191720244 diseno-de-elementos-de-maquinas-ivan-moran

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA
DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECÁNICA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
Las elevadas presiones que existen en el interior de una turbina de gas
y la alta velocidad a la que giran los ejes, convierten a esta máquina en
uno de los mayores retos del Diseño en Ingeniería Mecánica.
DFTC – JEGJ – MATG – JLTC – DJCA

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PREFACIO
“Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederse de ello”
Albert Einstein
El presente texto de Diseño de Elementos de Máquinas “I” ha sido diseñado para alumnos que
cursan el cuarto año de Ingeniería Mecánica y que ya han tomado los cursos de Física,
Mecánica de la Ingeniería, Materiales, Procesos y las Ciencias de Termo-Fluidos.
El Diseño de Elemento de Máquinas es uno de los temas fundamentales de cualquier plan de
estudios de Ingeniería Mecánica. El conocimiento de las leyes que rigen el comportamiento, así
como de las propiedades más importantes, de los distintos componentes mecánicos, bajo la
acción de cargas, es indispensable para comprender los principios de funcionamiento de las
máquinas, y para poder explicar los fenómenos mediante los cuales se produce el colapso de
las mismas.
Puesto que las variables en el Diseño son funciones, por lo general, de las dimensiones de los
elementos de máquinas, el tema es más complicado que la teoría de Mecánica de Materiales.
El propósito de este texto es satisfacer la demanda de un libro de texto que no sólo presente
los fundamentos del Diseño en forma breve, concisa y lógica, sino que también incluya la
forma más apropiada de resolución de problemas relacionados con los ejes de transmisión,
cilindros de presión, sujetadores, columnas, tornillos de potencia y cojinetes.
Consideramos que una de las dificultades básicas de los estudiantes en el aprendizaje del
Diseño es que no pueden comprender los conceptos más importantes que aparecen en dicho
curso, mismos que se derivan de los cursos previos de Mecánica de Materiales.
Con este texto, lo que se pretende es de cierta manera ayudar a los estudiantes a vencer estas
dificultades, usando un enfoque puramente descriptivo de los fenómenos más comunes que se
presentan en los elementos de máquinas mediante resolución de problemas.
Aproximadamente la mitad del texto contiene el material informativo que el estudiante debe
leer con detenimiento y procurar fijar en su mente. El resto de la obra corresponde a
problemas resueltos y propuestos. Con esto último creemos que el alumno no sólo desarrollará
una compresión más profunda de los diversos temas tratados, sino que también sentirá la
satisfacción de saber que sus conocimientos en esta materia son los adecuados.
En el breve capítulo 1 se expone una introducción acerca del fascinante mundo del Diseño. Allí
se presenta el concepto de factor y margen de seguridad, así como el de confiabilidad. El
capítulo 2 se encuentra destinado a un repaso de los conceptos más fundamentales de la
Mecánica de Materiales. En el capítulo 3 se describe muy brevemente la clasificación y las
propiedades de los materiales más comúnmente usados en ingeniería. El capítulo 4 trata sobre
el esfuerzo y los métodos más utilizados para su respectivo análisis. En el capítulo 5 se
estudian las diferentes teorías de falla debido a carga estática. El capítulo 6 describe la falla
de los elementos de máquinas producida por el fenómeno conocido como fatiga. Las
características más importantes de los elementos de unión son el tema del capítulo 7. En el
capítulo 8 se estudian la teoría y las aplicaciones de los muelles helicoidales. El capítulo 9 trata
sobre aquellos elementos de máquina que se utilizan, con frecuencia, para transmitir potencia.
En el capítulo 10 se abarca el tema relacionado, principalmente, a la selección de cojinetes,
mientras que, las características más importantes de las columnas y de los cilindros de
presión, son los temas principales de estudio de los capítulos 11 y 12, respectivamente.

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Cada capítulo de este texto se inicia con una sección de introducción, la misma que
proporciona una guía para los temas que se analizarán en el capítulo. La característica
principal de este texto es que en todo su contenido se presentan problemas resueltos después
de la teoría y relaciones más importantes, con el objetivo de ilustrar los métodos más usados
para resolver problemas genéricos.
Al final de cada capítulo y de sus respectivos problemas resueltos, aparece una sección
identificada como problemas propuestos, los mismos que condensan los temas principales del
capítulo. Esperamos que estos últimos sean de ayuda y muy útiles para que los estudiantes
aprendan a resolver problemas del fascinante mundo del Diseño de Máquinas.
Las unidades empleadas en el texto son las del Sistema Internacional (SI) y las del sistema
(CGS). Las demostraciones de las relaciones más importantes que aparecen a lo largo de todo
el texto, se han omitido en su totalidad, por el temor introducir errores, sean los de tipo
teórico (que serían los más graves) o los de tipo mecanográfico, que ocurren generalmente,
durante la escritura de todas esas relaciones (ecuaciones).
A lo largo de todo el texto aparecerá el símbolo de asterisco (*), que según la forma en que
aparezca indica ciertas notas que hay que leerlas con mucha atención. A saber, cuando
aparezca delante del número de cierta sección, indica que ésta es opcional, es decir, que su
estudio, puede ser o no de importancia para el entendimiento del tema del capítulo
correspondiente; claro, esto último quedará a criterio del estudiante. Asimismo, cuando
aparezca como exponente de cierta palabra dentro de una sección, indica que al pie de la
página donde se encuentre esa palabra, se da algo más de información acerca de esa palabra
o sobre el tema que se está tratando en esa sección. En algunos casos, también proporciona
referencias de libros más avanzados donde se puede obtener mayor información del tema y de
las demostraciones más complejas. Se recomienda al estudiante que en estos casos, acuda a
tales referencias bibliográficas con el fin de enriquecer sus conocimientos referentes a esos
temas de estudio. Finalmente, en lo que corresponde a los problemas propuestos, cuando
aparezca delante del número de uno de ellos, indica que el problema tiene un grado de
dificultad bastante elevado, o que, en el caso de problemas ya de diseño, estos no tienen una
solución única.
Algo muy importante que debe ser mencionado es que, de ninguna manera este texto tiene la
intención de reemplazar al material bibliográfico tan amplio y avanzado que existe sobre el
tema, sino que, como se dijo anteriormente, el propósito de este texto es el de presentar los
fundamentos del Diseño en forma breve, concisa y lógica.
Asimismo debemos dejar constancia que la información que se encuentra en este texto ha sido
fundamentada en la existente en los excelentes libros que se citan a lo largo de todo el texto,
y que se indican al final de éste en la bibliografía correspondiente. No obstante, los autores
somos los únicos responsables de cualquier deficiencia en el texto y agradeceremos a los
lectores que nos hagan llegar las observaciones que tengan sobre el mismo.
D.F.T.C - J.E.G.J - M.A.T.G - J.L.T.C - D.J.C.A

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NOTA PARA EL ESTUDIANTE
Este es un texto sobre los fundamentos del Diseño de Elementos de Máquinas. Los conceptos e
ideas que aprenda de él entrarán, muy probablemente, a formar parte de su vida profesional y
de su modo de pensar. Cuanto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto de su
educación superior.
En este curso debe estar preparado para abordar numerosos problemas arduos. El aprender
los conceptos y las técnicas del Diseño puede ser, a veces, un proceso lento y doloroso. Antes
de que entre en esas regiones del Diseño que despiertan su imaginación, usted debe dominar
otras menos llamativas pero muy fundamentales, sin las cuales no puede utilizar o comprender
el Diseño en forma apropiada.
Usted deberá mantener dos objetivos principales al tomar este curso. Primero: familiarizarse
completamente con el puñado de conceptos y principios básicos que constituyen la columna
vertebral del Diseño. Segundo: desarrollar la habilidad de manejar estas ideas y aplicarlas a
situaciones concretas; en otras palabras, la habilidad de pensar y actuar como ingeniero.
El primer objetivo lo puede alcanzar principalmente leyendo y releyendo la teoría que se
presenta en este texto. Recomendamos principalmente que lea aquellas referencias
bibliográficas que se citan, pues ellas enriquecerán la información que usted necesita asimilar.
Para ayudarlo a alcanzar el segundo objetivo, hay a lo largo del texto muchos problemas
resueltos, los cuales le servirán de ayuda para la comprensión de las ideas más básicas del
Diseño. Recomendamos principalmente que lea primero toda la teoría que fuese necesaria y
una vez familiarizada con ella, prosiga con los problemas asignados por el profesor.
Los problemas propuestos que están al final de cada capítulo tienen un gado variable de
dificultad. Oscilan entre lo más simple y lo más complejo. Si el problema que se está tratando
no se puede resolver en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde, para el
caso d aquellos pocos problemas que se resisten a ser resueltos, deberá procurar ayuda (con
el profesor o con estudiantes más avanzados).
El reto del Diseño no es el de resolver de manera perfecta un problema en particular, sino más
bien, usar unas cuantas ideas y conceptos bien fundamentados, que nos permitan dominar
todas las técnicas de resolución, para enfrentarnos a problemas más generales.
Algo muy importante que debe mencionarse es que en ningún momento se debe tomar a este
texto como una fuente de referencia para buscar culpables de los frecuentes errores que se
producen durante las pruebas concernientes al curso de Diseño, puesto que, sus calificaciones
dependerán tanto de su astucia como de sus conocimientos para analizar los problemas, y que,
por sobre todas las cosas, de sus ideas y procedimientos plasmadas en sus pruebas, es, el
profesor quién tendrá la última palabra.
Finalmente, el aprendizaje del Diseño es un viaje intelectual; este texto le servirá como guía,
pero usted debe aportar su dedicación y su perseverancia. Esperamos que su exploración del
territorio del Diseño de Elementos de Máquinas en Ingeniería Mecánica sea una experiencia
estimulante y gratificante.
Los autores

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El aprendizaje no se logra por casualidad;
debe buscarse con pasión y atenderse con esmero.
Abigail Adams
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ESPOCH INGENIERÍA MECÁNICA
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DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I INTRODUCCIÓN1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
El Diseño de Elementos de Máquinas implica un gran conocimiento de geometría.
Por lo tanto, resulta también necesaria la habilidad para hacer gráficos de las diferentes configuraciones que se
presenten, así como el dibujo de diagramas de cuerpo libre de las cargas que actúan sobre un componente.
El Diseño de Elementos de Máquinas requiere también un conocimiento completo de cursos de ciencias básicas de la
ingeniería, tales como: Física, Mecánica de la Ingeniería, Materiales y Procesos y las Ciencias de Termo-Fluidos.
El Diseño de Elementos de Máquinas es también la parte medular de otros tipos de estudios profesionales y de diseño
incluidos en la carrera de Ingeniería Mecánica.
Así pues, un curso de Diseño de Elementos de Máquinas parece ser el método más efectivo para iniciar al estudiante
en la práctica de la Ingeniería Mecánica.
1.1 ¿QUÉ ES EL DISEÑO?
Diseño es la transformación de conceptos e ideas en maquinaria útil. Una máquina es una combinación de mecanismos
y otros componentes que transforma, transmite o emplea energía, carga o movimiento para un propósito específico.
Una máquina comprende varios elementos diferentes, diseñados apropiadamente y arreglados para trabajar en
conjunto como una unidad.
Las decisiones fundamentales concernientes a la carga, la cinemática y a la selección de materiales deben tomarse
durante el diseño de una máquina.
También es necesario considerar otros factores como resistencia, confiabilidad, deformación, tribología (fricción,
desgaste y lubricación), costo y necesidades de espacio.
El objetivo es producir una máquina que no sólo sea lo suficientemente resistente para funcionar con eficiencia
durante un tiempo razonable, sino que también sea posible de realizar económicamente.
Para “dirigir las vastas fuentes de poder de la naturaleza” en el diseño de máquinas, el ingeniero debe reconocer las
funciones de los varios elementos de una máquina y los tipos de carga que ellos transmiten.
Un elemento de máquina puede funcionar como un transmisor de carga normal, como transmisor de movimiento
rotacional, como un absorbente de energía o como un empaque.
Algunos transmisores de carga normal son los cojinetes de elementos rodantes, los cojinetes hidrodinámicos y los
cojinetes de fricción.
Algunos transmisores de movimiento rotacional son los engranes, mecanismos de tracción, de cadena y de banda. Los
frenos y los amortiguadores son absorbentes de energía.
En contraste con los problemas matemáticos u otros puramente científicos, los problemas de Diseño no tienen una
sola respuesta. En efecto, una respuesta que es adecuada (o “buena”) ahora, puede ser muy bien una solución
impropia (o “mala”) el día de mañana, si se produjo una evolución de los conocimientos durante un lapso de tiempo
transcurrido.
Todo problema de Diseño siempre está sujeto a determinadas restricciones para su solución.
Un problema de Diseño no es un problema hipotético. Todo diseño tiene un propósito concreto: la obtención de un
resultado final al que se llega mediante una acción determinada o por la creación de algo que tiene realidad física.
1.2 DISEÑO DE SISTEMAS MECÁNICOS
El diseño mecánico es el diseño de objetos y sistemas de naturaleza mecánica: piezas, estructuras, mecanismos,
máquinas y dispositivos e instrumentos diversos.
En su mayor parte, el diseño mecánico hace uso de las matemáticas, las ciencias de los materiales y las ciencias
mecánicas aplicadas a la Ingeniería.
El diseño en Ingeniería Mecánica incluye el diseño mecánico, pero es un estudio de mayor amplitud que abarca todas
las disciplinas de la Ingeniería Mecánica, incluso las ciencias térmicas y de los fluidos.

