Practicas

PRÁCTICAS DE
LABORATORIO DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I
CURSO 2014-2015

1 Práctica 1. Cálculo de errores:
medidas directas e indirectas.
Representación gráﬁca
1.1. Fundamento teórico
La física es una ciencia experimental basada en la medida de determinadas
magnitudes. Se denomina magnitud física a toda aquella propiedad física suscep-
tible de ser medida. Por otra parte, medir una magnitud física no es más que
compararla con un patrón. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos puntos
podemos utilizar como patrón una vara, el paso de una persona... Siempre que
se realice una medida tenemos que dar como resultado un número con su uni-
dad correspondiente, que determina el patrón que hemos utilizado. Además, en
cualquier medida habrá que añadir otro número que nos informe acerca del error
cometido al realizarla.
En una primera aproximación, las medidas podrían dividirse en medidas direc-
tas y medidas indirectas:
Medidas directas: Se denomina medida directa aquella que se realiza,
por comparación directa, con la ayuda de los instrumentos adecuados, de
la magnitud desconocida con el correspondiente patrón. Como ejemplo de
medidas directas tenemos:
• masas: comparando el cuerpo cuya masa queremos determinar con el
patrón de 1 kg mediante una balanza.
• longitudes: comparando la longitud bajo estudio con el patrón 1 m
mediante una cinta métrica.
• fuerzas: comparando la fuerza bajo estudio con 1 N mediante el uso del
dinamómetro
Medidas indirectas: Se denomina medida indirecta aquella que se ob-
tendría mediante una relación matemática o ley física a partir de medidas
directas. Como ejemplo de medidas indirectas tenemos:
• volúmenes: si se quiere determinar, por ejemplo, el volumen de una
esfera se mide su diámetro y aplicamos la expresión matemática V =
π
6
d3
.
• densidades de cuerpos: para determinar la densidad de un cuerpo pri-
mero habría que medir su masa (medida directa) y su volumen (que
2

1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica
en si misma ya es una medida indirecta) y a continuación calcular la
densidad como ρ = m/V
Al realizar una medida directa siempre se pueden cometer varios tipos de errores:
Errores sistemáticos: Los errores sistemáticos tienen siempre el mismo
sentido. Este tipo de errores puede y debe evitarse. Ejemplos de este tipo
de errores son el error de paralaje, la mala calibración del aparato....
Errores accidentales: son errores de tipo aleatorio. Son debidos a fluc-
tuaciones y perturbaciones, no controlables por el experimentador y que no
se pueden evitar ni eliminar. Su carácter es puramente probabilístico.
1.1.1. Valores de una magnitud física o valor de una
medida
Debido a que siempre está presente algún tipo de error experimental, no se
puede conocer el valor exacto de una magnitud física. A continuación vamos a
definir algunos parámetros que nos permitirán tener cierta información acerca de
cuál es el valor exacto de una magnitud y del error que se comete al hallarlo.
Valor verdadero de una magnitud física, xv, es su valor exacto, que
suponemos que existe aunque no lo podemos conocer.
Valor real de una magnitud física, xr, es el valor más probable de
una magnitud. Se puede obtener utilizando aparatos de medida y técnicas
estadísticas.
Valor hallado, x, es el valor que se encuentra al hacer una medida.
Desviación de una medida, ∆x, es la diferencia entre el valor hallado y
el valor real
∆x = x − xr (1.1)
Para cuantificar los errores que se cometen al realizar una medida, se definen los
siguientes parámetros:
Error absoluto: Es el valor absoluto de la desviación de una medida. Tiene
las mismas unidades que la magnitud física.
Ea = |∆x| (1.2)
Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor real de la
medida. Es un número sin dimensiones, que a menudo se expresa en tanto
por ciento ( %).
Er =
Ea
xr
(1.3)
3

1.1.2. Estimación del error del valor real de una medida
Error asociado a una medida directa
Al estimar el error del valor real de una medida directa pueden darse dos casos:
Medidas únicas o de resultados repetidos: Por convenio se acepta que
el error que se comete es igual a lo que se denomina Límite Instrumental
de error (LIE) y que coinciden con la división más pequeña del aparato
de medida que estemos utilizando. Al LIE también se denomina error de
escala.
Medidas múltiples de una magnitud en las que se obtienen dife-
rentes resultados: En este caso se toma como valor verdadero la media
aritmética de las N medidas realizadas:
xr = x =
N∑
i=1
xi
N
(1.4)
y como error absoluto se le asigna el siguiente valor:
Ea =
√
(LIE)2
+ (σx)2 (1.5)
donde la desviación estándar del valor medio σx viene dada por:
σx =
N∑
i=1
(xi − x)2
N (N − 1)
(1.6)
Es importante aclarar que en este caso cuando se dice que una medida
tiene un valor real xr y un error absoluto σx, no se está aﬁrmando que el
valor verdadero de esta magnitud esté entre xr − σx y xr + σx. En realidad,
haciendo uso de la estadística, lo que se demuestra es que la probabilidad
de que el valor verdadero de una magnitud esté en el intervalo señalado es
del 68 %.1
En la expresión (1.6) se pone de maniﬁesto que el error, cuando se
efectúan muchas medidas distintas, disminuye conforme aumenta el número
de medidas, N. Por otro lado, en la expresión (1.5) cuando la desviación
estándar del valor medio es mucho más pequeña que el LIE, la podemos
despreciar frente a éste y tomar como error absoluto el error de escala del
aparato de medida y viceversa, cuando el LIE sea muy pequeño comparado
con la desviación estándar del valor medio, se puede despreciar y el error
absoluto coincidirá con la desviación estándar del valor medio.
1
Si en lugar de tomar como error absoluto σx tomamos 2σx, se puede demostrar que la pro-
babilidad de que el valor verdadero de la magnitud esté entre xr − 2σx y xr + 2σx es del
95 %.
4

1.1.2.1. Error asociado a una medida indirecta
Vamos a ver a continuación que error se le asocia a una medida indirecta.
Supongamos que se tiene una magnitud V que se obtiene mediante una relación
matemática de las variables independientes x, y, z .... mediante una expresión del
tipo:
V = F (x, y, z, ....) (1.7)
y donde se conocen las magnitudes x, y, z .... y sus respectivos errores absolutos
σx, σy y σz. Se deﬁne el error absoluto asociado a V como:
σV =
√(
∂F
∂x
)2
σ2
x +
(
∂F
∂y
)2
σ2
y +
(
∂F
∂z
)2
σ2
z + ... (1.8)
Esta es la ecuación general que nos permite calcular los errores absolutos que
se cometen en las medidas indirectas. Veamos algunos casos particulares.
En los casos siguientes, supondremos que σx y σy son los errores absolutos
cometidos al medir directamente los parámetros x e y, respectivamente.
Adición y sustracción: V = x ± y
σV =
√(
∂F
∂x
)2
σ2
x +
(
∂F
∂y
)2
σ2
y (1.9)
En este caso,
∂V
∂x
= 1
∂V
∂y
= ±1 (1.10)
Por tanto, se obtiene que el error absoluto en la suma o en la sustracción
vendrá dado por:
σV =
√
σ2
x + σ2
y (1.11)
Producto: V = xy
σV =
√(
∂F
∂x
)2
σ2
x +
(
∂F
∂y
)2
σ2
y (1.12)
Ahora se tiene que:
∂V
∂x
= y
∂V
∂y
= x (1.13)
y por lo tanto, el error absoluto, σV , vendrá dado por:
σV =
√
y2σ2
x + x2σ2
y (1.14)
Cociente: V = x/y
σV =
√(
∂F
∂x
)2
σ2
x +
(
∂F
∂y
)2
σ2
y (1.15)
5

En este caso se tendrá que:
∂V
∂x
=
1
y
∂V
∂y
= −
x
y2
(1.16)
El error absoluto vendrá dado por:
σV =
√
1
y2
σ2
x +
x2
y4
σ2
y (1.17)
1.1.3. Redondeo y cifras significativas
Redondear un número consiste en sustituirlo por otro con menos cifras (en
nuestro caso, las que consideremos significativas); pero lo más parecido posible
al original. El proceso de redondeo es muy sencillo, por lo que con poca práctica
se puede realizar mentalmente. Supongamos que queremos redondear un número
con muchas cifras (como los que suelen salir en las cuentas de la calculadora)
a cierto número de cifras, n. Para tenerlo presente, podemos subrayar esas n
primeras cifras pero, ¡cuidado! redondear no es tan fácil como tachar el resto de
las cifras de la derecha. En ocasiones hay que cambiar un poco esas cifras que nos
quedamos. Más allá de trucos y reglas, no hay que olvidar nuestro objetivo: el
número n de cifras que nos quedemos ha de ser el más parecido posible al original,
es decir, el más cercano.
Echemos un vistazo a la primera cifra tras las n que nos vamos a quedar. Si
está entre 0 y 4 inclusive, está claro que lo correcto es simplemente tachar las
cifras sobrantes. Esto es lo que se llama redondear a la baja. Ejemplo: 17,3264
redondeando a tres cifras es 17,3, pues la siguiente es un 2. Claramente, 17,3 es
el número con tres cifras significativas más cercano al original.
Por el contrario, si la primera cifra tras las n que vamos a conservar está entre
6 y 9, está claro que hay que añadir una unidad a la última cifra que nos hemos
quedado, pues estamos más cerca de 10 que de 0. A esto se llama redondear a lo
alto. Ejemplo: 0,03472 redondeado a dos cifras significativas es 0,035. Nótese que
0,034 tiene también dos cifras significativas; pero está más lejos del original que
el número que nos hemos quedado.
La duda surge cuando la primera cifra tras las n que nos vamos a quedar es
un 5, que está tan cerca de 0 como de 10. Sin embargo, si hay otras cifras detrás
de ese 5, está claro que hay que redondear a lo alto, pues cincuenta y tantos está
más cerca de 100 que de 0. Ejemplo: 0,7524 redondeando a una cifra significativa
es 0,8. En efecto, 0,7 estaría más lejos del original que el valor que nos hemos
quedado. En el caso excepcional en que solo queramos redondear la última cifra
y sea un 5, lo anterior no nos sirve de ayuda. En ese caso tan bueno es redondear
a la baja como a lo alto. Ejemplo: 0,045 redondeado a una sola cifra puede ser
tanto 0,04 como 0,05, pues ambos están igual de cerca del original.
Ahora ya sabemos redondear cualquier número. Para expresar correctamente
una medida, sólo nos falta saber cuantas cifras consideramos significativas en el
error absoluto y en el valor real. Siempre hay que comenzar por redondear el error
absoluto, sólo después se redondea el valor real de la medida.
6

