Ponencia presentada en “ENTREFORMAS, X CONGRESO NACIONAL, VII INTERNACIONAL, Y I MUNDIAL de la SOCIEDAD DE ESTUDIOS MORFOLÓGICOS DE LA ARGENTINA SEMA”, realizado en la Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo (FADU), de la Universidad de Buenos Aires (UBA), Argentina, del 15 al 18 de septiembre de 2015. Los Congresos SEMA tienen como objeto convocar a investigadores de la Morfología a disertar sobre un tema específico, siendo el llamado para esta versión 2015 la presentación de ponencias en torno al concepto de ENTREFORMAS. Nuestra ponencia presenta un ensayo de visualización denominado Tabla de Universos Dimensionales, en el cual se realiza una indagación sobre espacios de diferente clave dimensional, como instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto de la materia física como la existencia, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades, bien sea rigorosamente matemáticas, o de especulación metafísica. Es una mirada entre encrucijadas para develar que en el universo de las formas existen otras lecturas diferentes a los tradicionales “punto, línea, plano, etc.”. Se reconocen conjuntos de formas que representan particularidades y diferencias de los universos dimensionales, proporcionando una herramienta taxonómica para establecer relaciones entre formas y la variable dimensión. En esta mirada se identifican las siguientes entreformas: protoformas, contraformas, hiperformas, cuasiformas y tempoformas. Esta argumentación es el resultado del desarrollo del tercer tópico de nuestro proyecto de investigación dimension1ar, denominado “Grupos dimensionales de formas”.

1. Entre Formas: Teoría, Investigación, Concreciones y Experiencias.
Congreso de ARS Buenos Aires, 2015
ENTRE UNIVERSOS DIMENSIONALES:
PROTOFORMAS, CONTRAFORMAS, HIPERFORMAS,
CUASIFORMAS Y TEMPOFORMAS
LUIS JAVIER ECHEVERRI VÉLEZ
Nombre: Luis Javier Echeverri Vélez, Arquitecto Diseñador, (n. Cali, Colombia, 1955).
Dirección: Escuela de Arquitectura, Facultad de Artes Integradas, Universidad del Valle. Oficina 3025,
Edificio 380, Sede de Meléndez. Cali, Colombia. E-mail: luis.echeverri@correounivalle.edu.co
Áreas de interés: morfología, diseño básico, expresión gráfica, imagen digital.
Publicaciones: Echeverri, Luis J. “Fractales como metáfora visoespacial de un escenario pedagógico”.
SEMA 2013 Forma i Realidad: libro de resúmenes. Universidad Nacional de Mar del Plata. Argentina, 2013.
Resumen: Mediante un ensayo de visualización denominado Tabla de Universos
Dimensionales se hace una indagación sobre espacios de diferente clave dimensional,
como un instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto de la materia física como
la existencia, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades,
bien sea rigorosamente matemáticas, o de especulación metafísica. Es una mirada entre
encrucijadas para develar que en el universo de las formas existen otras lecturas
diferentes a los tradicionales “punto, línea, plano, etc.”. Se reconocen conjuntos de
formas que representan particularidades y diferencias de los universos dimensionales,
proporcionando una herramienta taxonómica para establecer relaciones entre formas y
la variable dimensión. En esta mirada se identifican las siguientes entreformas:
protoformas, contraformas, hiperformas, cuasiformas y tempoformas.
1 INTRODUCCIÓN
La Fig. 1, Tabla de Universos Dimensionales, y que es el objeto de esta ponencia, es un
ensayo de visualización de posibles universos dimensionales dependiendo de su clave
dimensional, como un instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto física como
existencial, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades,
bien sea matemáticas, o de especulación metafísica. En la tabla se ha graficado en una
matriz bidimensional la posición relativa de algunos espacios físicos de dimensiones

2. superiores e inferiores, positivas y negativas. Esta matriz en un arreglo tridimensional,
se intersecta con otra correspondiente a un espacio de Minkowsky, como dos cintas que
concurren en sus dimensiones físicas comunes, en tanto se separan a partir de la
dimensión temporal que es potestativa a los diagramas de espacio-tiempo de
Minkowsky. El objeto de este instrumento visual es identificar las entreformas que
habitan dichos espacios, agrupadas por características dimensionales que les son
comunes, para una mejor comprensión de su función y significado.
2 PROTOFORMAS
En la intersección de las dos matrices referidas (en su parte inferior derecha), se sitúan
los familiares espacios 0D, 1D, 2D y 3D, que constituyen el espectro visible de la Tabla
de Universos Dimensionales, y sus respectivas formas: punto, línea, plano y volumen. A
estas formas las llamaremos protoformas, entendidas como las formas básicas,
originales, hipotéticas, de las que proceden todas las demás. Esta preeminencia es a la
Figura 1: Tabla de Universos Dimensionales

