Distribucion de esfuerzos en la masa del suelo

1. CURSO : MECANICA DE SUELOS II / UNIDAD I
INTEGRANTE :KATHERINE MILAGROS MORALES MENDOZA
DOCENTE : ING. PEDRO MAQUERA CRUZ
GRUPO : “B”
DISTRIBUCIÓN DE
ESFUERZOS EN EL
SUELO

2. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
DEFINICIÓN
En la Mecánica de Suelos ocurren dos
fenómenos que son de gran importancia para el
ingeniero, estos fenómenos son la distribución
de los esfuerzos en la masa de suelo por una
sobrecarga en la superficie, y la deformación que
sufre el suelo con el transcurso del tiempo por
efectos de esta sobrecarga (consolidación).
La distribución de esfuerzos en una masa
de suelo, producidas por la aplicación de
cargas, depende del espesor y de la
uniformidad de la masa de suelo, así como
del tamaño y la forma del área cargada y
de las propiedades esfuerzo-deformación.

3. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
IMPORTANCIA
El cálculo de asentamientos inmediatos, así como lo que ocurren a largo plazo, requieren
conocer esfuerzos que una sobrecarga impuesta al suelo induce dentro de la masa de
suelo. Por lo anterior, se presentan soluciones que se utilizan actualmente para
determinar los esfuerzos dentro de la masa de suelo, según sea la geometría de las cargas
aplicadas.

4. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
FUNDAMENTOS
En 1885, Boussinesq desarrolló una
expresión matemática para obtener el
incremento de esfuerzo en una masa semi-
infinita de suelo debido a la aplicación de
una carga puntual en su superficie. Esta
expresión se ha integrado para obtener
soluciones para areas cargadas y se ha
modificado para tomar en cuenta estratos
de suelo de espesor finito, sistemas de
varios estratos y aplicación de cargas por
debajo de la superficie de la masa de suelo.
Í
Se basa en las siguientes hipótesis:
a) El suelo es un medio contiene
b) El suelo es un medio semi-infinito
c) El suelo es un medio homogéneo
d) El suelo es un material isótropo
e) El suelo es un material elástico lineal
f) Es valido el principio de superposición
g) Es valido el principio de objetividad

5. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
FUNDAMENTOS
La ecuación de Boussinesq para calcular el esfuerzo
vertical que induce una carga puntual aplicada sobre la
superficie del suelo en el interior del mismo , esta
dada por
Donde P es la carga puntual actuante (F) , x,y,z son las
coordenadas del punto en el que se calculan los
esfuerzos, las cuales estan referidas a un sistema
cartesiano ortogonal cuyo origen coincide con el punto
de aplicación de la carga P.

6. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
TIPOS DE CARGA
CARGA LINEAL VERTICAL DE
LONGITUD INFINITA
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la
aplicación de una carga lineal Q por metro, son:

7. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
TIPOS DE CARGA
CARGA DE ANCHO FINITO Y
LONGITUD INFINITA
Los incrementos de esfuerzos en el punto a
producidos por una presión uniforme q que
actúa sobre una franja flexible infinitamente
larga de ancho B, son los siguientes:

8. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
TIPOS DE CARGA
CARGA TRIANGULAR SOBRE UNA
FRANJA INFINITA
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa
linealmente a través del ancho de la franja, lo
cual conduce a una distribución triangular, los
incrementos de esfuerzo en el punto N están
dados por:

9. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
TIPOS DE CARGA
CARGA RECTANGULAR
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
Partiendo de la solución dada por Boussinesq
para una carga puntual y la definición de r, y
dividiendo un área cargada rectangular en
diferenciales de área, obtenemos:

10. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
TIPOS DE CARGA
CARGA CIRCULAR
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
Partiendo de la solución dada por Boussinesq
para una carga puntual y dividiendo un área
cargada circular en diferenciales de área,
obtenemos:

11. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 1
𝑥 = 3 , 𝑦 = 3,
𝑧 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
0 − 8𝑚 c/m
𝜎𝑧 , 𝜎𝑥
𝑃 = 800 𝐾𝑁
𝑢 = 0.40
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 32 + 32 = 3 2
𝑅 = 3 2
2
+ 0 = 3 2 = 4.24
𝑅 = 3 2
2
+ 12 = 19 = 4.36
𝑅 = 3 2
2
+ 22 = 22 = 4.69
𝑅 = 3 2
2
+ 32 = 3 3 = 5.20
𝑅 = 3 2
2
+ 42 = 34 = 5.33
𝑅 = 3 2
2
+ 52 = 43 = 6.56
𝑅 = 3 2
2
+ 62 = 3 6 = 7.35
𝑅 = 3 2
2
+ 72 = 67 = 8.19
𝑅 = 3 2
2
+ 8 = 82 = 9.06
Cálculo de r

12. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 1 𝑃′
𝑧 = 0 → 0 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 1 → 0.243 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 2 → 1.346 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 3 → 2.723 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 4 → 3.627 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 5 → 3.940 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 6 → 3.850 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 7 → 3.566 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 8 → 3.212 𝐾𝑁/𝑚2
Cálculo de 𝜎𝑧
𝑃′
𝑧 = 0 → 0 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 1 → 2.031 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 2 → 2.732 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 3 → 2.450 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 4 → 1.783 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 5 → 1.192 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 6 → 0.770 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 7 → 0.992 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑧 = 8 → 0.315 𝐾𝑁/𝑚2
Cálculo de 𝜎 𝑥
𝜎𝑧 =
3𝑃(𝑍3)
2𝜋(𝑟2 + 𝑍2)
5
2
𝑅 = 𝑟2 + 𝑧2
𝜎 𝑋 =
𝑃
2𝜋
∙
3 ∙ 𝑋2
∙ 𝑍
𝑅5
− 1 − 2𝑈 ∙
𝑋2
− 𝑌2
𝑅 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑅 + 𝑍
+
𝑌2
∙ 𝑍
𝑅3 ∙ 𝑟2

13. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 1
Distribución 𝜎𝑧
Distribución 𝜎 𝑥
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500

14. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 2
𝑧 = 3 , 𝑦 = 1,
𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
−6 𝑎 6 c/m
𝜎𝑧 , 𝜎 𝑥, 𝜎 𝑦
𝑃 = 800 𝐾𝑁
𝑢 = 0.40
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 32 + 12 = 3 2
Cálculo de r
Cálculo de 𝜎 𝑥
𝜎 𝑋 =
𝑃
2𝜋
∙
3 ∙ 𝑋2
∙ 𝑍
𝑅5
− 1 − 2𝑈 ∙
𝑋2
− 𝑌2
𝑅 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑅 + 𝑍
+
𝑌2
∙ 𝑍
𝑅3 ∙ 𝑟2
𝑃′
𝑥 = −6 → 2.505 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −5 → 3.493𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −4 → 4.741𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −3 → 5.827 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −2 → 5.353 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −1 → 1.808 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 0 → -1.109 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 1 → 1.808 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 2 → 5.353 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 3 → 5.827 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 4 → 4.741 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 5 → 3.493 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 6 → 2.505 𝐾𝑁/𝑚2

15. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 2
𝑧 = 3 , 𝑦 = 1,
𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
−6 𝑎 6 c/m
𝜎𝑧 , 𝜎 𝑥, 𝜎 𝑦
𝑃 = 800 𝐾𝑁
𝑢 = 0.40
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 32 + 12 = 3 2
Cálculo de r
Cálculo de 𝜎 𝑥
𝜎 𝑋 =
𝑃
2𝜋
∙
3 ∙ 𝑋2
∙ 𝑍
𝑅5
− 1 − 2𝑈 ∙
𝑋2
− 𝑌2
𝑅 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑅 + 𝑍
+
𝑌2
∙ 𝑍
𝑅3 ∙ 𝑟2
𝑃′
𝑥 = −6 → 2.505 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −5 → 3.493𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −4 → 4.741𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −3 → 5.827 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −2 → 5.353 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −1 → 1.808 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 0 → -1.109 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 1 → 1.808 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 2 → 5.353 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 3 → 5.827 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 4 → 4.741 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 5 → 3.493 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 6 → 2.505 𝐾𝑁/𝑚2

16. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 2
𝑃′
𝑥 = −6 → 0.719 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −5 → 1.423 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −4 → 2.992 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −3 → 6.554 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −2 → 14.063𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −1 → 25.699 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 0 → 32.613 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 1 → 25.699 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 2 → 14.063 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 3 → 6.554 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 4 → 2.992 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 5 → 1.423 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 6 → 0.719 𝐾𝑁/𝑚2
Cálculo de 𝜎𝑧
𝜎𝑧 =
3𝑃(𝑍3
)
2𝜋(𝑟2 + 𝑍2)
5
2
𝑃′
𝑥 = −6 → 0.205 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −5 → 0.249 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −4 → 0.334 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −3 → 0.533 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −2 → 1.002 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −1 → 1.808 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 0 → 2.317 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 1 → 1.808 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 2 → 1.002 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 3 → 0.533 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 4 → 0.334 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 5 → 0.249 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 6 → 0.205 𝐾𝑁/𝑚2
Cálculo de 𝜎 𝑦
𝜎 𝑌 =
𝑃
2𝜋
∙
3 ∙ 𝑌2
∙ 𝑍
𝑅5
− 1 − 2𝑈 ∙
𝑌2
− 𝑋2
𝑅 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑅 + 𝑍
+
𝑋2
∙ 𝑍
𝑅3 ∙ 𝑟2

17. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 2
Distribución 𝜎𝑧
Distribución 𝜎 𝑥
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000

18. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 2
Distribución 𝜎 𝑦
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500

19. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 3
𝑧 = 2 , 𝑦 = 2, 𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
−6 𝑎 6 c/m
𝜎𝑥, 𝜎 𝑦 𝑃 = 800 𝐾𝑁
𝑢 = 0.40
𝑃′
𝑥 = −6 → 1.768 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −5 → 2.601 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −4 → 3.793 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −3 → 5.159 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −2 → 5.513 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −1 → 2.653 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 0 → −0.3861 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 1 → 2.653 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 2 → 5.513 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 3 → 5.159 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 4 → 3.793 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 5 → 2.601 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 6 → 1.768 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −6 → 0.437 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −5 → 0.671 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −4 → 1.188 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −3 → 2.449 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −2 → 5.513 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = −1 → 11.179 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 0 → 15.0163 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 1 → 11.179 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 2 → 5.513 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 3 → 2.449 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 4 → 1.188 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 5 → 0.671 𝐾𝑁/𝑚2
𝑃′
𝑥 = 6 → 0.437 𝐾𝑁/𝑚2
Cálculo de 𝜎 𝑦
𝜎 𝑌 =
𝑃
2𝜋
∙
3 ∙ 𝑌2
∙ 𝑍
𝑅5
− 1 − 2𝑈 ∙
𝑌2
− 𝑋2
𝑅 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑅 + 𝑍
+
𝑋2
∙ 𝑍
𝑅3 ∙ 𝑟2
Cálculo de 𝜎 𝑥

20. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL SUELO
EJERCICIO 3
Distribución 𝜎 𝑦
Distribución 𝜎 𝑥
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000