excitación armónica en sistemas no amortiguados

1. INTEGRANTES:
 Marleth Aleska Morales Zamora.
 María Virginia Orozco Potosme.
 Byron Steven Carvajal Ortega.
30 de enero del año 2018.

2. INTRODUCCION.
La respuesta de los sistemas de un grado de libertad ante una excitación armónica en la dinámica
estructural no solo se encuentra en los sistemas ingenieriles, así como la fuerza de una maquinaria
rotatoria con una masa excéntrica sino también porque la comprensión de la respuesta de las
estructuras ante una excitación armónica proporciona una visión de la forma en que el sistema
responderá a otros tipos de fuerzas. Además, la teoría de la vibración armónica forzada tiene varias
aplicaciones útiles en la ingeniería sísmica.
Un sistema mecánico o estructural se dice que está sujeto a vibración forzada cuando energía
externa es suplida al sistema durante la vibración. Energía externa puede ser suplida ya sea por
medio de una fuerza aplicada o bien por medio de una excitación de desplazamiento impuesta. La
fuerza aplicada o la excitación de desplazamiento puede ser armónica, no armónica pero periódica,
no periódica, o aleatoria.
La respuesta de un sistema a una excitación armónica se conoce como respuesta armónica.

3. OBJETIVOS
• Estudiar las vibraciones y sus efectos resonantes.
• Conocer los efectos, variaciones, desplazamientos y deformaciones debido a fuerzas.

4. ¿QUE ES UNA EXCITACIÓN ARMONICA?
Excitación armónica se refiere a una fuerza senoidal externa de frecuencia simple aplicada a un
sistema de excitaciones armónicas. son una fuente común de fuerzas externas aplicadas a
máquinas y estructuras. Para mantener un sistema oscilando, es necesario suministrar alguna
forma de energía al sistema.
¿QUE ES LA RESONANCIA?
El concepto más importante en vibraciones es la resonancia. La resonancia ocurre cuando
una fuerza armónica externa es aplicada a un sistema cuya frecuencia natural es igual a la
de la fuerza aplicada. La fuerza de excitación puede ser producida por algún
componente rotativo (motor, turbina, compresor, etc.) La resonancia producirá grandes
deflexiones, las cuales podrán exceder los límites elásticos y causar el colapso de
estructuras.

5. VIBRACION ARMONICA EN SISTEMAS NO AMORTIGUADOS.
Supongamos una fuerza armónica 𝑝(𝑡) = 𝑝 𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑜 𝑝 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡, donde 𝑝 𝑜 es la amplitud
o valor máximo de la fuerza y su frecuencia “ω”, se denomina frecuencia de excitación o
frecuencia de forzamiento; 𝑇 = 2𝜋/𝜔 es el periodo de excitación o periodo de
forzamiento.
Si se establece 𝑝(𝑡) = 𝑝 𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 se obtiene la ecuación diferencial que controla la
vibración forzada armónica del sistema, que en los sistemas sin amortiguamiento se
especifica como:
𝑚 𝑢 + 𝑘𝑢 = 𝑝 𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 3.1.1

6. La solución complementaria de la ecuación (3.1.1) es la respuesta a la vibración libre
determinada en la ecuación (d) de la deducción 2.1:
𝑢𝑐(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐵 sen 𝜔𝑛𝑡
Esta ecuación debe resolverse para el desplazamiento o deformación 𝑢 𝑡 sometida
a las condiciones iniciales.
𝑢 = 𝑢(0) 𝑢 = 𝑢(0)
Donde 𝑢(0) y 𝑢(0) son el desplazamiento y la velocidad en el instante de tiempo cuando
se aplica la fuerza. La solución particular de esta ecuación diferencial es
𝑢𝑝 𝑡 =
𝑝 𝑜
𝑘
1
1−(
𝜔
𝜔 𝑛
)2
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ; 𝜔 ≠ 𝜔𝑛
3.1.2
3.1.3
3.1.4