Para expresar el error absoluto, basta conservar una o, en algunas ocasiones
especiales, dos cifras significativas. Esto es así porque es inútil concretar con
mucha precisión el error cometido en la medida. En la mayoría de los casos nos
quedaremos con una sola cifra significativa. Ejemplo: un error absoluto Ea =
0,0462 debe ser redondeado a Ea = 0,05. Solamente cuando la cifra significativa
que nos queda es 1 ó 2, se conserva una cifra más.2
Ejemplos: Ea = 0,0236 se
redondea a Ea = 0,024, no a 0,02; Ea = 1,027 se redondea a Ea = 1,0 que tiene
dos cifras significativas (el cero es importante).
Una vez redondeado el error absoluto, ya podemos redondear el valor real, que
viene afectado por dicho error. Se trata de conservar sólo las cifras que nos dan
información. Por eso sería inútil quedarnos con cifras decimales más allá de las
afectadas por el error absoluto. En efecto, lo que importa ahora es el número de
decimales: redondearemos el valor real de la medida de tal forma que el número
de decimales conservados coincida con el número de decimales del error absoluto
ya redondeado. Ejemplo: si la medida es xr = 24,3582 y el error Ea = 0,04
(dos decimales), el valor real correcto (es decir, ya redondeado) es xr = 24,36
(también dos decimales). En cambio, si el error fuera 0,013, el valor real correcto
sería xr = 24,358.
Una vez que el error absoluto y el valor real han sido redondeados correcta-
mente, la forma correcta de expresar la medida es:
x = (xr ± Ea) unidades
1.2. Representaciones gráficas y ajustes
El problema que se plantea una ciencia experimental, como es la física, no
es solamente medir ciertas cantidades con mucha precisión. también es objeto
de una ciencia experimental la búsqueda de las leyes que relacionan dos o más
magnitudes que varían de forma correlacionada. Para cumplir este objetivo, es
muy útil representar gráficamente unos parámetros frente a otros. A partir de la
forma que presenta la gráfica se puede obtener la ley que relaciona los parámetros
representados.
Como ejemplo de relaciones entre distintas magnitudes se tienen los siguientes
casos:
Para un gas ideal, existe una relación entre la presión, el volumen y la
temperatura durante cualquier transformación termodinámica: PV = nRT
Existe una relación entre el periodo de oscilación de un péndulo, su longitud
y la gravedad: T = 2π
√
l/g
Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar depende de dos magnitudes,
x e y. La ley que gobierna el fenómeno relaciona estas dos magnitudes de forma
que se pueden obtener una serie de valores experimentales de y para una serie
2
El redondeo sería muy severo en ese caso. Si tenemos 9 euros y nos quitan 0,5, no notamos
mucho. Más grave es el caso en que tenemos 2 euros y nos quitan 0,5.
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de valores dados de x. En general, para una función y = f (x), al realizar un
experimento se obtiene un conjunto de pares de valores xi, yi:
x1, y1
x2, y2
. .
. .
xn, yn
En algunos casos, la función y = f (x) es conocida de antemano mediante una
deducción teórica de la misma mientras que en otros casos, esta función se deduce
directamente a partir de los resultados experimentales. Para realizar la deducción
experimental de la relación entre las variables x e y se representan la mismas en
una gráfica. La forma de esta gráfica determinará la relación y = f (x).
Para hacer una gráfica se representa en papel milimetrado (o utilizando cual-
quier programa de ordenador Excel, Origin) una de las variables frente a la otra.
Una de las variables recibe el nombre de variable independiente y se representa
en el eje de abscisa (eje x). Esta variable está relacionada con la causa en el fenó-
meno que estamos estudiando y suele ser la variable que menos error presenta. La
otra variable recibe el nombre de variable dependiente y se hace coincidir con el
eje de ordenadas de la gráfica (eje y). Esta variable está relacionada con el efecto
y es la variable que se determina con más error.
En física, existen muchas variables que representan una relación lineal entre
ellas. Es decir, existen muchas variables cuya relación entre sí es del tipo y =
mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el valor que representa la
ordenada (eje y) cuando x sea igual a cero, tal como se muestra en la figura 1.1.
Figura 1.1: Parámetros que representan una relación lineal
A continuación veremos cómo se puede determinar m y b. Existen dos métodos
para llevar a cabo el cálculo de los parámetros:
Método gráfico
El método gráfico de determinación de m y b consiste en medir estos parámetros
directamente sobre la gráfica. Para ello, lo primero que se debe hacer es represen-
tar el conjunto de pares de valores (xi, yi) obtenidos experimentalmente (figura
1.2) . A continuación, se traza la recta que mejor ajusta estos puntos. Esto se
8

hace intentando dejar el mismo número de puntos por encima que por debajo de
la recta. Para determinar b, se mide el corte de esta recta con el eje de ordenadas
(eje y), lo cual nos dará directamente este parámetro. Para la determinación de
la pendiente m, se toman dos puntos de la recta trazada y se aplica la ecuación
(1.18).
m = tan α =
cateto opuesto
cateto contiguo
=
y2 − y1
x2 − x1
(1.18)
Es importante aclarar que estos puntos se toman de la recta trazada, y no
son, por lo tanto, dos puntos experimentales cualesquiera. Por otra parte, para
reducir el error en la determinación de m, estos dos puntos deben tomarse alejados
entre sí. En la figura (1.2) se muestran dos puntos cualesquiera tomados para la
determinación gráfica de m y en esta figura también se muestra cómo se puede
determinar gráficamente b.
Figura 1.2: Determinación gráfica de los parámetros m y b de la recta que rela-
ciona las variables x e y.
Método de los mínimos cuadrados
Supongamos que al realizar un experimento se obtienen los siguientes pares de
valores para las variables xi e yi
x1,y2
x2,y2
..
..
xn,yn
y supongamos también que existe una relación lineal entre estas variables. Sea
y = mx+ b la ecuación de la recta que mejor se ajusta a este conjunto de puntos.
Veamos ahora qué pasos han de seguirse para hallar una ecuación que nos permita
calcular m y b de forma analítica.
Sean
yi = mxi + b (1.19)
9

los valores experimentales obtenidos y sean
y′
i = mxi + b (1.20)
los valores que se obtienen en los puntos de abscisa xi utilizando la recta de
ajuste. La diferencia ri = yi − y′
i nos dará una idea de la calidad del ajuste. Si
esta diferencia es pequeña el ajuste será bueno mientras que si esta diferencia es
grande, los valores calculados mediante la recta diferirán mucho de los resultados
experimentales y el ajuste será malo. Pues bien, los parámetros m y b para la
recta de ajuste mediante el método de mínimos cuadrados se obtiene exigiendo
que el error cuadrático medio definido como:
n∑
i=1
r2
i =
n∑
i=1
[yi − (mxi + b)]2
sea mínimo. Para ello, debe cumplirse que:
∂ri
∂m
= 0
∂ri
∂b
= 0 (1.21)
lo que proporciona las siguientes ecuaciones para el cálculo de los parámetros m
y b de la recta de ajuste por mínimos cuadrados:
m =
n
∑
xiyi −
∑
xi
∑
yi
n
∑
x2
i − (
∑
xi)2 (1.22)
b =
∑
x2
i
∑
yi −
∑
xi
∑
xiyi
n
∑
x2
i − (
∑
xi)2 (1.23)
El error en la determinación de los parámetros m y b, σm y σb, respectivamente,
puede determinarse mediante las siguientes ecuaciones:
σm =
√∑
(yi − (mxi + b))2
n − 2
n
n
∑
x2
i − (
∑
xi)2 (1.24)
σb =
√∑
(yi − (mxi + b))2
n − 2
∑
x2
i
n
∑
x2
i − (
∑
xi)2 (1.25)
Finalmente, es conveniente tener algún parámetro que nos informe si los valores
obtenidos experimentalmente están alineados o no sin que sea necesario represen-
tarlos. Existe un parámetro denominado coeficiente de regresión r de Pearson,
cuya expresión viene dada por:
r =
n
∑
xiyi −
∑
xi
∑
yi
√[
n
∑
x2
i − (
∑
xi)2] [
n
∑
y2
i − (
∑
yi)2] (1.26)
y que nos informa acerca de lo bueno que es el ajuste. Para un conjunto de pun-
tos perfectamente alineados, el módulo de este coeficiente valdrá uno. A medida
que los puntos se alejan de la línea recta, el módulo de este coeficiente disminuye.
Por lo tanto, este coeficiente de regresión nos permite cuantificar lo buena que
10

