tranformacion de coordenadas/ triginometria

1. 28/03/2020
1
Transformación
De coorDenaDas
Problema : Encontrar la ecuación de la parábola de foco 𝐹 0,0 y cuya
tangente en el vértice es 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
Si T: 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0  T: 𝑥 + 2 = −𝑦  T: =
P(-2, 0);
V(-1, 1);
N(1, 1)
Si T es tangente a la parábola , debe ser
perpendicular al eje de la misma
Del eje E se conoce su dirección, N(1, 1)
y un punto de paso, F(0, 0)
 E: =  E: 𝑥 = 𝑦
El punto de intersección entre T y E será el vértice V de la parábola.
V: 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 ∩ 𝑥 = 𝑦  V 𝑥, 𝑦 = (−1, −1)
Si la directriz D es perpendicular al eje
de la parábola, tendrá el mismo vector
dirección que T y pasa por I
Además VF debe ser igual a VI por
tratarse de una parábola, por lo tanto
V es el punto medio de FI
 V =  I = 2𝑉 − 𝐹
 I = (−2, −2)
La ecuación de la directriz D de la parábola será:
 D: =  D: 𝑥 + 2 = −𝑦 − 2  D: 𝑥 + 𝑦 + 4 = 0
En la parábola e =
( , )
( , )
= 1 → 𝑑(𝑋, 𝐹) = 𝑑(𝑋, 𝐷)
→ 𝑥 + 𝑦
=
𝑥 + 𝑦 + 4
2
→ 𝑥 + 𝑦 =
𝑥 + 𝑦 + 4
2
→ 2𝑥 + 2𝑦 = 𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑥 + 8𝑥 + 8𝑦 + 16
→ 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦 − 8𝑥 − 8𝑦 − 16 = 0
Cónicas y ecuación de segundo grado
Ecuación general de segundo grado:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +F = 0 con A, B y C ≠ 0
La ecuación general se puede reescribir como:
Cy2 + (Bx + E)y + (Ax2+ Dx +F) = 0
A continuación se puede resolver en y:

2. 28/03/2020
2
Cónicas y ecuación de segundo grado
El radicando de la ecuación obtenida es:
Es una ecuación cuadrática en x con discriminante:
 0
 0
 0
Analizando los posibles valores para las cónicas se
concluye que :
Cónicas y ecuación de segundo grado
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey +F = 0 con A y C ≠ 0
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(𝑥 − ℎ)
𝑎
±
(𝑦 − 𝑘)
𝑏
= 1
Circunferencia
Elipse o
hipérbola
(x – h)2 = 4p(y – k)
Parábola
(y – k)2 = 4p(x – h)
(𝑦 − 𝑘)
𝑎
±
(𝑥 − ℎ)
𝑏
= 1
Determinar el tipo de cónica que corresponde a
la siguiente expresión: x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0
Cónicas y ecuación de segundo grado
Completando cuadrados:
x2 – 4x + (2)2 + y2 + 2y + (1)2 = 20 + (2)2 + (1)2
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 25
(x – h)2 + (y – k)2 = 52
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Circunferencia
u2 + v2 = 52
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 52
u
v
u v
(2, –1)
u = x – 2
v = y + 1
x = u + 2
y = v – 1
Traslación
de ejes
Traslación de ejes
Una parábola tiene su vértice en V(3, 4) y su
foco en F(3, 6). Obtenga su ecuación cartesiana.
Como el vértice y el foco
están sobre el eje de la
parábola, en este caso la
parábola tiene su eje
sobre la recta x = 3
Traslación de ejes
Si se traza un par de ejes de coordenadas x´, y´
con origen en el vértice V(3, 4) se puede plantear:
x´2 = 4py´ El valor de p es la diferencia
entre las ordenadas de V(3, 4)
y F(3, 6): p = 6 – 4 = 2
x´2 = 8y´
Pero x´= x – 3; y´= y – 4
(x – 3)2 = 8(y – 4)
x2 – 6x – 8y + 41 = 0

3. 28/03/2020
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Traslación de ejes
Obtenga una ecuación en x´e y´de la siguiente
cónica: 9x2 – 4y2 + 36x – 24y – 36 = 0, de manera
que el centro de la gráfica esté sobre el origen
del sistema de coordenadas x´y´. Grafique.
