del número complejo
z es positiva, entonces la integral
Converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el
plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero.
Si n es un entero positivo, entonces
Si la parte real del número complejo z es positiva (Re[z] > 0),
entonces la integral:
Converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la
siguiente propiedad:
Esta ecuación funcional generaliza la relación n! = n(n - 1)! del factorial.
Se puede evaluar G(1) analíticamente:
Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso
especial de la función Gamma:
Para los números naturales n.
La función Gamma es una función mero morfa de con polos
simples en y
residuos 5

6. Media y varianza
Sea X una variable aleatoria continua con distribución Gamma,
entonces:
Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2
Valores de la función gamma
Grafica de la distribución Gamma:
6

7. Ejercicio:
Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una
variable aleatoria x que tiene una distribución gamma con parámet ros a
= 2 y b = 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio:
a) tome cuando mucho 1 hora reparar la bomba?
b) Al menos se requieren 2 horas para reparar la bomba?
7

8. Distribución Exponencial
Es una distribución de probabilidad continua con un
parámetro cuya función de densidad es:
Su función de distribución acumulada es:
Donde representa el número e.
Grafica de la distribución Exponencial
8

9. Media y varianza
Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2
Una aplicación de la distribución exponencial
Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son
aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es
necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la
distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de
Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos
de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas
aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable
aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el
tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la
hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa
el evento de Poisson.
La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada
exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante
simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución
de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número
promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la
variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que
ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se
encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta
el tiempo t está dada por:
;
Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para
el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta
que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la
probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último
por supuesto está dado por . Como resultado,
P(X ³ x) =
Entonces, la función de distribución acumulada para x es:
P(0£ X £ x) = 1 -
9

10. Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución
exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para
obtener la función de densidad:
f(x) =
La cual es la función de densidad de la distribución exponencial
con .
Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro
, el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector
debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de
Poisson no tiene memoria, lo cual implica que las ocurrencias en
períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro
importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la
confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso
de Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas.
Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y
entonces la distribución exponencial es aplicable.
10

11. Ejercicio:
Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender
a un cliente tiene un distribución exponencial con una media de 40
segundos.
a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente
dado sea mayor que 20 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un
cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos.
Solución
11

12. Distribución de Erlang
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución
exponencial con parámetro
Gráfica de la distribucion de Erlang
12

13. Media y varianza
Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Erlang,
entonces
Media:  = E[X] = , Varianza: 2 = V[X] = 2
Ejercicio:
El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma
efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo
exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días.
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400
días?.
b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad
hay que trabaja más de 200 días más?
c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que
más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días.
Solución
Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo
promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su
función de densidad es:
13

14. Distribución de Weibull
La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de
Weibull x es:1
donde es el parámetro de forma y es el parámetro de
escala de la distribución.
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la
tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:
Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
Grafica de la distribucion de Weibull
14

15. Media y varianza
Si x es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull,
entonces
Media:  = E[X] = -1/1+1/)
Varianza: 2 = V[X] = -2/[1+2/)-((1+1/))2]
Ejercicio:
15

16. Conclusión:
Podemos concluir que Con los grandes avances tecnológicos hemos
ahorrado tiempo para el análisis estadístico, sin embargo la
comprensión de la lógica que se utiliza para llegar a la resolución del
mismo es algo que nos ha llevado a este estudio, el cual ha sido muy
bien conducido .Con el desarrollo de este trabajo y gracias a la
comprensión de los conceptos entendimos que es una poderosa
herramienta estadística que bien aplicada nos podrá ayudar a facilitar
los cálculos para la solución de problemas. Lo cual continúa con el
propósito esencial: Ahorro de costos y mejora continua en cualquier
ámbito en que nos desarrollemos. Aprendimos que no es limitativa el
área en que nos desempeñemos en nuestro trabajo ya que tanto
en Ingeniería como Materiales, en Recursos Humanos como en un
Negocio Propio, en Comercio o en Industria, o bien por puro pasatiempo
en el panorama de la probabilidad estadística, estas herramientas serán
siempre de gran utilidad.
16

17. Bibliografía:
Monografías.com
Wikipedia.com
17