es la recta de regresión. Cuanto más próximo a la unidad esté el módulo de este
coeficiente, tanto más alineados estarán los puntos representados y mayor será la
validez de la recta de regresión de mínimos cuadrados.
1.2.1. Obtención de una ley física
Veamos a continuación cómo se puede utilizar la representación gráfica para la
obtención de una ley física. Para representar el método a seguir, vamos a ver un
ejemplo:
Ejemplo
Se tiene un depósito lleno de agua hasta una cierta altura h. El depósito tiene
un orificio en una de sus paredes verticales y el agua sale por dicho orificio con
una velocidad v que varía con el nivel del agua. Se quiere determinar la ley física
que determina la dependencia de la velocidad de salida del agua con la altura de la
misma en el depósito a partir de los siguientes datos obtenidos experimentalmente
(tabla 1.1):
h(cm) v(cm/s)
10 140.1
16 177.2
20 198.1
25 221.5
30 242.6
43 290.5
Cuadro 1.1: Datos del experimento
Solución:
Experimentalmente, lo que se puede controlar y medir (de alguna manera) es
la velocidad de salida, v. Luego, h es la variable independiente y v es la variable
dependiente. Se representa entonces v frente a h (ver figura 1.3)
Figura 1.3: Gráfica que se obtiene al representar v frente a h.
Como puede observarse en la figura 1.4, la relación entre v y h no es lineal.
Supongamos que esta relación es del tipo:
11

v = Cha
Si esta relación es correcta, para determinar esta ley física deberíamos calcu-
lar los valores de C y a. Para ello, transformaremos esta ley en otra ley lineal.
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación anterior, se tiene que:
ln v = ln C + a ln h
Esta es una ecuación lineal del tipo y = mx + b donde:
y = ln v m = a x = ln h b = ln C
Si ahora se representa yi = ln vi frente a xi = ln hi se obtiene que los puntos
obtenidos experimentalmente están alineados (ﬁgura 1.4).
Figura 1.4: Gráﬁca que se obtiene al representar yi = ln vi frente a xi = ln hi
Calculemos ahora m = a y b = ln C mediante una recta de regresión de mínimos
cuadrados. Para ello lo primero que debemos hacer es construir la siguiente tabla:
hi(cm) vi(cm/s) xi = ln hi yi = ln vi xiyi x2
i y2
i
10 140.1 2.303 4.942 11.381 5.304 24.423
16 177.2 2.773 5.177 14.356 7.690 26.801
20 198.1 2.996 5.289 15.846 8.976 27.974
25 221.5 3.219 5.400 17.383 10.362 29.160
30 242.6 3.401 5.491 18.675 11.567 30.151
43 290.5 3.761 5.672 21.332 14.145 32.172∑
xi
∑
yi
∑
xiyi
∑
x2
i
∑
y2
i
18.453 31.971 98.973 58.044 170.681
Cuadro 1.2: Datos para la recta de regresión
Utilizando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se pueden determinar la pendiente m
y la ordenada en el origen de la recta ajustada por mínimos cuadrados:
m = 0,50 =⇒ a = 0,50
12

b = 3,790 = ln C =⇒ C = eb
= 44,26
Por lo tanto, la ley que se obtiene experimentalmente que relaciona v y h es
v = 44,26h0,50
donde h se expresa en centímetros y v en centímetros por segundo.
13

2 Práctica 2. Cálculo de errores
y ajustes
1. Se quiere determinar la densidad de un cuerpo cuya masa medida con una
balanza de precisión es m = (225,34±0,01) g y el volumen también se mide
obteniendo un valor de V = (327,43 ± 0,18) cm3
. Calcular 1) El valor de la
densidad y 2) el error absoluto y relativo.
2. Calcular la intensidad de corriente que circula por una bombilla de (60 ±
4) W de potencia, si posee una resistencia de (8,2 ± 0,5) × 102
Ω. Calcular
el error absoluto y relativo con que se ve afectada la medida. NOTA: Se
deﬁne la potencia consumida por una bombilla como P = I2
R.
3. Se han medido los lados de un paralelepípedo rectangular y se han obtenido
los siguientes valores:
a = (10,15 ± 0,05) cm
b = (3,35 ± 0,05) cm
c = (1,45 ± 0,01) cm
Determinar:
a) El área de la base (determinada por los lados a y b ) del paralelepípedo
con su error correspondiente.
b) El volumen del mismo con su error correspondiente
c) Si la masa del paralelepípedo es (87,52±0,01) g, determinar la densidad
con su error.
4. Se quiere determinar la aceleración experimentada por un cuerpo al caer
por un plano inclinado, partiendo de una velocidad inicial nula, mediante
el uso de la expresión e = 1
2
at2
, donde e es el espacio recorrido, a es la
aceleración del cuerpo y t el tiempo que tarda en recorrer la distancia e.
El espacio recorrido se ﬁja midiendo con una regla de LIE = 0,01 cm y el
resultado es e = 23,57 cm. El tiempo que se tarda en recorrer este espacio
se mide seis veces con un cronómetro de LIE = 0,01 s obteniéndose los
siguientes valores: 4,35 s, 4,39 s, 4,27 s, 4, 30 s, 4, 40 s y 4, 29 s.
a) Determinar el valor de la aceleración con su error
b) Si la velocidad adquirida por el cuerpo durante el movimiento viene
dada por la expresión v =
√
2ae, determinar la velocidad cuando haya
recorrido 23, 57 cm, con su error correspondiente.
14

2 Práctica 2. Cálculo de errores y ajustes
5. Supongamos que medimos el tiempo de caída de una piedra desde 960,4 m
de altura. En cinco medidas independientes con un cronómetro obtenemos
los valores 15,18, 15,07, 15,11, 15,21, 15,15 segundos. Calcular el valor real
de t y su error. El LIE del cronómetro es de 0,01 s y el del aparato empleado
para medir la distancia 0,1 m.
6. Calcular la velocidad de un coche que recorre un espacio de (150 ± 2) km
en un tiempo de 1 h y 45 min, con un error de 5 min.
7. Sea un rectángulo de lados a = (3,2±0,1) cm y b = (10,0±0,5) cm. Calcular
el área del mismo con su error absoluto y relativo.
8. Calcular el perímetro de un triángulo con su error correspondiente sabiendo
que sus lados miden a = (3,2 ± 0,1) cm, b = (5,7 ± 0,2) cm y c = (8,00 ±
0,15) cm.
9. Supongamos que medimos el tiempo de caída de una piedra desde 960,4 m
con un reloj defectuoso. En seis medidas independientes obtenemos: El LIE
t(s)
15.1
15.0
14.8
15.2
15.0
14.9
Cuadro 2.1: Problema 9
del cronómetro es de 0,01 s y el del aparato usado para medir la distancia
de 0,1 m. Calcular:
a) El valor real de t con su error
b) Utilizando las ecuaciones de la cinemática calcular el tiempo de caída
(g = 9,81 m/s2)
c) Comparar los resultados y discutir que tipo de error se está comen-
tiendo.
10. Supongamos que queremos saber si la resistencia de un determinado mate-
rial depende de la temperatura a partir de estas dos medidas: ¿Cuál será la
R(Ω) t(ºC)
90.20 10
90.26 20
conclusión correcta si el error de la medida de la resistencia es de 0,01 Ω? ¿
Y si es de 0,8 Ω?
15

11. Aplicando las fórmula de propagación de errores, encontrar σF en los si-
guientes casos:
a) F = xm
yp
b) F = ln x
c) F = ex
d) F = cos x
e) F = x + y − z
f ) F = xy
g) F = x
y
12. En un experimento realizado sobre un plano inclinado de ángulo α se mi-
dió la velocidad v adquirida por un cuerpo que desliza sobre el mismo en
tiempos distintos desde que el cuerpo comienza a deslizarse con velocidad
v0 desconocida. Si la dependencia se conoce de la forma v = v0 + g sen αt .
Determínese los valores de v0 y α
v(m/s) t(s)
5.3 1.0
10.4 2.0
15.1 3.0
20.0 4.0
22.6 4.5
16

13. Se desea analizar la dependencia del periodo de oscilación de un péndulo
con su longitud. El experimento se ha llevado a cabo para seis longitudes
diferentes del péndulo, entre 0,5 y 1,0 m, midiendo el tiempo que tarda en
dar 30 oscilaciones para cada longitud. Los resultados se dan en la tabla
adjunta, siendo l la longitud del péndulo y t el tiempo de las 30 oscilaciones.
Encontrar la forma analítica de la dependencia entre el periodo y la longitud.
l(m) t(s)
0.50 42.58
0.65 48.51
0.75 52.11
0.85 55.50
0.93 58.05
1.00 60.30
17