7. Y la solución completa es la suma de las soluciones complementaria y particular:
𝑢𝑐 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔 𝑛 𝑡 + 𝐵 sen𝜔 𝑛 𝑡 +
𝑝 𝑜
𝑘
1
1 −
𝜔
𝜔 𝑜
2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
Las constantes A y B se determinan al imponer las condiciones iniciales, ecuación
(3.1.2), para obtener el resultado final (vea la deducción 3.1):
𝑢 𝑡 = 𝑢 0 cos𝜔 𝑛 𝑡 +
)𝑢(0
𝜔 𝑛
−
𝑝 𝑜
𝑘
1
1 −
𝜔
𝜔 𝑛
2 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑛 𝑡 +
𝑝 𝑜
𝑘
1
1 −
𝜔
𝜔 𝑜
2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
transitorio Estado estacionario
3.1.5
3.1.6a

8. Se ha graficado la ecuación (3.1.6a) para un
𝜔/𝜔𝑛 = 0.2 ; 𝑢(0) = 0.5𝑝 𝑜/𝑘
y 𝑢 0 = 𝜔 𝑛
𝑝 𝑜
𝑘
. con línea continua en la
figura. El término 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 en esta ecuación es
la solución particular de la ecuación (3.1.3) y
se muestra con línea discontinua. En la
ecuación (3.1.6a) y la figura se muestra que
𝑢(𝑡) contiene dos componentes de vibración
distintos:
• El término 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡, que proporciona una oscilación con la frecuencia de excitación o forzamiento.
• Los términos 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑛 𝑡 y 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑛 𝑡, que dan una oscilación con la frecuencia natural del sistema.

9. El primero de estos es la vibración forzada o la vibración de estado estacionario, que está presente
debida a la fuerza aplicada, independientemente de las condiciones iniciales. El segundo es la
vibración libre o vibración transitoria, que depende del desplazamiento y la velocidad iniciales. Esta
existe incluso si 𝑢(0) = 𝑢(0) = 0, en cuyo caso la ecuación (3.1.6a) se define como:
𝑢 𝑡 =
𝑝 𝑜
𝑘
1
1 −
𝜔
𝜔 𝑛
2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 −
𝜔
𝜔 𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 𝑡
3.1.6b

10. El componente transitorio se muestra como la diferencia entre las líneas continua y
discontinua de la figura 3.1.1, donde se ve que continúa indefinidamente.
La respuesta dinámica en estado estacionario, una oscilación sinusoidal con la frecuencia
de la excitación, puede expresarse como:
𝑢 𝑡 = 𝑢 𝑠𝑡 𝑜
1
1 − ( )𝜔 𝜔 𝑛
2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
Si se hace caso omiso de los efectos dinámicos representados por el término de aceleración en la ecuación
(3.1.1), se obtiene la deformación estática (indicada por el subíndice “st”) en cada instante:
𝑢 𝑠𝑡 𝑡 =
𝑃𝑜
𝑘
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
El valor máximo de la deformación estática es:
𝑢 𝑠𝑡 𝑜 =
𝑃𝑜
𝑘
3.1.7
3.1.8
3.1.9

11. Puede interpretarse como la deformación estática producida por la amplitud 𝑃𝑜 de la fuerza; por
razones de brevedad, se referirá a 𝑢 𝑠𝑡 𝑜 como la deformación estática. El factor que está entre
paréntesis en la ecuación (3.1.7) se grafica en la figura 3.1.2 contra 𝑤/𝑤 𝑛, la relación de la frecuencia de
excitación sobre la frecuencia natural.
• Para ω/𝝎 𝐧 < 1 o 𝝎 < 𝝎 𝐧 este factor es positivo, lo que
indica que 𝑢(𝑡)y 𝑝 𝑡 tienen el mismo signo algebraico.
• Para ω/𝝎 𝐧 > 𝟏 o 𝝎 > 𝝎 𝒏 este factor es negativo, lo que
indica que 𝑢(𝑡) y 𝑝 𝑡 tienen signos algebraicos
opuestos.

