Primer y segundo teorema fundamental del cálculo. Válido para estudiantes de ingeniería. Teoría y ejercicios resueltos para un mejor entendimiento.

2. SEMANA 1
INTEGRAL DEFINIDA
1. Definición de integral definida.
2. Interpretación geométrica.
3. Propiedades.
4. Primer teorema fundamental del Cálculo.
5. Segundo teorema fundamental del Cálculo.

3. 1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

4. INTRODUCCIÓN
𝓓
𝒇 𝒙 = 𝟒 − 𝒙𝟐
Sea 𝒟 la región del plano limitada por
la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 ,
el eje 𝑥 y el eje 𝑦
El problema es calcular el área de la
región 𝒟.
EL PROBLEMA DEL ÁREA
https://www.geogebra.org/m/kkjswccw

5. b
a X
Y
)
(x
f
y
Fig. 1.1.1
O
𝓓
Sea 𝒟 la región del plano
limitada por la gráfica de una
función continua 𝑦 = 𝑓 𝑥 , el
eje X y las rectas 𝑥 = 𝑎 , 𝑥 = 𝑏.
El problema es calcular el área de la región 𝒟.
Se resolverá por aproximación mediante suma de áreas de rectángulos
que se construirán en la región 𝒟.

6. • 𝑓 una función continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 .
Sean:
• 𝒫 una partición del intervalo 𝑎; 𝑏 . (ver pág. 13 del texto)
𝑆 𝑓; 𝒫 = 𝑓 𝑥1
∗
∙
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
∆𝑥1
𝐵𝑎𝑠𝑒
+ 𝑓 𝑥2
∗
∙ ∆𝑥2 + ⋯+ 𝑓 𝑥𝑖
∗
∙ ∆𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛
∗
∙ ∆𝑥𝑛
𝑋
𝑌
𝑂
𝒇
𝑥1
∗
𝑓 𝑥1
∗
𝑥2
∗
𝑓 𝑥2
∗
𝑥𝑖
∗
𝑓 𝑥𝑖
∗
𝑥𝑛
∗
𝑓 𝑥𝑛
∗
𝑎 𝑏
𝑥0 = 𝑥1 = 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1
𝑥2 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
Suma de las áreas
de los rectángulos

7. 𝑓 𝑥1
∗
𝑓 𝑥2
∗
𝑥𝑖
∗
𝑓 𝑥𝑖
∗
𝑥𝑛
∗
𝑓 𝑥𝑛
∗
𝑆 𝑓; 𝒫 = 𝑓 𝑥1
∗
∆𝑥1 +𝑓 𝑥2
∗
∆𝑥2 + ⋯+ 𝑓 𝑥𝑖
∗
∆𝑥𝑖 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛
∗
∆𝑥𝑛
𝑎 𝑏
𝑥0 = 𝑥1 = 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1
𝑥2 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
𝑆 𝑓; 𝒫 =
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗
∆𝑥𝑖
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛
=
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗ 𝑏 − 𝑎
𝑛
=
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗
𝒇
𝑋
𝑌
𝑂
𝑥1
∗
𝑥2
∗

8. 𝒇
𝑋
𝑌
𝑂
𝑥1
∗
𝑓 𝑥1
∗
𝑥2
∗
𝑓 𝑥2
∗
𝑥𝑖
∗
𝑓 𝑥𝑖
∗
𝑥𝑛
∗
𝑓 𝑥𝑛
∗
𝑆 𝑓; 𝒫 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑆 𝑓; 𝒫 = lim
𝑛→∞
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗
𝑎 𝑏
𝑥0 = 𝑥1 = 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1
𝑥2 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖

9. 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Límites de
integración
Indica la variable en
la función integrando
Función
integrando

10. 2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
INTEGRAL DEFINIDA

11. 𝒇
Sean: 𝑓 una función continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 , 𝑓 ≥ 0.
𝑎 𝑏 𝑋
𝑌
𝑂
𝓓
𝒟 la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje X y las rectas
𝑥 = 𝑎 , 𝑥 = 𝑏.
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴 𝒟

12. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏
𝓓
𝟓
𝟐
0
2
2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝐴 𝒟
Solución
𝟏
Ejemplo 1. Calcular
0
2
(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
=
1 + 5
2
2
= 6

13. Sean: 𝑓 una función continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 , 𝑓 ≤ 0.
𝒟 la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje X y las rectas
𝑥 = 𝑎 , 𝑥 = 𝑏.
𝒇
𝑎 𝑏 𝑋
𝑌
𝑂
𝓓
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐴 𝒟

14. Ejemplo 2. Calcular
1
2
(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥
𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒙
1 2 3
0
−1
−3
𝓓
𝟏
𝟏
𝟑
Solución
1
2
1 − 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝐴 𝒟
= −
1 + 3
2
1
= −2

15. Sea 𝑓 función continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 , con 𝑎 < 𝑏
𝑎)
𝑐
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 = 0, 𝑐 ∈ 𝑎; 𝑏
𝑏)
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Definición 2. Casos singulares de la Integral definida

16. 3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

17. Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas en 𝑎; 𝑏 y 𝐾 una constante.
𝑷𝟏)
𝑎
𝑏
𝐾 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐾 ∙
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑷𝟐)
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎 𝑏
𝑐
𝑷𝟑)
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑷𝟒) Si 𝑓 𝑥 ≥ 0 para cada 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 ; entonces
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0

18. 𝑷𝟓) Si 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 para cada 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑷𝟔)
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑷7) Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para todo 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , donde 𝑚 y 𝑀
son el mínimo y el máximo absolutos de 𝑓 entonces
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

19. Ejemplo 3.
Sea 𝑓 una función tal que
1
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5 𝑦
1
4
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −2 . Calcule
4
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
1
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝟒
𝟔
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
5 = −2 +
𝟒
𝟔
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝟒
𝟔
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 7
⟹
Solución

20. En la figura adjunta se muestra la gráfica
de una función 𝑓.
Calcule
−3
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo 4.
𝒇
𝑫𝟏 𝑫𝟐
𝑫𝟑
−3
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−3
−1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−1
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
2
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

21. −3
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−3
−1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−1
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
2
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
= 𝐴 𝒟1 + 𝐴 𝒟2 − 𝐴 𝒟3
=
1 + 3
2
2 +
3 × 3
2
−
3 × 3
2
= 4
Solución

22. Ejemplo 5 .
En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función 𝑓
Utilice propiedades y la interpretación geométrica de la
integral definida para calcular las siguientes integrales:
𝑎)
−8
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏)
−4
14
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

23. = 𝐴 𝒟1 − 𝐴 𝒟2
=
4𝜋
2
−
4 + 10
2
6
= 2𝜋 − 42
𝑎)
−8
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−8
−4
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−4
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Solución
𝒟1
𝒟2

24. = −𝐴 𝒟2 + 𝐴 𝒟3 + 𝐴 𝒟4
= −42 +
8 × 4
2
+
4 + 8
2
4
= −2
𝑏)
−4
14
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−4
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
6
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
10
14
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝒟2
𝒟3
𝒟4

25. ACTIVIDADES PARA EL ALUMNO
EL ALUMNO DEBE RESOLVER DEL TEXTO LOS SIGUIENTES
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
1.1: Problemas 3 ,4, 8 y 9
Código en Biblioteca: 515.43 C 2018
Dirección electrónica del documento:
https://hdl.handle.net/20.500.12724/9478