3 Práctica 3. Medidas con
instrumentos de precisión
3.1. Objetivos
Los objetivos de esta práctica son:
Describir los diversos instrumentos de precisión y su manejo que vamos a
utilizar en el laboratorio.
Hacer medidas de varias magnitudes físicas
Aplicación del cálculo de los diversos tipos de errores que hemos aprendido
en las prácticas anteriores en la obtención de diversas magnitudes físicas.
Obtener a partir de medidas experimentales una ley física.
En esta práctica se trata de aprender a manejar determinados instrumentos de
medida que serán descritos un poco más adelante.
Antes de especiﬁcar los instrumentos que serán utilizados así como las medidas
a realizar, veamos la descripción de un tipo de error muy importante con el que
nos encontraremos al realizar las medidas.
3.2.1. Error de cero
Para entender qué es el error de cero, veamos un ejemplo de medida. Supon-
gamos que se quiere medir la masa de un cuerpo utilizando una determinada
balanza. Supongamos también que aún cuando no hemos puesto el cuerpo en la
balanza, ésta no marca cero, sino que marca una cierta cantidad. Por ejemplo,
supongamos que la balanza marca 0,5 g. En este caso, al depositar el cuerpo so-
bre la balanza, ésta nos dará una masa que será 0,5 g mayor que la masa real del
cuerpo. Al error que se comete en este caso se denomina error de cero.
Para tener en cuenta el error de cero basta medir qué marcan los instrumentos
de medida en ausencia del cuerpo problema. Debe descontarse al resultado de la
medida (si es positivo) o sumarse (si es negativo).
18

3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión
3.2.2. El calibre
El calibre es un instrumento de precisión para la medida de longitudes (figura
3.1). Consiste en una barra fija y otra móvil, denominada nonius. En nuestro caso
la regla móvil está dividida en veinte partes (figura 3.2)1
.
Figura 3.1: Calibre, también llamado pie de rey
Figura 3.2: Nonius del calibre
Esto significa que la cantidad más pequeña (LIE) que se puede medir con un
calibre es 1 mm/20 = 0,05 mm. Veamos a continuación los diversos pasos que deben
seguirse para realizar una medida con el calibre.
Consideremos que hemos medido con el calibre uno de los lados del trapecio que
podemos observar en la figura 3.1. Para la descripción de cómo hacer la medida
vamos a fijarnos en la figura 3.2.
1. Miramos en la escala fija del calibre y observamos donde queda el cero del
nonius. En el ejemplo de la figura, la división correspondiente al cero del
nonius está entre las marcas correspondientes a 21 y 22 mm en la escala
fija. Luego sabemos que la longitud medida es mayor de 21 mm y menor
que 22 mm. Utilizando la regla móvil del nonius podemos precisar algo más.
1
Existen otros tipos de nonius en los que la regla móvil tiene diez divisiones
19

2. A continuación, buscamos en el nonius la primera división del mismo que
coincida con alguna de las divisiones de la regla fija. En este ejemplo la
división 9 del nonius coincide con una de las divisiones de la regla fija.
Entonces podremos decir que la medida que hemos hecho con el calibre se
corresponde con:
(21,90 ± 0,05) mm
3.2.3. El pálmer o tornillo micrométrico
El pálmer o tornillo micrométrico está compuesto por una regla fija y un tornillo
que gira alrededor de ella (figura 3.3).
Figura 3.3: Palmer o tornillo micrométrico
El límite instrumental de error de este aparato es de 0,01 mm. En este caso, cada
0,05 mm de la regla fija está dividido en cincuenta partes (una vuelta completa
del tornillo hace que avancemos 0,5 cm en la regla fija). Por lo tanto, el LIE =
0,5 mm/50 = 0,01 mm (tiene mayor precisión que el calibre). Veamos a continuación
como se mide con este instrumento. Para ello vamos a considerar la figura 3.4
Figura 3.4: Cómo medir con el pálmer
20

1. La regla fija del micrómetro está dividida en milímetros, en la parte de
arriba. Debajo de la línea horizontal, cada milímetro está divido por la
mitad. Según esto para leer una medida, tenemos que ver en que posición,
de la regla fija, queda el tornillo. En el caso de la figura, el tornillo queda
pasado un poco los 13 mm y si miramos por debajo de la línea horizontal
no hemos llegado a la marca que divide este milímetro por la mitad, por
consiguiente la medida estará entre 13,00 mm y 13,50 mm. Ahora tenemos
que afinar más la medida.
2. Para afinar, miramos el tornillo y buscamos la división del mismo que coin-
cide con la línea horizontal de la regla fija. Mirando en la figura 3.4 se
corresponde con la división 30. Por consiguiente la medida será
(13,30 ± 0,01) mm
3. Si hubiéramos sobrepasado la marca inferior de 0,5, es decir que el tornillo
se hubiera parado entre 13,50 y14,00 mm, la medida sería:
[(13,50 + 0,30) ± 0,01] mm = (13,80 ± 0,01) mm
3.2.4. Medidas de ángulos. Goniómetro
El instrumento utilizado para medir directamente ángulos se denomina go-
niómetro. Este instrumento consta básicamente de dos partes que pueden girar
alrededor de un eje común.
(a) Goniómetro (b) Detalle del goniómetro (c) Colocación de la pieza para me-
dir ángulos
Figura 3.5: Aparato utilizado para medir ángulos
En las figuras (3.5) se representa el goniómetro. El límite instrumental de error
es de 1º . En la figura (3.5c) se observa la forma en que se debe de situar el
goniómetro para medir un ángulo.
3.3. Material y método
El material empleado en esta práctica es: guión de la práctica, PC con applets de
entrenamiento para el calibre y el palmer, flexómetro, calibre, palmer, goniómetro,
balanza, pieza problema, péndulos con diversas longitudes y cronómetro.
21

Cálculo de la densidad de la pieza problema
Para determinar la densidad de un determinado material tenemos que medir su
masa y su volumen. En nuestro caso vamos a considerar una pieza como la de la
ﬁgura, cuya densidad queremos determinar.
Figura 3.6: Pieza cuya densidad queremos determinar
Para ello mediremos los lados mayores con el calibre y anotaremos los resultados
con su correspondiente error. A continuación mediremos el espesor de la pieza,
utilizando el tornillos micrométrico, esta medida la haremos por los menos en seis
puntos diferentes de la pieza.
Con estos datos podremos calcular el volumen de la pieza y su error correspon-
diente.
Posteriormente mediremos la masa de la pieza en una balanza de precisión.
Anotaremos este valor con su correspondiente error. Por último calcularemos la
densidad del material de la pieza problema utilizando la expresión:
ρ =
m
V
Daremos este valor con su error correspondiente.
Medidas del periodo de oscilación de un péndulo
Un péndulo simple está compuesto de un hilo, de una longitud cualquiera, del
que cuelga una pequeña esfera. El periodo de oscilación del mismo, tiempo que
tarda en dar una oscilación completa, no depende de la masa y si el ángulo de
separación del hilo con la vertical es pequeño tampoco depende de este ángulo.
Comenzaremos midiendo el periodo de oscilación del péndulo. Para minimizar
el error en la medida del periodo, tomaremos el tiempo que tarda en péndulo en
dar diez oscilaciones, llamando a este dato T10. Para hacer esta medida usaremos
un cronómetro cuyo LIE = 0,01 s. Repetiremos esta medida por lo menos seis
veces. A continuación calcularemos el valor real del periodo del péndulo con su
error correspondiente.
Mediremos la longitud de nuestro péndulo, usando una regla graduada en mi-
límetros para medir la cuerda y el calibre para medir el diámetro de la esfera.
Determinaremos la longitud total del péndulo y le asignaremos su error corres-
pondiente.
22

Figura 3.7: Péndulo simple y cronómetro
Teniendo en cuenta los resultados de nuestras medidas y sabiendo que el periodo
de oscilación de un péndulo viene dado por:
T = 2π
√
l
g
podemos determinar el valor de g y su error correspondiente.
Por otro lado en el laboratorio se encuentran péndulos con diferentes longi-
tudes. Hacer la medida del periodo con otros péndulos o bien intercambie con
sus compañeros los datos de periodo y longitud hasta completar un conjunto de
por lo menos cinco medidas. Haga una tabla con los datos del periodo y la raíz
cuadrada de la longitud. Representa gráﬁcamente el periodo, T frente a
√
l . Si la
tendencia es lineal, calcule la pendiente de esta recta usando el método de ajuste
de mínimos cuadrado. Obtener a partir de esta pendiente el valor de la gravedad.
Compárelo con el resultado obtenido anteriormente.
Links con applets de entrenemiento para el calibre y el tornillo
micrométrico.
http://www.galileo.fr.it/marc/varie/calibro_ventisimale/calibro_ventisimale.htm
http://www.galileo.fr.it/marc/varie/micrometro/micrometro.htm
23

4 Práctica 4. Medida del calor
específico de diversos
materiales
4.1. Objetivo
El objetivo de esta práctica es medir el calor específico de varios metales me-
diante el uso de un método calorimétrico. Previamente debemos determinar el
equivalente en agua del calorímetro utilizado.
Un calorímetro es un recipiente aislado del exterior que se emplea para realizar
medidas calorimétricas, tales como calores específicos, calores de fusión, ebulli-
ción. . . etc. Se define el equivalente en agua de un calorímetro como la masa de
agua que absorbería la misma cantidad de calor que el calorímetro para la misma
variación de temperatura.
Vamos a utilizar el método de las mezclas para encontrar este valor. Supon-
gamos inicialmente el calorímetro a temperatura ambiente, tamb, añadimos una
cantidad de agua m, también a temperatura ambiente, tamb. A continuación aña-
dimos la misma cantidad de agua, magua a una temperatura inferior, tfr´ıa. Espe-
ramos un tiempo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio, teq. Entonces
se debe verificar que el calor cedido por el calorímetro y el agua añadida será
igual al calor absorbido por el agua fría:
(K + m) Ce (agua) (tamb − teq) = maguaCe (agua) (teq − tfr´ıa) (4.1)
donde K es el equivalente en agua del calorímetro, que podremos obtener sim-
plemente despejando.
Para medir el calor específico del metal -cantidad de calor que hay que añadir a
un gramo de una sustancia para aumentar su temperatura un grado centígrado-
procedemos de forma análoga. Mezclamos una masa de agua ma, a una cierta
temperatura ta, por debajo de la temperatura ambiente, con la pieza de metal de
masa ms, y a una temperatura tpieza (temperatura ambiente). El calor cedido por
el metal será absorbido por el agua y el calorímetro.
msCe (tpieza − teq) = Ce (agua) (ma + K) (teq − ta) (4.2)
donde Ce es el calor específico del metal. Consideraremos el calor específico del
agua igual a 1 cal/gºC
24

