Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas)

1. Plano Numérico
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial De Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo. Lara
Integrante:
Heliscar Zuhair
Romero Linarez
C.I:28712576
PNF Turismo S0102

2. Plano Numérico o Cartesiano
• El plano numérico o cartesiano, también conocido como plano coordenado
o sistema de coordenadas cartesianas, es un sistema bidimensional
utilizado en matemáticas para representar puntos en un espacio mediante
pares ordenados de números reales.
• El plano cartesiano consiste en dos ejes perpendiculares entre sí: el eje
horizontal, que se denomina eje x, y el eje vertical, que se denomina eje
y. Estos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes: el primer cuadrante
está en la esquina superior derecha, el segundo cuadrante en la esquina
superior izquierda, el tercer cuadrante en la esquina inferior izquierda y el
cuarto cuadrante en la esquina inferior derecha.
• El punto donde los dos ejes se cruzan se denomina origen y se representa
como el par ordenado (0,0). Cada punto en el plano cartesiano se
representa mediante un par ordenado (x, y), donde "x" es la coordenada en
el eje horizontal (eje x) y "y" es la coordenada en el eje vertical (eje y).

3. Distancia entre dos puntos
• La distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se puede
calcular utilizando la fórmula de la distancia euclidiana. Si tienes dos
puntos con coordenadas (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la distancia entre ellos,
denotada como d, se puede calcular de la siguiente manera:
• Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras aplicado a un
triángulo rectángulo formado por los dos puntos y la línea que los
conecta.

4. Punto Medio
• El punto medio de un segmento
de línea en un plano cartesiano es
el punto que se encuentra
exactamente en el centro del
segmento, dividiéndolo en dos
partes iguales. Para encontrar el
punto medio de un segmento de
línea con los puntos extremos
dados (x₁, y₁) y (x₂, y₂), puedes
usar la fórmula del punto medio,
que es la media aritmética de las
coordenadas de los extremos.
• La fórmula para encontrar el
punto medio, denotado como (xₘ,
yₘ), es la siguiente:

5. Ecuaciones y trazado de circunferencias
• Una circunferencia es el lugar geométrico
de todos los puntos en un plano que están a
una distancia fija (llamada radio) de un
punto fijo (llamado centro).
Matemáticamente, una circunferencia se
puede definir como el conjunto de puntos
(x, y) en un plano cartesiano que satisfacen
la ecuación:
• (x – h)2 + (y – k)2 = r2
Donde:
• (h, k) son las coordenadas del centro de la
circunferencia.
• r es el radio de la circunferencia.
• Para trazar la circunferencia, puedes seguir
estos pasos:
• 1. Identificar el centro y el radio: Si tienes la
ecuación de la circunferencia en la forma
estándar (x – h)2 + (y − k)2 = r2, identifica las
coordenadas del centro (h, k) y el radio r.
• 2. Dibujar el centro: Marca el punto en el
plano cartesiano que corresponde al centro
((h, k).
• 3. Trazar el radio: Dibuja una línea desde el
centro hasta cualquier punto de la
circunferencia. Este segmento tendrá una
longitud igual al radio r.
• 4. Dibujar la circunferencia: Utilizando el radio
como guía, dibuja la circunferencia alrededor
del centro marcado. Puedes hacer esto
marcando puntos equidistantes alrededor del
centro con una separación igual al radio.

6. Ecuaciones de un Parábola
Parábola: Una parábola es el conjunto
de puntos en un plano que están
equidistantes de un punto fijo llamado
foco y una línea fija llamada directriz.
La ecuación general de una parábola
en forma estándar es:
• Para una parábola con eje vertical:
(x − h)2 = 4p (y − k)
• Para una parábola con eje
horizontal:
(y − k)2 = 4p (x − h)
Donde:
(h, k) son las coordenadas del vértice
de la parábola.
p es la distancia entre el vértice y el
foco (o la directriz, ya que son iguales
en una parábola).
Los elementos principales de una parábola
son los siguientes:
• Foco: Es un punto fijo en la parábola.
La distancia entre el vértice y el foco
es la misma que la distancia entre el
vértice y cualquier punto en la
parábola.
• Directriz: Es una línea recta fija
ubicada a una distancia fija del vértice
de la parábola. La distancia entre el
vértice y la directriz es igual a la
distancia entre el vértice y el foco.
• Eje de simetría: Es una línea recta que
pasa por el vértice y es perpendicular
a la directriz. La parábola es simétrica
con respecto a este eje.
• Longitud del lado recto: Es la
distancia perpendicular entre la
directriz y el foco. Es igual a la
distancia entre el vértice y cualquier
punto en la parábola.
• Parámetro (p): Es la distancia entre el
vértice y el foco (o la directriz), y se
utiliza para definir la apertura y la
posición de la parábola.
• Vértice: Es el punto más bajo (en una
parábola con concavidad hacia arriba) o
más alto (en una parábola con concavidad
hacia abajo) de la parábola. Este punto
es donde la parábola cambia de
dirección.