12. Para describir de manera matemática esta noción de fase se reescribe la ecuación (3.1.7) en
términos de la amplitud 𝑢 𝑜 del desplazamiento vibratorio 𝑢(𝑡) y del ángulo de fase φ:
)𝑢 𝑡 = 𝑢 𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 − φ = 𝑢 𝑠𝑡 𝑜 𝑅 𝑑 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 − φ
Donde:
𝑅 𝑑 =
𝑢 𝑜
𝑢 𝑠𝑡 𝑜
=
1
1−
𝑤
𝑤 𝑛
2 y φ =
0°
180°
𝑤 < 𝑤 𝑛
𝑤 > 𝑤 𝑛
• Para 𝑤 < 𝑤 𝑛, φ = 0° lo que implica que el desplazamiento varía con 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡, en fase con la
fuerza aplicada.
• Para 𝑤 > 𝑤 𝑛, φ = 180°, lo que indica que el desplazamiento varía con −𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡, fuera de fase
con relación a la fuerza.
3.1.10
3.1.11

13. El factor de amplificación dinámica de deformación (o
de desplazamiento) 𝑅 𝑑 es la razón de la amplitud 𝑢 𝑜 de
la deformación dinámica (o vibratoria) sobre la
deformación estática 𝑢 𝑠𝑡 𝑜.
Si 𝑤/𝑤 𝑛 es cercana a 1 (es decir, si 𝑤 es cercana a 𝑤 𝑛),
𝑅 𝑑 es mucho mayor que 1, lo que implica que la
amplitud de la deformación dinámica es mucho mayor
que la deformación estática.

14. La frecuencia de resonancia se define como la frecuencia de excitación en la que 𝑅 𝑑 es máxima. Para
un sistema no amortiguado, la frecuencia resonante es 𝑤 𝑛 y 𝑅 𝑑 es infinito en esta frecuencia. Sin
embargo, la deformación vibratoria no se vuelve infinita de inmediato, sino poco a poco, como se
demuestra a continuación.
Si 𝜔 = 𝜔 𝑛, la solución dada por la ecuación ya no es válida. En este caso la elección de la función
𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 para una solución particular falla, debido a que también es una parte de la solución
complementaria. Ahora, la solución particular es:
𝑢 𝑝 𝑡 = −
𝑃𝑜
2𝑘
𝜔 𝑛 𝑡 cos 𝜔 𝑛 𝑡 𝜔 = 𝜔 𝑛
3.1.12

15. Y la solución completa para condiciones iniciales en reposo, 𝑢 0 = ů 0 = 0 es:
𝑢 𝑡 = −
1
2
𝑃𝑜
𝑘
(𝑤 𝑛 𝑡 cos 𝑤 𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑛 𝑡)
ó
𝑢 𝑡
(𝑢 𝑠𝑡) 𝑜
= −
1
2
2𝜋𝑡
𝑇𝑛
cos
2𝜋𝑡
𝑇𝑛
− 𝑠𝑒𝑛
2𝜋𝑡
𝑇𝑛
Este resultado se representa mediante una gráfica en la fi gura 3.1.4, en la cual se muestra que el tiempo empleado
para completar un ciclo de vibración es 𝑇𝑛. Los máximos locales de 𝑢 𝑡 , que se producen en el instante 𝑡 =
𝑗 −
1
2
𝑇𝑛, son 𝜋 𝑗 −
1
2
𝑢 𝑠𝑡 𝑜 − 𝑗 = 1, 2, 3 … y los mínimos locales, que ocurren en el instante 𝑡 = 𝑗𝑇𝑛, son
− 𝜋𝑗 𝑢 𝑠𝑡 𝑜 − 𝑗 = 1, 2, 3 … En cada ciclo, la amplitud de la deformación aumenta en:
𝑢𝑗 + 1 − 𝑢𝑗 = (𝑢 𝑠𝑡) 𝑜 𝜋 𝑗 + 1 − 𝜋 𝑗 =
𝜋𝑃𝑜
𝑘
3.1.13a
3.1.13b

16. La amplitud de la deformación crece de manera indefinida, pero se vuelve infinita sólo después de un tiempo
infinitamente largo. Éste es un resultado académico y debe interpretarse apropiadamente para las estructuras reales.
A medida que la deformación continúa aumentando, en algún punto del tiempo el sistema fallaría si fuera frágil. Por
otro lado, el sistema presentaría fluencia si fuera dúctil, su rigidez se reduciría y su “frecuencia natural” ya no sería
igual a la frecuencia forzada; asimismo, la ecuación o la figura ya no serían válidas.