4 Práctica 4. Medida del calor específico de diversos materiales
4.3. Material
Dos recipientes con agua. Uno de ellos conteniendo agua a temperatura
ambiente y el otro conteniendo agua enfriada con hielo.
Calorímetro con su termómetro y agitador.
Probetas para medir los volúmenes de agua necesarios.
Piezas metálicas problemas
4.4. Método Operativo
4.4.1. Determinación del equivalente en agua del
calorímetro
1. Medir la temperatura ambiente del laboratorio, taire. Consideraremos que
esta es la temperatura a la que se encuentran las piezas problemas de la
segunda parte de la práctica.
2. Echar en el calorímetro 250 ml de agua y medir la temperatura de la misma
una vez en el calorímetro, esta temperatura se corresponde con tamb de la
expresión (4.1).
3. Añadir a continuación otros 250 ml de agua fría al calorímetro (enfriada con
hielo). Recordar medir la temperatura de esta agua fría antes de añadirla
al calorímetro, tfr´ıa
4. Cerrar el calorímetro, mover un poco para que se produzca la mezcla y
medir la temperatura de equilibrio, teq.
5. Obtener el valor de K usando la ecuación (4.1).
4.4.2. Determinación del calor específico de las piezas
metálicas
1. Pesar la pieza de metal, ms
2. Echar 300 ml de agua fría (enfriada con hielo) al calorímetro. Esperar un
poco y medir la temperatura, ta.
3. Introducir la pieza de metal en el calorímetro. Consideraremos que se en-
cuentra a temperatura ambiente, taire, le podemos llamar a esta temperatura
ts.
4. Cerrar el calorímetro, mover un poco y medir la temperatura del conjunto.
Esta será la temperatura de equilibrio, teq.
5. Usar la ecuación (4.2) para obtener el calor específico del metal.
Repetir los pasos anteriores para cada una de las piezas metálicas.
25

5 Práctica 5. Propiedades
termométricas de una
resistencia
5.1. Introducción
Se define como propiedad termométrica aquella propiedad física que depende
de la temperatura. Estas propiedades se usan básicamente para la construcción
de termómetros. Idealmente a una buena propiedad termométrica se le exige tres
condiciones añadidas:
la primera es la repetitividad: a iguales condiciones debe tener la misma
respuesta, evitando efectos memoria, histéresis, etc
la segunda es la velocidad de respuesta: ante un cambio de condiciones la
respuesta debe adaptarse rápidamente
la tercera es la linealidad: el cambio de la propiedad frente a la temperatura
debe responder a un comportamiento lineal
Se define la resistencia eléctrica como un parámetro de freno al paso de electrones
de un determinado cuerpo. Esta resistencia va a depender de tres parámetros;
directamente de su longitud, inversamente de su área transversal y directamente
de su resistividad, siendo ésta una característica del material del cual está hecho
el cuerpo. La resistividad es función de la temperatura a la que se encuentra el
cuerpo y por tanto es una propiedad termométrica.
Un termómetro eléctrico es el termómetro de resistencia, que se compone de
una bobina de hilo delgado generalmente dentro de un tubo metálico de paredes
finas que sirve de protección. Mediante hilos de cobre se une el termómetro a un
dispositivo para medir resistencia (óhmetro). Como la resistencia eléctrica (R)
puede medirse con gran precisión, este termómetro es uno de los instrumentos
más precisos para medir la temperatura, siempre y cuando conozcamos la curva
característica de cambio. En general esta curva característica (T frente a R) no es
lineal para ninguna propiedad termométrica de los materiales pero para pequeños
intervalos de temperatura se puede considerar que el comportamiento es lineal.
La importancia de transformar cualquier medida de una magnitud en paráme-
tros eléctricos radica en la ventaja de su uso para controles digitales, lo cual hace
que este tipo de termómetros esté especialmente extendido en el uso cotidiano
actual.
26

5 Práctica 5. Propiedades termométricas de una resistencia
5.2. Descripción de la práctica
La resistencia que utilizaremos está formada por un hilo de platino envuelto
en una vaina metálica que le sirve de protección. La conexión exterior se realiza
mediante dos terminales de latón que conectaremos al aparato de medida (óh-
metro). Mediante un termómetro de termopar calibrado previamente mediremos
la temperatura de un volumen determinado de agua caliente introducido en un
calorímetro junto con la resistencia, con objeto de aislarlo del medio exterior y
por tanto ralentizar el enfriamiento del agua y por tanto de la resistencia.
Mediante medidas simultáneas de resistencia y temperatura podremos reprodu-
cir la curva característica de la resistencia para su posterior uso como termómetro.
5.3. Método Operativo
En recipiente de vidrio calentar 800 ml de agua en el microondas (apro-
ximadamente diez minutos) para obtener una temperatura inicial de unos
70ºC.
Introducir suﬁciente agua en el calorímetro para que cubra el termopar y
la resistencia (sonda).
Tomar simultáneamente la lectura del termómetro y del óhmetro.
Ir enfriando el agua, bien añadiendo agua fría o hielo y repetir las medidas
de temperatura y resistencia unas 10 veces.
Representar gráﬁcamente los valores de la temperatura frente a la resistencia
y ajustar a una línea recta por el método de los mínimos cuadrados para
obtener su pendiente y su ordenada en el origen.
Determinar el valor de la temperatura del material cuando su resistencia es
de 101,0 Ω, 115,0 Ω y 112,5 Ω. ¿Cuánto vale la resistencia es de 0ºC?
27

6 Práctica 6. Ley de Ohm
6.1. Objetivos y fundamento teórico.
En esta práctica vamos a comprobar experimentalmente la ley de Ohm aplicada
a una resistencia comercial. Para hacer esto aprenderemos hacer uso del polímetro
en sus tres facetas: voltímetro, amperímetro y óhmetro.
La carga en un conductor tiene cierta libertad para moverse. Si aplicamos una
diferencia de potencial entre los extremos de un conductor, fluye por él cierta
intensidad de corriente. En muchos conductores se cumple la ley de Ohm, V =
I R, que relaciona la caída de potencial entre los extremos del conductor,V y la
intensidad de corriente que circula por él, I. La constante de proporcionalidad
recibe el nombre de resistencia. En los conductores óhmicos, la resistencia sólo
depende del material y de la temperatura; pero no de V ni de I.
La ley de Ohm es lineal: si representamos V frente a I, obtenemos una recta
cuya pendiente es R.
La resistencia indica la dificultad que opone el material conductor al paso de
la corriente.
Figura 6.1: Resistencias comerciales
Las resistencias comerciales suelen ser cilíndricas y pequeñas (como se muestra
en la figura 6.1).
Llevan impresas cuatro líneas transversales de colores que indican el valor de
la resistencia (tres primeras líneas) y la tolerancia que garantiza el fabricante
(última línea). Es el llamado código de colores universal de las resistencias. Su
significado se expresa en la figura.(6.2)
Las dos primeras líneas dan un número de dos cifras. La tercera es la potencia
de diez que corresponde a su código. La línea de tolerancia es la última, y puede
ser de color oro (tolerancia del 5 %) o plata (tolerancia del 10 %). Por ejemplo si
28

Figura 6.2: Código internacional de colores para una resistencia
los colores son naranja, verde, rojo y oro; la resistencia vale R = 35×102
= 3500 Ω
con una tolerancia del 5 %.
El paso de corriente por una resistencia la calienta. La potencia disipada es
P = V I. Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos expresarla de otras formas:
P = V I = I2
R =
V 2
I
(6.1)
6.2. Material necesario.
Tenemos una fuente de alimentación que suministre un cierto voltaje, que po-
dremos variar; un polímetro con el que mediremos voltaje, intensidad y resisten-
cia; una plaqueta de ensayos para electrónica, en la que se pueden pinchar las
resistencias y formar los circuitos y varias resistencias comerciales.
6.3. Procedimiento práctico.
Valor nominal de las resistencias
Hallar el valor nominal de cada resistencia y la tolerancia utilizando el código de
colores.
Medida directa de las resistencias
Medir directamente cada resistencia disponible usando el polímetro. Para ello:
1. Pinchar la resistencia en la plaqueta, sin utilizar fuente de alimentación.
2. Seleccionar en el polímetro la opción para medir resistencias (símbolo Ω).
Identiﬁcar la escala apropiada.
29

