División Algebraica de polinomios (primera parte)

1. DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS CARLOS PANDAL
DIVISION DE POLINOMIOS Ejercicio
Halle el resto de la división:
DIVISION ALGEBRAICA DE POLINOMIOS ሺ‫4 − ݔ‬ሻହ + ሺ‫5 − ݔ‬ሻଷ + 7
ሺ‫4 − ݔ‬ሻሺ‫5 − ݔ‬ሻ
Es una operación que se realiza entre dos polinomios Rpta ܴሺ௫ሻ = 2‫2 − ݔ‬
36‫ ݔ‬ହ + 17‫ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଷ + 18 ←஽௜௩௜ௗ௘௡ௗ௢ ஽ሺ௫ሻ
MÉTODO DE HORNER
9‫ ݔ‬ଶ + 2‫4 − ݔ‬ ←஽௜௩௜௦௢௥ ௗሺ௫ሻ
William George Horner (1789-1837) fue un matemático
Donde el °ൣ‫ܦ‬ሺ௫ሻ ൧ ≥ °ൣ݀ሺ௫ሻ ൧ (condición necesaria).
inglés contribuyó con el algoritmo de Horner para resolver
ecuaciones algebraicas (1819), aunque este método ya
Luego de efectuarla se obtienen dos polinomios: había sido empleado 500 años antes por Zhu Shijie en
China.
‫ݍ‬ሺ௫ሻ = 4‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ← ݔ‬Cociente.
ܴሺ௫ሻ = 8‫81 + ݔ‬ ← Resto o residuo. Ejemplo:
Dividir
Cumpliendo la identidad fundamental de la división: 36‫ ݔ‬ହ + 17‫ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଷ + 18
9‫ ݔ‬ଶ + 2‫4 − ݔ‬
‫ܦ‬ሺ௫ሻ ≡ ݀ሺ௫ሻ . ‫ݍ‬ሺ௫ሻ + ܴሺ௫ሻ
Veamos:
TIPOS DE DIVISIÓN
El dividendo y el divisor deben estar completos y
• EXACTA. Es cuando ܴሺ௫ሻ ≡ 0
ordenados, así:
• INEXACTA. Cuando ܴሺ௫ሻ ≠ 0 y °ൣܴሺ௫ሻ ൧ < °ൣ݀ሺ௫ሻ ൧ 36‫ ݔ‬ହ + 17‫ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଷ + 0‫ ݔ‬ଶ + 0‫81 + ݔ‬
De donde ‫ܯ‬á‫°ݔ‬ൣܴሺ௫ሻ ൧ = °ൣ݀ሺ௫ሻ ൧ − 1 9‫ ݔ‬ଶ + 2‫4 − ݔ‬
Luego:
Ejemplo:
El resto de dividir Dሺ୶ሻ = ‫ ܠ‬૛ + ‫ ܊ + ܠ܉‬entre + + + + +
dሺ୶ሻ = ‫ − ܠ‬૛ es 5. Determine el valor de ૛‫.܊ + ܉‬
Resolución
9 36 17 4 0 0 18
-2 ÷ -8 16
Por la identidad fundamental de la división:
࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢈ ≡ ሺ࢞ − ૛ሻ. ࢗሺ࢞ሻ + ૞
Haciendo ࢞ = ૛ tenemos:
se les cambió
el signo
{
+4
÷
-2 4
2ଶ + ܽ. 2 + ܾ = ሺ2 − 2ሻ. ‫ݍ‬ሺଶሻ + 5 ÷ -4 8
De donde: ÷ 0 0
૛ࢇ + ࢈ = ૚
4 1 2 0 8 18
Ejercicio: COEFICIENTES DEL COCIENTE COEF. DEL RESTO
Halle ࢇ + ࢈ si la división Entonces:
଺௫ ర ାହ௫ య ିସ௫ మ ା௔௫ା௕ el cociente es ‫ܙ‬ሺ‫ܠ‬ሻ = ૝‫ ܠ‬૜ − ‫ ܠ‬૛ + ૛‫ + ܠ‬૙ y
es exacta.
ଶ௫ మ ା௫ିଷ el resto es ‫ ܀‬ሺ‫ܠ‬ሻ = ૡ‫ + ܠ‬૚ૡ
Rpta. -7
De rojo: Coeficientes del dividendo.