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Un sistema mecánico es una unión sinergética de elementos de máquina. Es sinergética porque como diseño
representa una idea o concepto mayor que la suma de las partes individuales.
El diseño de sistemas mecánicos requiere una flexibilidad considerable y creatividad para obtener buenas soluciones.
La creatividad parece ser asistida por familiaridad con los diseños exitosos conocidos, y los sistemas mecánicos con
frecuencia son conjuntos de componentes bien diseñados de un número finto de calidades probadas.
1.3 DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS
El diseño adecuado de un elemento de máquina usualmente comprende los siguientes pasos:
1. Selección del tipo adecuado del elemento de máquina desde la consideración de su función.
2. Estimación del tamaño del elemento de máquina que sea probable para ser satisfactorio.
3. Evolución del desempeño del elemento de máquina contra los requisitos a cumplir.
4. Y la modificación del diseño y de las dimensiones hasta que el desempeño esté cerca de cualquier punto óptimo
considerado más importante.
Una vez que se selecciona el tipo adecuado de un elemento de máquina para la función que se requiere, se diseña el
elemento de máquina específico analizando la cinemática, la carga y el esfuerzo.
Estos análisis, junto con una adecuada selección del material, permitirá la evaluación del esfuerzo-deformación
unitaria-resistencia en términos de un factor de seguridad.
Una pregunta importante en el diseño de un elemento de máquina es si fallará en servicio.
La mayoría de las personas, incluyendo a los ingenieros, asocian comúnmente la falla con el rompimiento del
elemento de máquina.
Aunque el rompimiento es un tipo de falla, el ingeniero de diseño debe tener un entendimiento más amplio de lo que
realmente determina si una parte ha fallado.
Se considera que un elemento de máquina ha fallado cuando:
1. Es completamente inoperable.
2. Aún es operable pero es incapaz de desempeñar satisfactoriamente su función programada.
3. Un serio deterioro lo ha hecho inconfiable o inseguro para su uso continuo, requiriendo su desplazamiento del
servicio para su reparación o reemplazo inmediato.
La función del ingeniero de diseño es predecir las circunstancias bajo las cuales es probable que ocurra una falla. Estas
circunstancias son las relaciones esfuerzo-deformación unitaria-resistencia que involucran a la mayoría de los
elementos sólidos y a fenómenos de superficie como la fricción, el desgaste, la lubricación y el deterioro ambiental.
Los principios del diseño son universales. Un análisis es igualmente válido sin importar el tamaño, el material y la
carga.
El análisis de diseño intenta predecir la resistencia o deformación de un elemento de máquina, de manera que pueda
soportar las cargas impuestas durante el tiempo que se requiera.
Ciertas suposiciones tienen que realizarse acerca de las propiedades de los materiales bajo diferentes tipos de carga
(axial, de flexión, de torsión y de cortante transversal, así como de varias combinaciones) y clasificación (estática,
sostenida, por impacto o cíclica).
Estas restricciones de carga pueden variar a través de las máquinas, pues ellas de relacionan con diferentes elementos
de máquina, un factor importante a considerar por el ingeniero de diseño.
1.4 CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES DE DISEÑO
A veces, la resistencia de un elemento es un asunto muy importante para determinar la configuración geométrica y las
dimensiones que tendrá dicho elemento. En tal caso se dice que la resistencia es un factor importante de diseño.
La expresión factor de diseño, significa alguna característica o consideración que influye en el diseño de un elemento
o, quizá, en todo el sistema. Por lo general se tienen que tomar en cuenta varios de esos factores en un caso de
diseño determinado.
En ocasiones, alguno de esos factores será crítico y, si se satisfacen sus condiciones, ya no será necesario considerar
los demás.

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Por ejemplo, suelen tenerse en cuenta los factores siguientes:
1. Resistencia 12. Ruido
2. Confiabilidad 13. Estilización
3. Condiciones térmicas 14. Forma
4. Corrosión 15. Tamaño
5. Desgaste 16. Flexibilidad
6. Fricción o rozamiento 17. Control
7. Procesamiento 18. Rigidez
8. Utilidad 19. Acabado de superficies
9. Costo 20. Lubricación
10. Seguridad 21. Mantenimiento
11. Peso 22. Volumen
Algunos de estos factores se refieren directamente a las dimensiones, al material, al procesamiento o procesos de
fabricación, o bien, a la unión o ensamble de los elementos del sistema. Otros se relacionan con la configuración total
del sistema.
1.5 FACTOR Y MARGEN DE SEGURIDAD
La resistencia es una propiedad de un material o de un elemento mecánico. La resistencia de un elemento depende de
la clase, tratamiento y procesado del material.
Conviene recordar que ele esfuerzo es algo que ocurre en una pieza o elemento debido a la aplicación de una fuerza.
Por otra parte, la resistencia es una propiedad intrínseca del elemento y depende del material y el proceso particulares
que se usaron para fabricar tal elemento.
El término factor de seguridad se aplica al factor utilizado para evaluar la condición segura de un elemento.
Considérese que un elemento mecánico se somete a algunas acciones que se designarán por F . Se supone que F
es un término muy general y que puede representar una fuerza, un momento de flexión o de torsión, una pendiente,
una deflexión o alguna clase de deformación o distorsión.
Si F aumenta, finalmente llegará a ser tan grande que cualquier pequeño incremento adicional alteraría
permanentemente la capacidad del elemento para realizar su función.
El factor de seguridad se puede expresar como:
diseño
permisible
n
σ
σ
=
Si 1>n , el diseño es adecuado. Entre mayor sea n , más seguro será el diseño.
Si 1<n , el diseño puede ser inadecuado y necesitar de un rediseño.
Cuando el esfuerzo se hace igual a la resistencia, 1=n , no habrá ya ninguna seguridad en absoluto. Por lo tanto,
frecuentemente se usa el término margen de seguridad.
Este margen se define por la ecuación: 1+= nms
donde:
ms : margen de seguridad (en %)
n : factor de seguridad ( > 1)
La mayor utilidad del factor de seguridad se tiene cuando se compara el esfuerzo con la resistencia a fin de evaluar el
grado de seguridad. El factor de seguridad se usa para tener en cuenta dos efectos que generalmente no están
relacionados:
1. Cuando han de ser fabricadas muchas piezas a partir de diversa existencias de materiales, ocurrirá una variación
en la resistencia de las diferentes piezas por una variedad de razones, como el procesamiento, el trabajo en
caliente o frío y la configuración geométrica.
2. Cuando una pieza ha de ser ensamblada, habrá una variación en la carga que experimentará la pieza y, los
esfuerzos inducidos por tal acción, sobre lo cual el fabricante y el diseñador no tienen control.
Designaremos como casos a las tres circunstanciasen las cuales se emplea un factor de seguridad en ingeniería. Estos
casos dependen de si un factor de seguridad se determina como una sola cantidad, o bien, se establece como un
conjunto de componentes.

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Caso 1. El factor de seguridad se aplica en su totalidad a la resistencia.
n
Sy
=σ
n
SSy
=τ
Cuando una pieza ya ha sido diseñada y se conocen su configuración, sus cargas y su resistencia, se calcula el factor
de seguridad con objeto de evaluar la condición segura del diseño.
Este enfoque se utiliza también cuando en un cierto elemento se ha presentado una serie de fallas o averías, y el
diseñador desea saber por qué algunas piezas no funcionan debidamente.
Según esto, de la ecuación anterior se despejará el valor de n .
Caso 2. El factor de seguridad se aplica íntegramente a la carga o los esfuerzos que resultan de esta carga.
nFFp = o bien σσ np =
Ahora pF recibe el nombre de carga permisible (o admisible), y pσ es también el esfuerzo permisible (o admisible).
Se justifica plenamente llamar también “permisible” al esfuerzo que resulta de una carga “permisible”.
Caso 3. Un factor de seguridad global o total puede descomponerse en varios componentes, y se utilizarán factores
individuales para la resistencia y para las cargas, o bien, para los esfuerzos producidos por esas cargas.
Si hay dos de ellas, por ejemplo, entonces el factor total de seguridad es:
21nnnn S=
donde:
Sn tiene en cuenta todas las variaciones o incertidumbres referentes a la resistencia
1n corresponde a todas las incertidumbres concernientes a la carga 1
2n corresponde a todas las incertidumbres que conciernen a la carga 2
Cuando se aplica un factor de seguridad, como Sn , a la resistencia, esto equivale a expresar que en circunstancias
usuales y razonables la resistencia que resulte será siempre menor. Por lo tanto, el valor mínimo de la resistencia se
calcula como:
S
mín
n
S
S =
Cuando se aplica un factor de seguridad como 1n a una carga, o al esfuerzo que resulta de la aplicación de dicha
carga, se está experimentando en realidad que la carga o esfuerzo resultantes nunca tendrán un valor mayor.
Por último es importante observar que probablemente tanto la resistencia como los esfuerzos en un elemento de
máquina variarán de punto a punto en todo el componente.
1.6 CONFIABILIDAD
La medida estadística de la probabilidad de que un elemento mecánico no falle cuando esté en servicio se llama
confiabilidad. Esta cantidad, R, tiene como medida un número situado en el siguiente intervalo:
10 <≤ R
Una confiabilidad de 90.0=R significa que hay 90% de probabilidades de que la pieza funcione adecuadamente sin
fallar. Una confiabilidad de 1=R no puede obtenerse, puesto que significa que la falla es absolutamente imposible.

