Este documento presenta una introducción al pensamiento geométrico y analítico, describiendo cómo la geometría y el análisis son enfoques complementarios. Luego resume las principales curvas cónicas (hipérbola, elipse, parábola, circunferencia), detallando los elementos geométricos clave de cada una y sus ecuaciones. Finalmente, introduce conceptos como gráficas de cónicas, ecuaciones de cónicas y geometría analítica.

1. Unidad 3: Pensamiento
geométrico y analítico
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Curso: Algebra, trigonometría y geometría analítica.
Estudiante: Luis Fernando Jiménez Arrieta
Código: 1123998992
Tutor : Stevenson Lions
21/11/23

2. INTRODUCCIÓN
El pensamiento geométrico y analítico es fundamental en
matemáticas, abordando dos enfoques complementarios: la
geometría, que se centra en las formas, tamaños y sus
propiedades, y el análisis, que utiliza herramientas como el
álgebra y el cálculo para comprender y resolver problemas
geométricos de manera más abstracta y generalizada. Esta
combinación de enfoques permite comprender la relación entre
las formas y sus representaciones numéricas, proporcionando
herramientas poderosas para resolver una amplia gama de
desafíos matemáticos y aplicaciones en diversos campos.

3. Pensamiento geométrico y
analítico
El pensamiento geométrico involucra
la comprensión y la manipulación de
formas, tamaños y espacios. Mientras
tanto, el pensamiento analítico se
centra en el uso de la lógica y las
matemáticas para resolver problemas,
a menudo utilizando ecuaciones y
coordenadas para analizar datos o
situaciones.

4. Hipérbola
Es Una curva abierta en forma de dos ramas simétricas, donde la
diferencia de las distancias de cualquier punto a dos puntos fijos
(llamados focos) es constante.
Los elementos principales de una hipérbola son:
- Centro: El punto central alrededor del cual la hipérbola está
simétricamente colocada.
- Ejes: Dos líneas rectas que se cruzan en el centro de la hipérbola,
llamados ejes transverso y conjugado. El eje transverso es el más largo
y pasa por los vértices de la hipérbola, mientras que el eje conjugado
es perpendicular al eje transverso y determina la distancia entre las
ramas de la hipérbola.
- Vértices: Puntos en los extremos del eje transverso de la hipérbola. La
distancia entre los vértices es constante y determina la apertura de la
hipérbola.
- Asíntotas: Líneas rectas que la hipérbola se aproxima a medida que se
aleja hacia el infinito. Ayudan a visualizar el comportamiento de la
hipérbola en el infinito.

5. Elipse
Una curva cerrada y simétrica alrededor de dos ejes perpendiculares,
donde la suma de las distancias de cualquier punto a dos puntos fijos
(focos) es constante.
Elementos:
- Centro: Punto central alrededor del cual la elipse está simétricamente
colocada.
- Ejes Mayores y Menores: Dos ejes perpendiculares que se cruzan en el
centro de la elipse. El eje mayor es el más largo y determina la longitud
máxima de la elipse, mientras que el eje menor es perpendicular al eje
mayor y define la longitud más corta de la elipse.
- Vértices: Los puntos en los extremos del eje mayor de la elipse.
- Focos: Dos puntos fijos dentro de la elipse que tienen una propiedad
especial: la suma de las distancias desde cualquier punto en la elipse a los
dos focos es constante.
- Excentricidad: Un valor que mide la forma de la elipse. Para una elipse,
la excentricidad es menor que 1 pero mayor que 0.

6. Parábola
Una curva abierta en la que todos los puntos están a la misma distancia de un punto
fijo (el foco) y una línea fija (la directriz).
Elementos:
- Eje de Simetría: Es una línea recta que pasa por el vértice de la parábola y es
perpendicular a su directriz. La parábola es simétrica con respecto a este eje.
- Vértice: Punto de la parábola donde se encuentra el eje de simetría. Es el punto más
cercano (o más alejado) de la directriz.
- Directriz: Una línea recta que está a una distancia fija del vértice de la parábola. Los
puntos de la parábola están siempre a la misma distancia del vértice y la directriz.
- Foco: Un punto especial dentro de la parábola. La distancia entre cualquier punto de
la parábola y el foco es igual a la distancia entre ese punto y la directriz.
- Ramas de la Parábola: Las secciones de la parábola que se extienden en dirección
opuesta desde el vértice. Pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o
hacia la izquierda.

7. Circunferencia
Una curva cerrada en la que todos los puntos están a la misma distancia de un
punto central fijo. En otras palabras, es una forma especial de una elipse con ejes
iguales.
Elementos característicos de la circunferencia:
- Centro: Punto central en el plano desde el cual todas las partes de la circunferencia
están equidistantes. Se representa usualmente como ((h, k)) en la forma general de
la ecuación de la circunferencia.
- Radio: Distancia constante desde el centro de la circunferencia hasta cualquier
punto de la circunferencia misma. Se denota como (r) en la ecuación de la
circunferencia.
- Diámetro: Es la línea que atraviesa el centro de la circunferencia y cuya longitud es
igual a dos veces el radio.
- Circunferencia en su forma ecuacional: La ecuación general de la circunferencia es
((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2) donde ((h, k)) es el centro y (r) es el radio.
Una característica clave de la circunferencia es que todos los puntos en ella están a la
misma distancia del centro. Esto la distingue de otras figuras geométricas y tiene una
serie de propiedades geométricas y matemáticas únicas, como la relación constante
entre su diámetro y su circunferencia.

8. Gráficas de las cónicas
Representaciones visuales de las curvas descritas por las
ecuaciones de las cónicas (hipérbola, elipse,
circunferencia, parábola).
Elementos de las cónicas:
Las cónicas se definen mediante una ecuación algebraica
general, que puede escribirse en la forma general:

9. Ecuaciones de las cónicas
Las ecuaciones que describen
matemáticamente las formas de las
cónicas en el plano, como las formas
estándar de la ecuación de una
elipse, hipérbola, circunferencia o
parábola.

10. Geometría Analítica
Una rama de las matemáticas que
combina la geometría con métodos
algebraicos, especialmente el uso de
coordenadas para resolver
problemas geométricos.

11. ▷ Todo de la Hipérbola: qué es, elementos, ecuación, ejercicios
resueltos, ejemplos,... (geometriaanalitica.info)
Ecuación de la Elipse (fisicalab.com)
¿Cuáles son los Elementos de la Parábola? (Partes) (lifeder.com)
¿Cuáles son los 7 Elementos de la Circunferencia? (lifeder.com)
Referencias bibliográficas