examene para estudiar el sistema SIMAT a nivel secundaria

1. Curso­Taller de Matemáticas Olímpicas
Exponentes
Si a, es un número real y x, y números enteros o racionales, se cumplen las
siguientes propiedades:
1. 10
=a
2. x
x
a
a
1
=−
3. xx
aa =
1
)(
4. yxyx
aaa =+
5. y
x
yx
a
a
a =−
6.
yxxy
aa )(=
7. si yx
aa = , entonces: yx =
Ejercicios.
1. ¿Cuántas cifras tiene el número 20001996
52 + ?
2. Escribir 55
22 + como potencia de 2.
3. ¿Cuál es la mitad de 98
2 ?
4. ¿Cuánto es 7777777
7777777 ++++++ ?
5. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en
el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedo después de
cortar tres veces?

2. 6. Sea 1, 4, 9, 16… la sucesión de los cuadrados de los enteros positivos. El
número 8
10 es un término de esta sucesión. ¿Cuál es el término de la
sucesión que sigue después de 8
10 ?
7. Poner los siguientes números en orden de menor a mayor:
8. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación 64422 2
+=× xx
?
9. Encontrar y en términos de x, de tal manera que: 441
2162 ++
+= xxy
10.¿Para qué valores enteros de n se cumple la ecuación 6522 33
=+ −+ xx
?
Factorizaciones
Convertir un número en sus factores muchas veces puede ayudarnos a resolver
un problema.
Algunas factorizaciones importantes son las siguientes:

3. Ejercicios.
11.Calcular la suma 2008 + 2007 + … + 3034.
12.Calcular la suma de los primeros n pares: 2 + 4 + 6 + … + 2n.
13.Calcular la suma 3 + 6 + 9 + 12 + … + 303.
14.Calcular la suma de los primeros n impares: 1 + 3 + 5 + … + 2(n + 1).
15.A partir de la demostración vista arriba, deducir una fórmula general para la
suma de los enteros consecutivos desde m hasta n.
16.Raúl leyó un libro. El primer día leyó 60 páginas y cada día siguiente leyó 7
páginas más que el anterior. Si la lectura le llevó en total 200 días,
¿cuántas páginas tenía el libro?
17.Encontrar la suma de todos los números de 7 cifras en los que los dígitos 1,
2, 3, 4, 5, 6 y 7 aparecen exactamente una vez. (Por ejemplo 1234567 y
7654321 son de los números que buscamos, pero 1111111 y 1234321 no lo
son.)

4. 18.Usa la fórmula para sumas de potencias de la misma base y calcula:
19.1 – 3 + 9 – 27 + 81 – 243 + 729 – 2187 + 6561 ­ 19683
20.Si m y n son enteros positivos que satisfacen 3921
=++ ++ nnn
mmm ,
entonces, ¿cuánto vale m
n ?
21.Probar que el número es el cuadrado de un entero
para toda r.