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DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I MECÁNICA DE MATERIALES5
CAPÍTULO 2
MECÁNICA DE MATERIALES
2.1 INTRODUCCIÓN
Todos los sólidos, en una u otra manera, tienen las propiedades de resistencia y rigidez, o sea que, dentro de ciertos
límites son capaces, sin romperse y sin sufrir grandes variaciones en sus dimensiones geométricas, de resistir cargas.
La mecánica de materiales es la ciencia que trata de la resistencia y de la rigidez de los elementos de las estructuras.
Por los métodos de la mecánica de materiales se realizan los cálculos prácticos y se determinan las dimensiones
necesarias, seguras, de las piezas de las máquinas y de distintos tipos de estructuras.
Las bases fundamentales de la mecánica de materiales se apoyan sobre los teoremas de la mecánica general, sobre
todo de la Estática, sin conocimiento de los cuales el estudio de la mecánica de materiales sería imposible.
La diferencia entre la mecánica de materiales y la mecánica teórica consiste en que para la primera lo esencial son las
propiedades de los cuerpos deformables, mientras que las leyes del movimiento del sólido interpretado como un
cuerpo rígido no solamente pasan a un segundo plano, sino que en muchos casos simplemente carecen de
importancia.
Al mismo tiempo, teniendo en cuenta que las dos tienen mucho en común, se puede considerar a la primera como una
rama de la segunda, llamada Mecánica de los Sólidos Deformables.
La mecánica de los cuerpos deformables abarca también a otras asignaturas como la Teoría matemática de la
Elasticidad, que estudia de hecho los mismos problemas que la mecánica de materiales.
La diferencia esencial entre la mecánica de materiales y la teoría matemática de la elasticidad consiste en la manera
de enfocar el problema.
La teoría matemática de la elasticidad estudia el comportamiento de los sólidos deformables basándose sobre
planteamientos más exactos.
Por eso, al resolver los problemas resulta necesario, en muchos casos, recurrir a un modelo matemático más
complicado y realizar con frecuencia cálculos voluminosos.
Debido a esto, las posibilidades del empleo práctico de los métodos de la teoría de la elasticidad son muy limitadas, a
pesar de que ellos analizan los fenómenos de una manera más completa.
La mecánica de materiales tiene como fin la elaboración de métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de
vista práctico, de los elementos típicos, más frecuentes, de las estructuras.
Para ello se emplean diversos procedimientos aproximados.
La necesidad de obtener resultados concretos y numéricos al resolver los problemas prácticos, nos obliga en algunos
casos, a recurrir en la mecánica de materiales, a hipótesis (suposiciones) simplificadas que deben ser justificadas
comparando después los resultados del cálculo con los de los ensayos.
Al elaborar los métodos de cálculo aproximados de la mecánica de materiales se emplean también los resultados del
análisis exacto realizado por los métodos de la teoría matemática de la elasticidad.
Los fines de la mecánica de materiales, en virtud de su carácter aplicado, son más amplios que los de la teoría
matemática de la elasticidad.
El problema esencial de la mecánica de materiales consiste no solamente en determinar las particularidades interiores
de los sólidos, sino, también, en darles una interpretación correcta al juzgar sobre la capacidad de trabajo y utilización
práctica de la estructura que se analiza.
En la teoría matemática de la elasticidad este último problema no se plantea.
Entre las ciencias que estudian los problemas relacionados con los sólidos deformables, surgieron y se desarrollan en
los últimos decenios nuevas ramas de la mecánica, que ocupan un lugar intermedio entre la mecánica de materiales y
la teoría de la elasticidad, como, por ejemplo, la Teoría Aplicada de la Elasticidad.
Aparecen también asignaturas afines como la Teoría de la Plasticidad, Teoría del Escurrimiento Plástico, y otras.
Sobre las bases de las leyes fundamentales de la mecánica de materiales han sido creadas nuevas ramas de la ciencia
sobre la resistencia de orientación práctica, como la mecánica de las construcciones estructurales y de los aviones, la
teoría de la resistencia de las estructuras soldadas y muchas otras.

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Los métodos de la mecánica de materiales no permanecen inalterables sino que varían al surgir problemas y
exigencias nuevas de la práctica.
Al realizar los cálculos, los métodos de la mecánica de materiales se deben emplear de manera creadora y tener en
cuenta que el éxito del cálculo práctico radica no tanto en el empleo de un modelo matemático complicado como en la
capacidad de penetrar en el fenómeno, sino de encontrar las hipótesis más apropiadas y de llevar el cálculo a
resultados numéricos definitivos.
Puesto que los elementos de máquinas soportan cargas, de ello se deriva que un análisis de las cargas resulte
esencial en el diseño de elementos de máquinas.
La selección adecuada de un elemento de máquina es con frecuencia un asunto tan simple como calcular los esfuerzos
y deformaciones que se esperan durante el servicio del elemento y, luego, se elige el tamaño adecuado de manera que
no se excedan los esfuerzos ni las deformaciones críticos.
El primer paso para calcular los esfuerzos de un elemento de máquina es la determinación exacta de la carga.
2.2 SECCIÓN CRÍTICA
Para determinar cuando fallará un elemento de máquina, el ingeniero de diseño evalúa el esfuerzo, la deformación
unitaria y la resistencia en la sección crítica.
La sección crítica, o ubicación en el diseño donde se desarrolla la carga interna más grande y por consiguiente donde
es más probable que ocurra la falla, a menudo no se conoce intuitivamente a priori.
En general, la sección crítica ocurrirá con frecuencia en puntos geométricos no uniformes, como en el punto donde un
eje cambia su diámetro a lo largo de un filete. También, a menudo son críticos los puntos donde se aplica o se
transfiere una carga. Finalmente, las áreas donde la geometría (forma) es más crítica representan casos para su
análisis.
2.3 CLASIFICACIÓN DE CARGAS Y CONVENCIÓN DE SIGNOS
Cualquier carga aplicada se clasifica con respecto al tiempo en las formas siguientes:
1. Carga estática: La carga se aplica de manera gradual y el equilibrio se alcanza en un tiempo relativamente corto.
La estructura no experimenta efectos dinámicos.
2. Carga sostenida: La carga, como el peso de una estructura, es constante durante un largo período.
3. Carga de impacto: La carga se aplica rápidamente. Una carga de impacto usualmente se atribuye a una energía
impartida a un sistema.
4. Carga cíclica: La carga puede variar e inclusive invertirse en signo y tiene un período característico respecto al
tiempo.
Una carga también se puede clasificar respecto al área sobre la cual se aplica:
1. Carga concentrada: La carga se aplica en un área mucho menor que la del miembro que se carga. Un ejemplo
sería en contacto entre un rodillo y una viga de apoyo en un brazo de soporte mecánico, donde el área de
contacto es 100 veces menor que la superficie del rodillo. Para estos casos se puede considerar que la fuerza
aplicada actúa en un punto de la superficie.
2. Carga distribuida: La carga se distribuye a lo largo de toda el área. Un ejemplo sería el peso de la calzada de un
puente de concreto de espesor uniforme.
Las cargas además se clasifican respecto a su localización y método de aplicación. También, la dirección coordenada se
debe determinar antes de que se pueda establecer el signo de la carga:
1. Carga normal: La carga pasa a través del centroide de la sección resistente. Las cargas normales pueden ser de
tensión o de compresión. La convención de signos es tal que la carga de tensión es positiva, y la de compresión,
negativa.
2. Carga cortante: Una fuerza P (paralela a la sección) se supone colineal con la fuerza cortante transversal V. Una
fuerza cortante es positiva si la dirección de la fuerza y la dirección normal son ambas positivas o ambas
negativas. Una fuerza cortante es negativa si la dirección de la fuerza y la dirección normal tienen signos
diferentes. De esta forma, para establecer si una fuerza cortante es positiva o negativa, se deben designar las
coordenadas x e y positivas.
3. Carga flexionante: La carga se aplica transversalmente al eje longitudinal del elemento. Según sea la dirección
de la fuerza aplicada sobre el elemento, como por ejemplo, dirigida hacia abajo, los puntos situados por encima
del eje neutro de la sección soportarán esfuerzos de compresión, mientras que los situados por debajo de éste
eje, estarán sujetos a esfuerzos de tracción.

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4. Carga de torsión: Este tipo de carga somete a un elemento a un movimiento de torsión. Aquí se puede aplicar la
regla de la mano derecha para determinar su dirección y sentido.
5. Carga combinada: Resulta de una combinación de dos o más de las cargas que se definieron anteriormente.
2.4 REACCIONES DEL APOYO
Las reacciones son fuerzas que desarrollan en el apoyo.
Una forma de determinar la reacción del apoyo consiste en imaginar al elemento sujeto como si fuera trasladado o
girara en una dirección particular. Si el apoyo se opone a la traslación en una dirección dada, se desarrolla una fuerza
sobre el elemento en esa dirección.
De la misma forma, si el apoyo previene la rotación, un momento acoplado se aplica al elemento. Por ejemplo, un
rodillo previene la traslación sólo en la dirección de contacto, perpendicular a la superficie; de esta forma, el rodillo no
puede desarrollar un momento acoplado al elemento en el punto de contacto.
2.5 EQUILIBRIO ESTÁTICO
El equilibrio de un cuerpo requiere tanto un balance de las fuerzas, para prevenir que el cuerpo se traslade a lo largo
de una trayectoria recta o curva, como un balance de momentos, para prevenir que el cuerpo gire.
De acuerdo con la estática se acostumbra presentar estas ecuaciones como:
∑
∑
=
=
0
0
x
x
M
P
∑
∑
=
=
0
0
y
y
M
P
∑
∑
=
=
0
0
z
z
M
P
Con frecuencia, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo se puede representar como un sistema de
fuerzas coplanares. Si éste es el caso, la fuerza se sitúa en el plano x-y y las condiciones de equilibrio para el cuerpo
se pueden especificar con sólo tres ecuaciones:
∑ = 0xP ∑ = 0yP ∑ = 0zM
Note que el momento zM es perpendicular al plano que contiene las fuerzas. La aplicación adecuada de las
ecuaciones de equilibrio requiere de la especificación completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que
actúan sobre el cuerpo.
2.6 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Una máquina completa, cualquier elemento de máquina o cualquier parte de un elemento de máquina se representan
como cuerpos libres. Se supone un equilibrio estático en cada nivel.
La mejor forma de representar las fuerzas y momentos en las ecuaciones de equilibrio es dibujar un diagrama de
cuerpo libre. Para que las ecuaciones de equilibrio sean correctas, los efectos de todas las fuerzas aplicadas y los
momentos deben representarse en el diagrama de cuerpo libre.
Un diagrama de cuerpo libre es un esquema de una máquina, de un elemento de máquina o de una parte de un
elemento de máquina, donde se muestran todas las fuerzas actuantes, como las cargas aplicadas, las fuerzas de
gravedad y todas las fuerzas de reacción.
Las fuerzas de reacción se proporcionan por el piso, paredes, pernos, rodillos, cables y otros medios.
El signo de la reacción se supone inicialmente. Si después del análisis del equilibrio estático el signo de la fuerza de
reacción es positivo, la dirección que se supuso inicialmente es correcta; si es negativa, la dirección es opuesta a la
que se supuso inicialmente.
2.7 VIGAS APOYADAS
Una viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a su eje
longitudinal.
En general, las vigas son barras largas y rectas con área de sección transversal constante.