3. Medir la resistencia aplicando las pinzas del polímetro a las patillas de la
resistencia. Comparar el resultado con el valor nominal.
Para una resistencia dada vamos a medir varios valores de voltaje frente a la
intensidad. Podemos variar el voltaje que llega a nuestra plaqueta regulando la
fuente de alimentación. Seguir los siguientes pasos:
1. Seleccionar en el polímetro la opción para medir voltaje (V ), en la escala
apropiada para este caso (10 V). Así el polímetro se comporta como un
voltímetro.
2. Móntese un circuito con una resistencia, un voltímetro (¡siempre en para-
lelo!) y los polos de la fuente de alimentación. El polo positivo (rojo) del
voltímetro debe ser el más cercano al polo positivo de la fuente de alimen-
tación.
3. Ajuste la fuente de alimentación hasta 4 V. Anote este valor.
4. Quite el voltímetro.
5. Convierta el polímetro en amperímetro, eligiendo la opción y escala indicada
(250 mA).
6. Mida la intensidad que circula por la resistencia, I1 Tiene que colocar el
amperímetro en serie con la resistencia.
7. Repita los pasos anteriores con voltajes e intensidades diferentes. Obtener
valores para cinco o seis medidas más.
8. Construir la tabla Vi frente a Ii. Represente V frente a I utilizando cual-
quiera de los programas de cálculo que haya en el laboratorio. Encontrar
la recta de mejor ajuste. La pendiente se corresponderá con el valor de la
resistencia.
Uso del amperímetro y del voltímetro.
Para medir la intensidad de corriente que circula a través de una resisten-
cia, una vez seleccionada la opción de medir intensidad con el polímetro debemos
medir colocando éste en serie con la resistencia, de tal forma que toda la in-
tensidad que circula por la resistencia pasa también por el amperímetro. Esto se
pone de maniﬁesto en la ﬁgura (6.3). Debemos de tener cuidado con la polaridad,
normalmente el polo positivo coincide con el terminal rojo y el polo negativo de
color negro.
30

Figura 6.3: Uso del polímetro como amperímetro
Figura 6.4: Uso del polímetro como voltímetro
Para medir la caída de tensión o diferencia de potencial entre dos puntos se
usa el polímetro en la opción de voltímetro (ﬁgura 6.4). Para hacer la medida
debemos de situarlo en paralelo con el elemento cuyo voltaje queramos medir.
31

Figura 6.5: Uso del polímetro como óhmetro
Para medir la resistencia se utiliza el óhmetro (ﬁgura 6.5)que se coloca en
paralelo con el elemento cuya resistencia vamos a medir. Para medir la resistencia
de un elemento nos aseguraremos de que dicho elemento esté desconectado del
circuito, de lo contrario obtendremos una medida errónea y podremos dañar el
aparato.
32

7 Práctica 7. Asociaciones de
resistencias
7.1. Objetivos y fundamento teórico.
En esta práctica vamos a medir la resistencia equivalente, intensidad y caída
de potencial de asociaciones de resistencias en serie y en paralelo. Para hacer
estas medidas usaremos el polímetro en sus tres facetas: voltímetro, amperímetro
y óhmetro.
Las resistencias comerciales suelen ser cilíndricas y pequeñas (como se muestra
en la figura 7.1).
Figura 7.1: Resistencias comerciales
Llevan impresas cuatro líneas transversales de color que indican el valor de
la resistencia (tres primeras líneas) y la tolerancia (última línea) que garantiza
el fabricante. Es el llamado código de colores universal de las resistencias. Su
significado se expresa en la figura (7.2).
Figura 7.2: Código de colores para calcular el valor de las resistencias
Las dos primeras líneas dan un número de dos cifras. La tercera es la potencia
de diez que corresponde a su código. La línea de tolerancia es la última, y puede
ser de color oro (tolerancia del 5 %) o plata (tolerancia del 10 %). Por ejemplo si
33

7 Práctica 7. Asociaciones de resistencias
los colores son naranja, verde, rojo y oro; la resistencia vale R = 35 × 102
Ω con
una tolerancia del 5 %.
Las resistencias se pueden asociar entre si. El conjunto puede verse como si
fuera una única resistencia, llamada resistencia equivalente, que depende de las
resistencias que lo componen y del modo de asociarlas. Hay dos formas básicas
de asociación de resistencias: en serie y en paralelo.
Asociación de resistencias en serie
Dos o más resistencias están en serie cuando la intensidad de corriente que pasa
por todas ellas es la misma. La caída de potencial entre los extremos de una
asociación en serie es la suma de las caída de potencial en cada resistencia (ﬁgura
7.3)
Figura 7.3: Asociación de resistencias en serie
V = V1 + V2 + .... (7.1)
Por consiguiente la resistencia equivalente será:
Req = R1 + R2 + .... =
∑
Ri (7.2)
Asociación de resistencias en paralelo
Dos o más resistencias están en paralelo (ﬁgura 7.4) cuando todas ellas provocan
la misma caída de potencial. En este caso, la intensidad total que pasa por la
asociación es la suma de las intensidades que pasan por cada resistencia
I = I1 + I2 + .... (7.3)
y la resistencia equivalente vendrá dada por:
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+ .... (7.4)
7.2. Material necesario
Tenemos una fuente de alimentación que suministre un cierto voltaje. Un po-
límetro con el que mediremos voltaje, intensidad y las resistencias; una plaqueta
de ensayos para electrónica, en la que se pueden pinchar las resistencias y formar
los circuitos y varias resistencias comerciales.
34

Figura 7.4: Asociación de resistencias en paralelo
7.3. Método operativo.
Valor nominal de las resistencias
Hallar el valor nominal de cada resistencia y la tolerancia utilizando el código de
colores.
Medida directa de las resistencias
Medir directamente cada resistencia disponible usando el polímetro.
Asociación en serie
• Montar un circuito con dos resistencias en serie (coger una resistencia
de 1000Ω y otra de 1200Ω), sin conectar la plaqueta a la fuente de
alimentación.
• Medir directamente con el polímetro la resistencia equivalente del cir-
cuito.
• Comparar este resultado con el valor teórico.
• Conectar ahora el circuito a la fuente de tensión (Consultar con el
profesor para hacer este paso).
• Usando el polímetro como amperímetro, medir la intensidad que cir-
cula por cada una de las resistencias y por el circuito completo.
• Cambiando el polímetro a voltímetro, medir la caída de potencial en
cada resistencia y en el circuito completo.
• ¿Se veriﬁcan las condiciones para la intensidad y voltaje que deben de
cumplir las asociaciones en serie?
• Hallar los valores de las resistencias usando la ley de Ohm.
Asociación en paralelo
• Montar un circuito con dos resistencias en paralelo (coger una resis-
tencia de 1000Ω y otra de 1200Ω), sin conectar la plaqueta a la fuente
de alimentación.
35

• Medir directamente con el polímetro (en óhmetro) la resistencia equi-
valente del circuito.
• Comparar este resultado con el valor teórico.
• Conectar ahora el circuito a la fuente de tensión (consultar con el
profesor para hacer este paso).
• Usando el polímetro como amperímetro, medir la intensidad que cir-
cula por cada una de las resistencias y por el circuito completo.
• Cambiando el polímetro a voltímetro, medir la caída de potencial en
cada resistencia y en el circuito completo.
• ¿Se veriﬁcan las condiciones para la intensidad y voltaje que deben de
cumplir las asociaciones en paralelo?
• Hallar los valores de las resistencias usando la ley de Ohm.
Recordatorio
Para medir la caída de tensión o diferencia de potencial entre dos puntos se
usa el polímetro en la opción de voltímetro. Para hacer la medida debemos de
situarlo en paralelo con el elemento cuyo voltaje queramos medir
Figura 7.5: Polímetro en versión voltímetro y amperímetro
Para medir la intensidad de corriente que circula a través de una resistencia,
una vez seleccionada la opción de medir intensidad con el polímetro debemos
medir colocando éste en serie con la resistencia.
36

8 Práctica 8. Cálculo de los
parámetros característicos de
un generador de corriente.
8.1. Fundamento teórico.
Para que exista una corriente estacionaria en un circuito conductor, éste debe
formar una malla cerrada o circuito completo. De otro modo la carga se acumulará
en los extremos del conductor, el campo eléctrico resultante variará con el tiempo
y la corriente no podrá ser constante.
Sin embargo, tal circuito no puede estar constituido solamente por una resis-
tencia. La corriente en una resistencia necesita un campo eléctrico y un potencial
asociado. El campo realiza siempre trabajo positivo sobre la carga, la cual se mue-
ve siempre en la dirección del potencial decreciente. Pero después de una vuelta
completa en torno al circuito, la carga vuelve a su punto de partida y el potencial
entonces ha de ser igual a cuando salió de dicho punto. Esto no puede ocurrir así
si su recorrido por el circuito solo implica disminución del potencial.
Por tanto, tiene que haber una parte del circuito en la que la carga pase de
un potencial menor a otro mayor, a pesar de la fuerza electrostática que intenta
empujarla de un potencial mayor a otro menor. El influjo que hace mover la carga
de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz. Todo circuito
completo en el que haya una corriente estacionaria debe tener algún dispositivo
que proporcione la fuerza electromotriz.
Ejemplos de tales dispositivos son las baterías, generadores, células fotovoltai-
cas y termopares, que reciben el nombre de generadores de fuerza electromotriz.
Cualquiera de ellos puede transmitir energía al circuito al que está conectado; por
ello, a veces se les denomina fuente, aunque es preferible el término convertidor
de energía. La fuerza electromotriz suele expresarse abreviadamente fem.
La figura (8.1) es una representación esquemática de un generador de fuerza
electromotriz (fem), como una batería o un generador. Un dispositivo de este
tipo tiene la propiedad de poder mantener una diferencia de potencial entre los
conductores a y b, llamados terminales del dispositivo. En la figura (8.1) no hay
circuito conductor fuera del dispositivo que conecte a y b y se dice que está en
circuito abierto.
El terminal a, marcado +, se mantiene por la fuente a un potencial más alto que
el terminal b, marcado -. Asociado a esta diferencia de potencial hay un campo
electrostático Ee en todos los puntos entre y alrededor de los terminales, tanto
dentro como fuera de la fuente. El campo electrostático Ee dentro del dispositivo
está dirigido, como se muestra, desde a hacia b. Sin embargo, la propia fuente
37