9x2 – 4y2 + 36x – 24y – 36 = 0
9(x2 + 4x) – 4(y2 + 6y) = 36
9(x2 + 4x + 4) – 4(y2 + 6y +9) = 36 +36 – 36
9(x +2)2 – 4(y +3)2 = 36
(x +2)2 /4– (y +3)2/9= 1
Traslación de ejes
(x – (– 2) )2 /4– (y – (– 3))2/9= 1
(x +2)2 /4– (y +3)2/9= 1
Traslación de ejes
Encuentre las coordenadas del vértice V y del
foco F de la parábola: y2 + 4x + 6y + 1 = 0.
y2 + 6y = – 4x – 1
y2 + 6y + 9 = – 4x – 1 + 9  (y + 3)2 = – 4x + 8
 (y + 3)2 = – 4(x – 2) (y – (– 3))2 = – 4(x – 2)
Si x´= x – 2
y´= y + 3
 y´2 = – 4x´
V(x´, y´) = (0, 0)
F(x´,y´)= (–1, 0)
V(x, y) = (0 + 2, 0 + (– 3))  V(x, y) = (2, – 3)
F(x, y) = (–1 + 2, 0 + (– 3))  F(x, y) = (1, – 3)
Rotación de ejes
Al rotar los ejes de coordenadas alrededor del
origen y considerar fijos todos los puntos del
plano, entonces todo punto o vector, salvo el
origen, tendrá un nuevo par de coordenadas o
componentes.
La determinación de esas nuevas coordenadas
se puede realizar empleando la trigonometría
Rotación de ejes
Los nuevos ejes x´y´ se obtienen al girar los ejes
xy un ángulo Ø alrededor del origen
θ: dirección respecto a x ;
(θ – Ø): dirección respecto a x´
x = r cosθ
y = r senθ
x´ = r cos(θ – Ø)
y´ = r sen(θ – Ø)
Rotación de ejes
Se sabe:
cos(θ – Ø) = cosθ.cos Ø + senθ.senØ
sen(θ – Ø) = senθ.cos Ø – cosθ.senØ
Entonces:
Pero si x = r cosθ ˄ y = r senθ
Finalmente:
x´ = x.cos Ø + y.senØ
y´ = y.cos Ø – x.senØ
x = x´.cos Ø – y´.senØ
y = x´.sen Ø + y´.cosØ
x´ = rcosθ.cos Ø + rsenθ.senØ
y´ = rsenθ.cos Ø – rcosθ.senØ

4. 28/03/2020
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Rotación de ejes
Encuentre las nuevas coordenadas (x´, y´) que
resultan de un giro Ø = 30° de los ejes, de los
puntos S(4, - 2) y T(3, 1).
Para S se tiene:
x´ = 4.( 3
2
⁄ ) + (-2).(1 2
⁄ ) = 2 3
- 1
sen 30° = 1/2 cos 30° = 3
2
⁄
x´ = x.cos Ø + y.senØ
y´ = y.cos Ø – x.senØ
y´ = -2.( 3
2
⁄ ) - 4.(1 2
⁄ ) = - 2 - 3
Rotación de ejes
Para T se tiene:
x´ = 3.( 3
2
⁄ ) + 1.(1 2
⁄ ) = (3 3
+ 1)/2
x´ = x.cos Ø + y.senØ
y´ = y.cos Ø – x.senØ
y´ = 1.( 3
2
⁄ ) - 3.(1 2
⁄ ) = (- 3 + 3
)/2
En las nuevas coordenadas:
S(2 3
- 1, - 2 - √3) T((3 3
+ 1)/2, (- 3 + 3
)/2)
S(4, - 2) T(3, 1)
Rotación de ejes
Hallar las distancias entre los puntos S(4, - 2) y
T(3, 1) en sus coordenadas (x, y) y en(x´, y´)
Distancia entre los puntos S y T en (x, y):
d(S, T) = [(4 - 3)2 + (-2 - 1)2]1/2
= [(1)2 + (-3)2]1/2
d(S, T) = 10
Distancia entre los puntos S y T en (x´, y´):
d(S, T) = [[(3 - 3
)/2]2 + [(1 + 3 3
)/2]2]1/2
= [(9 - 6 3
+ 3)/4 + (1 + 6 3
+ 27)/4]1/2
d(S, T) = 10
Es igual en ambas coordenadas
Haciendo girar los ejes un ángulo de 45°, probar que la ecuación
𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 + 8𝑥 − 8𝑦 = 0 es una parábola.