3. que alude Paul Klee en su célebre estudio de los “caminos primarios hacia la forma”. En
una aproximación filosófica categórica, Aloé (2013) las caracteriza como «“matrices
existenciales” sobre las cuales se articulan la multiplicidad de “acaeceres” de las
distintas colectividades».
3 CONTRAFORMAS
En la parte superior izquierda de la Tabla de Universos Dimensionales se encuentra la
región de los universos negativos, si es que existe algo como ello. Siguiendo la
implacable lógica matemática se adjudica el valor -1 al vacío, en alusión a la ausencia
de materia, por lo que todos los espacios subsiguientes serán también negativos. Y
aunque pareciera no ser del todo clara la idea de dimensiones negativas, es cierto que la
topología ha incursionado en ello desde hace rato, así sea por pruritos estéticos y no
exclusivamente matemáticos. Fue en la década de 1960 que se configuró la idea de
espectro, siendo este último la generalización de un espacio que permite dimensiones
negativas (Wolcott, 2013). Sobre éstas se refiere Mandelbrot como “inevitables”, en una
conferencia sobre dimensiones fractales negativas de 1989. Ahora bien, puede que las
“dimensiones negativas” no contengan “formas negativas”, pero si rastros originales de
“otras formas”, lo que permite suponer que existe una relación entre protoformas de
dimensión positiva y sus correspondientes negativas. Por tanto desde la dimensión -0
hasta la -, se ubican los espacios que aquí llamaremos negativos, y a sus habitantes,
contraformas.
La gran singularidad de esta serie es el valor negativo de la clave dimensional (-0D). En
la aritmética ordinaria, el número 0 no tiene signo, de modo que -0, 0 y +0 son
idénticos. Sin embargo, en muchas situaciones de la vida práctica es dado utilizar esa
distinción, lo que en matemáticas se conoce como una línea con dos orígenes, como
sucede en algunos protocolos de computación. La utilidad aquí del 0 negativo es la
recomposición simétrica entre espacios positivos y negativos que precisa de una
acepción contextual para un punto sin materia, esto es, vacío,
Las contraformas son singularidades en el vacío y actúan como contraparte de las
protoformas. Este enfoque, de si estructuralista, tiene importantes connotaciones
filosóficas ampliamente expuestas en las disertaciones de Norberg-Schulz, primero, en
su construcción sobre un sistema de espacios (1971), y, posteriormente, en su estudio de
un sentido del lugar (1980). Partiendo de la idea de que para que una forma exista, se
precisa de otra que la referencie, en una interpretación estética de esta singularidad
topológica denominamos a esta región el universo de los espacios contextuales. En este
último, y siguiendo con la serie de los números enteros negativos -0D, -1D, -2D y -3D,
se hallan el punto negativo, la línea negativa, el plano negativo, y el volumen negativo.
A estos espacios y en virtud de su particularidad contextual, los denominamos lugar,
camino, territorio y universo, teniendo su correspondencia en las protoformas punto,
línea, plano y volumen respectivamente.

4. 4 HIPERFORMAS
Siguiendo el orden de los enteros positivos y por arriba de la dimensión 3, se encuentra
en la Tabla de Universos Dimensionales los llamados espacios de dimensión superior,
la región de los hiperespacios y sus respectivas hiperformas, cuyas protoformas son los
hipervolúmenes 4D, 5D, 6D, etc. Estas formas se caracterizan por ser válidas desde su
realidad matemática, más no sensorial, ya que no son representables, tan solo en la
sombra o proyección en alguna dimensión menor del universo visible. Por ejemplo el
hipercubo que es un volumen 4D se construye en 3D como un arreglo de 8 prismas
conseguidos de la inserción de un cubo en otro, con sus vértices correspondientes
unidos por aristas, o proyectado en el espacio de 2D por una figura compuesta de 32
aristas. Finalmente sería dado suponer hiperespacios negativos en universos de -6, -7,
...-n dimensiones, los cuales por escaparse de cualquier aprehensión sensorial, no
entramos a considerar.
5 CUASIFORMAS
Otro conjunto de singularidades de la Tabla de Universos Dimensionales viene
determinado por los espacios intersticiales que se ubican entre una dimensión y otra,
como una clase intermedia que no alcanza a ser la protoforma de ninguna de las dos
dimensiones concurrentes. Así ubicadas entre las series de números que dan lugar a la
dimensión topológica, hay espacio para las dimensiones fractales. Por ejemplo, entre el
0 y el 1, existe un infinito número de espacios de dimensión decimal, igualmente entre
el 1 y el 2, o el 3 y 4, o cualquier par de números enteros positivos o negativos. A estos
espacios corresponden las cuasiformas que aquí hemos adjetivado con el término cuasi
(cuasilínea, cuasiplano, etc.), para indicar la insuficiencia de su cobertura o incapacidad
para cubrir un espacio entero (Dimensión de Hausdorff-Besicovitch). Ahora, desde un
punto de vista representativo resulta posible visualizar fractales, aquellos que
pertenecen a la porción del espectro visible comprendida entre 0D y 3D, quedando así
acotado su espectro visible. Descartamos el rango entre -1D y 0D, ya que si el punto
perteneciente a la dimensión 0D no resulta visible, es imposible visualizar físicamente
un cuasipunto, y menos aún las formas fractales por debajo de la dimensión -1. Igual
sucede con las formas fractales arriba del universo 3D, que pertenecerían a la clase de
los cuasihipervolúmenes. Sin embargo desde una perspectiva matemática tanto el uno
como las otras son absolutamente válidas.
6 TEMPOFORMAS
Finalmente se completa la Tabla de Universos Dimensionales introduciendo la
dimensión temporal para generar la matriz de los espacios temporales del universo
existencial, conocidos en matemáticas como espacios de Minkowsky. Se produce
entonces en el encuentro de la variable temporal con cada variable física, un suceso o
espacio dimensional diferente, a saber:

5.  -0D+1T: La existencia (1T) en ausencia de materia (-0D), que remite a
connotaciones metafísicas tradicionales de la gran mayoría de culturas
humanas (el más allá), presuponiendo algo así como un universo espiritual.
 0D+1T: La existencia (1T) con presencia de materia imperceptible (0D), como
sucede en los agujeros negros.
 1D+1T: Una idea aproximada de un suceso unidimensional (1D) moviéndose
en el tiempo (1T) es la luz, como en el efecto visual que producen los rayos
láser, técnica muy utilizada como recurso escenográfico.
 2D+1T: El plano (2D) más el tiempo (1T), es la dimensionalidad de
fenómenos visuales animados como las imágenes videomagnéticas o
cinematográficas.
 3D+1T: Las tres dimensiones físicas (3D) más la temporal (1T), configuran el
espacio existencial, culminación en complejidad de las formas del espectro
visible. Comprende todas las protoformas de los universos dimensionales
anteriores reconsideradas desde una perspectiva existencial. Parafraseando a
Heidegger (1954), esas simples “cosas”, se transmutan a una categoría más alta
como es la de espacios, en los cuales es posible: “estar con la cosa, o en la
cosa, o ir o venir hacia o desde la cosa”, es decir, en una imbricación
perceptiva y espacial entre “cosa” y ser humano.
 1T: Es la opción en la cual no existen dimensiones físicas, tan solo la
dimensión temporal (1T). En esta situación no es posible ningún fenómeno
físico ni visual. Sin embargo en un ejercicio de abstracción estética resulta
interesante considerar el sonido como la única expresión posible en un
universo sin materia física, aun siendo fenomenológicamente el sonido
inseparable de la materia.
Finalmente hacemos alusión a una singularidad en la matriz del universo de los espacios
temporales. Si se observa la Tabla de Universos Dimensionales, los espacios negativos
son compartidos por las dos clases de universos dimensionales, por lo que las
contraformas descritas anteriormente son también tempoformas negativas de carácter
contextual. La singularidad radica que al desprenderse la matriz del universo de los
espacios temporales de la matriz de los universos físicos, al final de las contraformas
aparece la variable temporal de signo negativo (-T), que intersecta el espacio
tridimensional negativo (-3D). En este punto se encuentra el espacio contextual
contraparte del espacio existencial, al que nos referimos simplemente como contexto.
En este caso el carácter negativo del tiempo se refiere al “tiempo que ya no es”, “el
tiempo que ya pasó”, y que forma el carácter de las formas (“cosas” en Heidegger) que
aparecerán en el presente relativo del espacio existencial. Esto es, la situación
contextual que es atributo del espacio, tanto físico como simbólico, es decir, material y
circunstancial, como un presupuesto más amplio que el simple enfoque fenomenológico
que plantea el genius-loci de Norberg-Shultz. Cabe resaltar aquí como buena parte de
las teorías proyectuales de la era moderna tienen su origen en esta polaridad, y su
adecuada resolución como presupuesto del buen diseño.

6. Referencias
Aloé, Víctor Dante. 2013. “La agonía de occidente”. Buenos Aires: Dunken, 2013.
Heidegger, Martin. 1954. “Construir, habitar, pensar”. Traducción de Eustaquio Barjau en “HEIDEGGER,
Martin. Conferencias y artículos”. Barcelona: Ediciones del Serbal, 1994.
Klee, Paul. “Caminos primarios hacia la forma”. De los cursos que dictara en el BauHaus, entre 1922 y 1925,
y que aparecen compilados en: “Notebooks Volume 1 The Thinking Eye”. Londres: Lund Humphries,
1969.
Mandelbrot, Benoit B. “Negative fractal dimensions and multifractals”. Statistical Physics 17, International
IUPAP Conference (Rio de Janeiro, 1989). Edited by Constantino Tsallis, Physica: A163, 1990, 306-
315. [Consultado en línea el 11 de 07 de 2015.]
http://users.math.yale.edu/users/mandelbrot/web_pdfs/123negativeFractalDimensions.pdf.
Norberg-Schulz, Christian. 1971. “Existencia, Espacio y Arquitectura”. Barcelona: Editorial Blume, 1975.
Norberg-Schulz, Christian. 1980. “Genius loci: towards a phenomenology of architecture”. s.l.: Academy
Editions, 1980.
Wolcott, Luke y McTernan, Elizabeth. 2013. “Imagining Negative-Dimensional Space”. Del sitio web: “For
the Luke of Math”. [Consultado en línea el: 11 de 07 de 2015.]
http://forthelukeofmath.com/documents/Wolcott-McTernan-workshop.pdf.