8 Práctica 8. Cálculo de los parámetros característicos de un generador de corriente.
es un conductor y si la única fuerza que actuase dentro de ella sobre las cargas
libres fuera la ejercida por el campo electrostático, las cargas positivas se moverán
desde a hacia b (o las cargas negativas desde b hacia a). El exceso de cargas en los
terminales disminuirá, y la diferencia de potencial entre ellos también disminuirá
y acabará por anularse.
Figura 8.1: Modelo de generador
Pero no es así como funcionan realmente las baterías y los generadores; de
hecho, mantienen una diferencia de potencial incluso cuando hay una corriente
estacionaria. De esto sacamos la conclusión de que debe existir una fuerza adi-
cional sobre las cargas del interior de la fuente, que tiende a empujarlas desde un
punto de menor potencial a otro de mayor potencial, en oposición a la tendencia
de la fuerza electrostática. El origen de esta fuerza no electrostática depende de la
naturaleza de la fuente. En un generador es el resultado de la acción de un campo
magnético sobre las cargas en movimiento. En una batería está asociada con las
concentraciones del electrolito, que varían debido a las reacciones químicas. En
una máquina electrostática como un generador de Van de Graaff o de Wimshurst,
se trata de una fuerza mecánica aplicada por el movimiento de una correa o de
una rueda.
Independientemente del origen de la fuerza no electrostática, que podemos
llamar F su efecto es el mismo que si hubiera un campo eléctrico adicional En,
de origen no electrostático, relacionado con la fuerza por F = qEn. Es decir, la
fuerza no electrostática es la misma que si hubiera un campo no electrostático
En, además del puramente electrostático Ee.
Cuando la fuente está en circuito abierto, como en la figura (8.1), las cargas
están en equilibrio, y el campo resultante ⃗E, suma vectorial de Ee y En, debe ser
nulo en todos los puntos:
E = Ee + En = 0
Ahora bien, la diferencia de potencial electrostática Vab se define como el trabajo
por unidad de carga realizado por el campo electrostático Ee sobre una carga que
se mueve de a a b. De la misma forma puede considerarse el trabajo realizado por
el campo no electrostático En. Suele hablarse del trabajo (positivo) de este campo
38

durante el desplazamiento desde b hasta a en vez de al contrario. Específicamente,
se llama fuerza electromotriz ϵ de la fuente al trabajo realizado por En por unidad
de carga cuando la carga se mueve desde b hasta a.
Cuando Ee = −En , tenemos que Vab = ϵ. Por consiguiente, para una fuente en
circuito abierto, la diferencia de potencial Vab, es decir, el voltaje de sus terminales
en circuito abierto, es igual a la fuerza electromotriz:
El término fuerza electromotriz, aunque muy utilizado, no es muy afortunado,
en el sentido de que el concepto al que se refiere no es una fuerza sino un trabajo
por unidad de carga. Lo más frecuente es utilizar simplemente la expresión fem.
La unidad SI de En es la misma que la de Ee esto es, un voltio por metro (Vm),
de modo que la unidad de fem es la misma que la del potencial o que la diferencia
de potencial, es decir, un voltio (V). De todas formas, una fuerza electromotriz
no es lo mismo que una diferencia de potencial, pues esta última es el trabajo de
un campo electrostático y la otra es el de uno no electrostático.
Como veremos más adelante, el campo electrostático en el interior de una fuen-
te, y por tanto la diferencia de potencial entre sus terminales, depende de la co-
rriente de la fuente. El campo no electrostático, y en consecuencia la fem de la
fuente, es, en la mayoría de los casos, una constante independiente de la corriente,
por lo que la fem representa una propiedad determinada de la fuente. A menos
que se diga lo contrario, de ahora en adelante consideraremos que la fem de una
fuente es constante.
Figura 8.2: Generador en circuito cerrado
Supongamos ahora que los terminales de la fuente están conectados por un ca-
ble, como se muestra esquemáticamente en la figura (8.2), formando un circuito
completo. La fuerza de arrastre sobre las cargas libres del cable se debe exclusi-
vamente al campo electrostático Ee creado por los terminales cargados a y b de
la fuente. Este campo crea una corriente en el cable de a a b. Las cargas de los
terminales disminuyen ligeramente, así como los campos electrostáticos dentro
del cable y de la fuente. En consecuencia, el campo electrostático del interior de
la fuente se hace menor que el campo no electrostático (constante). Por tanto, las
39

cargas positivas del interior de la fuente son llevadas hacia el terminal positivo, y
hay una corriente en el interior de la fuente de b hacia a. El circuito se estabiliza
en un estado estacionario en el que la corriente es la misma en todas las secciones
transversales.
Si la corriente pudiera circular sin impedimento por la fuente (es decir, si la
fuente no tuviera resistencia interna), la carga que entra al circuito externo a
través del terminal a sería reemplazada inmediatamente por el ﬂujo de carga que
pasa por la fuente. En este caso, el campo electrostático interior de la fuente no
variará en condiciones de circuito completo, y la diferencia de potencial entre los
terminales Vab sería todavía igual a ϵ. Como Vab está también relacionada con
la corriente y la resistencia del circuito externo por la ecuación (9.1), entonces
tendríamos:
Vab = ϵ = IR (8.1)
donde R es la resistencia del circuito externo. Esta relación determina la co-
rriente en el circuito una vez especiﬁcadas ϵ y R.
El sentido condicional del párrafo anterior se debe a que toda fuente real tiene
alguna resistencia interna que podemos designar por r. En condiciones de circuito
cerrado el campo eléctrico total Ee +En, dentro de la fuente no puede ser exacta-
mente nulo porque es necesario algún campo neto que empuje la carga a través de
la resistencia interna. Por tanto, Ee debe tener una magnitud algo menor que En
y en consecuencia Vab es menor que ϵ; la diferencia es igual al trabajo por unidad
de carga realizado por todo el campo, que es simplemente Ir. Así, en condiciones
de circuito cerrado, la diferencia de potencial entre los terminales está dada por
Vab = ϵ − Ir (8.2)
donde r es la resistencia interna de la fuente. La ecuación que determina la
corriente del circuito completo es entonces
ϵ − Ir = IR (8.3)
y, por tanto
I =
ϵ
(r + R)
(8.4)
Es decir, la corriente es igual a la fem de la fuente dividida entre la resistencia
total del circuito, la externa mas la interna.
Si los terminales de la fuente están conectados por un conductor de resistencia
nula (o despreciable), se dice que la fuente está en cortocircuito. (Sería extrema-
damente peligroso hacer esto con los terminales de la batería de un automóvil o
de una red eléctrica). Entonces R = 0, y en virtud de la ecuación del circuito, la
corriente Ic en cortocircuito es
Ic = ϵ/r (8.5)
El voltaje entre los terminales es entonces nulo:
40

Vab = ϵ − Ir = 0 (8.6)
El campo electrostático dentro de la fuente es nulo, y la fuerza de arrastre que
actúa sobre las cargas interiores es debida únicamente al campo no electrostático.
Una fuente está totalmente descrita por su fem y su resistencia interna r. Es-
tas propiedades pueden determinarse (al menos en principio) midiendo el voltaje
entre los terminales en circuito abierto, que es igual a ϵ, y la corriente en corto-
circuito, la cual permite calcular r por la ecuación (8.5).
8.2. Materiales
Para la realización de esta práctica se dispone de:
Batería de 9 V
Conector para la batería.
Reostato y resistencia.
Placa de prototipos.
Cables de conexionado.
8.3. Método operativo
1. Comprobar que el circuito que se va a usar para la realización de la práctica
coincide con el mostrado en la ﬁgura (8.3).
Figura 8.3: Esquema del circuito
2. Fijar el cursor del reostato en un extremo.
3. Medir simultáneamente las medidas del amperímetro y del voltímetro.
41

4. Mover el cursor del reostato y volver a repetir las medidas.
5. Repetir el punto 4 intentando barrer con el cursor toda la longitud del
reostato y tomando, al menos, seis medidas simultáneas distintas.
6. Representar gráﬁcamente (en el ordenador) la diferencia de potencial frente
a la intensidad.
7. Identiﬁcar la fem y la resistencia interna de generador así como el error
correspondiente.
42

