Análisis sismico

1. TEMA :
MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO
CURSO:INGENIERIAANTISISMICA
DOCENTE:ING. MATAMOROS HUAYLLANI, Freddy.
ESTUDIANTES:
- DIAZ PEREZ, Leydy Yareth
- HILARIO CASTRO, Julissa
- LIMA GOMEZ, Carmen
- MANRIQUE SEDANO, Kevin Richard
- TAIPE BELITO, Isac
- TAIPE BELITO, Javier

2. • los movimientos forzado amortiguado es
fundamental en muchos ámbitos de la física y la
ingeniería.
• La energía de un movimiento amortiguado
disminuye con el tiempo, como resultado de la
fuerza disipativa.
• En cualquier instante, es posible agregar energía
al sistema por medio de una fuerza aplicada que
actúe en la dirección del movimiento del oscilador

3. 1° HISTERÉTICO.- Es aquella que se da por fuerzas de reacomodo de
sus partículas del material que el sistema presenta ya sea concreto,
acero, albañilería, etc.
2° DE COULUMB.- Es aquella que se da por fuerzas de fricción o
rozamiento producidas en los nudos de la estructura.
3° VISCOSO.- Es aquella amortiguación que se define por motivación de
fuerzas externas ya sea fuerzas puntuales o distribuidas. Es proporcional
a la velocidad.
Liquido de viscosidad “C”

4. Este principio establece que un sistema puede ser
puesto en estado de equilibrio dinámico agregando a
las fuerzas externas una fuerza ficticia, comúnmente
conocida como FUERZA DE INERCIA. Esta fuerza es
igual a la masa multiplicada por la aceleración, y debe
estar siempre dirigida negativamente con respecto al
movimiento

5.  Masa : Es la cantidad de materia que tiene un
cuerpo.
 Resorte: Se conoce como resorte o muelle a un
operador elástico capaz de almacenar energía y
desprenderse de ella sin sufrir deformación
permanente cuando cesan las fuerzas.
 Amortiguador: es un dispositivo que absorbe
energía, utilizado normalmente para disminuir
o absorber las oscilaciones no deseadas de un
movimiento .

6.  La energía de un oscilador
amortiguado disminuye con el
tiempo, como resultado de la fuerza
disipativa. Es posible compensar esta
pérdida de energía aplicando una
fuerza externa o restauradora que
suministre la energía disipada
realizando un trabajo positivo sobre
el sistema.

7. DEMOSTRACION DE LA FORMULA
𝒎𝑿 𝒕 + 𝑪𝑿 𝒕 + 𝑲𝑿 𝒕 = 𝑭(𝒕)
Fuerza de excitación armónica
𝑭 𝒕 = 𝑭𝟎𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
Donde:
F0 : Amplitud Máxima de la Fuerza.
ω : Frecuencia Angular de la Fuerza Excitadora.
La solución de la ecuación diferencial puede ser expresada
como:
𝒎𝑿 𝒕 + 𝑪𝑿 𝒕 + 𝑲𝑿 𝒕 = 𝑭𝟎𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
𝑿 𝒕 = 𝑿𝒄 𝒕 + 𝑿𝒑 𝒕 … 𝟎𝟏

8. Donde:
𝑿𝑪(𝒕) ∶ Solución complementaria de la ecuación
homogénea.
𝒎𝑿𝑪(𝒕) + 𝑪𝑿𝑪(𝒕) + 𝑲𝑿𝑪 𝒕 = 𝟎
Correspondiente al movimiento oscilatorio
SUBAMORTIGUADO. (Ɛ<1)
𝑿𝑪 𝒕 = 𝒆−𝛆𝝎𝒕 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒂𝒕 + 𝑪𝟏𝑺𝒆𝒏𝝎𝒂𝒕 … 𝟎𝟐
𝑿𝑪(𝒕) ∶ Solución particular de la ecuación no homogénea.
𝒎𝑿𝒑(𝒕) + 𝑪𝑿𝒑(𝒕) + 𝑲𝑿𝒑 𝒕 = 𝑭𝟎𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
𝑿𝒑(𝒕) +
𝑪
𝒎
𝑿𝒑(𝒕) +
𝑲
𝒎
𝑿𝒑 𝒕 =
𝑭𝟎
𝒎
𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕

9. Como:
𝑪
𝒎
= 𝟐𝝎𝜺 ;
𝑲
𝒎
= 𝝎𝟐
𝑿𝒑(𝒕) + 𝟐𝝎𝜺 𝑿𝒑(𝒕) + 𝝎𝟐
𝑿𝒑 𝒕 =
𝑭𝟎
𝒎
𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
Tomando como solución particular:
𝑿𝒑 𝒕 = 𝑨𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝑨𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
𝑿𝒑 𝒕 = 𝑨𝟏𝝎𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝑨𝟐𝝎𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕
𝑿𝒑 𝒕 = −𝑨𝟏𝝎𝟐
𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 − 𝑨𝟐𝝎𝟐
𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
Reemplazando en la ecuación no homogénea.
−𝑨𝟏𝝎𝟐
𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 − 𝑨𝟐𝝎𝟐
𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝟐𝝎𝜺( 𝑨𝟏𝝎𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝑨𝟐𝝎𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕)
+ 𝝎𝟐
(𝑨𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝑨𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕) =
𝑭𝟎
𝒎
𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
𝝎𝟐
− 𝝎𝟐
𝑨𝟏 + (𝟐𝜺𝝎𝝎)𝑨𝟐 𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 + −𝟐𝜺𝝎𝝎 𝑨𝟏 + 𝝎𝟐
− 𝝎𝟐
𝑨𝟐 = 𝟎𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 +
𝑭𝟎
𝒎
𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕

10. Igualando coeficiente del Coseno y Seno:
𝝎𝟐 − 𝝎𝟐 𝑨𝟏 + 𝟐𝜺𝝎𝝎 𝑨𝟐 = 𝟎 … 𝜽
−𝟐𝜺𝝎𝝎 𝑨𝟏 + 𝝎𝟐 − 𝝎𝟐 𝑨𝟐 =
𝑭𝟎
𝒎
… 𝜷
𝑨𝟏 =
−
𝑭𝟎
𝒎
𝟐𝜺𝝎𝝎
𝝎𝟐 − 𝝎𝟐 + 𝟐𝜺𝝎𝝎 𝟐
𝑨𝟐 =
𝑭𝟎
𝒎
𝝎𝟐
− 𝝎𝟐
𝝎𝟐 − 𝝎𝟐 + 𝟐𝜺𝝎𝝎 𝟐
Definiendo a “A” como el valor máximo o Amplitud de la solución
𝐴 = 𝐴1
2
+ 𝐴2
2

11. 𝑨 =
𝑭𝟎
𝒎
𝝎𝟐 − 𝝎𝟐 + 𝟐𝜺𝝎𝝎 𝟐
, 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 "𝝎𝟐
"
𝑨 =
𝑭𝟎
𝑲
𝟏 −
𝝎𝟐
𝝎𝟐
𝟐
+ 𝟐𝜺
𝝎
𝝎
𝟐
, 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝒓 =
𝝎
𝝎
𝑨 =
𝑭𝟎
𝑲
𝟏 − 𝒓𝟐 𝟐 + 𝟐𝜺𝒓 𝟐
, 𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝑴𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑨𝒔𝒕 =
𝑭𝟎
𝑲
∶ 𝑫𝒆𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂
𝑿𝒑 𝒕 = 𝑨𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝑨𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
𝑿𝒑 𝒕 = 𝑨𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝑨𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕
𝑿𝒑 𝒕 = 𝑨𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
𝑨𝟐
𝑨
+ 𝑨𝑪𝒐𝒔𝝎𝒕
𝑨𝟏
𝑨
𝑿𝒑 𝒕 = 𝑨𝑺𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜶) … 𝟎𝟑

12. ANGULO DE FASE: (𝜶)
𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1
𝐴1
𝐴2
= 𝑇𝑎𝑛−1
𝟐𝜺𝝎𝝎
𝝎𝟐 − 𝝎𝟐
, 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒: "𝝎𝟐"
𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 𝟐𝜺𝝎𝝎
1−
𝝎
𝝎
2
Angulo de fase del Movimiento Permanente.
𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 𝟐𝜺𝒓
1−𝑟2
Reemplazando 02 y 03 en 01:
𝑿 𝒕 = 𝒆−𝜺𝝎𝒕 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒂𝒕 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒂𝒕 + 𝑨𝑺𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜶)
ECUACION DEL MIVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO

13. 𝑪𝟏, 𝑪𝟐 ∶ Son constantes de integración que deben ser calculados a partir
de las condiciones iniciales usando la respuesta total.
- t=0 𝑋 0 = 0 ; 𝐶1 = −𝐴𝑆𝑒𝑛𝛼
- t=0 𝑋 0 = 0 ; 𝐶2 = −
𝐴
1−𝜀2
(𝜀𝑆𝑒𝑛𝛼 − 𝑟𝐶𝑜𝑠𝛼)
Examinando la ecuación del Movimiento Forzado Amortiguado, puede
verse que la presencia del factor exponencial 𝑒−𝜀𝜔𝑡
hará que el primer
componente del Movimiento desaparezca con el tiempo, por
consiguiente:
𝑿 𝒕 = 𝑨𝑺𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝜶 + 𝒆−𝜺𝝎𝒕
𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒂𝒕 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒂𝒕
Donde:
𝑨𝑺𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝜶 ∶ Respuesta Permanente.
𝒆−𝜺𝝎𝒕
𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝝎𝒂𝒕 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝝎𝒂𝒕 ∶ Respuesta Transitoria.

14. Queda solo el Movimiento Permanente:
𝑿 𝒕 =
𝑭𝟎
𝑲
𝟏 − 𝒓𝟐 𝟐 + 𝟐𝜺𝒓 𝟐
. 𝑨𝑺𝒆𝒏𝝎𝒕
Ecuación del movimiento forzado amortiguado en estado de respuesta
permanente.

15. AMPLIFICACION DINAMICA: (D)
La razón entre la amplitud del componente del Movimiento Permanente “A” y
la deformación estática "𝐴𝑠𝑡", se conoce con el nombre de Amplificación
Dinámica.
𝑫 =
𝑨
𝑨𝒔𝒕
=
𝟏
𝟏 − 𝒓𝟐 𝟐 + 𝟐𝜺𝒓 𝟐