________________________________________________________________________________
Con frecuencia, se clasifican de acuerdo con la forma en que se apoyan:
1. Una viga simplemente apoyada está articulada en un extremo y apoyada sobre un rodillo en el otro.
2. Una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro.
3. Una viga suspendida tiene uno o ambos extremos extendiéndose libremente más allá de su(s) apoyo(s).
2.8 FUERZA Y ESFUERZO
2.8.1 FUERZA
Puede considerarse como una causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo o de
deformarlo. Las fuerzas (también llamadas cargas) se miden por los efectos que producen, es decir, a partir de las
deformaciones o cambios de movimiento que producen sobre los objetos.
Según su naturaleza, pueden ser estáticas o dinámicas. Las primeras, cuando su punto da aplicación, magnitud y
dirección no varían con respecto al tiempo, es decir, se aplican y allí se mantienen; las segundas, se refieren a
aquellas que pueden varían sus propiedades con respecto al tiempo o cuando se aplican y se retiran, y otra vez, se
aplican y se retiran, y así muchas veces, en cuyo caso se dice que la carga es repetida; éstas son capaces de producir
en los elementos un fenómeno físico conocido como fatiga.
Las fuerzas más conocidas son aquellas que producen en los elementos tracción (aumentan su longitud) o compresión
(disminuyen su longitud).
2.8.2 ESFUERZO
Uno de los problemas fundamentales en la ingeniería es la determinación del efecto de una carga sobre una parte.
Esta determinación es una parte esencial del proceso de diseño; uno no puede elegir una dimensión o un material sin
entender primero la intensidad de la fuerza dentro del componente que se analiza.
El esfuerzo es el término que se emplea para definir la intensidad y la dirección de las fuerzas internas que actúan en
un punto dado sobre un plano particular. La resistencia, por otro lado, es una propiedad del material.
2.9 CARGA AXIAL. ESFUERZO NORMAL
Cuando una carga (fuerza) es aplicada a lo largo del eje de simetría de un elemento, se dice que ésta es una carga
axial (llamada también carga normal, pues la sección donde ésta actúa, es perpendicular al eje del elemento).
Fig. 2-1 Carga axial en un elemento
Para una carga normal sobre un miembro que soporta una carga, en el cual la carga externa se distribuye
uniformemente sobre un área de la sección transversal de una parte, la magnitud del esfuerzo normal promedio se
puede calcular por medio de la ecuación:
A
P
prom =σ
La real distribución de esfuerzos en cualquier sección es estáticamente indeterminada. Para aprender más acerca de
esta distribución, es necesario tener en cuenta las deformaciones que resultan de un modo particular de aplicación de
las cargas en los extremos de la barra.
En la práctica, se supondrá que la distribución de esfuerzos normales de un elemento cargado axialmente es uniforme,
excepto en la inmediata vecindad de los puntos de aplicación de las fuerzas.
Si embargo debe notarse que el suponer distribución uniforme de esfuerzos en la sección, es decir, cuando se supone
que las fuerzas internas están distribuidas uniformemente en la sección, se sigue de Estática elemental que la
resultante de las fuerzas internas debe estar aplicada en el centroide de la sección.
Esto significa que una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las fuerzas
concentradas P y 'P (cargas de igual magnitud, sean de tensión o de compresión, aplicadas en los extremos de un
elemento) pasa por el centroide de la sección considerada.
No obstante, si un elemento de forma irregular se carga axialmente con dos fuerzas excéntricas, la distribución de
fuerzas, y la correspondiente distribución de esfuerzos, no puede ser uniforme ni simétrica.
P P

________________________________________________________________________________
*2.9.1 DEFORMACIONES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL
Fig. 2-2 Deformación en un elemento bajo carga axial
Para una barra homogénea de longitud L , sección transversal A y bajo la acción de una carga axial P en su
extremo, su deformación puede ser calculada mediante la expresión:
AE
PL
=δ
Si la barra está cargada en otras partes o si consta de varias secciones, y posiblemente, de varios materiales,
debemos dividirla en partes componentes que satisfagan individualmente las condiciones para usar la anterior
ecuación.
Llamando respectivamente iP , iL , iA y iE , la fuerza interna (de tracción o compresión), longitud, área de la sección
transversal y módulo de elasticidad que corresponde a parte i , la deformación* total de la barra será:
∑=
n
i ii
ii
EA
LP
0
*2.9.2 PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTÁTICOS)
En las secciones anteriores pudo utilizarse siempre diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio para hallar las
fuerzas internas producidas en diferentes partes de un elemento bajo condiciones de carga conocidas.
Hay muchos problemas, sin embargo, donde no es posible determinar las fuerzas internas usando únicamente la
estática. En efecto, en la mayor parte de estos problemas las mismas reacciones, que son fuerzas externas, no pueden
hallarse simplemente dibujando el diagrama de cuerpo libre del elemento y escribiendo las ecuaciones de equilibrio
correspondientes. Éstas deben complementarse con relaciones obtenidas considerando la geometría del problema que
incluyan las deformaciones.
Coma la estática no es suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas, los problemas de este tipo se
dice que son estáticamente indeterminados.
*2.9.3 PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CAMBIOS DE TEMPERATURA
Todos los elementos considerados hasta aquí permanecían con temperatura constante mientras se les cargaba. Se
estudiarán ahora situaciones que involucran cambios de temperatura.
__________
* Sería muy interesante, si es posible, que lea: DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston,
pág. 53, para aprender cómo y por qué se producen éstos desplazamientos, así como la manera de resolver problemas de este tipo.
δ
L
B
C
C
B
P

________________________________________________________________________________
Imagine una barra homogénea AB , de sección constante que descansa libremente sobre una superficie lisa. Si la
temperatura de la barra se eleva en T∆ , se observa que la barra se alarga una cantidad Tδ que es proporcional al
cambio de temperatura T∆ y a la longitud L de la barra.
Fig. 2-3 Alargamiento de una barra lisa por aumento de temperatura
Se tiene:
LTT )(∆= αδ
donde α es una constante carcterística del material, llamada coeficiente de expansión térmica, y cuyas unidades
pueden ser,
1
)(º −
C o
1
)(º −
F .
Supóngase ahora que la misma barra AB , de longitud L , se coloca entre dos soportes fijos a una distancia L el uno
del otro. En esta condición inicial no hay esfuerzo ni deformación. Si la temperatura se eleva en T∆ , la barra no
puede alargarse debido a las restricciones impuestas en los extremos; el alargamiento Tδ no se produce.
Sin embargo, los extremos ejercerán sobre la barra fuerzas iguales y opuestas P y 'P después de que la temperatura
se eleva, para evitar que se alargue. Se sigue así que se ha creado en la barra un estado de esfuerzo (sin deformación
correspondiente).
Fig. 2-4 a) Barra entre dos soportes fijos y bajo un aumento de temperatura,
b) Cálculo de la fuerza P
Cuando se intenta el cálculo del esfuerzo normal creado por el cambio de temperatura, se observa que el problema por
resolver es estáticamente indeterminado. Por tanto, se debe calcular primero la magnitud P de las reacciones de los
soportes partiendo de la condición de que el ligamiento de la barra es cero.
Tδ
L
B
B
A
A
L
)b
)a
A B
L
A B
P'P Tδ
Pδ
P
L
L B
B
A
A
BA

________________________________________________________________________________
Debido a las condiciones impuestas en los extremos, es obvio que el alargamiento total (producido por el cambio de
temperatura y la acción de las reacciones en los extremos) debe ser cero. Se tiene entonces que:
0)( =+∆=+=
AE
PL
LTPT αδδδ
de lo cual se concluye que: )( TAEP ∆−= α
y que el esfuerzo en la barra debido al cambio de temperatura es: )( TE
A
P
∆−== ασ
2.10 CARGA CORTANTE. ESFUERZO CORTANTE
Cuando una carga se aplica de forma que ésta sea paralela (o transversal) a una sección, se dice que ésta es una
carga cortante.
Fig. 2-5 Elemento sometidos a fuerzas cortantes
Dividiendo la carga cortante para el área de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante medio:
A
P
prom =τ
La distribución de los esfuerzos cortantes en la sección no puede suponerse uniforme. El valor real τ del esfuerzo
cortante varía desde cero en la superficie del elemento hasta un valor máximo máxτ que puede ser mucho mayor que
el valor medio promτ .
Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para unir diversos elementos estructurales y
componentes de máquinas. Según el número de materiales que sean unidos mediante estos elementos, se puede
tener un cortante simple o cortante doble, triple, etc.
Fig. 2-6 a) Cortante simple; b) Cortante doble
2.11 ESFUERZOS DE APLASTAMIENTO EN CONEXIONES
Tanto pernos como pasadores y remaches crean esfuerzos en los elementos que conectan, en toda la superficie de
aplastamiento o de contacto.
Como la distribución de estas fuerzas, y los esfuerzos correspondientes, es muy complicada, en la práctica se usa un
valor medio bσ , llamado esfuerzo de aplastamiento, que se obtiene dividiendo la carga para el área proyectada del
remache (u otro de los elementos antes mencionados) en el material a unir.
A B
P
'P
)b
F
'F
'P P
)a

________________________________________________________________________________
Fig. 2-7 Superficie de aplastamiento (de contacto)
Sea d el diámetro de uno de los elementos de unión y t el espesor del material a unir, entonces:
td
P
A
P
b ==σ
2.12 TORSIÓN
Los elementos sometidos a torsión se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación más común la
representan los ejes de transmisión que se usan para transferir potencia de un punto a otro, por ejemplo, de una
turbina de vapor a un generador eléctrico, o de un motor a una máquina herramienta, o del motor al eje trasero de un
automóvil. Estos ejes pueden ser sólidos o huecos.
Del mismo modo que en el esfuerzo axial, aquí, la distribución real de los esfuerzos bajo una carga dada es
estáticamente indeterminada, es decir, no puede determinarse por los métodos de la Estática.
Si embargo, habiendo supuesto que los esfuerzos normales producidos por una carga axial eran uniformemente
distribuidos, excepto en la vecindad de cargas concentradas, una hipótesis similar, con respecto a la distribución de
esfuerzos cortantes en un eje estático, sería errónea.
2.12.1 TORSIÓN EN SECCIONES CIRCULARES
Cualquier vector momento que sea colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico se llama vector momento
torsionante, debido a que la acción de tal carga hace que el elemento experimente una torcedura con respecto a ese
eje. Una barra sometida a tal momento se dice que está en torsión.
Fig. 2-8 Elemento sometido a torsión
El ángulo de torsión de una barra de sección circular es:
GJ
Tl
=θ
donde:
T = momento torsionante
l = longitud de la barra
G = módulo de rigidez
J = momento polar de inercia del área transversal
d
t
θ
L
T

