Hola. Reintento publicar algunos artículos de interés. Espero les sirvan para alguna referencia. Bendiciones a todos

1. Sobre las dimensiones
Por el Prof. R. Moreno
Soy Rafael Moreno. Soy ciudadano de un hermoso pueblo de
una hermosa isla en medio de un inmenso océano. Y disfruto la gran
bendición de tener una mente curiosa. Una mente que divaga através
de incontables mundos. Siempre quise ser astronauta, pero desistí de
la idea cuando pagué unas cuantas vueltas en una de esas máquinas
gigantes que formaban parte de las atracciones de uno de esos
parques de diversiones al que asistí. Me mareé tanto que llegué a la
conclusión de que el oficio de astronauta no era opción para mí.
Aun así el universo en sí mismo se presentaba ante mis ojos
como una gran obra de arte. Los contrastes, las sombras, las formas,
y las dinámicas parecían desplegar todas las cualidades de una obra
de gran renombre. La Última Cena, La Gioconda, Van Gogh, Dalí...
Es sorprendente pensar en la técnica que usa un pintor para presentar
una gran cantidad de información en un lienzo de dos dimensiones.
Digo dos dimensiones, pues para apreciar la pintura hay que
verla de frente. No estamos acostumbrados a reflexionar sobre algo
tan obvio. Pero es sorprendente que una pintura sobre un lienzo
plano, presente paisajes con profundidad. Una técnica, llamada
perspectiva, da la ilusión de estar mirando a través de una ventana.
Se puede notar si algún objeto está lejos, cerca, arriba, abajo.
También se aprecia si el objeto es grande o pequeño. Colores,
texturas, formas de todo tipo quedan preservadas en un lienzo plano.
Es más, no tiene sentido verla de lado. Adelantando un poco, pienso
que un paisaje de tres dimensiones se conserva en una superficie de
solo dos dimensiones. Entonces, ¿que es una dimensión?
La dimensión es la propiedad del espacio, que permite que este
sea medido. Imaginemos un trozo de hilo para tejer. Si lo
extendemos, podemos determinar cuantos centímetros o pulgadas
hay de un extremo al otro con una simple medición. A la medida
obtenida se le llama longitud. Si solo medimos en una dirección,

2. decimos que el objeto posee una dimensión.
Pensemos ahora que ese hilo se usa para tejer un mantel. Si
extendemos ese paño notaremos que cubre una mesa o parte de ella.
Se puede medir cuantas pulgadas tiene de ancho y cuantas pulgadas
tiene de largo. El ancho y el largo son medidas ortogonales.
Significa que se miden a noventa grados una de la otra. Decimos que
el mantel es un objeto en dos dimensiones.
Imaginemos ahora que el mantel es doblado para coserlo en sus
bordes. Luego, se rellenan con algodón para formar un cojín.
Ademas de poder medir el largo y el ancho, el cojín tiene un espesor,
el cual se mide perpendicularmente al ancho y al largo. Entonces,
decimos que el cojin tiene tres dimensiones. Si en lugar de un cojín,
usáramos como ejemplo una caja para zapatos, veríamos algo así,
como en la figura #1.
En el mundo cotidiano le damos nombre a esas dimensiones.
Aquí les hemos llamado largo, ancho y espesor. En otras ocasiones
les llamamos longitud, altitud, profundidad, alcance, distancia,
extensión, entre otros. En todo caso, las dimensiones encierran en sí
las propiedades geométricas de todo objeto, incluyendo al mismo
espacio.
Las dimensiones son útiles para orientarnos y localizar objetos.
Con referencias adecuadas, podemos encontrar la posición exacta de
LARGO
ANCHO
ESPESOR
Figura 1. Dimensiones de una caja.

3. cualquier cosa en un espacio determinado. Usemos la superficie de
la Tierra para el siguiente ejemplo. Si queremos saber la posición
exacta de un explorador en la cima de la montaña más alta del
planeta, es decir el Everest, necesitamos encontrar la latitud y la
longitud. La latitud nos dice cuan al Norte o cuan al Sur está el
Everest, mientras que la longitud nos dice cuan al Este o al Oeste
está. Llamamos a la latitud y a la longitud coordenadas, porque
presentan una localización en la superficie de la Tierra. Por eso son
dos números. Si a esto añadimos la altura del Monte Everest, un
tercer número, estaríamos señalando, con gran precisión, la posición
del escalador , no solo en la superficie terrestre, sino también sobre
esta. En este caso estaríamos hablando de
*Latitud: 27º 59' N
*Longitud: 86º 56' E
*Altitud: 8.848 m
Hasta ahora hemos hablado de nuestras tres dimensiones más
conocidas. Como describen propiedades del espacio, se les llama
dimensiones espaciales. Un ejercito de matemáticos quiso investigar
si se podían describir objetos, aunque fuese en nuestra imaginación,
que se movieran en un espacio de cuatro dimensiones.
Matemáticamente no hay nada que impida que las haya. Solo se
requiere que todas se conecten en ángulos rectos (90 ). Como se dice⁰
en buen lenguaje geométrico sean perpendiculares entre si.
En el siglo XIX, el profesor Charles Howard Hinton(1853-
1907) decía que para describir objetos que tengan más de tres
dimensiones espaciales, las cualidades asociadas a las dimensiones
adicionales tienes que ser descritas de la misma manera que para las
tres dimensiones conocidas.
Howard Hinton también decía que objetos de dos dimensiones