9 Práctica 9. Carga de un
condensador
9.1. Objetivos.
Montar un circuito para cargar lentamente un condensador, estudiar la curva
intensidad de corriente frente a tiempo y, a partir de ella, determinar la capacidad
del condensador.
9.2. Fundamento teórico.
Los condensadores tienen interés tecnológico por su capacidad para almacenar
carga eléctrica. Consta de dos conductores enfrentados y separados por un aislante
(dieléctrico).
Figura 9.1: Esquema de un condensador
de placas paralelas
En la figura (9.1) se muestra un con-
densador de láminas planas paralelas,
de sección A, y separación d. Se defi-
ne la capacidad C de un condensador
como el cociente entre la carga almace-
nada, Q, y la diferencia de potencial V
entre las placas: C = Q/V . Su unidad
de medida es el faradio (F). Para un
condensador plano puede demostrarse
que
C =
ϵA
d
(9.1)
donde ϵ es la constante dieléctrica de la lámina aislante. En los condensadores
comerciales (figura 9.2) las láminas planas son alargadas y muy delgadas, y se
enrollan sobre sí mismas, formando cilindros, para ahorrar espacio.
Características de un condensador comercial:
Capacidad nominal, según el fabricante, que suele darse con una tolerancia
grande (± 20 %).
Diferencia de potencial máxima que es capaz de soportar sin que se produzca
la ruptura del dieléctrico.
Polaridad (polos positivo y negativo). Los condensadores electrolíticos, co-
mo el de nuestra práctica, tienen una polaridad que hay que respetar.
43

9 Práctica 9. Carga de un condensador
Figura 9.2: Condensador comercial
Circuito de carga de un condensador
La ﬁgura (9.3) muestra el circuito de carga de un condensador. En el instante
de conectar el interruptor S (t = 0), el condensador está descargado, y sólo la
resistencia R limita la corriente inicial, que valdrá:
I0 =
Vs
R
Figura 9.3: Circuito de carga de un condensador
A medida que transcurre el tiempo, se acumula carga en el condensador y dis-
minuye la intensidad de la corriente que circula, hasta que ﬁnalmente se anula. El
condensador queda completamente cargado entonces, y la diferencia de potencial
entre sus placas será Vs. Puede demostrarse que la variación con el tiempo de la
intensidad de corriente sigue la siguiente ley:
I(t) = I0e− t
RC (9.2)
El producto RC tiene dimensiones de tiempo, y se conoce como tiempo caracte-
rístico del proceso de carga. Transcurrido un tiempo t = 3RC, la intensidad que
circula se ha reducido hasta solo ∼ 0,05I0.
44

9.3. Material necesario
Regleta para circuitos, condensador electrolítico de C ∼ 2200 µF , resisten-
cia de 100 kΩ, polímetro analógico, generador de corriente continua (de voltaje
ajustable), interruptor y cronómetro digital (con opción de lecturas parciales sin
detención de la medida).
9.4. Método operativo
Interpretar el código de colores de la resistencia y determinar su valor con
el polímetro.
Montar con los materiales disponibles el circuito de carga del condensador
mostrado en la figura (9.3). Asegúrese de que el condensador está comple-
tamente descargado (cortocircuitando sus patillas con un hilo conductor)
antes de montarlo en el circuito.
Para fijar con precisión el valor de I0 , retire el condensador, pero mantenga
el circuito cerrado con el amperímetro (conectado ahora directamente a la
resistencia). Parta de la escala mayor, pero tendrá que ajustar la tensión de
la fuente hasta conseguir que el amperímetro en la escala de 50 µA indique
fondo de escala (tendremos entonces I0 = 50 µA). La fuente de tensión ya
no debe tocarse. Desconectamos el interruptor.
Montamos el circuito completo, con el condensador, y preparamos el cronó-
metro. Al conectar el interruptor tendremos t = 0 e I0 = 50 µA. Tendremos
que anotar los tiempos parciales (sin detener el cronómetro) para valores
prefijados de la intensidad, completando la tabla de toma de datos que
figura al final.
Utilice el PC para representar la intensidad frente al tiempo. Añada a la
tabla una columna con ln(I/I0) y represéntela frente al tiempo. De acuerdo
con la ecuación (9.2) tendremos:
ln
(
I
I0
)
= −
1
RC
t
Deberá obtener así una recta, cuya pendiente (resuelta por el método de
los mínimos cuadrados) valdrá m = −1/RC. Como R es conocido, podrá
obtener finalmente el valor de la capacidad C del condensador. Compárese
con el valor nominal que proporciona el fabricante.
45

I (µA) t (s) ln (I/I0)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Cuadro 9.1: Tabla de resultados
46

10 Práctica 10: Balanza de
corriente. Fuerza de Lorentz
1 Objeto de la práctica.
En esta práctica se medirá mediante una balanza la fuerza de origen magnético,
que actúa sobre un hilo conductor por el que pasa una corriente cuando éste se
encuentra en el seno de un campo magnético uniforme. Estudiaremos cómo varía
esta fuerza en función de la longitud del hilo conductor para una intesidad de
corriente dada. Igualmente para una longitud dada veremos como se comporta la
fuerza para distintas intensidades y por último veremos cuál es el comportamiento
de la fuerza en función del ángulo que forman la intensidad de corrriente y el
campo magnético.
2 Fundamento teórico
La fuerza que un campo magnético ejerce sobre un hilo conductor por el que
circula una corriente I viene dada por:
⃗F = I⃗L × ⃗B
Donde:
⃗F es la fuerza de origen magnético en newtons
I es la intensidad de corriente que circula por el hilo con-
ductor en amperios
⃗L tiene como módulo la longitud del hilo en metros, su di-
rección es paralela al hilo y su sentido es el de la corriente.
⃗B intensidad del campo magnético en teslas.
La fuerza sobre el hilo conductor es perpendicular al hilo y al campo magnético.
Si el campo magnético es perpendicular a la corriente, el módulo de la fuerza
será:
F = I L B
Cuando la corriente y el campo no sean perpendiculares, el módulo será:
F = I L B senθ
47

10 Práctica 10: Balanza de corriente. Fuerza de Lorentz
3 Material y método
Para la realización de la práctica contamos con el siguiente material:
Balanza de corriente I (bloque con seis imanes permanentes, soporte con
brazo basculante y seis conductores de diferente longitud)
Fuente de alimentación 0 − 30 V CC/ 0 − 5 A
Balanza digital 300 g/0, 01 g
Cables de conexión
Base soporte y varilla
Balanza de corriente II (bloque on cuatro imanes permanentes y bobina
montada en soporte graduado giratorio)
Figura 10.1: Balanza de corriente I y accesorios
Figura 10.2: Balanza de corriente II
Fuerza magnética en función de la corriente.
Debemos conﬁgurar el equipo (mostrado en la ﬁgura 1) de forma que el imán
descanse sobre el platillo de la balanza y el brazo de la balanza de corriente se
coloque de forma que el conductor esté completamente dentro de la región del
campo magnético uniforme. Cogeremos cualquiera de los conductores, por ejemplo
48

el de mayor longitud L = 8 cm. Tarar la balanza para ponerla a cero y ajustar
la corriente también a cero. Mantener el hilo conductor y variar la intensidad de
corriente, para cada una de ellas leer el valor correspondiente de la balanza. Los
valores observados pueden ser positivos o negativos dependiendo de la orientación
del campo magnético o del sentido de la corriente. Si queremos obtener siempre
valores positivos debemos cambiar el sentido de la corriente.
Longitud del conductor (metros) = m
Intensidad (A) gramos Fuerza (N)
Cuadro 10.1: Fuerza magnética frente a la corriente
Representar gráﬁcamente la fuerza frente a la intensidad y obtener el valor del
campo magnético.
Fuerza magnética en función de la longitud del hilo conductor.
Debemos conﬁgurar el equipo igual que en el caso anterior. Debemos de ser
cuidadosos para colocar el conductor completamente dentro de la región de campo
magnético uniforme. Fijamos un valor constante para la intensidad de corriente,
por ejemplo I = 4 A, y vamos intercambiando los conductores empezando por el
de menos longitud. Para cada uno de ellos tomamos la lectura de la balanza. Los
cambios de los hilos conductores debe hacerse con la balanza y la fuente de tensión
apagadas. Cada vez que cambiemos el conductor debemos tarar la balanza.
Intensidad (amperios) = A
Longitud del conductor (m) gramos Fuerza (N)
0, 01
0, 02
0, 03
0, 04
0, 06
0, 08
Cuadro 10.2: Fuerza magnética en función de la longitud del hilo conductor
Representar la fuerza magnética frente a la longitud del hilo conductor y obte-
ner de nuevo el valor del campo magnético. Comparar este valor con el obtenido
49

anteriormente.
Fuerza magnética en función del ángulo entre la dirección del campo
magnético y la intensidad de corriente.
En este caso debemos utilizar el accesorio de la ﬁgura 2. Este accesorio lleva
una bobina en lugar de un único conductor y está conectado a un goniómetro,
debemos de colocarlo en el lugar donde antes colocabamos los hilos conductores.
En este caso debemos de ser cuidadosos de ajustar el goniómetro de forma que
el indicador móvil del goniómetro esté en cero cuando la bobina y el campo
magnético sean paralelos. Para hacer esto debemos de girar la bobina hasta que la
balanza marque cero, en esa posición colocamos el indicador móvil del goniómetro
a cero y a partir de este punto podemos comenzar a hacer las medidas. Fijamos
una corriente constante, por ejemplo I = 4 A, y vamos ajustando el ángulo entre
la corriente y el campo magnético de 10 en 10 grados, para cada uno de ellos
apuntamos la lectura de la balanza.
Intensidad (amperios) = A
Ángulo gramos Fuerza (N)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Figura 10.3: Fuerza magnética frente al ángulo
Representar gráﬁcamente la fuerza frente al ángulo y frente al seno del ángulo.
¿Cómo varía la fuerza en función del ángulo?
50

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