________________________________________________________________________________
Debe tenerse en cuenta que, dentro de ciertos límites, el ángulo de torsión es proporcional a la longitud del eje y al
torque aplicado a éste. En otras palabras, el ángulo de torsión para un eje del mismo material y la misma sección,
pero de longitud doble, se duplicará bajo el mismo valor de torque.
En este punto debe notarse una propiedad importante que poseen los ejes circulares. Cuando se somete a torsión un
eje circular, toda sección transversal permanece plana. En otras palabras, mientras las diferentes secciones
transversales a lo largo del eje rotan diferentes cantidades, cada sección lo hace como una losa rígida.
La propiedad que se menciona es propia de los ejes circulares, sólidos o huecos; no la tienen miembros de sección no
circular. Por ejemplo, cuando una barra de sección cuadrada se somete a torsión, sus diferentes secciones se comban
y no permanecen planas.
El hecho de que las secciones de un eje circular permanezcan planas se debe a su simetría axial, es decir, su
apariencia es igual cuando se lo observa desde una posición fija y se le rota un ángulo arbitrario respecto a su eje.
Si todas las secciones del eje, de un extremo a otro, han de permanecer planas, debemos asegurar que los pares sean
aplicados de tal manera que los extremos del eje permanezcan planos y sin deformación. Esto puede lograrse
aplicando los pares T y 'T (de igual magnitud y sentido contrario) a placas rígidas sólidamente unidas a los
extremos del eje.
La ecuación anterior se obtuvo para un eje de sección circular uniforme sometido a torques en sus extremos. Sin
embargo, también pueden usarse para un eje de sección variable o para un eje sometido a torque en sitios distintos
de los extremos* (véase la figura 2-8).
La ecuación para calcular el ángulo de torsión puede usarse únicamente si el eje es homogéneo ( G constante), de
sección transversal constante y cargada sólo en sus extremos.
Si el eje está cargado de otra manera o si consta de varias porciones con diferentes porciones con diferentes secciones
y posiblemente de diferentes materiales lo debemos dividir en sus partes componentes que satisfacen individualmente
las condiciones requeridas para la aplicación de ésta ecuación.
Supóngase, por ejemplo, un eje compuesto de tres partes diferentes AB , BC , y CD . El ángulo total de torsión, es
decir, el ángulo que rota al extremo A con respecto al extremo D , se obtiene sumando algebraicamente los ángulos
de torsión de cada parte componente.
Fig. 2-9 Eje compuesto de tres partes distintas y sometido a cuatro torques diferentes
Llamando iT , iL , iJ y iG , el torque interno, longitud, momento polar de inercia de la sección y el módulo de
rigidez correspondiente a la parte i , el ángulo de torsión total del eje se expresa como:
∑=
=
n
i ii
ii
GJ
LT
0
θ
El torque interno iT en cada parte del eje se obtiene haciendo un corte a través de esa parte y dibujando el diagrama
de cuerpo libre de la porción del eje localizada a un lado de la sección.
En pocas palabras, lo que se hace es una sumatoria de torques, incluyendo el torque interno de la sección en estudio
(véase la figura 2-10 en la página siguiente).
__________
* Véase: ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, para una discusión muy completa
sobre este caso de solicitaciones.
4T
3T
2T
D
C
B
A
1T

________________________________________________________________________________
Fig. 2-10 Determinación del torque interno Ti
*2.12.2 EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
En la sección anterior se vio aprendió que para determinar los esfuerzos en un eje era necesario calcular primero los
torques internos en las diferentes partes del eje. Estos torque s se obtuvieron de la Estática dibujando los diagramas
de cuerpo libre de la porción del eje a un lado de la sección y escribiendo que la suma de los torques (incluyendo el
torque interno en ésta) era cero.
Hay situaciones, sin embargo, en que los torques internos no pueden determinarse por medio de la Estática
solamente. En efecto, en tales casos, los torques externos mismos, es decir, los torques ejercidos sobre el eje por los
soportes y conexiones no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre de todo el eje. Las ecuaciones de equilibrio
deben ser complementadas por relaciones que incluyan las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la
geometría del problema. Puesto que la Estática no es suficiente para determinar los torques internos y externos, se
dice que tales ejes son estáticamente indeterminados.
2.12.3 ESFUERZOS EN SECCIONES CIRCULARES
En el caso de una barra maciza, el esfuerzo cortante vale cero en el centro y es máximo en la superficie. La
distribución es proporcional al radio ρ , y es:
J
Tρ
τ =
Designando por r el radio de la superficie exterior, se tiene:
J
Tr
=τ
Las hipótesis empleadas en el análisis son:
1. Sobre la barra actúa un momento de torsión puro y las secciones transversales analizadas están alejadas del
punto de aplicación de la carga teniéndose un cambio de diámetro.
2. Las secciones transversales adyacentes, originalmente planas y paralelas permanecen en este estado después de
la torsión; además, toda línea radial permanece recta.
3. El material cumple con la Ley de Hooke.
En cuanto a la deformación y distribución del esfuerzo cortante, debe considerarse lo siguiente:
La deformación cortante en un eje circular varía linealmente con la distancia al centro del eje. De igual manera, el
esfuerzo cortante en el eje varía linealmente con la distancia ρ al centro del eje (véase la figura 2-11).
Fig. 2-11 Distribución del esfuerzo cortante: a) sección circular maciza, b) sección tubular
iT
BT
AT
)b
r
τ
ρ
máxτ
Rr
máxτ
ρ
τ
mínτ
)a

________________________________________________________________________________
El esfuerzo de torsión para secciones circulares macizas está dado por,
3
16
d
T
π
τ =
donde:
T = momento torsor
d = diámetro
y, para secciones tubulares,
)(
16
44
dD
Td
−
=
π
τ
donde:
T = momento torsor
d = diámetro interior
D = diámetro exterior
Por lo general, necesita determinarse el momento de torsión T a partir de la potencia a transmitir y la velocidad del
eje rotatorio. Por conveniencia, a continuación se incluyen las fórmulas correspondientes a los dos sistemas de
unidades que se emplean en ingeniería.
Para el Sistema Internacional de unidades (SI): ωTP =
donde:
P = potencia [W]
T = momento de torsión [N-m]
ω = velocidad angular [rad/s]
Pero, puede darse el caso en que se tenga como dato el valor de la frecuencia de rotación f , entonces, la velocidad
angular puede ser calculada mediante la ecuación, fπω 2= .
Para el Sistema Inglés Gravitacional:
6300033000)12)(33000(
2 TnFVTn
P ===
π
donde:
P = potencia [HP]
T = momento de torsión [lb-in]
n = velocidad de rotación [rpm]
F = fuerza en la superficie exterior [lb]
V = velocidad periférica [ft/min]
2.12.4 TORSIÓN Y ESFUERZOS EN SECCIONES NO CIRCULARES
La determinación de las tensiones en una barra de sección no circular es de por sí un problema bastante complicado
que no se puede resolver por los métodos de la Resistencia de Materiales.
La causa radica en que, en el caso de una sección no circular, la hipótesis que en el caso de una sección circular
permitió simplificar el problema sobre la invariabilidad de las secciones transversales planas, ya no es válida.
Las secciones de la barra se alabean y, en consecuencia varía notablemente la distribución de las tensiones en la
sección. Así pues, al determinar los ángulos de distorsión, es necesario tener en consideración no solamente el ángulo
de giro mutuo de las secciones, sino también la distorsión local, relacionada con el alabeo de las secciones.
El problema se complica aún más por el hecho de que en el caso de una sección no circular, las tensiones dependen ya
no solamente de una variable )(ρ , sino también de las dos x( e )y .
Como ya se ha dicho, determinar los esfuerzos por torsión en elementos de sección no circular no es muy simple; por
lo general se aborda por métodos experimentales en los que se aprovecha una analogía con membranas o películas de
jabón. No obstante, Timoshenko y MacCullough dan la siguiente fórmula aproximada para el esfuerzo torsional
máximo en una barra de sección rectangular:






+=
a
e
ae
T
máx 8.132
τ

________________________________________________________________________________
En esta ecuación a y e son el ancho y el espesor de la barra, respectivamente. Estas dos magnitudes no se pueden
intercambiar porque e debe ser la dimensión más corta. En el caso de placas delgadas sometidas a torsión, ( ae / ) es
pequeño y el segundo término puede despreciarse.
La ecuación también es aproximadamente válida para perfiles angulares de lados iguales; en estos casos se puede
considerar que se trata de dos rectángulos, de los cuales cada uno puede soportar la mitad del momento de torsión.
Alternativamente se presenta la relación*:
)( 2
ab
T
máx
α
τ =
donde:
T = momento de torsión
a = lado mayor del rectángulo
b = lado menor del rectángulo
α = depende de la relación ( ba / ); véase la tabla correspondiente
2.13 ESFUERZOS EN VIGAS
2.13.1 TIPOS DE CARGA
Sobre una viga pueden actuar fuerzas o pares situados en un plano que contiene a su eje longitudinal. Se supone que
las fuerzas actúan perpendicularmente al eje longitudinal, y que el plano que la contiene lo es de simetría de la viga.
2.13.2 EFECTOS DE LAS CARGAS
Los efectos de estas fuerzas y pares que actúan en una viga son: (a) producir deformaciones perpendiculares el eje
longitudinal de la barra y (b) originar esfuerzos normales y cortantes en cada sección de la viga perpendicular a su
eje.
2.13.3 TIPOS DE FLEXIÓN
Si se aplican pares a los extremos de la viga y no actúa en ella ninguna fuerza, la flexión se llama flexión pura.
La flexión producida por fuerzas que no forman pares se llama flexión ordinaria.
Una viga sometida a flexión pura solo tiene esfuerzos normales y no cortantes; en una sometida a flexión ordinaria
actúan esfuerzos normales y cortantes en su interior.
2.13.4 NATURALEZA DE LAS VIGAS
Es útil suponer que una viga está compuesta por infinitos cables o fibras longitudinales delgadas y cada fibra
longitudinal actúa independiente de todas las demás, esto es, que no hay presiones laterales o tensiones cortantes
entre ellas.
Imagine una viga sobre la cual actúa una carga puntual dirigida hacia abajo; ésta se deformará hacia abajo y las fibras
de su parte inferior sufrirán un alargamiento, mientras que las de las parte superior se acortarán. Estas variaciones de
longitud de las fibras producen en ellas tensiones: las que se alargan están sometidas a tensones de tracción en la
dirección del eje longitudinal de la viga, mientras que las que se acortan tienen tensiones de compresión.
2.13.5 SUPERFICIE NEUTRA
Siempre existe una superficie en la viga que contiene fibras que no sufren ni alargamiento ni reducción, por lo que no
están sometidas a ninguna tensión de tracción o de compresión. Esta superficie se llama superficie neutra de la viga.
2.13.6 EJE NEUTRO
La intersección de la superficie neutra con cualquier sección de la viga perpendicular al eje longitudinal se llama eje
neutro. Todas las fibras situadas a un lado del eje neutro están en estado de tracción, mientras que las del lado
opuesto están en compresión.
__________
* Véase: TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL NO CIRCULAR en el texto “Resistencia de Materiales” de V.I. Feodosiev, para
información más detallada del tema y conocer la tabla correspondiente.

________________________________________________________________________________
2.13.7 MOMENTO FLECTOR
La suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores a un lado de una sección cualquiera de la viga respecto
a un eje que pasa por dicha sección se llama momento flector en la misma.
2.13.8 LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO
El eje neutro pasa siempre por el centroide de la sección. Por tanto, I es el momento de inercia de la sección
respecto a un eje que pasa por su centroide.
2.13.9 FUERZA CORTANTE
La suma algebraica de todas las fuerzas verticales a un lado de una sección cualquiera de la viga se llama fuerza
cortante en esa sección.
2.14 FLEXIÓN PURA
En las secciones anteriores se analizaron los esfuerzos y las deformaciones de elementos sometidos a cargas axiales y
a momentos de torsión. Ahora se estudiarán los elementos sometidos a pares iguales y opuestos M y 'M que actúan
en el mismo plano longitudinal.
Cuando un elemento se encuentra bajo este tipo de solicitación, se dice que está sometido a flexión pura.
Fig. 2-12 Elemento sometido a flexión pura
Así, las fuerzas internas en cualquier sección transversal de un elemento sometido a flexión pura son equivalentes a
un par. El momento M de ese par se conoce como momento flector de la sección.
El reducido número de aplicaciones de ingeniería en donde se presenta flexión pura, no justifica que se le dedique
mucho tiempo a su estudio de manera profunda y minuciosa. Sin embargo, los resultados que del estudio de ella se
obtengan, pueden aplicarse al análisis de otros tipos de carga, tales como cargas axiales excéntricas y cargas
transversales.
Una vez más, la distribución de esfuerzos en una sección dada no puede obtenerse usando solamente la Estática, ya
que aquella es estáticamente indeterminada y sólo puede obtenerse analizando las deformaciones producidas en el
elemento.
Imagine que sobre una viga actúa una carga de magnitud P dirigida hacia abajo. Un análisis bastante detallado*
demuestra que la única componente del esfuerzo no nula es la componente normal xσ . Así, en cualquier punto de un
elemento, en flexión pura, se tiene un estado de esfuerzo uniaxial. Bajo estas consideraciones se tiene que, la parte
superior del elemento se encuentra a compresión (esfuerzos negativos), mientras que la inferior se encuentra a
tensión (esfuerzos positivos).
De lo anterior se deduce que debe existir una superficie paralela a las caras superior e inferior del elemento, donde las
deformaciones y esfuerzos se anulen. Esta superficie existe y se llama superficie neutra. Esta superficie neutra
interseca una sección perpendicular a lo largo de una línea recta llamada eje neutro de la sección.
*2.14.1 DEFORMACIONES
Por Resistencia de Materiales sabemos que la deformación longitudinal en la dirección x es, ρε /yx = , lo que se
concluye que la deformación longitudinal normal xε varía linealmente con la distancia y desde la superficie neutra.
__________
* Si desea conocer en detalle este análisis véase: DEFORMACIONES EN UN ELEMENTO SIMÉTRICO SOMETIDO A FLEXIÓN PURA en el texto
“Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.
'MM