4. sí podían experimentar movimientos en tres dimensiones. De la
misma forma que una hoja de papel puede moverse en el viento,
todo objeto plano puede trasladarse de un lugar a otro en el espacio.
Seres como nosotros, tridimensionales podemos experimentar
movimientos en una dimensión mayor. Esto implica que se necesita
una cuarta dimensión para que esto se pueda lograr. No podemos ver
esta cuarta dimensión pero percibimos cambios y movimientos en
nuestras tres dimensiones.
En el siglo XIX, muchas personas pensaron en este asunto de la
cuarta dimensión. Se les ocurrió que esta cuarta dimensión no era del
espacio, sino que tenía otra naturaleza. Científicos y matemáticos
como Lorentz, Minkowski, Einstein, Hilbert, Poincaré entre otros, se
dieron cuenta de que nos movemos realmente sobre una línea
contínua (hasta ahora) que llamamos tiempo. Nuestra existencia está
ubicada sobre un tejido muy especial que llamaríamos Espacio-
Tiempo. Minkowski estableció, que las coordenadas se completan
incluyendo la dimensión del tiempo. Si aplicamos este concepto a
nuestro escalador, por ejemplo a las 9:00 AM, hora universal, sus
coordenadas ahora serían
*Latitud: 27º 59' N
*Longitud: 86º 56' E
*Altitud: 8.848 m
*Tiempo: 9:00 AM , Hora Universal
Muchas veces (y espero no recordarle a mis lectores malas
experiencias de la clase de matemáticas) dibujamos estas
dimensiones usando rectas perpendiculares. Para un espacio uni-
dimensional usamos una recta de referencia. Les llamamos eje
coordenado o recta numérica, porque cada punto de esa recta tiene
asignado un número, al igual que las marcas de una regla. Si

5. cruzamos dos rectas numéricas se obtiene un plano coordenado
o Cartesiano(fig. 2) en honor a René Descartes(1596-1650), quien
hizo grandes aportaciones a las matemáticas y a la filosofía en
general.
Figura 2: Plano coordenado o cartesiano.
(Imagen generada por CARMETAL)
La figura 2 presenta el plano coordenado, mostrando los ejes de
referencia ( llamados x y y). Las coordenadas del cruce de los ejes
son las más importantes, pues nos indican dónde están las
coordenadas (0,0).Por eso a ese par se le llama el origen. Las demás
coordenadas indican que tan cerca o lejos se encuentran del origen.
Al igual que en el ejemplo del mapa, se necesitan dos (2) números
para encontrar un punto en el plano cartesiano, uno que se refiera al
horizontal (x) y otro que se refiera al vertical (y). Por eso decimos
que el plano es un espacio bi-dimensional.
La figura 3 nos presenta un espacio tri-dimensional, añadiendo
un eje de referencia adicional, al que llamaremos (z). Como ven, la
dirección (x) está marcada en rojo, la dirección (y) está marcada en
verde, y la dirección (z) está marcada en azul, siendo el origen(la
coordenada (0,0,0) el punto de partida de las tres direcciones.
x(horizontal)
y(vertical)
III
III IV
0

6. Figura 3: Objeto en tercera dimensión
(Imagen construida con K3D-Surf)
A veces es difícil dibujar un objeto tridimensional en una hoja
de papel. Sin embargo, con cierta imaginación y arte se puede crear
la impresión de una tercera dimensión(3D). Si tuvieramos un cubo
transparente pero con bordes (aristas) bien definidas, se podría

7. proyectar una sombra sobre una superficie. Siguiendo esa sombra se
obtiene un dibujo del cubo en una hoja plana.(Vea la figura 4)
Figura 4: El cubo que flota sobre la plataforma
proyecta una sombra en la hoja plana
(cortesía de LARAPEDIA.com)
En el campo de la geometría se consideran figuras geométricas
que existen en espacio de cuatro dimensiones espaciales. Por
ejemplo se pueden hacer representaciones de hipercubos en la
tercera dimensión. Aunque es difícil imaginarlo sobre papel, se
puede trazar como la sombra de las cuatro dimensiones en la tercera
dimensión. (ver figura 5).
figura 5: Hipercubo en 4 D rotando
Cortesía de Google Images

8. Con una idea más clara de lo que es una dimensión, concluimos
que existimos en un universo de tres dimensiones espaciales (hasta
ahora). Si incluimos el tiempo le añadimos una dimensión
temporal, elevando a cuatro(4) el total de dimensiones hasta ahora.
La pregunta es ¿hay más dimensiones? Algunos teóricos de la
física y las matemáticas han planteado la posibilidad de más
dimensiones espaciales. Posiblemente quedaron enroscadas en
tamaños tan pequeños como las partículas subatómicas, millones de
veces aún más pequeños. Una de las propuestas de las teorías de
cuerdas es que existen diez dimensiones; una temporal, tres(3)
desplegadas y seis(6) enroscadas(ver figura 6)
Figura 6: Teoría de Cuerdas (Supercuerdas).
La figura a la derecha muestra una
simulación por computadora de un
espacio-tiempo multidimensional.
(Credit: Jean-Francois Colonna)

9. Finalmente, es importante aclarar que hablar de dimensiones es
referente al espacio-tiempo, y las medidas asociadas con este. La
cultura popular le ha dado otros significados a la palabra dimensión.
En ocasiones se piensa que las dimensiones son algo así como
universos paralelos o incluso niveles de un mundo espiritual. De
cualquier manera, si no comprendemos nuestro propio universo,
¿Cómo sería posible entender otros?
Rafael Moreno
Profesor de Matemáticas
Caribbean University
Ponce Campus.