x = x´.cos Ø – y´.senØ
y = y´.sen Ø + x´.cosØ
x = x´.cos 45° – y ´.sen45°
y = y´.sen 45° + x´.cos45°
𝑥 =
´ ´
𝑦 =
´ ´
Se debe ver cómo quedan las nuevas coordenadas haciendo girar
los ejes un ángulo de 45°
Las nuevas coordenadas se reemplazan en 𝑥 +𝑥𝑦 + 𝑦 + 8𝑥 − 8𝑦 = 0
𝑥´ − 𝑦´
2
+ 2
(𝑥´ − 𝑦´)
2
(𝑥´ + 𝑦´)
2
+
𝑥´ + 𝑦´
2
+ 8
(𝑥´ − 𝑦´)
2
− 8
(𝑥´ + 𝑦´)
2
= 0
Rotación de ejes
𝑥´ − 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´
2
+ 2
𝑥´ − 𝑦´
2
+
𝑥´ + 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´
2
+
8𝑥´ − 8𝑦´
2
−
8𝑥´ + 8𝑦´
2
= 0
𝑥´ −2𝑥´𝑦´ + 𝑦´ + 2𝑥´ − 2𝑦´ + 𝑥´ + 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´
2
−
16𝑦´
2
= 0
𝑥´ − 𝑦´
2
+ 2
(𝑥´ − 𝑦´)
2
(𝑥´ − 𝑦´)
2
+
𝑥´ + 𝑦´
2
+ 8
(𝑥´ − 𝑦´)
2
− 8
(𝑥´ + 𝑦´)
2
= 0
4𝑥´
2
−
16𝑦´
2
= 0 𝑥´ = 4 2
𝑦´
𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 + 8𝑥 − 8𝑦 = 0 𝑥´ = 4 2
𝑦´

5. 28/03/2020
5
Haciendo girar los ejes un ángulo de 45°, probar que la ecuación
𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 1 es una elipse.
x = x´.cos Ø – y´.senØ
y = y´.sen Ø + x´.cosØ
x = x´.cos 45° – y ´.sen45°
y = y´.sen 45° + x´.cos45°
𝑥 =
´ ´
𝑦 =
´ ´
Se debe ver cómo quedan las nuevas coordenadas haciendo girar
los ejes un ángulo de 45°
Las nuevas coordenadas se reemplazan en 𝑥 +𝑥𝑦 + 𝑦 = 1
𝑥´ − 𝑦´
2
+
(𝑥´ − 𝑦´)
2
(𝑥´ + 𝑦´)
2
+
𝑥´ + 𝑦´
2
= 1
Rotación de ejes 𝑥´ − 𝑦´
2
+
(𝑥´ − 𝑦´)
2
(𝑥´ − 𝑦´)
2
+
𝑥´ + 𝑦´
2
= 1
𝑥´ − 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´
2
+
𝑥´ − 𝑦´
2
+
𝑥´ + 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´
2
= 1
𝑥´ − 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´ + 𝑥´ − 𝑦´ + 𝑥´ + 2𝑥´𝑦´ + 𝑦´ = 2
3𝑥´ + 𝑦´ = 2
𝑥´
2/3
+
𝑦´
2
= 1
𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 1
𝑥´
2/3
+
𝑦´
2
= 1
Rotación de ejes
Obtener la ecuación en (x´, y´) de la gráfica xy = 4
bajo una rotación de ejes alrededor del origen
con Ø = 45°. Graficar.