________________________________________________________________________________
Esta deformación alcanza su máximo valor cuando y es máxima. Llamando c la distancia máxima a la superficie
neutra (que corresponde a la superficie superior o inferior del elemento), y máxε el máximo valor de la deformación,
se tiene que, ρε /cmáx = . Resolviendo para ρ las dos ecuaciones anteriores, se obtiene: máxx
c
y
εε =
2.14.2 ESFUERZO NORMAL
Se estudiará el caso en que el momento flector M es tal que los esfuerzos normales en el elemento permanecen por
debajo del esfuerzo de fluencia yσ . Esto implica que, para propósitos prácticos, los esfuerzos en el elemento
permanecerán por debajo del límite de proporcionalidad y también del límite elástico. No habrá deformaciones
permanentes y se podrá aplicar la ley de Hooke para el esfuerzo uniaxial.
Suponiendo que el material es homogéneo, y llamando E a su módulo de elasticidad, se tiene que en la dirección
longitudinal x :
xx Eεσ =
Multiplicando por E la última ecuación que relaciona las deformaciones longitudinales, obtenemos: máxx
c
y
σσ =
Además, puesto que el primer momento de la sección transversal con respecto al eje neutro debe ser cero, se tiene
que el eje neutro pasa por el centroide de esta sección.
Teniendo en cuenta esto último y el momento de inercia I de la sección transversal con respecto al eje centroidal
perpendicular al plano del par M , se obtiene el esfuerzo normal máximo es:
I
Mc
máx =σ
De manera general, el esfuerzo normal xσ a cualquier distancia y del eje neutro se obtiene mediante la ecuación:
I
My
x =σ
Esta se llama ecuación de flexión elástica, y el correspondiente esfuerzo normal causado por la flexión del elemento se
designa con frecuencia como esfuerzo de flexión. Se verifica que para un momento en el sentido de movimiento de las
agujas de un reloj, el esfuerzo es de tensión por encima del eje neutro, y de compresión por debajo de éste; para un
momento de sentido contrario al de las agujas de un reloj, se tiene lo contrario a lo anteriormente dicho.
Este resultado muestra que, en el rango elástico, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia al plano neutro.
Fig. 2-13 Distribución de esfuerzos normales producidos por flexión
Volviendo a la ecuación que proporciona el esfuerzo de flexión máximo, se nota que la razón cI / depende sólo de la
geometría de la sección transversal. Esta relación se denomina módulo elástico de la sección y luego, entonces:
c
I
w = ⇒
w
M
máx =σ
Como el esfuerzo máximo es inversamente proporcional al módulo elástico, es claro que las vigas deben diseñarse con
un w tan grande como sea práctico.
NE.
Tracción
Compresión

________________________________________________________________________________
Sin embargo, en el caso particular de una viga de sección rectangular de dimensiones ).( hb , donde b es la base y h
su altura, algunos valores grandes de la razón hb / pueden producir inestabilidad en la viga.
2.14.3 CARGA AXIAL EXCÉNTRICA EN UN PLANO DE SIMETRÍA
En la sección 2.9 se estudió que, la distribución de esfuerzos en la sección transversal de un elemento sujeto a carga
axial puede considerarse uniforme sólo si la línea de acción de las cargas P y 'P (de igual magnitud y de igual
sentido u opuesto) pasa por el centroide de la sección. Se dice que dicha carga es céntrica.
Ahora se estudiará la distribución de esfuerzos cuando la línea de acción de las fuerzas no pasa por el centroide C , es
decir, cuando la carga es excéntrica.
Fig. 2-14 Elemento sometido a la acción de una carga axial excéntrica
Las fuerzas internas que actúan en una sección transversal dada pueden representarse por una fuerza F aplicada en
el centroide C de la sección y un par 'M que actúa en el plano de simetría del elemento.
Fig. 2-15 Sistema fuerza-par para el elemento de la figura 2-14
Las condiciones de equilibrio del cuerpo libre AC requieren que la fuerza F sea igual y opuesta a 'P y que el
momento del par M sea igual y opuesto al momento de 'P con respecto a C . Llamando d la distancia desde C
hasta la línea de acción AB de las fuerzas P y 'P , se tiene:
PF = y PdM =
Se observa que las fuerzas internas, en la sección, hubieran estado representadas por la misma fuerza y el mismo par
si la porción recta DE del elemento AB se hubiera separado de AB y sometido simultáneamente a las fuerzas
céntricas P y 'P , y a los pares de flexión M y 'M .
Fig. 2-16 Fuerzas internas actuantes en la sección C
Así, la distribución de esfuerzos debida a la carga excéntrica original puede obtenerse superponiendo la distribución
uniforme del esfuerzo correspondiente a las cargas céntricas P y 'P y la distribución lineal correspondiente a los
pares flectores M y 'M . Se escribe:
flexiónxcéntricaxx )()( σσσ ±±=
En esta ecuación, un signo positivo muestra un esfuerzo de tensión y uno negativo, un esfuerzo de compresión.
ED
d
C
BA
'PP
ED
'MM
'PCP
'M
C
P 'PF =
M
D
→
C
d
A
'M
F
P

________________________________________________________________________________
Para un punto situado en la parte superior de la sección C , tenemos:
I
My
A
P
x −=σ
El primero de ellos corresponde a un esfuerzo normal de tensión, mientras que el segundo, corresponde a un esfuerzo
de compresión por flexión.
La relación obtenida muestra que la distribución de esfuerzos en la sección es lineal pero no uniforme.
Fig. 2-17 Distribución de esfuerzos para un punto ubicado en la parte superior de la sección C
Es de importancia mencionar lo que sucede con la localización del eje neutro en dos situaciones diferentes para la
distribución de esfuerzos:
1. Cuando se tiene un esfuerzo normal de tensión mayor que uno de compresión por flexión, resulta la
distribución de esfuerzos mostrada en la figura 2-17. Se nota que no existe un eje neutro en la sección
(puesto no existe un valor de esfuerzo igual a cero).
2. Ahora bien, cuando se tiene un esfuerzo de compresión por flexión mayor a uno de tensión normal, la
distribución de esfuerzos resulta como se muestra en la figura siguiente. En ésta se observa que ahora existe
un eje neutro (el valor de esfuerzo en este eje es cero) pero que no coincide con el eje centroidal de la
sección, ya que 0≠xσ para 0=y (véase la figura 2-18).
Fig. 2-18 Distribución de esfuerzos para un punto ubicado en la parte superior de la sección C
Los resultados obtenidos serán válidos sólo hasta el punto que se satisfagan las condiciones de aplicación del Principio
de Superposición* y del Principio de Saint Venant**. Esto implica que los esfuerzos no deben exceder el límite de
proporcionalidad del material, que las deformaciones por la flexión no deben afectar apreciablemente la distancia d en
la figura 2-15 y que la sección transversal donde se calculan los esfuerzos no esté muy próxima a los puntos de
aplicación de las cargas. El primero de estos requisitos muestra claramente que el método de superposición no puede
aplicarse a deformaciones plásticas.
2.14.4 CASO GENERAL DE CARGA AXIAL EXCÉNTRICA
En la sección anterior se analizaron los esfuerzos producidos en un elemento por una carga axial excéntrica aplicada
en un plano de simetría del elemento. Se estudiará ahora el caso más general, cuando la carga axial no está aplicada
en un plano de simetría.
__________
*, ** Sería muy adecuado que el lector vea: CARGA MULTIAXIAL. LEY GENERALIZADA DE HOOKE y DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
BAJO CARGA AXIAL. PRINCIPIO DE SAINT VENANT, respectivamente, en el texto “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston, para
información adicional.
CCC = xσxσ
y y y
xσ
+
CC
xσxσ
yyy
xσ NE.
C

________________________________________________________________________________
Considérese un elemento recto AB sujeto a cargas axiales excéntricas iguales y opuestas P y 'P , y sean a y b
las distancias de la línea de acción de las fuerzas a los ejes principales centroidales de la sección transversal del
elemento.
Fig. 2-19 Elemento sometido a caso general de carga axial excéntrica
La carga excéntrica P es estáticamente equivalente al sistema que consta de una fuerza céntrica P y de dos pares
yM y zM de momentos aPM y = y bPM z = representados en la figura 2-19b. Análogamente, la fuerza
excéntrica 'P equivale a la fuerza céntrica 'P y los pares 'yM y 'zM .
En virtud del principio de Saint Venant, puede reemplazarse la carga original de la figura 2-19a por la estáticamente
equivalente de la figura 2-19b para determinar la distribución de esfuerzos en una sección C del elemento, siempre
que dicha sección no esté muy cerca de un extremo del elemento.
Además, los esfuerzos debidos a la carga de la figura 2-19b pueden obtenerse superponiendo los esfuerzos
correspondientes a la carga axial céntrica P y a los pares flectores 'yM y 'zM , siempre que las condiciones del
principio de superposición se satisfagan.
Para un punto situado en la parte superior de la sección C , los vectores pares están dirigidos a lo largo de los ejes
principales centroidales de esta sección. Por tanto:
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM
A
P
+−=σ
en donde y y z se miden desde los ejes principales centroidales de la sección. La relación obtenida muestra que la
distribución de esfuerzos en la sección es lineal.
2.15 CARGA TRANSVERSAL. FLEXIÓN TRANSVERSAL
2.15.1 CARGA TRANSVERSAL
Uno de los ejemplos más comunes de carga transversal ocurre cuando un elemento horizontal, conocido como viga, se
somete a cargas verticales. Las cargas pueden ser concentradas o distribuidas o una combinación de las dos.
2.15.2 FLEXIÓN TRANSVERSAL
En la sección 2.13.3 se mencionó que este tipo de flexión era producida por fuerzas que no forman pares, y que era
capaz de producir esfuerzos normales y cortantes.
Los esfuerzos normales se originan por razones muy similares a los producidos por flexión pura, de manera que todas
las ecuaciones anteriormente obtenidas pueden ser aplicadas en este caso.
)b)a
z
y
x
P
'P
C
B
b
a
A
'zM
zM P
'P B
A
z
y
x
C
yM
'yM

________________________________________________________________________________
En lo que respecta al esfuerzo cortante, éste puede ser calculado mediante la expresión*:
bI
VQ
=τ
donde:
V : fuerza cortante ][N
AyQ = : momento estático de una sección ubicada sobre el eje neutro ][ 3
m
- A , área de dicha sección ][ 2
m
- y , distancia desde el centroide de A hasta el eje neutro ][m
b : ancho de la sección A ][m
I : momento de inercia de A con respecto a su centroide ][ 4
m
Para una viga de sección rectangular, la distribución del esfuerzo cortante es una función parabólica. Su valor es cero
a lo largo de las partes superior e inferior de la viga, mientras que alcanza su valor máximo en el eje neutro.
Fig. 2-20 Distribución de esfuerzos cortantes producidos por flexión en una viga de sección rectangular
Es necesario aclarar que, aunque Q es máximo para 0=y , no puede concluirse que τ será máximo a lo largo del
eje neutro ya que depende tanto del ancho b de la sección como de Q . Esto se nota, por ejemplo, en una viga de
sección trapezoidal. ¿Cómo varía el esfuerzo en este caso? Esto último queda a disposición del interesado.
2.16 ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
Hasta aquí se ha aprendido a calcular esfuerzos en elementos sometidos a carga axial céntrica, momentos torsores
(torques), momentos flectores y los debidos a carga transversal.
Ahora, y como se verá en los respectivos problemas, el conocimiento adquirido puede combinarse para determinar los
esfuerzos en elementos de máquinas en condiciones de solicitaciones bastante generales.
Considérese, por ejemplo, el elemento flexionado ABDE , de sección circular, sometido a varias.
Fig. 2-21 Elemento sujeto a la acción de cargas combinadas
__________
* Si desea conocer cómo se obtiene esta expresión véase: DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO PROMEDIO en el texto “Mecánica de Materiales” de
A. Bedford y K. Liechti.
6F
A
B
D
E
K
1F
2F
3F
4F
5F
máxτNE.