7. Ecuaciones de un Elipse
• Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano
cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos)
es constante. Las ecuaciones generales de una elipse son:
• Los elementos principales de una elipse son los siguientes:
• Centro: Es el punto central de la elipse, donde se cruzan
sus ejes de simetría. Se denota comúnmente como (h, k).
• Semiejes: Son la mitad de la longitud del eje mayor y el
eje menor. Se denotan como a y b, respectivamente.
• Excentricidad (ε): Es una medida de la "desviación" de la
elipse de ser un círculo perfecto.
• Ejes:
• Eje mayor: Es el segmento que conecta los puntos
más alejados de la elipse a lo largo de su dirección
más larga. Tiene longitud 2a.
• Eje menor: Es el segmento que conecta los puntos
más cercanos de la elipse a lo largo de su dirección
más corta. Tiene longitud 2b.
• Focos: Son dos puntos fijos dentro de la elipse. La
suma de las distancias desde cualquier punto de la
elipse hasta los dos focos es constante.
• Distancia focal: Es la distancia entre el centro de la
elipse y uno de los focos. Se denota comúnmente
como c.
• Directrices: Son dos líneas perpendiculares a los ejes
que definen la forma de la elipse. La distancia entre
el centro y cada directriz es igual a e/a, donde e es
la excentricidad.
• Apertura: Es la distancia entre las dos ramas de la
elipse a lo largo de su eje mayor.

8. Ecuaciones de La Hipérbola
• Una hipérbola es una curva cónica que resulta de cortar
un cono con un plano de tal manera que las dos partes
resultantes sean una abertura simétrica una de la otra.
Tiene dos ramas que se extienden indefinidamente hacia
fuera.
Elementos de una hipérbola:
1. Centro: Es el punto central de la hipérbola, donde se cruzan
sus ejes de simetría. Se denota comúnmente como (h, k).
2. Ejes:
• Eje transverso: Es el segmento que conecta los vértices de la
hipérbola a lo largo de su dirección más larga. Tiene longitud
2a.
• Eje conjugado: Es el segmento perpendicular al eje
transverso y que pasa por el centro de la hipérbola. Tiene
longitud 2b.
3. Focos: Son dos puntos fijos dentro de la hipérbola. La
diferencia de las distancias desde cualquier punto de la
hipérbola hasta los dos focos es constante.
4. Asíntotas: Son líneas rectas que pasan por el centro de la
hipérbola y se acercan a las ramas de la hipérbola a medida que
se extienden. La ecuación de las asíntotas depende de la
orientación de la hipérbola.
5. Excentricidad (ε): Es una medida de la "desviación" de la
hipérbola de ser una circunferencia perfecta.
6. Distancia focal: Es la distancia entre el centro de la hipérbola
y uno de los focos. Se denota comúnmente como c.

9. Representar gráficamente las ecuaciones de las
cónicas
• Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las
curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un
cono y un plano, si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en
cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
• Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono:
parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3).

10. Tipos
En función de la relación existente entre
el ángulo de conicidad (a) y la inclinación
del plano respecto del eje del cono (B),
pueden obtenerse diferentes secciones
cónicas, a saber:
B < a: Hipérbola (naranja)
B = a: Parábola (azul)
B > a: Elipse (verde) TIPOS
B = 90°: Circunferencia (un caso
particular de elipse) (rojo)
B = 180°: Triangular
• Si el plano pasa por el vértice del cono, se
puede comprobar que:
• Cuando B > a la intersección es un único
punto (el vértice).
• Cuando B = a la intersección es una recta
generatriz del cono (el plano será tangente
al cono).
• Cuando B < a la intersección vendrá dada por
dos rectas que se cortan en el vértice.
• Cuando B = 90°, el ángulo formado por las
rectas irá aumentando a medida B
disminuye, cuando el plano contenga al eje
del cono (ß = 0).

11. Ejercicio para resolver:
• Considera la ecuación de una circunferencia en su forma estándar:
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 4
1. Encuentra las coordenadas del centro de la circunferencia.
2. Calcula el radio de la circunferencia.
3. Grafica la circunferencia en un plano cartesiano.