sen 45° = 1/√2 cos 45° = 1/√2
x = (x´– y´)/√2
y = (x´+ y´)/√2
Si xy = 4: [(x´– y´)/√2].[(x´+ y´)/√2] = 4
(x´2 - y´2)/2] = 4
x´2 - y´2 = 8
x´2 /8 - y´2/8 = 1
Rotación de ejes
x´2 /8 - y´2/8 = 1
Es una hipérbola con
el eje principal sobre
el eje y´
La gráfica original es
una hipérbola con su
eje principal que forma
un ángulo de 45° con la
parte positiva del eje x.
𝑥𝑦 = 4 − = 1

6. 28/03/2020
6
Rotación de ejes en una cuadrática
Ya se vio la ecuación general de segundo grado:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +F = 0 con A, B y C ≠ 0
Y el caso en que B = 0:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey +F = 0 con A y C ≠ 0
También se vio como en esta última expresión se
puede completar cuadrados para llegar a varias
formas de las cónicas.
Rotación de ejes
Si B ≠ 0: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +F = 0
Con x = x´.cosØ – y´.senØ Ʌ y = x´.senØ + y´.cosØ
Sería: A´x´2 + B´x´y´+ C´y´2 + D´x´ + E´y´ + F´ = 0
Ax2 = A (x´.cosØ – y´.senØ) 2 =
= A (x´2.cos2Ø – 2x´y´cosØ.senØ + y´2 sen2Ø)
Bxy = B(x´.cos Ø – y´.senØ)(x´.senØ + y´.cosØ)
= B(x´2.senØcosØ + x´y´.cos2Ø – x´y´sen2Ø
– y´2 senØcosØ)
Rotación de ejes
Cy2 = C (x´.senØ + y´.cosØ)2 =
= C (x´2.sen2Ø + 2x´y´cosØ.senØ + y´2 cos2Ø)
Dx = D(x´.cosØ – y´.senØ)
Ey = E(x´.senØ + y´.cosØ)
F = F´
Se hace la suma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +F = 0
Rotación de ejes
Ax2 = A (x´2.cos2Ø – 2x´y´cosØ.senØ + y´2 sen2Ø)
Bxy = B(x´2.senØcosØ + x´y´.cos2Ø – x´y´sen2Ø
– y´2senØ.cosØ)
Cy2 = C (x´2.sen2Ø + 2x´y´cosØ.senØ + y´2 cos2Ø)
Dx = D(x´.cos Ø – y´.senØ)
Ey = E(x´.sen Ø + y´.cosØ)
F = F´
Rotación de ejes
A´= A.cos2Ø + B.cosØ.senØ + C.sen2Ø
B´= 2(C – A).cosØ.senØ + B(cos2Ø – sen2Ø)
C´= A. sen2Ø – B.cosØ.senØ + C. cos2Ø
D´ = D.cosØ + E.senØ
E´ = – D.senØ + E.cosØ
F´= F
Los coeficientes de la nueva expresión, ya girada,
A´x2 + B´xy + C´y2 + D´x + E´y +F´ = 0, serán
Rotación de ejes
Si se quiere que no haya términos en x´y´, el
término B´ debe ser igual a cero: B´= 0
B´= 2(C – A).cosØ.senØ + B(cos2Ø – sen2Ø) = 0
(C – A).2cosØ.senØ + B(cos2Ø – sen2Ø) = 0
sen2Ø cos2Ø
(C – A).sen2Ø + B.cos2Ø = 0
Hay que considerar dos casos: 1) A = C y 2) A ≠ C

7. 28/03/2020
7
Rotación de ejes
1) Cuando A = C: B.cos2Ø = 0  cos2Ø = 0
 2Ø = π/2 + kπ  Ø = π/4 + kπ/2
