AREAS DE REGIONES-BMA02.pptx

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Cálculo Integral
(BMA02)
Área de regiones planas
2022-1
LIMA- PERÚ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
PROFESOR : Arámbulo Ostos Carlos Eduardo
TEMA :
CURSO :
INTEGRANTES:  Huamani Vera, Katherine Lucero 20210196C
 Tello Fonseca, Yessenia Liz 20211352I

El concepto de integral definida fue motivado por el problema de hallar áreas
limitadas por curvas.
DEFINICIÓN 1:
Se llama ÁREA BAJO LA CURVA 𝑦 = 𝑓(𝑥), al área de la región R limitada por la
gráfica de la función continua y no negativa 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 las rectas 𝑥 = 𝑎,
𝑥 = 𝑏 y el eje 𝑥. Lo que se denota por A(R), siendo:
Donde 𝜀𝑖 ∈ 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 , ∀ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ; ∆𝑖𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1;
𝑃 : norma de la partición P del intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 ; y los 𝑥𝑖, 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 son
los puntos de la partición P.
𝐴 𝑅 = lim
𝑃 →0
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑖𝑥
………………………….(1)

También, hemos visto que si el límite en (1) existe, entonces este se puede
expresar como:
Luego, si 𝑓 𝑥 ≥ 0 ⟹
lim
𝑃 →0
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑖𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ……………………….(2)
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
𝑓(𝑥)
ⅆ𝑥
𝑷(𝒙, 𝒇 𝒙 )

NOTA 1: Si 𝑓 es una función continua sobre 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
entonces el área bajo la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) está dado por:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
−𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
………………………….(3)
x
y
𝑎 𝑏
𝑓(𝑥)
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
−𝑓(𝑥)
ⅆ𝑥
⟹
−𝑓(𝑥)

DEFINICIÓN 2:
En (2), la expresión 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 se conoce como ÁREA ELEMENTAL, siendo 𝑓(𝑥) la
altura del rectángulo elemental y ⅆ𝑥 su base.
TEOREMA 1: Sea R la región acotada por la gráfica de las funciones continuas
sobre 𝑎, 𝑏 , 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Si 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
entonces el área de la región R es:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ⅆ𝑥
…..………………….(4)
x
y
𝑎 𝑏
𝑓(𝑥)
ⅆ𝑥
𝑨(𝑹)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥

EJEMPLO 1: Expresar como una integral definida, el área entre las gráficas de las funciones continuas
𝑓 y 𝑔, para los siguientes casos:
a) 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
b) 𝑓 𝑥 < 0, 𝑔 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(𝑎)
𝑓(𝑥) > 0
𝑔 𝑥 < 0
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(𝑏)
𝑓 𝑥 < 0
𝑔 𝑥 < 0

EJEMPLO 1: Expresar como una integral definida, el área entre las gráficas de las funciones continuas
𝑓 y 𝑔, para los siguientes casos:
a) 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
b) 𝑓 𝑥 < 0, 𝑔 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
 Tanto e n e l c as o ( a) c omo e n ( b) s e tendr á q u e :
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏

En general, si R es la región limitada por la gráfica de las funciones continuas
𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, el área de R es:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
Esto es, no hay necesidad de establecer la relación de orden de 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥
como señala el teorema 1; este orden se encuentra de manera implícita en el
valor absoluto.
Debemos notar, que el área de la región R limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,
𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , siempre estará dada por la integral del área elemental
cuya altura es la diferencia de las ordenadas y la base ⅆ𝑥.
…..………………….(5)

COROLARIO 1: Si R es la región limitada por las ecuaciones F(x, y) = 0, G(x, y) = 0,
donde , 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , son funciones continuas sobre 𝑐, ⅆ obtenidas de F y G
tales que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑐, ⅆ , las rectas 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = ⅆ, entonces:
𝐴 𝑅 =
𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 − 𝑔 𝑦 ⅆ𝑦 …..………………….(6)
x
y
ⅆ
𝑐
𝑓(𝑥)
𝑨(𝑹)
𝑔(𝑥)
*Siempre la función
que está más a la
derecha menos la otra.

Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones continuas en 𝑎, 𝑏 y 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , entonces
el área de la región limitada por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y
𝑥 = 𝑏 es:
DEMOSTRACIÓN: Subdividimos el intervalo 𝑎, 𝑏 en n subintervalos cada uno de
ancho ∆𝑥 y dibujamos un rectángulo representativo de alto 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 donde 𝑥
está en el 𝑖-ésimo intervalo.
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

Área del rectángulo 𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥
Sumando las áreas y considerando que el número de rectángulos tiende a infinito
resulta que el área total es: lim
𝑛→∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥
Como f y g son continuas en el intervalo, la función diferencia 𝑓 − 𝑔 también lo es y
el límite existe.
Por lo tanto el área es: Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

Es importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área depende sólo de
que f y g sean continuas y de que 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 . Las gráficas de f y g pueden estar
situadas de cualquier manera respecto del eje x.

Integración respecto al eje y
Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se
pueden trabajar mejor considerando x como función de y los rectángulos
representativos para la aproximación se consideran horizontales en lugar de
verticales. De esta manera, si una región está limitada por las curvas de ecuaciones
𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 = 𝑐 y la recta horizontal 𝑦 = ⅆ, donde f y g son continuas y
𝑓 𝑦 ≥ 𝑔 𝑦 para 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ ⅆ, entonces su área resulta:
𝐴 =
𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 − 𝑔(𝑦) ⅆ𝑦

EJEMPLO 1:
Determine el área de la región limitada por la gráfica
de 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.

Determine el área de la región limitada por la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
x
y
𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟑
 G r a f i q u e m o s :

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
x
y
(4; 0)
𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟑
 C o n a y u d a d e
l a g r á f i c a ,
h a l l a m o s l a
r e g i ó n l i m i t a d a .

 La medida del área deseada está dada por el límite de esta suma cuando ∆𝑥 se
aproxima a 0; así, si A unidades cuadradas es el área de la región, tendremos:
 De este modo, el área de la región es
22
3
de unidades cuadradas.
0 = 𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥 𝑥 − 4 → 𝑥1 = 0 𝑥2 = 4
𝐴 = lim
∆𝑥→0
𝑖=1
𝑛
(4𝜀𝑖 − 𝜀𝑖
2
)∆𝑥
𝐴 =
1
3
4𝑥 − 𝑥2 = 2𝑥2 −
1
3
𝑥3
1
3
=
22
3

EJEMPLO 2:
Encontrar el área de Ia región acotada por la curva
𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.

Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
𝑥 = 2.
x
y
(-2; 0)
(0; 6)
(1; 0) (3; 0)
𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐

− 2𝑥2
𝑥 = 2.
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
 C o n a y u d a d e
l a g r á f i c a ,
h a l l a m o s l a
r e g i ó n l i m i t a d a .
𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔
(-2; 0)
(1; 0)
(0; 6)
(3; 0)

− 2𝑥2
𝑥 = 2.
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
(-2; 0)
(1; 0)
(0; 6)
(3; 0)
 Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6.
Como 𝑓(𝑥) ≥ 0 cuando 𝑥 está
en el intervalo cerrado −1,1
y 𝑓(𝑥) ≤ 0 cuando 𝑥 está en
el intervalo 1,2 , separamos
la región en dos partes.

− 2𝑥2
𝑥 = 2.
 Sea 𝐴1 el número de
unidades cuadradas en el
área de la región cuando 𝑥
está en −1,1 , y sea 𝐴2 el
número de unidades
cuadradas en el área de la
región cuando 𝑥 está en 1,2 .
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
(-2; 0)
(0; 6)
(3; 0)
(1; 0) (3; 0)
𝑨𝟏
𝑨𝟐

− 2𝑥2
𝑥 = 2.
 Entonces:
𝐴1 = lim
∆𝑥→0
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝜀𝑖 ∆𝑥 =
−1
1
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
=
−1
1
(𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6) ⅆ𝑥
𝐴2 =
1
2
−(𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6) ⅆ𝑥
Si A unidades cuadradas es el área de
la región total, entonces: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2.
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
(-2; 0)
(0; 6)
(3; 0)
(1; 0) (3; 0)
𝑨𝟏
𝑨𝟐

− 2𝑥2
𝑥 = 2.
=
−1
1
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 ⅆ𝑥 −
1
2
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 ⅆ𝑥
=
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
−1
1
−
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
1
2
=
1
4
−
2
3
−
5
2
+ 6 −
1
4
−
2
3
−
5
2
− 6 − 4 −
16
3
− 10 + 12 −
1
4
−
2
3
−
5
2
+ 6
=
157
12

