1) El documento presenta reglas básicas de álgebra incluyendo operaciones con números reales, exponentes, radicales, factorización y números complejos. 2) Se explican conceptos como el orden de operaciones, suma y multiplicación de números reales, reglas de exponentes y radicales, y métodos para racionalizar denominadores y conjugar expresiones. 3) También cubre técnicas de factorización como factor común, diferencia de cuadrados, trinomios y suma/diferencia de cubos, asi como definiciones básicas de números imaginarios y oper

1. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IBI-101
Prof. Ismael Sánchez O.
REPASO DE ALGEBRA BÁSICA
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.
A. Orden de las operaciones:
1. Operaciones dentro de paréntesis o arriba o debajo de una barra fraccionaria.
Debe comenzarse siempre con el paréntesis más interno hacia el más
externo.
2. Elevación a una potencia (o radicación).
3. Multiplicación o división en el orden que aparezcan de izquierda a derecha.
4. Suma y resta en el orden que aparezcan de izquierda a derecha.
B. Suma y resta de números reales:
1. Para sumar dos números con el mismo signo, sume los números y dé a la
suma el mismo signo.
Ejemplo: a) (3) + (5) = 8 b) (-3) + (-7) = -10
2. Para sumar dos números con diferente signo, tome el valor absoluto de
ambos números, reste el menor del mayor y dé a la respuesta el signo del
número con valor absoluto mayor.
Ejemplo: a) (-3) + (7) = 4 b) (-10) + (5) = -5
3. Para restar un número de otro, cambie el signo del número que se está
restando y luego sume según los pasos anteriores.
Ejemplo: a) (-7) – (3) = (-7) + (-3) = -10
b) (-13) – (-10) = (-13) + (10) = -3
C. Multiplicación y división de números reales:
MULTIPLICACIÓN DIVISION
+ * + = + + / + = +
+ * - = - + / - = -
- * + = - - / + = -
- * - = + - / - = +
Ejemplo:
a) (-3)(-5) = 15 b) (-8)(2)(1) = -16
c) 2
)5(
)10(
−=
−
d) 10
)2(
)4)(5(
−=
−
−−
REGLAS BASICAS DE LOS EXPONENTES.
1. nmnm
bbb +
=
2. mnnm
bb =)(
3. nnn
baab =)(
4. m
mm
b
a
b
a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
siempre y cuando b ≠ 0.
5. nm
n
m
b
b
b −
= siempre y cuando b ≠ 0.

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6. 10
=b siempre y cuando b ≠ 0.
7. n
n
b
b
1
=−
siempre y cuando b ≠ 0.
8. nn
bb =/1
9. n mnm
bb =/
Ejemplos:
a) 752
333 =⋅ b) 529
777 =⋅ −
c) ( ) 1052
99 =
d) ( ) 333
tyyt = e) 8
2
10
x
x
x
=
f) ( ) 25555125125 23 63 233 23/2
=====
g) 3
3
33
25
52
a
b
ba
ba
ba
== −
*no debe haber expresiones negativas*
h) 2
3
2
4
2
4
2
212
2
4
44
4
4
24
2
x
p
px
p
px
p
px
pp
p
x
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
REGLAS BASICAS DE LOS RADICALES.
1. nnn
baab =
2.
n
n
n
b
a
b
a
=
3. ( ) bbb nnn
n
== /
4. nn
bb /1
=
Ejemplos:
a) 555/555 555
32323233296 ===⋅=
b) 3
2
3
3/63/3
3/9
3 63 3
3 9
3 6
3
9
6
555125125
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
====
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.
Cuando un radicando es una fracción, para eliminar el radical en el denominador se
utiliza la técnica de racionalización. “Para racionalizar un denominador de la forma
n r
x , el numerador y el denominador se multiplican por otro radical que tenga el
mismo radicando y el mismo índice, ejemplo: n s
x , donde r + s es un múltiplo de n.
Ejemplo: racionalice 5
2
8
3
,
5
3
x

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a)
5
15
25
15
5
5
5
3
5
3
==⋅=
b)
x
x
x
x
x
x
xxx 2
12
2
23
2
2
2
3
2
3
8
3 5 3
5 55
5 32
5 32
5 32
5 23
5
5 23
5
5
2
=
⋅
⋅⋅
=⋅==
OPERACIONES BASICAS CON RADICALES.
1. Suma y resta de radicales. Los radicales solo pueden sumarse o restarse si
los radicandos son idénticos y los índices iguales.
Ejemplo: a) 522252 +=++
b) 107271073 +=−+
2. Multiplicación de radicales con el mismo índice. Para multiplicar y dividir
radicales con el mismo índice se aplican las siguientes dos reglas:
a) nnn
abba = b) n
n
n
b
a
b
a
=
Ejemplo:
a) 333
50105 =
b) yxyxxxy 222 2
==⋅
c)
2
15
2
15
8
15
4
5
3
2 3
3
3
333
xxxx
===⋅
d) 22245 7
21
7
7
7
3
7
3
7
3
7
3
xxxyx
xy
xyx
xy
yx
xy
=⋅===
CONJUGADO DE UNA EXPRESIÓN CON RADICALES.
Si a, b, m y n son números reales, entonces expresiones radicales de la forma
nbma + y nbma − son conjugados entre si.
Algunas veces el denominador de una fracción es la suma o la diferencia de dos
raíces cuadradas. En este caso el numerador y el denominador pueden multiplicarse
por su conjugado para que el denominador se convierta en la diferencia de dos
cuadrados.
Ejemplo:
a)
( ) ( ) 3
25
3
52
52
52
52
52
52
52
52
1
52
1
22
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⋅
+
=
+
b)
( )
( ) yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−−
−−+
=
+−
+−+
=
+−
+−
⋅
++
+
=
++
+
111
1
11
22
2

4. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IBI-101
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FACTORIZACIÓN.
Productos notables.
1. a(x+y) = ax + ay
2. (x+y)(x-y) = x2
– y2
3. (x±y)2
= x2
± 2xy +y2
4. (x+a)(x+b) = x2
+ (a+b)x + ab
5. (ax+b)(cx+d) = acx2
+ (ad+bc)x + bd
6. (x+y)3
= x3
+3x2
y + 3xy2
+ y3
7. (x-y)3
= x3
-3x2
y + 3xy2
- y3
Ejemplo:
a) 2x(5 – y) = 10x – 2xy
b) (r + 2w)2
= r2
+ 2(r)(2w) + (2w)2
= r2
+ 4rw + 4w2
c) (p + 5)(p – 3) = p2
+ (5 – 3)p + (5)(-3) = p2
+ 2p – 15
d) (2x – 6y)(3x + y) = (2)(3)x2
+ [(2)(y) + (-6y)(3)]x + (-6y)(y)
=6x2
– 16xy – 6y2
e) (2x – 3)3
= (2x)3
– 3(2x)2
(3) + 3(2x)(3)2
– (3)3
= 8x3
– 36x2
+ 54x – 27
Casos de factorización.
1. Factor común: ax + ay = a(x + y)
Ejemplo: a) 8y2
+ 2y = 2y(4y + 1)
b) 6x2
y + 9xy2
z – 3xyz = 3xy(2x + 3yz – z)
2. Diferencia de cuadrados: x2
– y2
= (x + y)(x – y)
Ejemplo: a) x2
– 25 = (x + 5)(x – 5)
b) 9a2
– 49b4
= (3a + 7b2
)(3a - 7b2
)
3. Trinomio de la forma x2
+ bx + c
Ejemplo: a) x2
– 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)
b) y2
– 3y – 10 = (y - 5)(y + 2)
c) 3k2
– 21k – 24 = 3(k2
– 7k – 8) = 3(k - 8)(k + 1)
4. Trinomio de la forma ax2
+ bx + c
Ejemplo:
a) 4x2
+ 3x -7 =
4
4474
4
283416
4
7344 22
))(()()( −+
=
−+
=
−+ xxxxxx
= ))((
))()((
174
4
1474
−+=
/
−/+
xx
xx
b) 15x2
– 7x – 2 =
15
3151015
15
30715225
15
271515 22
))(()()( +−
=
−−
=
−− xxxxxx
= ))((
))()()((
1523
51
153235
+−=
//
+/−/
xx
xx

5. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IBI-101
Prof. Ismael Sánchez O.
5. Suma de cubos: x3
+ y3
= (x + y)(x2
– xy + y2
)
Ejemplo:
8x3
+ 125 = (2x + 5)[(2x)2
– (2x)(5) + (5)2
] = (2x – 5)(4x2
– 10x + 25)
6. Diferencia de cubos: x3
- y3
= (x - y)(x2
+ xy + y2
)
Ejemplo:
64p3
– 27t6
= (4p – 3t2
)[(4p)2
+ (4p)(3t2
) + (3t2
)2
]
= (4p – 3t2
) (16p2
+ 12pt2
+ 9t4
)
NUMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS.
1− no existe en el campo de los números reales (raíces cuadradas de números
negativos). Se inventó entonces la unidad imaginaria que se denota por el símbolo i.
i=− 1
Ejemplo:
a) i3199 =−⋅=−
b) ii 232311818 2
−=⋅⋅−=−⋅−=−−
c)
3
2
9
4
9
4 i
=
−
=
−
d) ( ) ( ) 9191933
2
222
−=−=−== )(ii
Nota: antes de trabajar con raíces cuadradas de números negativos, recuerde
expresar cada número en términos de i.
Ejemplo:
a) 6364949 ==−−=−− ))(( , esto es incorrecto!
b) ( ) 61662349
2
2
−=−===−− iii )( , es correcto!
Al sumar un número imaginario y un número real se obtiene un número complejo.
Un número complejo es de la forma a + bi, donde a y b son números reales. A la
forma a + bi se le conoce como forma rectangular de un número complejo donde a
es la parte real y bi es la parte imaginaria.
1. Suma y Resta de números complejos.
a) (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i
b) (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i
Ejemplo:
• (9 + 2i) + (8 + 6i) = 17 + 8i
• (5 - 2i) + (-7 + 4i) = -2 + 2i
• (10 - i) - (4 - 2i) = 6 + i

6. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IBI-101
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2. Multiplicación.
(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(2+5i)(3-4i) = (6 + 20) + (-8 + 15)i = 26 + 7i
(7+3i)(7-3i) = (49 + 9) + (-21 + 21)i = 58
por diferencia de cuadrados: 72 – (3i)2
= 49 – (-9) = 58
3. División. En la división de números complejos, el numerador y el
denominador se multiplican por el conjugado del denominador.
Ejemplo:
a) i
ii
i
i
i
i
i
i
73
2
146
11
146
1
1
1
410
1
410
−=
−
=
+
−
=
−
−
⋅
+
−
=
+
−
b) ii
ii
i
i
i
i
i
i
1080
10
1
5
4
20
216
416
216
24
24
24
23
24
23
.. +=+=
+
=
+
+
=
−
−
⋅
+
+
=
+
+
c) ii
i
i
i
i
i
i
i
5515
2
3
4
206
2
2
2
310
2
310
−−=−−=
−−
=
−
−
⋅
−
=
−
.