________________________________________________________________________________
Para determinar los esfuerzos producidos en un punto K por las cargas dadas, se hará primero un corte en este
punto y se determinará el sistema de fuerza-par, en el centroide C de la sección que se requiere para mantener el
equilibrio de la parte ABK *. Este sistema representa las fuerzas internas en la sección y consta, en general, de tres
componentes de fuerza y tres vectores pares que se supondrán dirigidos como se ilustra en la figura 2-22.
Fig. 2-22 Sistema que representa las fuerzas internas en una sección C del elemento de la figura 2-21
Se observa que P es una fuerza axial céntrica que produce esfuerzos normales en la sección. Los pares yM y
zM hacen que el elemento se flexione produciendo también esfuerzos normales en dicha sección. El esfuerzo normal
xσ en el punto K es la suma de los esfuerzos producidos por la fuerza y los pares. Por otra parte, el par de torsión
T y las fuerzas cortantes yV y zV producen esfuerzos cortantes en la sección.
Nuevamente, los resultados obtenidos serán validos sólo hasta el punto en que las condiciones del principio de la
superposición y del principio de Saint Venant se cumplan.
Esto implica que los esfuerzos implícitos no deben exceder el límite de proporcionalidad del material, que las
deformaciones debidas a una de las cargas no deben afectar la determinación de los esfuerzos debidos a las otras, y
que la sección usada en el análisis no debe estar muy cercana a los puntos de aplicación de las fuerzas dadas.
Es claro, de acuerdo con el primero de estos requisitos, que el método presentado aquí no se aplica a deformaciones
plásticas.
*2.17 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
En las secciones anteriores, el análisis se limitó a vigas estáticamente determinadas. De igual manera, cuando las
ecuaciones de la Estática no son suficientes para determinar los valores de las fuerzas actuantes (sean externas o
internas) en un elemento, se dice que la viga es estáticamente indeterminada.
Sin embargo, recuerde de las primeras secciones que en un problema hiperestático pueden obtenerse las reacciones
considerando las deformaciones de la estructura incluida. Debe por tanto, procederse con el cálculo de la pendiente y
la deformación a lo largo de la viga.
Puesto que un estudio sobre este tema**queda fuerza del propósito de este texto (pues se supone que el lector tiene
conocimientos sobre éste por sus cursos de Resistencia de Materiales) lo que se necesitará es, disponer de tablas que
muestren toda la información para calcular la pendiente y deformación en una viga bajo cualquier tipo de solicitación.
*2.18 CONCEPTOS ADICIONALES SOBRE SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS
Si se pueden determinar los valores de todas las fuerzas exteriores o interiores que actúan sobre un elemento,
solamente mediante las que ecuaciones del equilibrio estático, el sistema de fuerzas es estáticamente determinado
(isostático).
En muchos casos, las fuerzas que actúan sobre un elemento no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la
Estática, porque hay más fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio. En este caso, el sistema de fuerzas es
estáticamente indeterminado (hiperestático).
__________
* El sistema fuerza-par en C puede definirse también como un sistema equivalente de las fuerzas que actúan en la porción KDE del elemento.
** Si necesita recordar algunos aspectos sobre este tema véase: VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS en el texto “Mecánica de Materiales”
de F. Beer y R. Johnston.
zV
zMyV
T
K
2F
1F
3F
CA
B
P
yM

________________________________________________________________________________
En los sistemas hiperestáticos, la determinación de todas las fuerzas desconocidas o, como se dice, la superación de la
hiperestaticidad, resulta posible solamente planteando ecuaciones que completen el número de las ecuaciones de la
Estática hasta igualarlo al número de incógnitas. Estas ecuaciones adicionales reflejan las particularidades geométricas
de las ligaduras impuestas a los sistemas deformables y, convencionalmente, se denominan ecuaciones de los
desplazamientos.
2.19 PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS
Por lo general, los problemas de Diseño siempre son estáticamente determinados, más, si se presentasen problemas
hiperestáticos, sería conveniente que el lector acuda a un excelente texto de Resistencia o Mecánica de Materiales,
para obtener información más completa sobre estos temas. Como tal aconsejamos leer el texto “Mecánica de
Materiales” de F. Beer y R. Johnston.
2.20 DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y DE MOMENTOS FLECTORES
El diseño de una viga con base en su resistencia requiere primero que se determinan su esfuerzo cortante y su
momento máximo.
Una forma de hacerlo es expresando la fuerza cortante transversal V y el momento M como funciones de una
posición arbitraria x a lo largo del eje de la viga. Estas funciones de cortante y momento, entonces, se pueden
graficar como diagramas de cortante y de momento a partir de los cuales se pueden obtener los valores máximos de
V y M . Sin embargo, encontrar estas funciones puede resultar un proceso demasiado largo y en ocasiones,
dependiendo del sistema de cargas, bastante complicado.
Un procedimiento un poco más sencillo, consiste en dibujar estos diagramas utilizando el Método de Áreas, el cual se
deriva de las relaciones matemáticas siguientes:
dx
dV
w =− y
dx
dM
V =
Al integrar la primera de estas dos ecuaciones entre dos posiciones distintas de la viga, por ejemplo entre Ax y Bx ,
se obtiene:
AB
x
x
V
V
VVdxwdV
B
A
B
A
−== ∫∫ *
que establece que el cambio en la fuerza cortante desde A hasta B es igual al área del diagrama de carga
entre Ax y Bx .
De manera semejante,
AB
x
x
M
M
MMdxVdM
B
A
B
A
−== ∫∫ *
Indica que el cambio en el momento flexionante desde A hasta B es igual al área del diagrama de fuerza
cortante entre Ax y Bx .
* 2.21 VALORES MÁXIMOS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR
De igual manera, en un problema de Diseño lo que se busca es determinar los máximos esfuerzos que se producen en
elementos sometidos a cualquier tipo de solicitación. Sin duda esto es muy importante ya que, al encontrar estos
esfuerzos y compararlos con el esfuerzo permisible que posee un material, seremos capaces de determinar cuan
seguro es el elemento que hemos diseñado (dimensionado) para su respectiva aplicación.
Entonces, por lo anteriormente mencionado, lo que se requiere es determinar los máximos esfuerzos (tanto normales
como cortantes) producidos por flexión; luego, en las ecuaciones para los respectivos esfuerzos se deben tomar en
consideración: la fuerza cortante máxima y el momento flector máximo, valores que se obtienen de sus respectivos
diagramas.
2.22 COMENTARIOS FINALES
Un estudio mucho más detallado acerca del esfuerzo, se realizará en el capítulo 4 de este texto.
Terminamos de esta manera una revisión rápida a los conceptos fundamentales de la Mecánica de Materiales.

________________________________________________________________________________
PROBLEMAS RESUELTOS
ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
PROBLEMA 1
Para el sistema que se muestra a continuación, determine el punto que se encuentra sometido al efecto de varias
solicitaciones. (Sugerencia: traslade todas las cargas que actúan en el punto A al punto C).
SOLUCIÓN:
En Diseño, es muy frecuente el análisis de sistemas semejantes al que se muestra en la figura.
Los efectos que producen las cargas en ambos elementos son muy similares y, además dependientes, es decir, resulta
que el efecto que se produce en el uno, inevitablemente se producirá en el otro.
Sin embargo, un punto de todo el sistema estará siempre sujeto a mayores solicitaciones, ¿por qué?
En la figura se muestra que el elemento AB está bajo la acción de tres cargas puntuales Fx , Fy y Fz (todas ellas
en el punto A ), así como los distintos efectos que las mismas producen al ser trasladadas a los puntos B y C .
PUNTO B :
Al llevar Fx a este punto, el elemento AB sufre la acción de un momento flexionante con respecto al plano
xz , cuyo valor está dado por 1* LFxMxz = (s.r).
De manera semejante, al trasladar Fy a este punto, el elemento AB sufre la acción de un momento
flexionante, pero ahora con respecto al plano yz , y cuyo valor está dado por 1* LFyMyz = (s.r).
Tómese muy en cuenta que el momento flexionante Myz ahora se ha convertido en un momento torsor con
respecto al elemento BC , de manera que: MyzTyz = (s.r).
Por Estática, Fz se lleva al punto en cuestión al moverla sobre su línea de acción, sin producir ningún tipo de
momento (la distancia perpendicular ha este punto es cero).
PUNTO C :
Por Estática, Fx se lleva ha este punto al moverla sobre su línea de acción, sin producir ningún tipo de
momento (la distancia perpendicular ha este punto es cero), pero ahora, ésta es capaz de producir un
esfuerzo de tensión, es decir, trata de estirar el elemento BC .
z
x
y

________________________________________________________________________________
Al trasladar Fy a este punto, el elemento BC sufre la acción de un momento flexionante, ahora con
respecto al plano xy , y cuyo valor está dado por 2* LFyMxy = (s.r), pero además, ésta es capaz de
producir un esfuerzo de corte.
Finalmente, al llevar Fz ha este punto, el elemento BC sufre la acción de un momento flexionante, pero
ahora con respecto al plano xz , y cuyo valor está dado por 2* LFzMxz = (s.r).
Se habrá de notar que, tanto Fx como Fz producen momentos flexionantes con respecto al plano xz .
Llamando 1Mxz al momento flexionante producido por Fx y, 2Mxz al momento flexionante producido por
Fz , el momento total producido con respecto al plano xz es: MxzMxzMxz =+ 21 , puesto que
ambos momentos tienden a hacer que el elemento BC gire en sentido horario.
De manera similar, el momento total producido en el plano xy es igual a Mxy , puesto que en este caso
particular, no existe otro momento en este plano que sea causado por una de las otras dos fuerzas presentes.
Finalmente, este punto estará sujeto a la acción de un:
- momento resultante
22
)()( MxzMxyM += ,
- momento torsor MyzTyz = y,
- esfuerzos de tensión y de corte.
OBSERVACIONES:
Como los momentos flexionantes y momentos torsores son vectores libres, se deberán sumar
algebraicamente para obtener un momento flexionante o momento torsor total con respecto al plano
donde actúan.
Para encontrar el momento resultante, lo que se hace es aplicar el Teorema de Pitágoras con todos los
momentos totales actuantes en cada plano.
Para los momentos torsores, únicamente se calcula los momentos torsores totales, más no los resultantes, ya
que estos últimos requieren del uso del Teorema de Pitágoras, y estas magnitudes no presentan motivo para
su aplicación.
Las siglas (s.r) y (s.c.r) significan, respectivamente, que el elemento gira en sentido de las manecillas del
reloj o, que el elemento gira en sentido contrario de las manecillas del reloj. Las primeras suelen considerarse
positivas y las segundas negativas, aunque esto puede ser arbitrario.
Finalmente, sería ya necesario en este momento acudir a textos de Resistencia de Materiales* para recordar
temas relacionados con esfuerzos.
____________________
* Para una excelente información acerca de estos temas, véase el texto: “Mecánica de Materiales” de F. Beer y R. Johnston.