Ejercicio: UNMSM97 De azul: Coeficientes del divisor
Si el polinomio Pሺ୶ሻ = ‫ ܠ‬૝ + ‫ ܠ܉‬૜ − ‫ ܠ܊‬૛ + ‫ − ܠ܋‬૚ es
divisible por ሺ‫ − ܠ‬૚ሻሺ‫ + ܠ‬૚ሻሺ‫ − ܠ‬૛ሻ. Ejemplo:
Halle ࢇ + ࢈ + ࢉ Dividir
Rpta. 0 6‫ ݔ‬ହ + 4‫ ݔ‬ସ + 9‫ ݔ‬ଷ − 1
2‫ ݔ‬ଷ + ‫1 − ݔ‬
Ejemplo
+ + + + +
Halle el resto de la división:
ሺ‫3 − ݔ‬ሻ଼ + ሺ‫4 − ݔ‬ሻଷ + 6
2 6 4 9 0 0 -1
‫ ݔ‬ଶ − 7‫21 + ݔ‬ 0 ÷ 0 -3 3
Resolución
Por la identidad fundamental de la división:
ሺ‫3 − ݔ‬ሻ଼ + ሺ‫4 − ݔ‬ሻଷ + 6 ≡ ሺ࢞ − ૜ሻሺ࢞ − ૝ሻ. ࢗሺ࢞ሻ + ࢇ࢞ᇤ ᇥ
ᇣ +࢈
ᇧᇧ
ࡾࡱࡿࢀࡻ
el signo
{
se les cambió
-1
+1 ÷
0 -2
÷ 0
2
-3 3
Haciendo ࢞ = ૜: ૞ = ૜. ࢇ + ࢈ …(I) 3 2 3 1 -1 2
Haciendo ࢞ = ૝: ૠ = ૝. ࢇ + ࢈ …(II) Entonces:
(II) - (I): ࢇ = ૛ luego ࢈ = −૚ el cociente es ‫ܙ‬ሺ‫ܠ‬ሻ = ૜‫ ܠ‬૛ + ૛‫ + ܠ‬૜ y
∴ ܴሺ௫ሻ = 2‫1 − ݔ‬ el resto es ‫ ܀‬ሺ‫ܠ‬ሻ = ‫ ܠ‬૛ − ‫ + ܠ‬૛
૛ࢇ + ࢈ = ૚

2. DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS CARLOS PANDAL
Ejercicios PROBLEMA_3
Efectúe las siguientes divisiones
ଶ଴௫ ర ା଺௔௫ య ିଷ௕௫ మ ିଵ଻௖௫ାଽௗ
଺௫ ఱ ାସ௫ ర ାଽ௫ య ିଵ Si en la división Se
aሻ ଶ௫ య ା௫ିଵ
ହ௫ మ ି଻௫ାଶ
obtiene un cociente cuyos coeficientes van
ି଻௫ మ ା଺௫ ర ାଶ௫ିଷ௫ య ିଵ aumentando de 4 en 4 y deja un resto 34x+3. Halle
bሻ
ିଵାଷ௫ାଶ௫ మ a+b+c+d
RESOLUCIÓN
PROBLEMAS RESUELTOS + + + + +
PROBLEMA_1
5 20 6a -3b -17c 9d
Halle a.b si al dividir
+7 ÷ 28 -8
଺௫ ర ାହ௫ య ିସ௫ మ ା௔௫ା௕
ଶ௫ మ ା௫ିଷ
-2 56 -16
÷ 84 -24
se obtiene como resto 4x+10. ÷
RESOLUCIÓN
+ + + + 4 8 12 34 3
Aumentan de 4 en 4
2 6 5 -4 a b De donde:
-1 ÷ -3 9 ଺௔ାଶ଼
= 8 entonces ܽ = 2
ହ
+3 -1 3 ିଷ௕ି଼ାହ଺
÷ -2 6 = 12 entonces ܾ = −4
÷ ହ
−17ܿ − 16 + 84 = 34 entonces ܿ = 2
3 1 2 4 10 9݀ − 24 = 3 entonces ݀ = 3
De donde a = 3 y b = 4 Por lo tanto ܽ + ܾ + ܿ + ݀ = 3
Rpta. 12
PROBLEMA_4
PROBLEMA_2 Halle a+b si el polinomio
௔௫ ఱ ିଵସ௔௫ మ ା௕௫ା௖ Pሺxሻ = ܽ‫ ݔ‬ସ + ܾ‫ ݔ‬ଷ − 7‫ ݔ‬ଶ + 2‫ 1 + ݔ‬es divisible por
Si el resto de la división es
௫ మ ିଶ௫ିଷ Fሺ୶ሻ = 5‫ݔ‬
2
− 3‫.1 + ݔ‬
70x+38 y la suma de coeficientes del cociente es 32.
RESOLUCIÓN
Hallar a+b+c Pሺ୶ሻ
Si Pሺ୶ሻ es divisible por Fሺ୶ሻ entonces ൘Fሺ୶ሻ ݁‫ܽݐܿܽݔ݁ ݏ‬
RESOLUCIÓN
+ + + + + Nota: Cuando una división es exacta se puede aplicar el
1 a 0 0 -14a b c método de Horner invirtiendo el orden de los
2 ÷ 2a 3a coeficientes del dividendo y divisor. (Horner Invertido )
3 4a 6a
÷ 14a 21a + + + +
÷ ÷ 12a 18a 1 1 2 -7 b a
a 2a 7a 6a 70 38
+3 ÷ 3 -5
Por dato a + 2.a +7.a+6.a = 32 entonces a=2
-5 15 -25
Como b + 21.a + 12.a = 70 entonces b=4 ÷ 9 -15
Como c + 18.a = 38 entonces c = 2 ÷
Por tanto a + b + c = 8.
1 5 3 0 0
El cociente también tiene los coeficientes en orden
PROBLEMA_3 invertido.
El cociente es ‫ܙ‬ሺ‫ܠ‬ሻ = 3‫ ܠ‬૛ + ૞‫ + ܠ‬૚
Halle a.b en la división exacta
2‫ ݔ‬ସ + 3‫ ݔ‬ଶ + ܽ‫ܾ + ݔ‬ Se tiene que b – 25 + 9 = 0 entonces b = 16
2‫ ݔ‬ଶ + 2‫3 + ݔ‬ a – 15 = 0 entonces a = 15
RESOLUCIÓN Por lo tanto a + b = 31
+ + + +
2 2 0 3 a b
- 2 ÷ -2 -3
-3 2 3
÷ -2 -3
÷
1 -1 1 0 0
De donde: “Una educación divorciada de su contexto carece de
a + 3 – 2=0 -> a = -1 valor”.
b – 3 = 0 -> b=3 …Henry Giroux
Por a. b = - 3
VILLA EL SALVADOR, 13 DE MAYO DEL 2012