2) Cuando A ≠ C: (C – A).sen2Ø + B.cos2Ø = 0
sen2Ø/cos2Ø =B/(A – C)
tg2Ø =B/(A – C)
(Ø = π/4)
Se puede escoger que 0 < 2Ø < π  0 < Ø < π/2
Se trataría de un ángulo agudo
Rotación de ejes
Mediante una rotación de ejes identificar y
graficar la siguiente cónica: x2 – 3xy + 5y2 – 4 = 0
A = 1; B = – 3; C = 5
 tg2Ø = – 3/(1 – 5)
 tg2Ø = 3/4
Rotación de ejes
Si x = x´.cos Ø – y´.senØ Ʌ y = x´.sen Ø + y´.cosØ
Reemplazando en x2 – 3xy + 5y2 – 4 = 0:
x2 – 3xy + 5y2 – 4 = 0
Invariancia bajo rotación de ejes
A´= A.cos2Ø + B.cosØ.senØ + C.sen2Ø
C´= A. sen2Ø – B.cosØ.senØ + C.cos2Ø
Los coeficientes A´ y C´de la cuadrática, ya girada,
A´x2 + B´xy + C´y2 + D´x + E´y +F´ = 0, son
Si se hace A´ + C´:
A´+ C´= A.cos2Ø + A.sen2Ø + C.sen2Ø + C.cos2Ø
A´+ C´= A.(cos2Ø + sen2Ø) + C.(sen2Ø + cos2Ø)
A´+ C´= A + C No varía la suma
Invariancia bajo rotación de ejes
Si se hace B´2 – 4A´C´:
B´2 = [2(C – A).u.v + B(u2 – v2)]2
(con u = cosØ; v = senØ)
= 4(C – A)2.u2.v2 + 4B(C – A)u.v.(u2 – v2) +
B2 (u2 – v2)2
= 4(C2 – 2AC + A2).u2.v2 +
4B(C – A)u.v.(u2 – v2) + B2 (u2 – v2)2
B´2 = 4C2.u2.v2 – 8AC.u2.v2 + 4A2.u2.v2 +
4BC.u.v.(u2 – v2) – 4BA.u.v.(u2 – v2) +
B2 (u2 – v2)2

8. 28/03/2020
8
– 4A´C´= – 4(A.u2 + B.u.v + C.v2)(A.v2 – B.u.v + C.u2)
Invariancia bajo rotación de ejes
= – 4A2.u2 v2 + 4A.B.u3.v – 4ACu3 –
4AB.u.v3 + 4B2.u2.v2 – 4BC.u3.v –
4A.C.v4 + 4B.C.u.v3 – 4C2.u2v2
– 4A´C´= – 4A2.u2 v2 + 4A.B.u.v(u2 – v2) – 4ACu4 +
4B2.u2.v2 – 4BC.u.v(u2 – v2) –
4A.C.v4 – 4C2.u2v2
B´2 – 4A´C´= 4C2.u2.v2 – 8AC.u2.v2 + 4A2.u2.v2 +
4BC.u.v.(u2 – v2) – 4BA.u.v.(u2 – v2) +
B2 (u2 – v2)2
– 4A2.u2 v2 + 4A.B.u.v(u2 – v2) – 4ACu4 +
4B2.u2.v2 – 4BC.u.v(u2 – v2) –
4A.C.v4 – 4C2.u2v2
B´2 – 4A´C´=
Invariancia bajo rotación de ejes
B2 (u2 – v2)2 – 8AC.u2.v2 – 4ACu4 +
4B2.u2.v2 – 4A.C.v4
= B2 (u2 – v2)2 + 4B2.u2.v2 –
4AC(u4 +2u2.v2 + v4)
B´2 – 4A´C´=
Invariancia bajo rotación de ejes
B2 [(u2 – v2)2 + 4B2.u2.v2] –
4AC(u4 +2u2.v2 + v4)
= B2 (u2 + v2)2 – 4AC(u2 + v2)2
= B2 (1)2 – 4AC(1)2 = B2 – 4AC
B´2 – 4A´C´= B2 – 4AC No varía el discriminante
Si con la rotación de ejes no hay variación en el
discriminante, se puede aplicar el mismo criterio
para determinar el tipo de cónica de acuerdo al
signo y valor del discriminante, tanto con la
expresión original como en la rotada.