− 2𝑥2
𝑥 = 2.
 El área de la región es por lo tanto
157
12
unidades cuadradas.
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
(0; 6)
𝑨𝟏
𝑨𝟐
(Ԑ1; f(Ԑ1))
Ԑ1
(Ԑ1; f(Ԑ1))
∆x
∆x

EJEMPLO 3:
Encontrar el área de Ia región acotada por las curvas
𝑦 = x2 y 𝑦 = ‒ x2 + 4x

 Para encontrar los puntos de intersección de las dos curvas, resolvemos las
ecuaciones simultáneamente y obtenemos los puntos (0;0) y (2;4).
Encontrar el área de Ia región acotada por las curvas y = x2 y y = ‒ x2 + 4x
 Sea: 𝑓(𝑥) = ‒x2 + 4x y 𝑔(𝑥) = x2
−𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥2
𝑥 −𝑥 + 4 = 𝑥. 𝑥
−𝑥 + 4 = 𝑥
2𝑥 = 4
 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 obtenemos los puntos
(0;0) , (2;‒4).
 Entonces:

y = 𝒈(𝒙)
y = 𝒇(𝒙)
(2;4)
(Ԑ1; 𝑓(Ԑ1))
 Si A unidades cuadradas
es el área de la región,
entonces
A = 𝟎
𝟐
[ f(x) ‒ g(x) ]dx
 De lo anterior,
sabemos que el
intervalo [0;2] Ia curva
y = f(x) está arriba de
la curva y = g(x).

A = 0
2
[ f(x) ‒ g(x) ]dx
A = 0
2
(‒2x2 + 4x) dx
A = [‒
2
3
x3 + 2x2 ]0
2
A = ‒
18
3
+ 8 ‒ 0
El área de la región es
8
3
de unidades
cuadradas.
A = 0
2
[( ‒x2
+ 4x ) ‒ (x2
)]dx
 A = 0
2
[ f(x) ‒ g(x) ]dx
A =
8
3

EJEMPLO 4:
Encontrar el área de Ia región acotada por la
parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5

Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 Para encontrar los puntos de intersección de la parábola y la recta,
resolvemos las dos ecuaciones simultáneamente y obtenemos los puntos
(3 ; - 2) y (9 ; 4).
 La ecuación 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 ‒ 𝟐 es equivalente a las dos ecuaciones y = 2x ‒ 2
y y = ‒ 2x ‒ 2

= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 La primera ecuación da la mitad superior de la parábola y la segunda
ecuación da la mitad inferior.
 Si hacemos f𝟏(x) = 2x ‒ 2 y f𝟐(x) = ‒ 2x ‒ 2
 La ecuación de la mitad superior de la parábola es y = f𝟏(x) y la ecuación de
mitad inferior de la parabola y = f𝟐(x).
 Si hacemos que g(x) = x ‒ 5 la ecuación de la recta es y = g(x).

(9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
y = f𝟏(x)
y = g(x)
(3; ‒2)
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5

(9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
 En la figura vemos dos
elementos rectangulares
verticales de áreas.
 Cada rectángulo tiene la
base superior sobre la
curva y = f1(x).
 Ya que la base del primer
rectángulo está sobre la
curva y = f2(x), la altura es
[f1(Ԑ1) ‒ f2(Ԑ1)] unidades.
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
y = f𝟏(x)
y = g(x)
(Ԑ1;f1(Ԑ1))
(Ԑ1; g(Ԑ1))
(Ԑ1; f1(Ԑ1))
(Ԑ1; f2(Ԑ1))

 Ya que la base del
Segundo rectángulo
está sobre la curva
y = g(x), su altura es
[f1(Ԑ1) ‒ g(Ԑ1)] unidades.
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
(9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
y = f𝟏(x)
y = g(x)
(Ԑ1;f1(Ԑ1))
(Ԑ1; g(Ԑ1))
(Ԑ1; f1(Ԑ1))
(Ԑ1; f2(Ԑ1))
 Si deseamos resolver
este problema usando
elementos rectangulares
verticales de area,
debemos dividir Ia region
en dos regiones
separadas, por ejemplo
R1 y R2.

= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
(9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
y = f𝟏(x)
y = g(x)
 Por ejemplo R1 y R2.
 Donde R1 es Ia
región acotada por
las curvas y = f𝟏(x)
y y = f𝟐(x) y Ia
recta 𝑥 = 3.
 Tambien R2 es Ia
region acotada por
las curvas y = f𝟏(x)
y y = g(x) y la
recta 𝑥 = 3.
R1
R2

= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 Si A1 es el área de la región R1 en
unidades cuadradas, tenemos:
 A1 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[ f1(Ԑ1) ‒ f2(Ԑ1) ]∆𝑥
A1 = 1
3
[ f1(𝑥) ‒ f2(𝑥) ]ⅆ𝑥
A1 = 1
3
[ 2x ‒ 2 + 2x ‒ 2 ]ⅆ𝑥
A1 = 2 1
3
2x ‒ 2 ⅆ𝑥
A1 =
2
3
2𝑥 − 2
3
2 ]1
3
A1 =
16
3
A1 = [
2
3
6 − 2
3
2] − [ 0 ]

= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 Si A𝟐 es el área de la región R2 en
 A𝟐 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[ f1(Ԑ1) ‒ 𝑔(Ԑ1) ]∆𝑥
A𝟐 = 3
9
[ f1(𝑥) ‒ 𝑔(𝑥) ]ⅆ𝑥
A𝟐 = 3
9
[ 2x ‒ 2 − (𝑥 − 5) ]ⅆ𝑥
A𝟐 = [
1
3
2𝑥 − 2
3
2
−
1
2
x2 + 5𝑥]3
9
A𝟐 =
38
3
A𝟐 = [
16
3
2
3
−
81
2
+ 45 ] −
[
4
3
2
3
−
9
2
+ 15]
De aquí A𝟏 + A𝟐 =
16
3
+
38
3
= 18,
por lo tanto, el área de toda la región es 18
unidades cuadradas.

EJEMPLO 5:
Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior
tomando elementos rectangulares horizontales de
área.

Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior tomando elementos rectangulares horizontales de área.
 Se ilustra la región
con un elemento
rectangular horizontal
de áreas.
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦1
𝑦2
Ԑ1 ∆y

 Si en las ecuaciones de la
parábola y de la recta
resolvemos para x, temenos
x=
1
2
(y2 + 2) y x = y + 5
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦1
𝑦2
Ԑ1 ∆y
 Haciendo Φ(y) =
1
2
(y2 + 2) y
λ (y) = y + 5, la ecuación de la
parabola se puede escribir
como x = Φ(y) y la ecuación
de la recta como x = λ (y)

 Si consideramos el intervalo
cerrado sobre el eje y y tomamos
una partición regular de este
intervalo cada subintervalo
tendrá una longitud ∆y.
 En el i-ésimo intervalo [𝑦𝑖−1; 𝑦𝑖],
escogemos un punto Ԑ1.
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦𝑖
𝑦𝑖−1
Ԑ1 ∆y

 Si A unidades cuadradas es el
área de la región, entonces
A = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[λ(Ԑ1) ‒ Φ(Ԑ1)](∆y)
 Ya que λ y Φ son continuas en
[-2;4].
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦𝑖
𝑦𝑖−1
Ԑ1 ∆y
 Entonces la longitud del i-ésimo
elemento rectangular es
[λ(Ԑ1); Φ(Ԑ1)] unidades el ancho
es ∆y unidades.

Por lo tanto el área de la región es 18
unidades cuadras.
 A = 2
4
[ λ(𝑦) ‒ Φ(𝑦) ]ⅆ𝑦
A = 18
 También lo es (λ ‒ Φ ) y el límite de la suma
de Riemann es una integral definida:
A = 2
4
[ (𝑦 + 5) ‒
1
2
(𝑦2
+ 2) ]ⅆ𝑦
A =
1
2 2
4
2(
−𝑦2
2
+ 𝑦 + 4 )dy
A =
1
2
[ −
1
3
𝑦3 + 𝑦2 + ]
8𝑦 4
−2
)
A =
1
2 2
4
( −𝑦2 + 2𝑦 + 8 )dy
 A =
1
2
[( −
1
3
43 + 42 + 32 ) −
( −
1
3
−2 3 + 22 − 16)]
 Reemplazando:
A =
1
2
[( −
64
3
+ 48 ) − (
8
3
+ 12)]

EJEMPLO 6:
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos
curvas y = x3 ‒ 6x2 + 8x e y = x2 ‒ 4x.

Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.
 Para encontrar los puntos de intersección entre las dos curvas,
resolvemos las dos ecuaciones simultáneamente y obtenemos los puntos
(0;0) , (3;‒3) y (4;0).
 Sea: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 ‒ 4𝑥.
𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 = 𝑥2 ‒ 4𝑥
𝑥3 ‒ 7𝑥2 + 12𝑥 = 0
𝑥 𝑥2 ‒ 7𝑥 + 12 = 0
𝑥 𝑥 ‒ 3 𝑥 − 4 = 0
 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 obtenemos los puntos
(0;0) , (3;‒3) y (4;0).
 Entonces:

y = g(x)
x
y
y = f(x)
(3; ‒3)
(4; 0)

y = g(x)
x
y
y = f(x)
(3; ‒3)
(4; 0)
 En el intervalo [0,3] la
curva y = f(x) está arriba
de la curva y = g(x).
 En el intervalo [3:4] la
curva y = g(x) está arriba
de la curva y = f(x)..

y = g(x)
x
y
y = f(x)
(3; ‒3)
(4; 0)
 Así la región debe ser en dos
regiones separadas R1 y R2
, donde R1 es la región
acotada por las dos curvas
en el intervalo [0:3] y R2 es
la región acotada por las dos
curvas en el intervalo [3:4].
 Haciendo que A1 unidades
cuadradas sea el área de R1
y A2 unidades cuadradas
sea el área de R2 tenemos.
R1
R2
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
Ԑ𝑖
(Ԑ𝑖; f(Ԑ𝑖))
(Ԑ𝑖;g(Ԑ𝑖))
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1 Ԑ𝑖
(Ԑ𝑖;g(Ԑ𝑖))
(Ԑ𝑖; f(Ԑ𝑖))

 Si 𝑨1 es el área de la región R1 en
 R1 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[f(Ԑ𝑖) ‒ g(Ԑ𝑖)) ]∆𝑥
R1 = 0
3
[ f(𝑥) ‒ g(𝑥) ]ⅆ𝑥
R1 = 0
3
[𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 − 𝑥2 + 4𝑥]ⅆ𝑥
R1 = [
1
4
𝑥4 ‒
7
3
𝑥3 + 6𝑥2 ]0
3
R1 =
45
4
R1 = [
81
4
− 63 + 54] − [ 0 ]
R1 = 0
3
[ 𝑥3 ‒ 7𝑥2 + 12𝑥 ]ⅆ𝑥

 Si A𝟐 es el área de la región R2 en
 R𝟐 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[g(Ԑ𝑖) ‒ f(Ԑ𝑖) ]∆𝑥
R𝟐 = 3
4
[ g(𝑥) ‒ f(𝑥) ]ⅆ𝑥
R𝟐 = 3
4
[𝑥2 − 4 − (𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥)]ⅆ𝑥
R𝟐 = [ −
1
4
𝑥4 +
7
3
𝑥3 − 8𝑥2 − 4𝑥 ]3
4
R𝟐 =
1489
12
R𝟐 = [64 +
448
3
− 144] − [−
81
4
+ 63 − 84]
R𝟐 = 3
4
[ −𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 − 4 ]ⅆ𝑥
R𝟐 = [64 +
448
3
− 128] − [
81
4
− 63 − 12]

EJEMPLO 7:
Encontrar el área de Ia región en el primer cuadrante
acotada por la curva cuya ecuación es 𝑦 = 𝑥 x2 + 5 ,
el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. Hacer la gráfica.

Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
Ԑ1 Ԑ1
2 + 5 (∆x)
A =
1
2 0
2
x2 + 5 (2xdx)
A =
0
2
x x2 + 5 (dx)
A =
 Sea A = el área Ia región pedida, en
unidades cuadradas.
Entonces:
 Sea A = el área Ia región pedida, en unidades
cuadradas.
1
2 0
2
x2 + 5 (2xdx)
A =
1
2
∙
2
3
(x2 + 5)3/2
2
0
A =
1
3
[ (9)3/2 ‒ (5)3/2 ]
A =
Entonces:
1
3
[ (27) ‒ (5 5) ]
A =
Por lo tanto el área Ia región pedida es
1
3
[(27) ‒ (5 5)] unidades cuadradas.
Encontrar el área de Ia región en el primer cuadrante acotada por la curva cuya ecuación es 𝑦 =
𝑥 x2 + 5 , el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. Hacer la gráfica.

∆x
Encontrar el área de Ia región en el primer cuadrante acotada por la curva cuya ecuación es 𝑦 =
𝑥 x2 + 5 , el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. Hacer la gráfica.
2
6
1
y=x x2+5
x = 2
Ԑ𝑖

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

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