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 2
Para el elemento que se muestra a continuación, determine el punto que se encuentra sometido al efecto de varias
solicitaciones. (Sugerencia: traslade todas las cargas que actúan en el punto A, al punto D).
SOLUCIÓN:
Ahora se utilizará un método bastante simple (aunque muy poco conocido) para resolver este tipo de problemas.
Este método se basa principalmente en considerar cierta propiedad vectorial de los momentos flectores y momentos
torsores*, a saber, considerarlos como vectores libres**.
Al realizar este procedimiento, lo que se logra es observar directa y fácilmente los efectos que se producen en el punto
más crítico de un elemento.
Entonces, los efectos que se producen en el punto D son:
FUERZA Fx :
Momento flexionante con respecto al plano xy , cuyo valor está dado por 11 * LFxMxy = (s.c.r).
Momento flexionante con respecto al plano xz , cuyo valor está dado por 21 * LFxMxz = (s.c.r).
Esfuerzo de tensión, al actuar sobre su línea de acción.
FUERZA Fy :
Momento torsor con respecto al plano yz , cuyo valor está dado por 21 * LFyTyz = (s.c.r).
Momento flexionante con respecto al plano xy , cuyo valor está dado por 32 * LFyMxy = (s.r).
Esfuerzo de corte, al actuar sobre su línea de acción.
FUERZA Fz :
Momento torsor con respecto al plano yz , cuyo valor está dado por 12 * LFzTyz = (s.r).
Momento flexionante con respecto al plano xz , cuyo valor está dado por 32 * LFzMxz = (s.r).
Esfuerzo de corte, al actuar sobre su línea de acción.
____________________
* Ciertamente, debido a la manera como estas magnitudes se originan, los momentos flectores y momentos torsores son cantidades vectoriales.
** Llamados así cuando su punto de aplicación (origen) se traslada a cualquier punto del espacio, sin alterar el efecto de su acción.
Fy
x
y
z
1L
2L
3L
Fx
Fz
A
B
C
D

________________________________________________________________________________
MOMENTOS FLEXIONANTES TOTALES:
Respecto al plano xy , su valor está dado por 21 MxyMxyMxy +−= .
Respecto al plano xz , su valor está dado por 21 MxzMxzMxz +−= .
MOMENTOS TORSORES TOTALES:
Respecto al plano yz , su valor está dado por 21 TyzTyzTyz +−= .
MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE:
El valor está dado por
22
MxzMxyM += .
OBSERVACIONES
En ambos problemas se han considerado los esfuerzos axiales (de tensión o compresión) y los esfuerzos
tangenciales (de corte), aunque no se han dado las relaciones correspondientes para determinar sus valores.
Es importante, sin duda alguna, mencionar que la flexión y la torsión también producen esfuerzos. La primera
de ellas produce un esfuerzo de tipo axial (de tensión o compresión), y la segunda, esfuerzo tangencial o de
corte. Las relaciones para todos los tipos de esfuerzos mencionados anteriormente se analizarán en detalle
más adelante.
PROBLEMA 3*
Para la figura a), halle los esfuerzos normal y cortante en los puntos H y K de la sección transversal del elemento
BD de radio 20=c mm. Suponga que todos los esfuerzos permanecen por debajo del límite proporcional del
material.
SOLUCIÓN:
Momento de Inercia de una sección
Suponga que la fuerza F actúa sobre una sección rectangular (de dimensiones hb. ) como se indica en la figura. La
sección tiende a “rotar” sobre el eje aa − , el cual pasa por el centroide C de la misma.
____________________
* Excepto por algunos cambios e información complementaria, los problemas 3 y 4 han sido tomados del texto “Mecánica de Materiales”
de F. Beer y R. Johnston, por ser muy completos e ilustrativos.
F
b
h
a
a
C
kNP 151 =H
K
mmb 60= mma 50=
D
B
A
kNP 182 =
K
zM
D
F
V
T
yM
H
)a )b

________________________________________________________________________________
Entonces, por Dinámica, sabemos que el momento de inercia con respecto a un eje que para por el centroide de una
sección rectangular es:
3
12
1
bhIaa =
Fuerzas internas en la sección HK
Primero se reemplaza 1P y 2P por un sistema equivalente aplicado en el centro C de la sección que contiene los
puntos H y K .
Este sistema, que representa las fuerzas internas de la sección, consta de las siguientes fuerzas y pares (véase la
figura b):
1. Una fuerza axial céntrica F igual a 1P de magnitud: kNPF 151 ==
2. Una fuerza cortante V igual a 2P de magnitud: kNPV 182 ==
3. Un par de torsión T de torque igual al momento de 2P con respecto al eje del elemento:
mNaPT .900.2 ==
4. Un par flector yM de magnitud igual al momento de 1P con respecto al eje vertical que pasa por C :
mNaPM y .750.1 ==
5. Un par flector zM de magnitud igual al momento de 2P con respecto al un eje transversal y horizontal que
pasa por C : mNbPM z .1080.2 ==
Propiedades geométricas de la sección
49
4
49
4
232
103.251
2
,107.125
4
,10257.1 mx
c
Jmx
c
IImxcA Gzy
−−−
=======
ππ
π
Esfuerzos en H
Se observa que en H la fuerza céntrica F y el par flector zM , producen esfuerzos normales xσ , y que el par de
torsión T causa un esfuerzo cortante horizontal xzτ . Por otra parte, el par flector yM no produce esfuerzos
normales en H , ya que está en el eje neutro correspondiente y el cortante vertical V no produce cortante en H ,
puesto que H está en la parte superior de la sección.
Determinando el signo de cada esfuerzo se tiene:
MPaemplazando
I
cM
A
F
x
z
z
flexiónxcéntricoxx
8.183:Re
.
)()(
−=
−−=+=
σ
σσσ
Mpaemplazando
J
Tc
xz
G
torsiónxzxz
6.71:Re
)(
=
==
τ
ττ
xzτ
mNM .1080=
yM
x
y
z
V
kNF 15=
mNT .900=
C
xσ

________________________________________________________________________________
La fuerza F produce compresión en la sección, por lo tanto, el signo de su respectivo esfuerzo es negativo.
Ahora bien, como el elemento flexiona debido al par flector zMM = en el plano xy en (s.c.r), el punto H * se
encuentra también sometido a un esfuerzo de compresión, razón por la cual, el signo de su respectivo esfuerzo normal
de flexión deberá ser negativo.
Nótese que este último punto se encuentra “por debajo” del eje neutro de la sección (eje z ), a través del cual actúa
el par flector zMM = .
Esfuerzos en K
Se observa que la fuerza céntrica F y el par flector yM , producen los esfuerzos normales xσ en K , y que el par
T y la fuerza cortante V causan los esfuerzos cortantes verticales xyτ .
Teniendo en cuenta aspectos muy similares a los descritos para el punto H se escribe:
MPaemplazando
I
cM
A
P
x
y
y
x 4.107:Re =+−= σσ
Para calcular los esfuerzos cortantes debidos ha V , se debe calcular el primer momento Q y el ancho t de la
sección. De la Estática elemental, π3/4cy = para un semicírculo de radio c , se tiene:
mtemplazandocty
mxQemplazandoc
c
cy
A
Q
040.0:Re2
1033.5:Re
3
2
3
4
2
1
2
3632
==
==











== −
π
π
Se escribe:
MPaemplazando
tI
VQ
Vxz
z
Vxz 1.19)(:Re)( =+= ττ
Notando que torsiónxztorsiónxy )()( ττ = , se tiene:
MPaemplazando xytorsiónxyVxyxy 5.52:Re)()( −=−= ττττ
____________________
* Sería muy oportuno que el estudiante recordase el capítulo de Esfuerzos Combinados, dado en el curso correspondiente de Sólidos II.
xyτ
xσ
x
y
z
mNT .900=
mNM y .750=
zM
kNV 18=
kNF 15=
y

________________________________________________________________________________
PROBLEMA 4
Se aplican tres fuerzas a los puntos A , B y D de un poste corto de acero, como se muestra en la figura a).
Sabiendo que la sección horizontal del poste es un rectángulo de mmx14040 , halle los esfuerzos normales y
cortantes en H .
SOLUCIÓN:
Fuerzas internas en la sección EFG
Se reemplazan las tres fuerzas aplicadas por un sistema equivalente fuerza-par en el centro C de la sección
rectangular EFG (véase la parte b) de la figura anterior).
Se tiene:
mkNmkNM
mkNmkNmkNM
kNVkNPkNV
z
x
zx
.3)100.0)(30(
.5.8)200.0)(75()130.0)(50(
755030
==
−=−=
−==−=
Se observa que no hay momento de torsión con respecto al eje y . Las propiedades geométricas de la sección
rectangular son:
463
463
23
10747.0)040.0)(140.0(
12
1
1016.9)140.0)(040.0(
12
1
106.5)140.0)(040.0(
mxmmI
mxmmI
mxmmA
z
x
−
−
−
==
==
==
Esfuerzos normales en H
Se nota que los esfuerzos normales yσ son producidos por la carga céntrica P y por los pares flectores xM y zM .
Nuevamente, el signo de cada esfuerzo se determina examinado el esquema del sistema fuerza-par en C .
La fuerza P ejerce un esfuerzo de tracción y por ello el signo de éste es positivo (véase la figura b).
El elemento flexiona debido al par flector zM en (s.c.r) y, como el punto en cuestión se encuentra “por encima” del
eje neutro de la sección (eje z ), éste se ve sujeto a un estado de tracción, por lo tanto, el signo de su respectivo
esfuerzo normal por flexión debe ser positivo.
)a
G
H
B
A
kN75
mm20
mm70
mm140
mm25
kN30
mm100
x
y
z
mm130
mm200
mm40
kN50
D
E
F
C
zV
xV
xM
zM
G
x
y
z
E
F
H
P
)b

________________________________________________________________________________
Finalmente, el elemento flexiona debido al par flector xM en (s.r) y, como el punto en cuestión se encuentra “por
debajo” del eje neutro de la sección (eje x ), éste se ve sujeto a un estado de compresión, por lo tanto, el signo de su
respectivo esfuerzo normal por flexión debe ser negativo.
Tomando en consideración la figura siguiente:
obtenemos:
MPaemplazando
I
bM
I
aM
A
P
y
x
x
z
z
y 66:Re =−+= σσ
Esfuerzos cortantes en H
Considérese primero la fuerza cortante xV . Se advierte que 0=Q con respecto al eje z , ya que H está en el
borde de la sección. Así xV no produce cortante en H . La fuerza zV sí produce cortante en H y se escribe:
Tomando en consideración la figura siguiente:
obtenemos:
MPaemplazando
tI
QV
mxQemplazandoyAQ
yz
x
z
yz 52.17:Re
105.85:Re 36
11
==
== −
ττ
G
H
C
Fz
m040.0
m140.0
x
mkNMx .5.8=
ma 020.0=
mb 025.0=
mkNMz .3=
E
x
my 0475.01 =
yzτ
zV
C
H
1A
m025.0
m045.0
mt 040.0=
z

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